福建省泉州市永春县第三中学 2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份福建省泉州市永春县第三中学 2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．(-1)2=-1
B．二次根式1x-3有意义的条件是x≥3
C．若a为实数，则 (a)2=a2
D．若y=2+x，则y≥0，x≥﹣2
2．（4分）已知：如图，在△ABC中，∠ADE＝∠C，则下列等式成立的是（ ）
A．ADAB=AEACB．AEBC=ADBDC．DEBC=AEABD．DEBC=ADAB
3．（4分）方程ax2+3x+2＝0有实数根的条件是（ ）
A．a≥98B．a≤98
C．a≤98，且a≠0D．a≤-98，且a≠0
4．（4分）设13的小数部分为a，则a2+9×52的值为（ ）
A．22B．13﹣613C．4﹣613D．4+613
5．（4分）一元二次方程x2﹣6x﹣6＝0配方后化为（ ）
A．（x﹣3）2＝15B．（x﹣3）2＝3C．（x+3）2＝15D．（x+3）2＝3
6．（4分）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．4、2、1、3B．1、2、3、5C．3、4、5、6D．3、4、6、8
7．（4分）顺次连接矩形各边的中点所得的四边形是（ ）
A．正方形B．菱形
C．矩形D．平行四边形
8．（4分）如图，在△ABC中，AD＝DE＝EF＝FB，AG＝GH＝HI＝IC，已知BC＝2a，则DG+EH+FI的长是（ ）
A．52aB．4aC．3aD．32a
9．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE：AD＝2：3，CD＝3cm，则AF的长为（ ）
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
10．（4分）如图，∠B的平分线BE与BC边上的中线AD互相垂直，并且BE＝AD＝4，则BC＝（ ）
A．7B．43C．213D．6
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）已知ab=34，则a+2bb= ．
12．（4分）如果两个相似三角形对应高的比是3：2，那么它们的面积比是 ．
13．（4分）6与最简二次根式5a+1是同类二次根式，则a＝ ．
14．（4分）某印刷厂1月份印刷了书籍50万册，第一季度共印175万册，设2月份、3月份平均增长率为x，根据题意方程可列为 ．
15．（4分）如图，A，B，C，P四点均在边长为1的小正方形网格格点上，则∠BAC的度数是 ．​
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：
①△APE≌△AME；②PM+PN＝AC；③PE2+PF2＝PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．
其中正确的结论有 ．
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17．（8分）计算：48÷3-12×12+24．
18．（8分）解方程：x2﹣6x﹣7＝0．
19．（8分）已知x=3+2，y=3-2，求x2﹣xy+y2的值．
20．（8分）在边长为1的正方形网格图中，点B的坐标为（2，0），点A的坐标为（0，﹣3）．在图中，将线段AB以原点为位似中心在同侧作位似变换，使得变换后的线段DE与线段AB的相似比是1：2（其中A与D是对应点），请建立合适的坐标系，仅使用无刻度的直尺作出变换后的线段DE，并直接写出D、E的坐标．
21．（8分）若关于x的一元二次方程x2﹣2（2﹣k）x+k2+12＝0有实数根α、β．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设t=α+βk，求t的最小值．
22．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．
（1）求证：△PAB∽△PBC；
（2）求证：PA＝2PC；
23．（10分）大学生小明在假期中利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为40元/箱的水果，并根据一段时间的销售数据整理出每天的售价与销售量的相关信息如下表：
（1）若某天每箱售价为60元，则该天销售量为多少箱．
（2）设每天的销售利润为w元，求w与x之间的函数表达式．若某天的销售利润为4320元，本着薄利多销的原则，求该天的销售量．
（3）试说明销售利润w（元）随售价x（元）的变化而变化的情况，并指出当售价为多少时获得最大利润，最大利润是多少．
24．（12分）如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，求点E的坐标；
（2）若AB平分∠EBP时，求t的值；
（3）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（14分）已知：线段EF和矩形ABCD如图①摆放（点E与点B重合），点F在边BC上，EF＝1cm，AB＝4cm，BC＝8cm．如图②，EF从图①的位置出发，沿BC方向运动，速度为1cm/s；动点P同时从点D出发，沿DA方向运动，速度为1cm/s．点M为AB的中点，连接PM，ME，DF，PM与AC相交于点Q，设运动时间为t（s）（0＜t≤7）．
