2024届湖南省部分学校高三上学期第三次联考数学试卷含解析

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1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：小题考查集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、数列、平面向量，大题考查高考范围．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知命题，，则p的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
2. 定义集合．已知集合，，则的元素的个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
3. 已知函数的图象在处的切线的斜率为，则（ ）
A. 的最小值为6B. 的最大值为6
C. 的最小值为4D. 的最大值为4
4. 已知某公司第1年的销售额为a万元，假设该公司从第2年开始每年的销售额为上一年的倍，则该公司从第1年到第11年（含第11年）的销售总额为（ ）（参考数据：取）
A 万元B. 万元C. 万元D. 万元
5. 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
6. 设，，且，则（ ）
A B. C. D.
7. 已知函数，，则“曲线关于直线对称”是“曲线关于直线对称”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，激发学生对数学的兴趣．如图，在菱形ABCD中，，，以菱形ABCD的四条边为直径向外作四个半圆，P是四个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（ ）
A. B. 3C. 5D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9 已知函数，则（ ）
A. 的最小值为1B. ，
C. D.
10. 若正项数列等差数列，且，则（ ）
A. 当时，B. 的取值范围是
C. 当为整数时，的最大值为29D. 公差d的取值范围是
11. 若函数的定义域为D，对于任意，都存在唯一的，使得，则称为“A函数”，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数是“A函数”
B. 已知函数，的定义域相同，若是“A函数”，则也是“A函数”
C. 已知，都是“A函数”，且定义域相同，则也是“A函数”
D. 已知，若，是“A函数”，则
12. 定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（ ）
A.
B. ，函数有极值
C.
D. ，函数为单调函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 设向量在向量上的投影向量为，则________．
14. 若，，则________．
15. 若关于x的不等式的解集恰有50个整数元素，则a的取值范围是________，这50个整数元素之和为________．
16. 如图，已知平面五边形的周长为12，若四边形为正方形，且，则当的面积取得最大值时， ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长．
18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，E，F，M分别是PB，CD，PD的中点．
（1）证明：平面PAD．
（2）求平面AMF与平面EMF的夹角的余弦值．
19. 已知数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
20. 某商场在6月20日开展开业酬宾活动．顾客凭购物小票从6~20这15个号码中依次不放回地抽取2个号码，第1个号码为a，第2个号码为b．设X是不超过的最大整数，顾客将获得购物金额X倍的商场代金券（若，则没有代金券），代金券可以在活动结束后使用．
（1）已知某顾客抽到的a是偶数，求该顾客能获得代金券的概率；
（2）求X的数学期望．
21. 以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的椭圆过点．
（1）求椭圆的方程．
（2）设是椭圆上一点（异于），直线与轴分别交于两点．证明在轴上存在两点，使得是定值，并求此定值．
22. 已知函数有两个零点．
（1）求的取值范围；