2024届广西壮族自治区玉林市博白县中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2024届广西壮族自治区玉林市博白县中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知复数，则（ ）
A．B．5C．D．
【答案】A
【分析】化简求模长即可
【详解】．
故选：A．
2．设全集为，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出集合B的补集，再根据集合的交集运算求得答案.
【详解】因为，所以，
故，
故选:B.
3．已知非零向量，，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据数量积的定义理解判断.
【详解】因为向量，，是非零向量，
则一定可以推出，
若成立，只表示在上的投影（或投影向量）相等，不能推出，
故是的充分不必要条件，
故选：A．
4．已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．25B．40C．44D．55
【答案】D
【分析】由等差数列的性质求解.
【详解】等差数列中，，则，则.
故选：D．
5．据《九章算术》记载，“鳖臑(biēnà)”为四个面都是直角三角形的三棱锥.如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据已知条件可将三棱锥补全图形为正方体，可知其外接球为正方体的外接球，即可求外接球表面积.
【详解】∵底面，，，将三棱锥补全图形为正方体如图所示，
∴三棱锥的外接球即正方体的外接球.
设外接球的半径为，则，解得.
所以外接球的表面积为.
故选：C
【点睛】本题考查几何体外接球表面积的求法，注意补全三棱锥转化为正方体，应用正方体外接球的性质，属于基础题.
6．第十九届亚运会在杭州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种（ ）
A．25B．100C．150D．300
【答案】C
【分析】根据题意先考虑工作的分组情况，再利用部分平均分组的方法计算即可.
【详解】由题意可得该5项工作可以分为1、1、3三组或1、2、2三组两种情况，
对于1、1、3三组，有种分法；对于1、2、2三组，有分法；故将五项工作分成三组有10+15=25种分法，安排到3人有种安排方式.
故选：C
7．函数，且与函数在同一坐标系内的图象不可能的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用对数函数及二次函数的性质逐项分析即得.
【详解】对于A，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为<1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项A可能；
对于B，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为<1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项B可能；
对于C，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为>1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项B可能；
对于D，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为<1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项D不可能.
故选：D.
8．设长方形ABCD的边长分别是AD＝1，AB＝2，点P是(含边界)的动点，设，则x＋2y的取值范围为（ ）
A．[1，2]B．[1，3]C．[2，3]D．[0，2]
【答案】B
【分析】取中点E，，连接BE，当点P位于B点，C点时，可分别求出和1，即可得到答案；
【详解】
取中点E，
如图，连接BE，
当点P位于B点时，三点B、E、P共线，且，即，
当点P位于C点时，，即，
x＋2y的取值范围为[1，3]，
故选：B
二、多选题
9．若向量，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．时，
C．与垂直的单位向量有两个
D．时，在上的投影向量为
【答案】CD
【分析】根据向量模的坐标运算即可判断A，根据向量共线的坐标表示即可判断B，根据向量垂直的坐标表示和单位向量的定义即可判断C，根据投影向量的求法即可判断D.
【详解】对A，，解得，故A错误；
对B，当时，，显然，故B错误；
对C，设与垂直的单位向量为，则有，
解得或，则，则C正确；
对D，，则在上的投影向量为，故D正确.
故选：CD.
10．下列命题中正确是（ ）
A．在回归分析中，可用相关系数的值判断模型拟合效果，越趋近于0，模型的拟合效果越好
B．已知随机变量，若，则
C．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量将平均减少0.3个单位
D．已知采用分层抽样得到的高三年级100名男生､50名女生的身高情况为：男生样本平均数173，女生样本平均数164，则总体样本平均数为170
【答案】CD
【分析】根据相关指数的定义判断A，根据二项分布的方差公式及方差的性质判断B，根据回归方程的定义判断C，根据平均数公式判断D.
