2024届福建省泉州实验中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2024届福建省泉州实验中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解一元二次不等式求出集合，求出函数的值域可得集合，再求交集即可.
【详解】解不等式得，函数的值域为，
所以，
所以.
故选：C.
2．已知平面向量，满足，且，，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】根据向量数量积可得，再由即可得出.
【详解】由可得，
又可得，所以；
即，所以.
故选：D
3．已知复数的共轭复数为，且，则下列各式中不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用复数的四则运算，对选项逐一计算判断即可.
【详解】∵，
∴，
，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确.
故选：C．
4．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上最早的一整正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即，对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为、，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且，则第二次“晷影长”是“表高”的（ ）倍．
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得，，再根据结合两角差的正切公式即可得解.
【详解】由题意可得，，
所以，
即第二次的“晷影长”是“表高”的1倍.
故选：A.
5．已知数列的前n项和为，则“数列是等比数列”为“存在，使得”的（ ）
A．既不充分也不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．充分不必要条件
【答案】D
【分析】由充分必要条件的定义，结合等比数列的通项公式和求和公式，以及利用特殊数列的分法，即可求解.
【详解】由题意，数列是等比数列，设等比数列的公比为，
则，
所以存在，使得，即充分性成立；
若存在，使得，可取，即，可得，
当，可得，此时数列不是等比数列，即必要性不成立，
所以数列是等比数列为存在，使得的充分不必要条件.
故选：D.
6．2023年武汉马拉松于4月16日举行，组委会决定派小王、小李等6名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（ ）
A．40B．28C．20D．14
【答案】B
【分析】根据题意，先分配特殊的两个人，再将剩余4个人分到两个路口，按照分组分配相关知识进行计算即可.
【详解】若小王在1号路口，小李在2号路口，则剩余4个人分到两个路口，
两个路口为人分布，共有种方案，
两个路口为人分布，共有种方案，
此时共有种方案；
同理若小王在2号路口，小李在1号路口，也共有种方案.
所以一共有28种不同的安排方案种数.
故选：B
7．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，构造函数并探讨单调性，再借助单调性比较大小得解.
【详解】令函数，求导得，则函数在上单调递减，
于是，即，因此，
而，
所以.
故选：A
8．已知四棱锥的侧棱均相等，其各个顶点都在球的球面上，，，，，三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由四点共圆，可得出，进而求出截面圆的直径，再根据体积可求出四棱锥的高，然后根据勾股定理，可求出外接球的半径，最后直接套表面积公式，可求得答案.
【详解】

如图，F为AC中点，由题意可知PF为四棱锥的高，
∵各个顶点都在球的球面上，，
∴四点共圆，且为直径，
∴，
又∵，，∴
在，解得，同理可得.
∵三棱锥的体积为,
∴，解得，
设，则，在中，，解得.
球的表面积为.
故选：A
二、多选题
9．已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与垂直的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据导数求出切线斜率的取值范围，结合垂直关系得出的取值范围，再判断各选项.
【详解】的定义域为，
，即直线的斜率，
设与垂直的直线的斜率为，则，所以，.
对于A，直线的斜率为，故A正确；
对于B，直线的斜率为，故B错误；
对于C，直线的斜率为，故C正确；
对于D，直线的斜率为，故D错误.
故选：AC.
10．下列命题成立的是（ ）
A．已知，若，则
B．若一组样本数据（）的样本点都在直线上，则这组数据的相关系数为
C．样本数据64，72，75，76，78，79，85，86，91，82的第45百分位数为78
D．对分类变量与的独立性检验的统计量来说，值越小，判断“与有关系”的把握性越大
【答案】ABC
【分析】A选项，根据正态分布的对称性进行求解；B选项，根据相关系数的定义及中得到相关系数为；C选项，利用百分位数的定义进行求解；D选项，越大，判断“与有关系”的把握性越大.
【详解】A选项，由正态分布的对称性可知，，
A正确；
B选项，若一组样本数据（）的样本点都在直线上，
则这组数据的相关系数，
又中，故为，B正确；
C选项，样本数据64，72，75，76，78，79，85，86，91，82共10个数据，
，故从小到大选取第5个数作为第45百分位数，即78，C正确；
D选项，对分类变量与的独立性检验的统计量来说，值越小，判断“与有关系”的把握性越小，D错误.
故选：ABC
11．如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，A，B分别是图象的一个最高点和最低点，M是图象与y轴的交点，，现将该卡片沿x轴折成如图2所示的直二面角，在图2中，则（ ）．

