2023-2024学年浙江省杭州高中金湖四校高三上学期第六次联考数学试题+含解析

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则集合有（ ）个子集．
A. 0B. 1C. 2D. 4
2. 已知向量与直线平行且，，则向量在向量方向上的投影向量可以是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知、满足，，则的实部是（ ）
A B. C. D.
4. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
5. “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中所选数1，构成的数列的第项，则的值为（ ）
A. 252B. 426C. 462D. 924
6. 锐角满足，则下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知椭圆的左顶点为A，右焦点为，过右焦点作x轴垂线交椭圆于B、C两点，连结BO并延长交AC于点M，若M为AC的中点，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 1
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 某地区高三男生的身高X服从正态分布，则（ ）
A. B. 若越大，则越大
C. D.
10. 函数，下列说法正确的是（ ）
A. 是周期函数B. 最大值是1
C. 图像至少有一条对称轴D. 图像至少有一个对称中心
11. 已知，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 的取值范围为
B. 的取值范围为
C. 的取值范围为
D. 的取值范围为
12. 在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：
（1）过点，且以为方向向量的空间直线l的方程为；
（2）过点，且为法向量的平面的方程为．
现已知平面，，，（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13. 已知函数，曲线在点处切线方程是_______．
14. 用4种不同颜色给一个正四面体涂色，每个面涂一种颜色，4个颜色都要用到，共有__________种涂色的方法．
15. 直线与直线所成夹角大小为__________．
16. 若正四面体的棱长为3，平面ABC内有一动点P到平面、平面、平面的距离依次成等差数列，则点P在面内的轨迹的长度为______.
四、解答题，本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 直角三角形ABC斜边上一点D满足，
（1）求证:；
（2）若，求角B的大小．
18. 已知数列的前项和为，满足，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前20项和.
19. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，.
（1）求证：；
（2）若平面平面PBC，且中，AD边上的高为3，求AD的长.
20. 随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组对某社区随机抽取了5人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄在[25，30），[55，60）的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．
（1）求年龄在[25，30）被调查者中选取的2人都是赞成的概率；
（2）求选中4人中，至少有3人赞成的概率；
（3）若选中的4人中，不赞成的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
21. 已知椭圆经过点，离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的左、右两个顶点分别为，为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为椭圆的左焦点，求证：的周长为定值．
22. 已知函数）.
（1）讨论的单调性；
（2）若时，，求实数的取值范围；
（3）对任意，证明：.
年龄
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
[40，45）
人数
4
5
8
5
3
年龄
[45，50）
[50，55）
[55，60）
[60，65）
[65，70）
人数
6
7
3
5
4