解答下列问题：
（1）当PM⊥AC时，求t的值；
（2）设五边形PMEFD的面积为S（cm2），求S与t的关系式；
（3）当ME∥AC时，求线段AQ的长；
（4）当t为何值时，五边形DAMEF的周长最小，最小是多少？（直接写出答案即可）
2023-2024学年福建省泉州市永春三中片区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10题，每小题4分，共40分）
1．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．(-1)2=-1
B．二次根式1x-3有意义的条件是x≥3
C．若a为实数，则 (a)2=a2
D．若y=2+x，则y≥0，x≥﹣2
【分析】根据二次根式的性质，运算法则及有意义的条件逐项判断即可．
【解答】解：(-1)2=1，则A不符合题意；
二次根式1x-3有意义的条件是x＞3，则B不符合题意；
当a≥0时，则（a）2=a2，则C不符合题意；
若y=2+x，则y≥0，x≥﹣2，则D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的性质，运算法则及有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．（4分）已知：如图，在△ABC中，∠ADE＝∠C，则下列等式成立的是（ ）
A．ADAB=AEACB．AEBC=ADBDC．DEBC=AEABD．DEBC=ADAB
【分析】先根据相似三角形的判定定理求出△ADE∽△ACB，再根据其对应边成比例解答即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，DEBC=AEAB．故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形相似的判定方法，有两个角对应相等的三角形相似，相似三角形的对应边的比相等．
3．（4分）方程ax2+3x+2＝0有实数根的条件是（ ）
A．a≥98B．a≤98
C．a≤98，且a≠0D．a≤-98，且a≠0
【分析】讨论：当a＝0时，哟元一次方程3x+2＝0有解；当a≠0时，利用判别式的意义得Δ＝32﹣4a•2≥0，解得a≤98，即a≤98且a≠0时方程有两个实数解，然后综合两种情况即可．
【解答】解：当a＝0时，方程化为3x+2＝0，解得x=-23；
当a≠0时，Δ＝32﹣4a•2≥0，解得a≤98，即a≤98且a≠0时方程有两个实数解，
所以方程ax2+3x+2＝0有实数根的条件是a≤98．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
4．（4分）设13的小数部分为a，则a2+9×52的值为（ ）
A．22B．13﹣613C．4﹣613D．4+613
【分析】根据题意表示出a，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：由题意得：9＜13＜16，即3＜13＜4，
∴a=13-3，
则原式＝13+9﹣613+613=22，
故选：A．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算的方法是解本题的关键．
5．（4分）一元二次方程x2﹣6x﹣6＝0配方后化为（ ）
A．（x﹣3）2＝15B．（x﹣3）2＝3C．（x+3）2＝15D．（x+3）2＝3
【分析】方程移项配方后，利用平方根定义开方即可求出解．
【解答】解：方程整理得：x2﹣6x＝6，
配方得：x2﹣6x+9＝15，即（x﹣3）2＝15，
故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6．（4分）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．4、2、1、3B．1、2、3、5C．3、4、5、6D．3、4、6、8
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【解答】解：A、1×4≠2×3，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意；
B、1×5≠2×3，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意；
C、3×6≠4×5，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意；
D、3×8＝4×6，故此选项中四条线段成比例，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断．
7．（4分）顺次连接矩形各边的中点所得的四边形是（ ）
A．正方形B．菱形
C．矩形D．平行四边形
【分析】作出图形，根据三角形的中位线定理可得EF＝GH=12AC，FG＝EH=12BD，再根据矩形的对角线相等可得AC＝BD，从而得到四边形EFGH的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答．
【解答】解：如图，连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点，