A．
B．点D到直线的距离为
C．点D到平面的距离为
D．平面与平面夹角的余弦值为
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，求出图1中点的坐标，建立空间直角坐标系，求出图2中点的坐标，再逐项判断作答.
【详解】在图1中，由，得，，，，
在图2中，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
则，得，A正确．
取，，
则，，所以点D到直线的距离为，B错误．
设平面的法向量为，，
则，即，取，则，，
所以平面的一个法向量，
所以点D到平面的距离为，C正确．
平面的一个法向量为，
则平面与平面夹角的余弦值为，D正确.
故选：ACD
12．在平面直角坐标系xOy中，已知点是圆上的一个动点，直线与圆交于另一点，过点作直线的一条垂线，与圆交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．的最大正切值为
【答案】ABD
【分析】数形结合是解决这类问题的最佳途径.设直线的倾斜角为，此时都可以用含的三角函数式进行表示，这样将所有的计算都转化为三角函数式的计算化简，可以使得问题得到解决.
【详解】由图可知，点在第一象限，
设直线的倾斜角为，当直线与圆相切时，有，，
此时，即，
因为直线与圆交于另一点，所以可知，.
对A，如图所示，在中，，,
故可知，由正弦定理可知，化简得.

所以，故选项A正确；

对B，因为点是角终边上的一点，所以有,
将代入得，即，故选项B正确；
对C，由图可知，，
设的中点为，连接，在中，，所以，
在中，， ，所以.
而已知，所以，
解得，故，所以，
而，
所以，故选项C错误；
对D，由上可知，，，而，
故，
不妨设点在点的左边，此时，,
所以,
化简得，
令，则，，
设，，则，
令，解得，
故，此时，
故的最大正切值为，选项D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．已知的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，则展开式中含的系数为 ．
【答案】
【分析】根据题意求得，得到二项式为，结合展开式的通项，即可求解.
【详解】因为的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，
可得，即，即二项式为，
其展开式的通项为，
令，可得，即展开式中的系数为.
故答案为：.
14．深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的安排上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋､中锋和后卫三个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.3，当乙球员担当前锋､中锋以及后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.8.当乙球员参加比赛时.该球队这场比赛不输球的概率为 .
【答案】/
【分析】利用全概率公式计算出“当乙球员参加比赛时，球队输球”的概率，进而得解.
【详解】设事件表示“乙球员担当前锋”，事件表示“乙球员担当中锋”，事件表示“乙球员担当后卫”，事件B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”．
则，
所以当乙球员参加比赛时，该球队这场比赛不输球的概率为．
故答案为：．
15．已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，点是双曲线上的任意一点，满足，的平分线与相交于点，则分所得的两个三角形的面积之比 .
【答案】或
【分析】由题可得，对点的位置进行分类讨论，利用勾股定理以及双曲线的定义可求得，利用角平分线的性质可求得的值.
【详解】如下图所示：
因为双曲线的离心率为，则，所以，，
若点在右支上，且，则，解得，
因为的平分线与相交于点，由角平分线的性质可知，点到直线、的距离相等，
此时，；
若点在左支上，同理可求得，则.
综上所述，或.
故答案为：或.
16．已知函数及其导函数的定义域均为R，若，都为偶函数，则 ．
【答案】520
【分析】利用函数的奇偶性，推出函数的图象关于点对称以及关于点对称，即可依次求得的值，根据等差数列的求和公式，即可求得答案.
【详解】因为为偶函数，则，即，
则，即，
故的图象关于点对称，且；
又为偶函数，则，
则，即，
故的图象关于点对称，且，
又将代入得，则；
令，由可得，则；
同理可得，则；
因为，，所以，则；，
由此可得组成了以0为首项，为公差的等差数列，
故，
故答案为：520
【点睛】关键点睛：解答此类关于抽象函数的性质类问题，要能综合利用函数的性质进行求解，比如函数的奇偶性和对称性以及周期性等，解答本题的关键就在于要根据函数的奇偶性推出函数的对称性，从而采用赋值法求值，发现规律，进而求解.
四、解答题
17．已知数列的首项，且满足．
(1)证明：为等比数列；
(2)已知，为的前n项和，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)1048
【分析】（1）由结合定义证明即可；
（2）由（1）得出，再讨论n为奇数和偶数，结合等比和等差求和公式得出．
【详解】（1）由可得．
又，所以是以为公比，1为首项的等比数列．
（2）由（1）可得，即．
当n为奇数时，；
当n为偶数时，．
所以
．
18．某厂生产的产品每10件包装成一箱，每箱含0，1，2件次品的概率分别为0.8，0.1，0.1.在出厂前需要对每箱产品进行检测，质检员甲拟定了一种检测方案：开箱随机检测该箱中的3件产品，若无次品，则认定该箱产品合格，否则认定该箱产品不合格.
(1)在质检员甲认定一箱产品合格的条件下，求该箱产品不含次品的概率；
(2)若质检员甲随机检测一箱中的3件产品，抽到次品的件数为X，求X的分布列及期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望为
【分析】（1）利用条件概概率的公式即可；
（2）列出的取值，并根据题意得到各值的概率求出期望即可.
【详解】（1）记“质检员甲认定一箱产品合格”为事件A，“该箱产品不含次品”为事件B，
则，
，
由条件概率公式得，
所以在质检员甲认定一箱产品合格的条件下，该箱产品不含次品的概率为.
（2）由题意可得X可以取0，1，2，
则，
，
，
所以随机变量X的分布列为
所以.
19．如图，的内角、、的对边分别为、、，外一点（与在同一平面内）满足，，.

