湖南省岳阳市第九中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份湖南省岳阳市第九中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列式子是分式的是（ ）
A．B．C．D．1+x
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a6＝a8B．a6÷a3＝a2
C．2a2+a6＝3a8D．（﹣3a）2＝﹣9a2
3．（3分）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cmB．3cm，4cm，5cm
C．4cm，5cm，10cmD．6cm，9cm，2cm
4．（3分）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将0.00000201用科学记数法表示为（ ）
A．2.01×10﹣8B．0.201×10﹣7
C．2.01×10﹣6D．20.1×10﹣5
5．（3分）若a≠b，则下列分式化简正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
6．（3分）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小2倍
7．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．内错角相等，两直线平行
C．直角三角形的两锐角互补
D．三角形的一个外角大于任何一个内角
8．（3分）如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
9．（3分）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具（ ）去最省事．
A．①B．②C．③D．①③
10．（3分）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．﹣＝20B．﹣＝1.2
C．﹣＝20D．﹣＝1.2
二、填空题（每小题3分共18分）
11．（3分）若分式的值为0，则x的值等于 ．
12．（3分）计算：﹣＝ ．
13．（3分）若2m＝3，2n＝2，则2m+2n＝ ．
14．（3分）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，若AB＝3.7，AC＝2.3 ．
15．（3分）如图，△ABC≌△DEC，点B的对应点E在线段AB上，则∠B的度数是 ．
16．（3分）如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，P是AD上的动点．若AD＝6，则EP+CP的最小值为 ．
三.解答题（共72分）
17．（6分）计算：
（1）|﹣2|+（﹣1）2021×（π﹣3.14）0+（﹣）﹣1；
（2）（2a﹣2b）3•（a3b﹣1）2．
18．（6分）解下列分式方程．
（1）；
（2）．
19．（6分）先化简，然后从﹣1，0，1，3中选一个合适的数代入求值．
20．（8分）如图，A，B，C，D依次在同一条直线上，AB＝CD，∠A＝∠D，BF与EC相交于点M．求证：∠E＝∠F．
21．（8分）某校学生利用双休时间去距学校10km的岳阳植物园去游玩，部分学生骑自行车从学校先出发，过了20min后，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的2倍
22．（9分）下面是教材中“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．已知：∠AOB，求作：一个角∠A'O'B'，使它等于∠AOB．
作法：如图，①作射线O'A'；
②以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C；
③以O'为圆心，OC为半径作弧C'E'，交O'A'于C'；
④以C'为圆心，CD为半径作弧，交弧C'E'于D'；
⑤过点D'作射线O'B'，则∠A'O'B'就是所求作的角．
请完成下列问题：
（1）该作图的依据是 （填序号）．
①ASA
②SAS
③AAS
④SSS
（2）请证明∠A'O'B'＝∠AOB．
23．（9分）已知关于x的分式方程：．
（1）当m＝3时，解分式方程；
（2）若这个分式方程无解，求m的值．
24．（10分）如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）已知∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数；
（2）设∠B＝α，∠C＝β（α＞β），请直接写出用α
25．（10分）（1）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，连接BE．
填空：①∠AEB的度数为 ；②线段AD，BE之间的数量关系为 ．
（2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D，E三点在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，并说明理由．
（3）图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转中当点A，D，E在不同一直线上时，旋转角θ（0°＜θ＜180°）尝试在图中探索∠AOE的度数，不必说明理由．
2023-2024学年湖南省岳阳九中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题3分共30分）
1．（3分）下列式子是分式的是（ ）
A．B．C．D．1+x
【分析】根据分式的定义作答．
【解答】解：A、是多项式；
B、是多项式；
C、分母中含有字母x，故本选项符合题意；
D、是多项式；
故选：C．
【点评】本题主要考查的是分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a6＝a8B．a6÷a3＝a2
C．2a2+a6＝3a8D．（﹣3a）2＝﹣9a2
【分析】利用同底数幂乘法及除法法则，合并同类项法则及积的乘方法则将各式计算后进行判断即可．
【解答】解：a2•a6＝a4，则A符合题意；
a6÷a3＝a4，则B不符合题意；
2a2与a3不是同类项，无法合并；