∴EF＝GH=12AC，FG＝EH=12BD（三角形的中位线等于第三边的一半），
∵矩形ABCD的对角线AC＝BD，
∴EF＝GH＝FG＝EH，
∴四边形EFGH是菱形．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键．
8．（4分）如图，在△ABC中，AD＝DE＝EF＝FB，AG＝GH＝HI＝IC，已知BC＝2a，则DG+EH+FI的长是（ ）
A．52aB．4aC．3aD．32a
【分析】由于D、E、F和G、H、I分别是AB、AC的四等分点，则DG∥EH∥FI，根据平行线分线段成比例定理，即可求出DG、EH、FI和BC的比例关系，由此可求出DG+EH+FI的长．
【解答】解：∵AD＝DE＝EF＝FB，AG＝GH＝HI＝IC，
∴DG∥EH∥FI；
∴ADAB=DGBC，即DG=14BC；
同理可得：EH=12BC，FI=34BC；
∴DG+EH+FI=14BC+12BC+34BC=32BC＝3a；
故选：C．
【点评】此题主要考查的是平行线分线段成比例定理的应用，找准对应关系，避免错选其它答案．
9．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE：AD＝2：3，CD＝3cm，则AF的长为（ ）
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，即可证得△AFE∽△DEC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AFE∽△DEC，
∴AE：DE＝AF：CD，
∵AE：AD＝2：3，CD＝3cm，
∴AF＝2CD＝6cm．
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
10．（4分）如图，∠B的平分线BE与BC边上的中线AD互相垂直，并且BE＝AD＝4，则BC＝（ ）
A．7B．43C．213D．6
【分析】延长BA至F，使AF＝BA，连接CF，延长BE交BC于H，根据三角形中位线定理得到FC＝2AD＝8，AD∥FC，证明△BHF≌△BHC，根据全等三角形的性质得到FH＝HC，根据三角形的重心的性质、勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：如图，延长BA至F，使AF＝BA，连接CF，延长BE交BC于H，
∵BA＝AF，BD＝DC，
∴AD是△AFC的中位线，
∴FC＝2AD＝8，AD∥FC，
∵AD⊥BE，
∴BH⊥FC，
在△BHF和△BHC中，
∠FBH=∠CBHBH=BH∠BHF=∠BHC，
∴△BHF≌△BHC（ASA），
∴FH＝HC=12FC＝4，
∵BA＝AF，FH＝HC，
∴点E是△BFC的重心，
∴EH=12BE＝2，
∴BH＝EH+BE＝6，
∴BC=BH2+CH2=62+42=213，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的中线、角平分线、三角形全等的判定和性质、勾股定理、三角形中位线定理，掌握相关的性质定理是解题的关键．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）已知ab=34，则a+2bb= 114 ．
【分析】根据比例的性质解答．
【解答】解：∵已知ab=34，
∴a+2bb=ab+2=34+2=114．
故答案为：114．
【点评】考查了比例的性质，解题时，利用了代入法求得所求分式的值．
12．（4分）如果两个相似三角形对应高的比是3：2，那么它们的面积比是 9：4 ．
【分析】由两个相似三角形对应高的比是3：2，根据相似三角形的对应高的比等于相似比，即可求得它们的相似比，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得它们的面积比．
【解答】解：∵两个相似三角形对应高的比是3：2，
∴它们的相似比是3：2，
∴它们的面积比是9：4．
故答案为：9：4．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意掌握相似三角形的对应高的比等于相似比与相似三角形面积的比等于相似比的平方是解此题的关键．
13．（4分）6与最简二次根式5a+1是同类二次根式，则a＝ 5 ．
【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义解题即可．
【解答】解：∵6与最简二次根式5a+1是同类二次根式，
∴a+1＝6，
∴a＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查最简二次根式与同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
14．（4分）某印刷厂1月份印刷了书籍50万册，第一季度共印175万册，设2月份、3月份平均增长率为x，根据题意方程可列为 50+50（1+x）+50（1+x）2＝175 ．
【分析】增长率问题一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设2月份、3月份平均增长率为x，那么可以用x表示2，3月份的印刷书籍，然后根据题意可列出方程．