(1)求；
(2)若的面积为2，求线段的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可化简得，根据三角函数的性质即可求解，
（2）根据面积公式可得，进而根据余弦定理即可求解.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
即,
，
即.
又，，故，即，
所以，即，
因为，，所以，得.
（2）因为的面积，所以，
即，，
由余弦定理得，
所以，
因为平分，所以，所以.

20．如图，在三棱柱中，已知侧面，，，，点在棱上.
(1)证明：平面；
(2)若，试确定的值，使得到平面的距离为.
【答案】(1)答案见解析；
(2)或．
【分析】（1）利用余弦定理求出的长，再利用线面垂直的判定推理作答.
（2）由（1）中信息建立空间直角坐标系，用表示出的坐标，再利用向量求点到平面距离即可.
【详解】（1）在三棱柱中，，，，
在中，由余弦定理得，
即有，于是，又侧面，侧面，
则，而，平面，
所以平面．
（2）由（1）知，两两垂直，以B为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
则，，
，，
设平面的一个法向量为，则，
令，得，
点到平面的距离，解得或，
所以当或时，C到平面的距离为．
21．点是抛物线：（）的焦点，为坐标原点，过点作垂直于轴的直线，与抛物线相交于，两点，，抛物线的准线与轴交于点．
(1)求抛物线的方程；
(2)设、是抛物线上异于、两点的两个不同的点，直线、相交于点，直线、相交于点，证明：、、三点共线．
【答案】(1)
(2)详见解析.
【分析】（1）根据题意不妨设，将点坐标代入抛物线方程求解；
（2）由（1）得到，设，分别求得直线AC，直线BD，直线BC，直线AD的方程，联立求得点E，G的坐标，证明即可.
【详解】（1）解：抛物线：（）的焦点坐标为：过点作垂因为直于轴的直线，与抛物线相交于，两点，且，
不妨设，则，
解得或（舍去），
所以抛物线的方程为；
（2）如图所示：
由（1）知，设，
则直线AC的方程为：，直线BD的方程为：，
联立得，解得，则，
所以，
则直线BC的方程为：，直线AD的方程为：，
联立得，解得，则，
所以，则，
所以E，K，G三点共线.
22．已知函数.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若有两个极值点分别为，，求的最小值.
【答案】（1）；（2）最小值为.
【分析】（1）先求解出，然后分类讨论确定单调性，再求最小值，然后解不等式即可；
（2）根据是的两个极值点可求得的值，再利用的值将化简成，然后通过构造新函数并分析其定义域结合单调性求解出其最小值.
【详解】（1）因为，
所以，
由得或.
①当时，因为，不满足题意，
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
于是，解得，
所以的取值范围为.
（2）函数，定义域为，，
因为，是函数的两个极值点，所以，是方程的两个不等正根，
则有，，，
得，对称轴，故，.
且有，，
.
令，则，
，，
当时，单调递减，当时，单调递增，
所以，
所以的最小值为.
思路点睛：导数中求解双变量问题的一般步骤：
（1）先根据已知条件确定出变量满足的条件；
（2）将待求的问题转化为关于的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方法：①通过将所有涉及的式子转化为关于的式子，将问题转化为关于自变量（亦可）的函数问题；②通过的乘积关系，用表示（用表示亦可），将双变量问题替换为（或）的单变量问题；
（3）构造关于或或的新函数，同时根据已知条件确定出或或的范围即为新函数定义域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解.
+
0
↗
极大值
↘
X
0
1
2
P