2024届广东省花都区高三上学期调研测试数学试题含解析

这是一份2024届广东省花都区高三上学期调研测试数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】先化简复数，再利用复数的几何意义求解.
【详解】解：因为复数，
所以z在复平面内对应的点位于第四象限，
故选：D
2．已知集合，，则集合的元素个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据集合交集的基本运算求解即可.
【详解】, 因为，
所以，所以集合中有3个元素.
故选：C
3．从甲、乙等名志愿者中随机选名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先求出基本事件总数，再求出符合条件的事件数，最后利用古典概型的概率公式计算可得.
【详解】从甲、乙等名志愿者中随机选名参加社区服务工作一共有种选法，
其中甲、乙都入选的有种选法，
所以甲、乙都入选的概率.
故选：B
4．已知点，，，点P在所在平面内，且满足，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】题意说明是外心，求出点坐标后，由射影向量的定义求解．
【详解】设，则得：
，解得，即，
，
，，
所以在上的投影向量为．
故选：B．
5．天文学上用绝对星等衡量天体的发光强度，用目视星等衡量观测者看到的天体亮度.可用（其中为常数）近似表示绝对星等M，目视星等m和观测距离d之间的关系.若1号天体的绝对星等为0.54，目视星等为0.04，2号天体的绝对星等为，目视星等为，则观测者与1号天体和2号天体的距离的比值约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据条件、指对数的运算分别求出观测者与1号天体和2号天体的距离即可.
【详解】设观测者与1号天体和2号天体的距离分别为，
因为1号天体的绝对星等为0.54，目视星等为0.04，
所以，解得，
因为2号天体的绝对星等为，目视星等为，
所以，解得，
所以，
故选：B
6．在平面直角坐标系中，记直线与直线在第一象限所形成的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由正切的两角差公式求夹角的正弦值，代入即可.
【详解】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，有
所以，，
，则.
故选：C
7．若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】结合奇函数的对称性，即不等式的性质即可求.
【详解】因为定义在的奇函数在单调递减，且，
所以在单调递减，且，
所以当，，
当，，
所以若，则或或或或
解得或，
所以x的取值范围是.
故选：C
8．对一个质地均匀的实心圆锥体工件进行加工，已知该工件底面半径为12cm，高为8cm，加工方法为挖掉一个与该圆锥体工件同底面共圆心的内接圆柱.若要使加工后工件的质量最轻，则圆柱的半径应设计为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设挖去的圆柱的底面半径为，高为，再设圆柱的轴截面为矩形，底面圆心为，连接，根据，求得，得到圆柱的体积为，求得，得到函数的单调性和最大值，进而得到结论.
【详解】设挖去的圆柱的底面半径为，高为，取圆锥的轴截面，如图所示，
设圆柱的轴截面为矩形，底面圆的圆心为，连接，交于点，
因为，则，即，解得，其中，
则圆柱的体积为，其中，
可得，
令，解得或（舍去），
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取的最大值，最大值为，
所以，当时，工件的质量最轻.
故选：A.
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．为奇函数
B．的值域为
C．的最小正周期为
D．的图象关于直线对称
【答案】ACD
【分析】A.结合正弦函数的奇偶性，利用函数奇偶性的定义判断；B. 令，转化为对勾函数求解判断；C. 结合诱导公式，利用周期函数的定义判断；D.结合诱导公式，利用函数的对称性判断.
【详解】解：因为的定义域为，关于原点对称，又，故是奇函数，故A正确；
令，由对勾函数的性质得，故B错误；
因为，所以的最小正周期为，故C正确；
因为，所以的图象关于点直线对称，故D正确；
故选：ACD
10．已知是等比数列的前n项和，若存在，，，使得，则（ ）
A．
B．是数列的公比
C．数列可能为等比数列
D．数列不可能为常数列
【答案】ABD
【分析】设出等比数列的公比为，分和两种情形，分别表示出，并与比较对照，分别用和表示出，然后逐一分析判断各选项即可.
【详解】设等比数列的公比为，
若，则，此时是关于的一次函数，数列为常数列，
而不是关于的一次函数，所以，数列不可能为常数列，故D正确；
因为，所以，又，
所以，故B正确；
，故A正确；
因为，也均不为0，所以不可能为一常数，
即数列不可能为等比数列，故C错误.