【详解】对于A：在回归分析中，可用相关指数的值判断模型拟合效果，越趋近于，模型的拟合效果越好，故A错误；
对于B：因为，所以，则，解得，故B错误；
对于C：在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，
响应变量将平均减少个单位，故C正确；
对于D：分层抽样的平均数，故D正确；
故选：CD.
11．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．当时，的值域为
C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
【答案】ACD
【分析】先根据中，，的几何意义，求得的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，函数图象的变换，逐一分析选项即可．
【详解】由图可知，，函数的最小正周期，故A正确；
由，知，
因为，所以，所以，，即，，
又，所以，所以，
对于B，当时，，所以，
所以的值域为，故B错误；
对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确；
对于D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
因为当时，，所以得到的函数图象关于点对称，故D正确．
故选：ACD．
12．已知函数.则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，直线与函数的图像相切
C．若函数在区间上单调递增，则
D．若在区间上，恒成立，则
【答案】BD
【分析】对于A：当时，，求导函数，分析导函数的符号，得出函数的单调性，从而求得函数的最小值；
对于B：当时，，求导函数，设切点为，则过切点的切线方程为：，由切线过原点，求得，继而求得过原点的切线方程；
对于C：问题等价于在区间上恒成立，分离参数得在区间上恒成立，令，求导函数，分析导函数的符号，得函数的单调性和最值，由此可判断；
对于D：问题等价于在区间上恒成立，时，不等式恒成立；当时，分离参数，令，求导函数，分析的符号，得函数的单调性和最值，由此可判断.
【详解】对于A，当时，，易知函数在上单调递减，在上单调递增，，故选项A不正确；
对于B，当时，，
函数在处的切线方程为，故选项B正确；
对于C，，若函数在区间上单调递增，则在上恒成立，
，令，则，
函数在上单调递减，，故选项C错误；
对于D，当时，R恒成立；
当时，恒成立等价于恒成立，即，即恒成立，
设，则在上恒成立，
在上单调递减，，故选项D正确.
故选：BD.
三、填空题
13．某餐厅的原料支出与销售额（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程，则表中的值为 .
【答案】60
【解析】求出，将代入回归方程，即可求解.
【详解】由题知，，
，
将代入，得.
故答案为:60.
【点睛】本题考查回归中心点与线性回归方程的关系，属于基础题.
14．数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an＋1. (n∈N*).数列{an}的通项公式为 ．
【答案】
【分析】由数列的递推公式证明为等比数列，从而可求数列的通项公式；
【详解】∵，∴，
又
∴是以2为首项，2为公比的等比数列．
∴．
即
故答案为：
15．已知，则的最小值是 .
【答案】/
【分析】将函数化为，进而根据基本不等式求得答案.
【详解】，当且仅当，即时取等号.
故答案为：.
16．已知是定义在上的偶函数，其导函数，若，，，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】由是偶函数且，可得是以3为周期的函数，则，将化为，构造函数，根据已知条件可判断出此函数在上单调递增，从而可求得结果.
【详解】由是偶函数且，
得，
即函数是以3为周期的函数，
则，
将化为，
令，则，
由得恒成立，
即在上单调递增，
所以由，得，
即不等式的解集为，
故答案为：.
四、解答题
17．已知向量，，函数
(1)求的单调递增区间；
(2)若不等式对都成立，求实数m的最大值．
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）化简得，，令 ，求解即可；
（2）由得，根据正弦函数的性质可得，从而可得，进而可求得的最大值.
【详解】（1）
由 ，
得
所以的单调增区间是
（2）因为，所以，
所以，
所以
所以，即m的最大值为0.
18．若正项数列{an}的前n项和为Sn，2Sn＝an2+an（n∈N+）．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn，求数列{bn}的前n项和Tn．
【答案】(1)an＝n
(2)
【分析】（1）根据题意，当n＝1时，解得a1＝1，进一步根据an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）即可求出{an}的通项公式；
（2）由（1）可知bn（），进一步利用裂项相消求和法即可求出Tn．
【详解】（1）根据题意，当n＝1时，2S1＝2a1＝a12+a1，解得a1＝1或a1＝0（舍去），
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2），整理得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）＝0，又an＞0，所以an﹣an﹣1＝1，即{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以an＝1+n﹣1＝n；
（2）由（1）可知bn（），
所以Tn（1）（1）．
19．在中，角所对的边分别为，.
