2024届山东省泰安新泰市第一中学（实验部）高三上学期第一次质量检测数学试题含解析

这是一份2024届山东省泰安新泰市第一中学（实验部）高三上学期第一次质量检测数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由函数定义域求法可求得集合；根据指数函数值域求法可求得集合；根据交集定义可得结果.
【详解】由得，则；
当时，，所以；所以.
故选：.
2．设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据复数的乘法运算可得，再根据共轭复数的定义即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：C.
3．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即得.
【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“”的否定是“”．
故选：D．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正弦函数，对数函数及指数函数的单调性结合中间量法即可得解.
【详解】因为，所以，
而，
所以.
故选：C.
5．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函数的性质和特值法对不符合题意的选项加以排除，即可得出答案.
【详解】因为，所以，定义域为；
因为，所以，
故，所以为奇函数，排除B，
当逼近于，逼近于，排除D，
由，，则，排除C，
故选：A.
6．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正弦的二倍角公式、两角差的余弦公式与同角三角函数的关系求解即可.
【详解】
.
故选：C
7．已知函数（），若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用整体换元法，结合余弦函数的性质即可求解.
【详解】函数．
当时，令，则，
若在有且仅有3个零点和3条对称轴，
则在有且仅有3个零点和3条对称轴，
则，解得.
故选：A．

8．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，构造函数，由其单调性求解不等式，即可得到结果.
【详解】构造函数，因为对任意的，都有，
则，所以函数在上单调递减，
又，所以，
由可得，即，所以.
故选：A
二、多选题
9．设复数在复平面内对应的点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若，则的虚部为
C．若，则点的集合所构成的图形的面积为
D．若点坐标为，且是关于的实系数方程的一个根，则
【答案】CD
【分析】根据复数的几何意义判断AC；根据虚部定义，判断B；根据，代入实系数方程，化简求.
【详解】A.若，则点的轨迹为以原点为圆心，半径为1的圆，
圆上的点对应的复数有无数个，其中包含或，故A错误；
B. 若，则的虚部为，故B错误；
C.表示的几何意义为复平面内的点到定点的距离，
根据不等式，如图画出满足条件的点的轨迹，

点的轨迹是以为圆心，1和为半径的两个同心圆，所包含的圆环，面积为，故C正确；
D. 若点坐标为，则，，
化简为，得，，
所以，故D正确.
故选：CD
10．已知，，且，下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值是B．的最小值是2
C．的最小值是D．的最小值是
【答案】CD
【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.
【详解】由，且，
对于A中，由，当且仅当时，等号成立，
所以，解得，即的最大值为，所以A错误；
对于B中，由，
当且仅当时，等号成立，所以最小值为，所以B错误；
对于C中，，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是，所以C正确；
对于D中，由，
当且仅当时，等号成立，的最小值是，所以D正确.
故选：CD.
11．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，若点P是边BC上一点，Q是AC的中点，点O是所在平面内一点，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若在方向上的投影向量为，则的最小值为
C．若点P为BC的中点，则
D．若，则为定值18
【答案】ACD
【分析】对于，根据向量加法的运算法则及三角函数的诱导公式化简计算；对于B，易知当时，取得最小值，计算可得；对于C，根据向量加法结合律律及平行四边形法则计算可得；对于D，根据向量数量积运算律计算即可.
【详解】解：如图，设BC的中点为E，连接QE，∵，由余弦定理可得：
，∴，∴，
又，∴，∴，∴，
对A选项，∵，∴，∴，又E为中点，
∴，又，∴，
∴，故A选项正确；
对B选项，∵在方向上的投影向量为，∴，又Q是AC的中点，P在BC上，∴当时，PQ最小，此时，故B选项错误；
对C选项，若点P为BC的中点，即P与E点重合，∵，∴，
∴，故C选项正确；
对D选项，∵，∴的平分线与BC垂直，
∴是以BC为底边的等腰三角形，∴，又由A选项分析知，
∴根据向量数量积的几何意义知，
∴，故D选项正确．
故选：ACD．