【解答】解：设2月份、3月份平均增长率为x，那么2，3月份的印刷书籍分别是50（1+x）、50（1+x）2，
根据题意，可得50+50（1+x）+50（1+x）2＝175．
故答案为：50+50（1+x）+50（1+x）2＝175．
【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
15．（4分）如图，A，B，C，P四点均在边长为1的小正方形网格格点上，则∠BAC的度数是 135° ．​
【分析】根据题意可得：∠BPA＝135°，AB=5，BP＝1，BC＝5，从而可得ABBC=BPAB=55，进而可得△BPA∽△BAC，然后利用相似三角形的性质可得∠BPA＝∠BAC＝135°，即可解答．
【解答】解：由题意得：∠BPA＝90°+45°＝135°，AB=12+22=5，BP＝1，BC＝5，
∴ABBC=55，BPAB=15=55，
∴ABBC=BPAB，
∵∠ABC＝∠ABP，
∴△BPA∽△BAC，
∴∠BPA＝∠BAC＝135°，
故答案为：135°．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：
①△APE≌△AME；②PM+PN＝AC；③PE2+PF2＝PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．
其中正确的结论有 ①②③⑤ ．
【分析】①根据正方形的每一条对角线平分一组对角可得∠PAE＝∠MAE＝45°，然后利用“角边角”证明△APE和△AME全等；
②根据全等三角形对应边相等可得PE＝EM=12PM，同理，FP＝FN=12NP，证出四边形PEOF是矩形，得出PF＝OE，证得△APE为等腰直角三角形，得出AE＝PE，PE+PF＝OA，即可得到PM+PN＝AC；
③根据矩形的性质可得PF＝OE，再利用勾股定理即可得到PE2+PF2＝PO2；
④判断出△POF不一定等腰直角三角形，△BNF是等腰直角三角形，从而确定出两三角形不一定相似；
⑤证出△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，从而得出结论．
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，
∵PM⊥AC，
∴∠AEP＝∠AEM＝90°，
在△APE和△AME中，
∠BAC=∠DACAE=AE∠AEP=∠AEM，
∴△APE≌△AME（ASA），
故①正确；
②∵△APE≌△AME，
∴PE＝EM=12PM，
同理，FP＝FN=12NP，
∵正方形ABCD中，AC⊥BD，
又∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°，且△APE中AE＝PE
∴四边形PEOF是矩形．
∴PF＝OE，
∵在△APE中，∠AEP＝90°，∠PAE＝45°，
∴△APE为等腰直角三角形，
∴AE＝PE，
∴PE+PF＝OA，
又∵PE＝EM=12PM，FP＝FN=12NP，OA=12AC，
∴PM+PN＝AC，
故②正确；
③∵四边形PEOF是矩形，
∴PE＝OF，
在直角△OPF中，OF2+PF2＝PO2，
∴PE2+PF2＝PO2，
故③正确；
④∵△APE≌△AME，
∴AP＝AM
△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，
∴△POF与△BNF不一定相似，
故④错误；
⑤∵△APE≌△AME，
∴AP＝AM，
∴△AMP是等腰直角三角形，
同理，△BPN是等腰直角三角形，
当△PMN∽△AMP时，△PMN是等腰直角三角形．
∴PM＝PN，
又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，
∴AP＝BP，即P是AB的中点，
故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
【点评】此题主要考查了正方形的性质、矩形的判定、勾股定理的综合应用、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟记各性质并准确识图是解决问题的关键．
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17．（8分）计算：48÷3-12×12+24．
【分析】先计算乘法和除法，再合并即可得．
【解答】解：原式=16-6+26
＝4+6
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．
18．（8分）解方程：x2﹣6x﹣7＝0．
【分析】观察原方程，可运用二次三项式的因式分解法进行求解．
【解答】解：原方程可化为：（x﹣7）（x+1）＝0，
x﹣7＝0或x+1＝0；
解得：x1＝7，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．
19．（8分）已知x=3+2，y=3-2，求x2﹣xy+y2的值．
【分析】把所求的式子变形成（x+y）2﹣3xy的形式，然后代入数值计算即可．
【解答】解：原式＝（x+y）2﹣3xy，
当x=3+2，y=3-2时，原式＝（23）2﹣3（3+2）（3-2）
＝12﹣3
＝9．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确对所求的式子进行变形是关键．