（﹣3a）2＝6a2，则D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查同底数幂乘法及除法，合并同类项及积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
3．（3分）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cmB．3cm，4cm，5cm
C．4cm，5cm，10cmD．6cm，9cm，2cm
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得：
A、1+2＝8；
B、3+4＞2；
C、4+5＜10；
D、3+6＜9．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边．
4．（3分）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将0.00000201用科学记数法表示为（ ）
A．2.01×10﹣8B．0.201×10﹣7
C．2.01×10﹣6D．20.1×10﹣5
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000201＝2.01×10﹣7．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5．（3分）若a≠b，则下列分式化简正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵a≠b，
∴，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
6．（3分）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小2倍
【分析】运用分式的基本性质进行化简、辨别．
【解答】解：∵
＝
＝×2，
∴如果把分式中的x和y都扩大2倍，
故选：B．
【点评】此题考查了分数基本性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识．
7．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．内错角相等，两直线平行
C．直角三角形的两锐角互补
D．三角形的一个外角大于任何一个内角
【分析】根据平行线的性质对A选项进行判断；根据平行线的判定方法对B选项进行判断；根据三角形内角和对C选项进行判断；根据三角形外角性质对D选项进行判断．
【解答】解：A．两直线平行，所以A选项不符合题意；
B．内错角相等，所以B选项符合题意；
C．直角三角形的两锐角互余；
D．三角形的一个外角大于与之不相邻的任意一个内角．
故选：B．
【点评】本题考查了命题：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
8．（3分）如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【分析】由∠AEC为△CED的外角，利用外角性质求出∠D的度数，再利用两直线平行内错角相等即可求出∠A的度数．
【解答】解：∵∠AEC为△CED的外角，且∠C＝20°，
∴∠AEC＝∠C+∠D，即50°＝20°+∠D，
∴∠D＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D＝30°．
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的性质，以及外角性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
9．（3分）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具（ ）去最省事．
A．①B．②C．③D．①③
【分析】根据全等三角形的判定方法结合图形判断出带③去．
【解答】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，
所以，最省事的做法是带③去．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
10．（3分）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．﹣＝20B．﹣＝1.2
C．﹣＝20D．﹣＝1.2
【分析】由实际接种人数与原计划接种人数间的关系，可得出实际每天接种1.2x万人，再结合结果提前20天完成了这项工作，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵实际每天接种人数是原计划的1.2倍，且原计划每天接种x万人，
∴实际每天接种6.2x万人，
又∵结果提前20天完成了这项工作，
∴﹣＝20．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
二、填空题（每小题3分共18分）
11．（3分）若分式的值为0，则x的值等于 0 ．
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
【解答】解：根据题意，得x＝0且2x﹣8≠0．
解得x＝0．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
12．（3分）计算：﹣＝ ．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝+
＝
＝
故答案为：；
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
13．（3分）若2m＝3，2n＝2，则2m+2n＝ 12 ．
【分析】逆用同底数幂的乘法，即2m+2n＝2m×22n＝2m×（2n）2，然后把已知条件中的数值代入即可．
【解答】解：原式＝2m×28n
＝2m×（2n）8
∵2m＝3，3n＝2．
∴原式＝3×72＝3×5＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、乘方，解题的关键是正确逆用同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式．
14．（3分）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，若AB＝3.7，AC＝2.3 6 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长．