12．已知函数，函数的四个零点分别为，，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据函数解析式画出函数图形，依题意可知与有四个交点，结合图象求出的取值范围，即可判断A，根据二次函数的对称性判断B，结合图象得到，再利用基本不等式判断C，又，结合二次函数的性质判断D.
【详解】解：因为，则函数图象如下所示：
当时，对称轴为，
因为函数的四个零点，，，，且，
即有四个解，即与有四个交点，
结合图象可知，所以，故A错误；
由图可知、关于对称，所以，故B正确；
当时，令，则，
所以或，即或，
所以或（舍去），
所以，
又，即，即，
所以，即，所以，故C错误；
又，
所以，
令，则，，
令，，函数的对称轴为，
所以函数在上单调递减，所以，
即，所以，故D正确；
故选：BCD
三、填空题
13．已知直线是函数的图象在点处的切线，则 .
【答案】5
【分析】利用函数的导数与切线的关系求解.
【详解】由题可得，，
因为直线是函数的切线，
所以，解得，
所以，所以切点为，
又因为切点在切线上，所以，
所以，
故答案为:5.
14．函数是奇函数，则实数 .
【答案】
【分析】根据是奇函数，由求解.
【详解】因为是奇函数，
所以，
，
所以.
故答案为：-2
15．如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交，于点，．当点在劣弧上运动时，的最小值为 ．
【答案】/
【分析】以点为坐标原点建立平面直角坐标系，设，利用平面向量数量积的坐标表示结合三角函数的性质即可得解.
【详解】如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，设，
则，
则，
由，得，
所以当，即时，取得最小值.
故答案为：.
16．已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则 .
【答案】2023
【分析】根据题意分析可得，进而可得函数是以4为周期的周期函数，且，进而可得结果.
【详解】因为为偶函数，则，
又因为，则，，
即，可得，
因为为奇函数，则，且，
可得，即，则，
可得，
所以函数是以4为周期的周期函数，
由，可得，，
则，
即，
所以.
故答案为：2023.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
四、解答题
17．已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在上的单调递增区间．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两角和的余弦公式，辅助角公式化简可得，根据最小正周期公式，代入即可得答案.
（2）由（1）可得，根据x的范围，可得的范围，令，即可求得答案.
【详解】（1）
，
∴函数的最小正周期．
（2）由（1）知：．
当．
又因为在上单调递增，在上单调递减，
令，得，
∴函数在上的单调递增区间为（注：同样给分）．
18．已知的三个内角A，B，C对应的三条边分别为a，b，c，且有：．
(1)求角B的大小；
(2)设，若点M是边上一点，且，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用内角和定理与两角和的正弦化简等式即得；
（2）用向量方法表示，两边平方并结合余弦定理建立的方程组，由三边关系可得是直角三角形，最后利用与三角形面积比即可求解.
【详解】（1）依题意得，，
则有，
故：．
即：，
因为，所以，所以，
又，所以．
（2）如图，由，所以，，．
在中，由余弦定理得，
即．①
又由于，
所以，
两边平方得，
即，所以．②
②－①得，所以，代入①得，
在中，，
所以是以为直角的三角形，
所以的面积为，
由于，知，
故的面积为．

19．已知函数．
(1)若，求的值；
(2)证明：当且时，．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出的导数，分类讨论，确定函数的单调性，利用成立，求出；
（2）由（1），当时，即，令，则有，可得，累乘可证得结果.
【详解】（1）由题意知，，，
①当时，，在上单调递减，
所以，当时，，不合题意；
②当时，由得，，则在上单调递增，
由得，，则在上单调递减，
所以，，不合题意；
③当时，由得，，则在上单调递增，
由得，，则在上单调递减，
所以，对于任意的，，符合题意；
④当时，由得，，则在上单调递增，
由得，，则在上单调递减，
所以，，不合题意．
综上所述，．
（2）由（1）知，时，即，当且仅当时等号成立．
令，其中且，则有，
又，所以，，即
所以．
所以，原不等式得证．
20．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：
(1)根据小概率值的独立性检验，分析性别因素与学生体育锻炼的经常性有无关联；
(2)从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；
(3)为了提高学生体育锻炼的积极性，学校设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练．已知甲控制球时，传给乙的概率为，传给丙的概率为；乙控制球时，传给甲和丙的概率为；丙控制球时，传给甲的概率为，传给乙的概率为．若先由甲控制球，经过3次传球后，乙队员控制球的次数为X，求X的分布列与数学期望E(X)．
附：
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)分布列见解析；期望为
【分析】（1）计算卡方对照表格判断即可；
（2）根据古典概型公式求解即可；
（3）由题知的所有可能取值为，再列出分布列求解数学期望即可.
【详解】（1）零假设为：性别因素与学生体育锻炼的经常性无关联
根据列联表中的数据，经计算得到
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别因素与学生体育钹炼的经常性有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005，
（2）用A表示事件“选到经常参加体育锻炼的学生”，B表示事件“选到男生”，则．
（3）由题知的所有可能取值为，
；
；
；
所以的分布列为：
．
21．已知，函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若锐角的三内角的对边分别是，且，求的取值范围．
【答案】(1)增区间为，减区间为
(2)
【分析】（1）通过向量夹角的公式以及两角和的正弦公式化简函数，结合正弦函数单调性即可求解；
（2）先由求得，再运用正弦定理边化角将式子转化，即求的取值范围，通过角的范围即可得到答案.
【详解】（1）由题意得，，
，
所以.
对于函数的单调增区间，令，
得到；
对于函数的单调减区间，令，
得到；
所以函数的单调增区间为，
函数的单调减区间为
（2），因为锐角中，，
所以，所以，得，
在中，由正弦定理得，
在锐角中，，解得，
所以，所以，
即的取值范围为
【点睛】思路点睛：本题考查三角函数的综合问题.处理三角函数取值范围问题时一般将角作为变量，通过角的范围与三角函数图像的结合求得所求式子的取值范围.本题考查转化与化归能力，属于中档题.
22．已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求得函数定义域为，，通过分类讨论即可得到答案；
（2）首先得到的范围，将原式转化为对恒成立，即对恒成立，通过导数研究函数最值即可得到答案.
【详解】（1）定义域为，，
①当时，令，得，此时单调递增，
令，得，此时单调递减；
②当时，令，得，此时单调递增，
令，得，此时单调递减；
综上所述，当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在单调递增，在单调递减.
（2）记，
由（1）知，当时，，
则，则，
当时，恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
则，即对恒成立，
令，对恒成立，
则在单调递增，所以，
所以，即实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：本题考查导数的同构问题.要善于通过转化的方法，将原式的形式统一，进而进行换元，进而将恒成立问题转化为求函数的最值问题，结合导数与函数关系求得答案.
性别
锻炼
不经常
经常
女生
80
20
男生
60
40
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
0
1
2