20．（8分）在边长为1的正方形网格图中，点B的坐标为（2，0），点A的坐标为（0，﹣3）．在图中，将线段AB以原点为位似中心在同侧作位似变换，使得变换后的线段DE与线段AB的相似比是1：2（其中A与D是对应点），请建立合适的坐标系，仅使用无刻度的直尺作出变换后的线段DE，并直接写出D、E的坐标．
【分析】在x轴上取点E，E′，使得OE＝OE′＝1，在y轴上取点D，D′，使得OD＝OD′＝1.5，连接DE，D′E′即可．
【解答】解：如图，线段DE，线段D′E′即可．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，矩形的判定等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，学会利用数形结合的思想解决问题．
21．（8分）若关于x的一元二次方程x2﹣2（2﹣k）x+k2+12＝0有实数根α、β．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设t=α+βk，求t的最小值．
【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出Δ＝﹣16k﹣32≥0，解之即可得出结论；
（2）由根与系数的关系可得出α+β＝2（2﹣k），将其代入t=α+βk中可得出t=4k-2，再根据k≤﹣2，即可求出t的最小值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（2﹣k）x+k2+12＝0有两实数根，
∴Δ＝[﹣2（2﹣k）]2﹣4（k2+12）＝﹣16k﹣32≥0，
∴k≤﹣2，
∴实数k的取值范围为k≤﹣2．
（2）∵α、β为方程x2﹣2（2﹣k）x+k2+12＝0的两实数根，
∴α+β＝2（2﹣k），
∴t=α+βk=2(2-k)k=4k-2．
∵k≤﹣2，
∴t≥4-2-2＝﹣4．
∴t的最小值为﹣4．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合t=α+βk找出t=4k-2．
22．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．
（1）求证：△PAB∽△PBC；
（2）求证：PA＝2PC；
【分析】（1）由三角形的内角和定理可证∠PBC＝∠PAB，即可证△PAB∽△PBC；
（2）由相似三角形的性质可得PAPB=PBPC=ABBC，且AB=2BC，可得结论．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC
又∠APB＝135°，
∴∠PAB+∠PBA＝45°
∴∠PBC＝∠PAB，且∠APB＝∠BPC＝135°，
∴△PAB∽△PBC；
（2）∵△PAB∽△PBC
∴PAPB=PBPC=ABBC
在 Rt△ABC 中，AC＝BC，
∴AB=2BC，
∴PB=2PC，PA=2PB，
∴PA＝2PC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明△PAB∽△PBC是本题的关键．
23．（10分）大学生小明在假期中利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为40元/箱的水果，并根据一段时间的销售数据整理出每天的售价与销售量的相关信息如下表：
（1）若某天每箱售价为60元，则该天销售量为多少箱．
（2）设每天的销售利润为w元，求w与x之间的函数表达式．若某天的销售利润为4320元，本着薄利多销的原则，求该天的销售量．
（3）试说明销售利润w（元）随售价x（元）的变化而变化的情况，并指出当售价为多少时获得最大利润，最大利润是多少．
【分析】（1）把x＝60代入﹣20x+1400中计算即可；
（2）根据每天的销售利润＝每箱的利润×销售量列出函数解析式，再令w＝4320，解方程求出x的值，并根据薄利多销的原则得出方程的解；
（3）把（2）中解析式化为顶点式，由函数的性质求解即可．
【解答】（1）由题可知，该天销售量为﹣20×60+1400＝200（箱），
答：该天销售量为200箱；
（2）w＝（x﹣40）（﹣20x+1400）＝﹣20x2+2200x﹣56000，
当w＝4320时，即﹣20x2+2200x﹣5600＝4320，
解得x1＝52，x2＝58，
根据“本着薄利多销的原则”可得 x＝52．
当 x＝52 时，﹣20x+1400＝360，
答：当销售利润为4320元时，该天的销售量为360箱；
（3）w＝﹣20x2+2200x﹣56000＝﹣20（x﹣55）2+4500，
∵﹣20x+1400≥0，且x＞40，
解得40＜x≤70，
因为a＝﹣20＜0，
所以当40＜x＜55时，利润w随x的增大而增大；当55≤≤70时，利润w随x的增大而减小，
所以当x＝55时，利润最大，最大利润为4500元．
【点评】本题考查了二次函数和二元一次方程在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．（12分）如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，求点E的坐标；
（2）若AB平分∠EBP时，求t的值；