(1)求角；
(2)若，求的范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理结合三角函数恒等变换的应用化简，即可求得的值，从而求出角.
（2）由正弦定理结合三角函数恒等变换的应用化简，可求出，根据角的范围，结合正弦函数的图象和性质即可求出的范围.
【详解】（1）因为，由正弦定理得， ，即，
则，
所以，
即，因为，所以，
可得，因为，所以.
（2）因为，，则，所以，，
由正弦定理可得， ，
所以
，
因为，所以，则，
所以，
当且仅当，即，取得最大值是，
所以的范围为.
20．某条街边有A，B两个生意火爆的早餐店，A店主卖胡辣汤、油条等，B店主卖煎饼果子、豆浆等，小明为了解附近群众的早餐饮食习惯与年龄的关系，随机调查了200名到这两个早餐店就餐的顾客，统计数据如下：
(1)判断是否有的把握认为附近群众的早餐饮食习惯与年龄有关．
(2)某天有3名顾客到这两个早餐店就餐（每人只选一家），他们选择A店的概率分别为，，，且他们的选择相互独立．设3人中到A店就餐的人数为X，到B店就餐的人数为Y，若，求m的取值范围．
附：．
【答案】(1)有的把握认为附近群众的早餐饮食习惯与年龄有关
(2)
【分析】（1）根据题中的已知条件，列出列联表，结合给出的公式判断即可；
（2）根据题意找出离散型随机变量的可能取值，根据概率的性质计算出各自的概率，列出分布列，进而计算出期望，由可得出的取值范围.
【详解】（1）
根据题意列出列联表，如上表，由公式可得，
由已知，
因为，
所以有的把握认为附近群众的早餐饮食习惯与年龄有关．
（2）由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
．
所以X的分布列如下：
故．
因为，，所以，
即，解得，
所以m的取值范围为．
21．如图，在正方体中，为棱的中点.求证：
（1）平面；
（2）求直线与平面所成角的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）连接，交于，连接，推导出，由此能证明平面.
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的大小.
【详解】（1）证明：连接，交于，连接，
∵在正方体中，是正方形，∴是中点，
∵为棱的中点，∴，
∵平面，平面，
∴平面.
（2）解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体中棱长为2，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设直线与平面所成角的大小为，
则，∴，
∴直线与平面所成角的大小为.
【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：
①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；
②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．
(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
22．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若函数在上无零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对进行分类讨论，即可求解；
（2）结合导数与单调性关系对进行分类讨论，然后结合函数零点存在性定理，即可求解．
【详解】（1）由已知可得，定义域为，且.
当时，恒成立，在上单调递减；
当时，由得，所以在上单调递减；
由得，所以在上单调递增.
综上可得：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）①当时，由（1）知在上单调递减，
又在上无零点，且，
所以，，所以；
②当时，
（ⅰ）若，即时，在上单调递增，由可知，符合条件；
（ⅱ）若，即时，在上单调递减，
又在上无零点且，
所以，
所以；
（ⅲ）若，即时，
由（1）知在上单调递减，在上单调递增，
所以，在处取得最小值
所以，当时，在上无零点.
综上所述，的取值范围为．
【点睛】思路点睛：根据的取值范围，讨论得到函数的单调性，进而根据零点的个数以及端点处的函数值，列出不等式，求解即可得出答案.
2
4
5
6
8
25
35
55
75
A店
B店
年龄50岁及以上
40
60
年龄50岁以下
10
90
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
A店
B店
总计
年龄50岁及以上
40
60
100
年龄50岁以下
10
90
100
总计
50
150
200
X
0
1
2
3
P