【解答】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，
∴BD＝CD，
∵AB＝3.7，AC＝3.3，
∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6，
故答案为：7．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握这一性质是解题的关键．
15．（3分）如图，△ABC≌△DEC，点B的对应点E在线段AB上，则∠B的度数是 70° ．
【分析】根据全等三角形的性质得出∠ACB＝∠DCE，CE＝CB，即可得到答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，CE＝CB，
∴∠BCE＝∠DCA＝40°．
∴∠B＝∠CEB＝（180°﹣40°）＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
16．（3分）如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，P是AD上的动点．若AD＝6，则EP+CP的最小值为 6 ．
【分析】连接BE交AD于点P，连接CP，EP+CP的最小值为BE的长，求BE的长即为所求．
【解答】解：连接BE交AD于点P，连接CP，
∵△ABC是等边三角形，AD垂直平分BC，
∴B点与C点关于AD对称，
∴BP＝CP，
∴EP+CP＝BP+CP≥BE，
∴EP+CP的最小值为BE的长，
∵E为AC边的中点，
∴BE⊥AC，
∵AD＝6，
∴BE＝6，
故答案为：4．
【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质是解题的关键．
三.解答题（共72分）
17．（6分）计算：
（1）|﹣2|+（﹣1）2021×（π﹣3.14）0+（﹣）﹣1；
（2）（2a﹣2b）3•（a3b﹣1）2．
【分析】（1）根据绝对值的性质、有理数的乘方法则、零指数幂和负整数指数幂的运算法则计算；
（2）根据积的乘方法则、单项式乘单项式的运算法则计算．
【解答】解：（1）原式＝2﹣1×8﹣2
＝2﹣4﹣2
＝﹣1；
（2）原式＝4a﹣6b3•a7b﹣2＝8b．
【点评】本题考查的是实数的运算、单项式乘单项式，掌握它们的运算法则是解题的关键．
18．（6分）解下列分式方程．
（1）；
（2）．
【分析】（1）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；
（2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：（1），
2x＝x﹣3，
解得：x＝﹣5，
检验：当x＝﹣3时，x（x﹣3）≠3，
∴x＝﹣3是原方程的根；
（2），
x﹣4（x﹣2）＝2，
解得：x＝6，
检验：当x＝2时，x﹣2＝3，
∴x＝2是原方程的增根，
∴原方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
19．（6分）先化简，然后从﹣1，0，1，3中选一个合适的数代入求值．
【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再结合分式有意义的条件，选取合适的数代入运算即可．
【解答】解：
＝
＝，
∵a4﹣1≠0，a≠6，
∴a≠±1，a≠0，
∴当a＝6时，
原式＝
＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20．（8分）如图，A，B，C，D依次在同一条直线上，AB＝CD，∠A＝∠D，BF与EC相交于点M．求证：∠E＝∠F．
【分析】根据SAS证明△ACE≌△DBF，根据全等三角形的性质即可得证．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴AC＝BD，
在△ACE和△DBF中，
，
∴△ACE≌△DBF（SAS），
∴∠E＝∠F．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
21．（8分）某校学生利用双休时间去距学校10km的岳阳植物园去游玩，部分学生骑自行车从学校先出发，过了20min后，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的2倍
【分析】设自行车的速度为x千米/小时，则汽车的速度为2x千米/小时，根据“去距学校10km的岳阳植物园去游玩，部分学生骑自行车从学校先出发，过了20min后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的2倍”，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设自行车的速度为x千米/小时，则汽车的速度为2x千米/小时，
由题意得：＝+，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，
8x＝2×15＝30，
答：自行车的速度为15千米/小时，汽车的速度为30千米/小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22．（9分）下面是教材中“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．已知：∠AOB，求作：一个角∠A'O'B'，使它等于∠AOB．
作法：如图，①作射线O'A'；
②以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C；
③以O'为圆心，OC为半径作弧C'E'，交O'A'于C'；
④以C'为圆心，CD为半径作弧，交弧C'E'于D'；
⑤过点D'作射线O'B'，则∠A'O'B'就是所求作的角．
请完成下列问题：
（1）该作图的依据是 ④ （填序号）．
①ASA
②SAS
③AAS
④SSS
（2）请证明∠A'O'B'＝∠AOB．
【分析】（1）根据SSS证明三角形全等可得结论；
（2）利用SSS证明三角形全等．
【解答】（1）解：由作法得OD＝OC＝O'D'＝O'C'，C'D'＝CD，
所以根据“SSS”可判断△O′C′D′≌△OCD，
所以∠O'＝∠O．
故答案为：④；
（2）证明：由作法得已知：OC＝O'C'，OD＝O'D'
在△OCD和△O'C'D'中，
，
∴△OCD≌△O'C'D'（SSS），