（3）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）本题需先求出AB＝AE，再求出DE＝5，即可求出点E的坐标．
（2）本题需先求出CP＝CB＝2，即可求出t的值．
（3）本题需先证出△BCP∽△BAE，求出AE=32t，再分两种情况讨论，求出t的值，即可得出P点的坐标．
【解答】解：（1）当t＝2时，PC＝2，
∵BC＝2，
∴PC＝BC，
∴∠PBC＝45°，
∴∠BAE＝90°，
∴∠AEB＝45°，
∴AB＝AE＝3，
，
∴点E的坐标是（5，0）；
（2）当AB平分∠EBP时，
∠PBF＝45°，
则∠CBP＝∠CPB＝45°，
，
∴t＝2；
（3）存在，
∵∠ABE+∠ABP＝90°，
∠PBC+∠ABP＝90°，
∴∠ABE＝∠PBC，
∵∠BAE＝∠BCP＝90°，
∴△BCP∽△BAE，
∴BCAB=PCAE，
∴tAE=23，
∴AE=32t，
当点P在点O上方时，
若OPAE=OEAB时，△POE∽△EAB，
∵OP＝3﹣t，OE＝2+32t，
∴3-t32t=2+32t3，
∴t1=-4+2133，
t2=-4-2133（舍去），
∴OP＝3--4+2133=13-2133，
∴P的坐标为（0，13-2133），
当点P在点O下方时，
①若OPAB=OEAE，
则△OPE∽△ABE，
t-33=2+32t32t，
解得：t1＝3+13，t2＝3-13（舍去），
OP＝t﹣3＝3+13-3=13，
P的坐标为（0，-13），
②若OPAE=OEAB，
则△OEP∽△ABE，t-332t=2+32t3，
解得：94t2＝﹣9，
∴这种情况不成立，
∴P的坐标为：
（0，13-2133），（0，-13）．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，在解题时要根据已知条件再结合图形是解题的关键，这是一道好题．
25．（14分）已知：线段EF和矩形ABCD如图①摆放（点E与点B重合），点F在边BC上，EF＝1cm，AB＝4cm，BC＝8cm．如图②，EF从图①的位置出发，沿BC方向运动，速度为1cm/s；动点P同时从点D出发，沿DA方向运动，速度为1cm/s．点M为AB的中点，连接PM，ME，DF，PM与AC相交于点Q，设运动时间为t（s）（0＜t≤7）．
解答下列问题：
（1）当PM⊥AC时，求t的值；
（2）设五边形PMEFD的面积为S（cm2），求S与t的关系式；
（3）当ME∥AC时，求线段AQ的长；
（4）当t为何值时，五边形DAMEF的周长最小，最小是多少？（直接写出答案即可）
【分析】（1）证明△MAP∽△ADC，根据相似比求t的值即可；
（2）用矩形ABCD的面积分别减去△AMP，△MBE，△CDF的面积即可；
（3）连接PE交AC于点G，分别证明G点是EP、AC的中点，Q点是MP的中点，在Rt△AMP中，AQ=12MP，求出MP的长即可求AQ的长；
（4）作M点关于BC的对称点M'，过点M'作MH∥BC，过点F作FH∥M'E，相交于点H，当D、F、H三点共线时，ME+FD的值最小，求出DH的长即可求五边形DAMEF的周长最小值．
【解答】解：（1）∵PD＝t，AD＝8，
∴AP＝8﹣t，
∵AC⊥MP，
∴∠AQM＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠PAQ，
∴∠APQ＝∠BAC，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴△MAP∽△ADC，
∵M是AB的中点，
∴AM＝2，
∴MAAD=APCD，即28=8-t4，
解得t＝7；
（2）∵PD＝BE＝t，
∴AP＝8﹣t，
∵EF＝1，
∴FC＝7﹣t，
∵M是AB的中点，
∴AM＝BM＝2，
∴S＝4×8-12×2×（8﹣t）-12×2×t-12×4×（7﹣t）＝10+2t；
（3）连接PE交AC于点G，
∵ME∥AC，M是AB的中点，
∴E是BC的中点，
∵PD＝BE，
∴P点是AD的中点，
∴BE＝PD＝t＝4，
∵AP∥CE，
∴∠DAC＝∠ACE，∠AGP＝∠CGE，
∴△AGP≌△CGE（AAS），
∴AG＝CG，PG＝EG，
∴G点是PE的中点，
∵QG∥ME，
∴Q点是MP的中点，
∵∠MAP＝90°，
∴AQ=12MP，
∵AM＝2，AP＝4，
∴MP＝25，
∴AQ=5；
（4）∵PD＝BE＝t，EF＝1，
∴AP＝8﹣t，CF＝7﹣t，
∵M是AB的中点，
∴AM＝BM＝2，
作M点关于BC的对称点M'，过点M'作MH∥BC，过点F作FH∥M'E，相交于点H，
∴四边形EFHM'是平行四边形，
∴M'E＝FH，FE＝M'H，
∵ME＝M'E，
∴ME+FD≥HD，
当D、F、H三点共线时，ME+FD的值最小，
∵HK＝7，KD＝6，
∴HD=85，
∴五边形DAMEF的周长的最小值为11+85．
【点评】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定及性质，中位线的性质，利用轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/11/14 19:32:04；用户：实验专用；邮箱：nasyxx001@xyh.cm；学号：43896939售价/元
x（x＞40）
销售量/箱
﹣20x+1400
售价/元
x（x＞40）
销售量/箱
﹣20x+1400