故选：ABD
11．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：，则（ ）
A．直线与抛物线C相交所得弦长为
B．直线与抛物线C交于M，N两点，则
C．过点恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点
D．抛物线C上的点到直线的最短距离为
【答案】ABD
【分析】联立直线与抛物线方程，用弦长公式可判断A，用斜率关系可判断B，点在抛物线外有两条切线，再考虑与对称轴平行的直线，可判断C，抛物线上的点到直线的最小距离转化为两平行直线间的距离可判断D.
【详解】联立直线与抛物线方程得，
设其交点分别为，
则
所以其弦长为，A正确；
对于B，，所以，B正确；
对于C，过可作两条切线，和其有一个公共点，但也过该点，同样与抛物线有一个公共点，C错误；
设直线与抛物线相切，联立得，则，
故切线为，抛物线上的点到直线的最小距离转化为两平行直线间的距离，
，D正确.
故选：ABD
12．已知当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据给定的不等式，赋值变形判断A；赋值求和判断BC；变形不等式右边，借助二项式定理及组合数的性质推理判断D作答.
【详解】因为，令，，
则，故A错误；
因为，则，，…，，
以上各式相加有，B正确；
因为，则，，…，，
以上各式相加有，C正确；
由得，，即，
，因此，所以D正确．
故选：BCD
【点睛】关键点睛：由给定信息判断命题的正确性问题，从给定的信息出发结合命题，对变量适当赋值，再综合利用相关数学知识及方法是解决问题的关键.
三、填空题
13．已知随机变量X服从正态分布，若，则 .
【答案】0.36
【分析】根据正态分布的对称性求解
【详解】随机变量X服从正态分布，，
由正态分布图像的对称性可得曲线关于对称。
，
.
故答案为：0.36.
14．已知，若，则T被6除所得的余数为 .
【答案】5
【分析】赋值法求得，应用二项式定理展开式即可判断T被6除所得的余数.
【详解】令，则，
而，
所以部分可被6整除，且，
所以T被6除所得的余数为5.
故答案为：5
15．已知正方体的棱长为3，动点P在平面内，且AP与所成角为30°，则长度的最小值为 .
【答案】
【分析】由条件可得，然后由圆的知识可得答案.
【详解】
因为AP与所成角为30°，，所以，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，
因为，所以在圆弧的外面，
所以长度的最小值为，
故答案为：.
16．已知双曲线C：的左右焦点分别为，，过作x轴的垂线交C于点P﹒于点M（其中O为坐标原点），且有，则C的离心率为 .
【答案】
【分析】由向量垂直的坐标表示得出关于的齐次式后可得离心率．
【详解】如图，易得，，，设，
，由得，
，解得，即，，
又，∴，，代入得，因为 故解得，
故答案为：．
四、解答题
17．记为等差数列的前n项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前23项的和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式列式求出和d，可得通项公式；
（2）先求出，再利用并项求和法与等差数列的求和公式可得结果.
【详解】（1）设等差数列公差为d，则，
解得，，
所以.
（2）由（1）可得：，则，
可得
，
所以.
18．在中，已知A是钝角，，.
(1)求的值；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）由，得到，再与联立求解；
（2）BC边上的高AD，易得，，再结合（1）的结论得到；再由，结合（1）的结论得到，进而求得AD，再由.
【详解】（1）解；因为，
所以，
则，
又因为，
可得，，
所以；
（2）如图，作BC边上的高AD，
则，，
又，
所以；
因为，A是钝角，
所以，
则，
即：，又，
所以，
又因为C为锐角，，
所以，
则，
所以的面积为.
19．已知函数，e为自然对数的底数.
(1)证明：；
(2)若恒成立，求实数b的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用导数求出的最小值，即可得证；
（2）在上恒成立，即在上恒成立，由（1）得，再分和两种情况讨论即可得出答案.
【详解】（1）由题可知，
当时，，，
故恒成立，
所以函数在上为增函数，
则当时，，得证；
（2）在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则，
，
由（1）得，
（ⅰ）当时，，此时在上单调递增，
故，符合题意；
（ⅱ）当时，由（1）知，在上为增函数，
则必存在，使得，
且当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，不符合题意，
综上，实数b的取值范围为.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
20．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面平面，且.