∴∠A′O′B′＝∠AOB．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
23．（9分）已知关于x的分式方程：．
（1）当m＝3时，解分式方程；
（2）若这个分式方程无解，求m的值．
【分析】（1）把m＝3代入方程计算即可求出解即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到x＝2，代入整式方程计算即可求出m的值．
【解答】解：（1）把m＝3代入得：﹣＝﹣1，
去分母得：6﹣2x+3x﹣7＝2﹣x，
解得：x＝，
检验：把x＝代入得：x﹣5≠0，
∴分式方程的解为x＝；
（2）去分母得到：3﹣2x+mx﹣6＝2﹣x，
整理得：（m﹣1）x＝2，
当m﹣1＝0，即m＝6时；
当m≠1时，由分式方程无解，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：3﹣4+6m﹣2＝0，
解得：m＝，
综上所述，m的值为1或．
【点评】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
24．（10分）如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）已知∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数；
（2）设∠B＝α，∠C＝β（α＞β），请直接写出用α
【分析】（1）先根据三角形的内角和求出∠BAC＝70°，再根据△ABC的高和角平分线求出∠BAE，∠BAD，进而求解；
（2）仿照（1）的思路解答即可．
【解答】解：（1）∵∠B＝70°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，
∵AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，
∴∠ADB＝90°，，
∴∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠B＝20°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝15°；
（2）∵∠B＝α，∠C＝β（α＞β），
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣α﹣β，
∵AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，
∴∠ADB＝90°，，
∴∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠B＝90°﹣α，
∴．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的高和角平分线等知识，熟练掌握三角形的基本知识是解题的关键．
25．（10分）（1）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，连接BE．
填空：①∠AEB的度数为 60° ；②线段AD，BE之间的数量关系为 AD＝BE ．
（2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D，E三点在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，并说明理由．
（3）图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转中当点A，D，E在不同一直线上时，旋转角θ（0°＜θ＜180°）尝试在图中探索∠AOE的度数，不必说明理由．
【分析】（1）①由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数；
②由△ACD≌△BCE直接推导出结论即可；
（2）由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得BE＝AD，∠ADC＝∠BEC，根据直角三角形中线的性质及各角之间的关系求解即可；
（3）由（1）知△ACD≌△BCE，得∠CAD＝∠CBE，由∠CAB＝∠ABC＝60°，可知∠EAB+∠ABE＝120°，根据三角形的内角和定理可知∠AOE＝60°．
【解答】解：（1）①如图1，
∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC＝∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝60°，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝120°，
∴∠BEC＝120°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°，
故答案为：60°；
②∵△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，
故答案为：AD＝BE；
（2）∠AEB＝90°；AE＝BE+2CM
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE．
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD，∠ADC＝∠BEC，
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝135°．
∴∠BEC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°，
∵△DCE为等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，
∴CM为△DCE的中线，
∴CM＝DE，
由图可得：AE＝AD+DE＝BE+2CM；
即AE＝BE+3CM；
（3）如图3，
由（1）知△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠CAB＝∠CBA＝60°，
∴∠OAB+∠OBA＝120°，
∴∠AOE＝180°﹣120°＝60°，
如图4，
同理求得∠AOB＝60°，
∴∠AOE＝120°，
∴∠AOE的度数是60°或120°．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．