(1)证明：平面平面；
(2)若为的中点，直线与底面所成角的正弦值为，求平面与平面的夹角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过点作，垂足为点，利用面面垂直的性质定理可得出平面，可得出，利用以及线面垂直、面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且与直线垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，设点，根据直线与底面所成角的正弦值为，求出的值，可得出的值，可得出点的坐标，再利用空间向量法可求得平面与平面的夹角的大小.
【详解】（1）证明：过点作，垂足为点，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，又、平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）因为四边形为正方形，则，
又因为平面，则平面，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且与直线垂直的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设，因为，且，，
所以，，则，
且，则，
因为，所以，，即，
则，，
易知为底面的一个法向量；
因为直线与底面所成角的正弦值为，
所以，
化简得，解得（舍去），所以，所以，
设平面的法向量为，，，
则，取，则，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
所以，，
又因为，所以，.
所以，平面与平面的夹角为，
21．已知动点M在圆上，过点M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足，点P的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)已知点，设A，B是曲线C上的两点，直线AB与曲线相切.证明：A，B，F三点共线的充要条件是.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设点P为，点M为，用表示出，代入点所在圆方程即可得的方程；
（2）需要分别证明充分性和必要性，必要性：由三点共线设出直线方程为，代入曲线方程求得，充分性，设直线AB：，由直线与半圆相切得关系式，由弦长求得得直线方程，由方程确定直线过点，得三点共线．
【详解】（1）设点P为，点M为，则点N为，
，，
由，可得，
因为点在圆上，
所以，即，
所以C的方程为；
（2）证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB：，不合题意；
当直线AB的斜率存在时，设，，
必要性：
若A，B，F三点共线，可设直线AB：即，
由直线AB与曲线相切可得，解得，
联立可得，
所以，，
所以，
所以必要性成立；
充分性：
设直线AB：，即，
由直线AB与曲线相切可得及（），
所以，
联立可得，
所以，，
所以，
化简得，所以，
所以或，所以直线AB：或
所以直线AB过点，A，B，F三点共线，充分性成立；
所以A，B，F三点共线的充要条件是.
22．根据过去50年的水文资料，对某水库的年入流量x（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）进行统计整理得到下表：
将过去50年统计所得的年入流量在五个区间的频率作为年入流量在相应区间的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
已知各年的发电机最多可运行台数N与年入流量x相关，关系如下表：
(1)德国数学家高斯用取整符号“[]”定义了取整运算：对于任意的实数，取整运算的结果为不超过该实数的最大整数.例如，当时，.请运用取整运算，写出发电机最多可运行台数N关于年入流量x的函数解析式；
(2)当地政府计划在该水库建一座水电站.当发电机正常运行，年利润为4000万元/台；当发电机未运行，年亏损500万元/台.若要使发电机的年总利润的期望值最大，则该水库应安装多少台发电机？
【答案】(1)或或
(2)3台
【分析】（1）每个区间的长度都为，可考虑除以区间长度（类似振幅变换），结合加减运算（类似平移变换），将取值缩小在内；
（2）分别求出安装台发电机的数学期望，比较可得.
【详解】（1）当时，则，故；
当时，则，故；
当时，则，故；
当时，则，故；
则.
又
故，或或
（注：利用取整运算符号，满足题意的函数解析式都可以）
（2）根据题意，年入流量的概率为
的概率为，的概率为，
的概率为，的概率为
则，发电机可运行台数的分布列为：
记发电机的年总利润为Y（单位：万元）
①安装1台发电机，Y的分布列如下：
所以，.
②安装2台发电机，Y的分布列如下：
所以
③安装3台发电机，Y的分布列如下：
所以，
④安装4台发电机，Y的分布列如下：
所以，
由上可知，要使发电机的年总利润的期望值最大，该水库应安装3台发电机.
年入流量x
年数
5
10
20
10
5
年入流量x
发电机最多可运行台数N
1
2
3
4
可运行台数
0
1
2
3
4
概率
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
Y
4000
P
0.1
0.9
Y
3500
8000
P
0.1
0.2
0.7
Y
3000
7500
12000
P
0.1
0.2
0.4
0.3
Y
2500
7000
11500
16000
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1