2024届江西省丰城中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2024届江西省丰城中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知命题p：，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】由全称命题的否定形式判定即可.
【详解】因为命题为全称命题，则命题的否定为，.
故选：C
2．非空集合，，，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题知，进而构造函数，再根据零点存在性定理得，解不等式即可得答案.
【详解】解：由题知，
因为，所以，
所以，
故令函数，
所以，如图，结合二次函数的图像性质与零点的存在性定理得：
，即，解得，
所以，实数的取值范围为.
故选：A
3．若曲线在点处的切线在y轴上的截距为1，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】由点在线上可得，再由导数的几何意义得曲线在点A处的切线方程为，从而求得.
【详解】因为点在曲线上，所以，得，
因为，所以该曲线在点A处的切线斜率，
所以切线方程为，
令，则，故.
故选：A.
4．已知函数在区间的值域为，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】根据函数在上为奇函数知对称中心为，根据平移可知函数图象的对称中心，即可求解.
【详解】因为在上为奇函数，
所以函数图象关于原点对称，
因为，
是将上述函数图象向右平移2个单位，并向上平移3个单位得到，
所以图象关于对称，则，
故选：C
【点睛】本题主要考查了奇函数的对称性，函数图象的平移，利用对称性求解问题，属于中档题.
5．函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】结合函数的奇偶性及函数特殊值，逐项判断，即可得到本题答案.
【详解】因为，所以函数为奇函数，排除A，B选项，
因为，排除C选项，
故选：D
6．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
【答案】B
【分析】先利用余弦定理求出角，再根据正弦定理化角为边，再结合已知求出，即可得解.
【详解】因为，
所以，
又，所以，
因为，由正弦定理得，
则，
则，
所以为有一个角为的直角三角形.
故选：B.
7．设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据为任意实数，转化为研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，求出函数在轴右侧靠近坐标原点处的零点，得到相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，根据相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，列式可求出结果.
【详解】因为为任意实数，故函数的图象可以任意平移，从而研究函数在区间上的零点问题，即研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，
令，得，则它在轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为，，，，，，
则它们相邻两个零点之间的距离分别为，，，，，
故相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，
所以要使函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，
即，解得.
故选：C
【点睛】关键点点睛：在求解复杂问题时，要善于将问题进行简单化，本题中的以及区间是干扰因素，所以排除干扰因素是解决问题的关键所在.
8．下列不等式正确的是（其中为自然对数的底数，，）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别构造函数，利用导数求单调性即可求解.
【详解】对于A，由，
考虑函数，，
因为，所以在上为增函数，
所以，，即，故A错误；
对于B，由，
考虑函数，，
因为，所以在上为增函数，
所以，所以在上恒成立，
因为，所以，即成立，
所以，故B错误；
对于C，由，
考虑函数，，
因为，所以在上为减函数，
因为，所以，，
所以，故C正确；
对于D，显然，
所以，故D错误．
故选：C
二、多选题
9．将函数图像上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标缩短为原来的，再将所得的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．
B．的图像关于直线对称
C．的图像关于点对称
D．在上单调递增
【答案】BCD
【分析】由平移和伸缩变换判断A，采用代入法判断BC，由正弦函数的单调性判断D.
【详解】由题意得，，A错误；
，B正确；
因为，所以的图像关于点对称，C正确；
由，得，所以在上单调递增，D正确．
故选：BCD
10．已知a，b为正实数，且，则（ ）
A．ab的最大值为8B．的最小值为8
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】ABC
【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可.
【详解】因为，当且仅当时取等号，
解不等式得，即，故的最大值为8，A正确；
由得，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8，B正确；
，当且仅当，
即时取等号，C正确；
，
当且仅当时取等号，此时取得最小值，D错误．
故选：ABC．
11．关于函数，下述结论正确的是（ ）
A．的最小值为B．在上单调递增
C．函数在上有3个零点D．曲线关于直线对称
【答案】CD
【分析】分情况讨论，去掉绝对值，结合辅助角公式及三角函数的性质可得答案.
【详解】因为，
所以的一个周期为；
对于A，当时，，
因为，所以，的最小值为；
当时，，
因为，所以，的最小值为，A不正确.
对于B，当时，，
令，由的单调性可知在上先增后减，B不正确.
对于C，当时，令得，
因为，所以或，即或；
当时，令得，
因为，所以，即；所以共有3个零点，C正确.
对于D，因为，
所以曲线关于直线对称，D正确.
故选：CD
12．定义在R上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．B．函数关于对称
C．函数是周期函数D．
【答案】ACD
【分析】由为奇函数可得，由取导数可得，结合条件可得，判断B，再由条件判断函数，的周期，由此计算，判断C，D.
【详解】因为为奇函数，所以，
取可得，A对，
因为，所以
所以，又，即，
，故，
所以函数的图象关于点对称，B错，
因为，所以
所以，为常数，
因为，所以，
所以，取可得，
所以，又，即，
所以，所以，
所以，故函数为周期为4的函数，
因为，所以，，
所以，
所以
，
所以，
故的值为0，D正确；
因为，即
故函数也为周期为4的函数，C正确.
故选：ACD.
【点睛】本题的关键在于结合，，且为奇函数三个条件，得到函数，的周期，利用对称性和周期性判断各个选项.
三、填空题
13．已知函数则 ．
【答案】
【分析】根据的值代入相应的解析式即可.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
14． ．
【答案】
【分析】根据诱导公式可得，进而根据对数的运算性质及二倍角正弦公式化简即可求解.
【详解】解：因为，
所以，
故答案为：.
15．若，则m的值为 ．
【答案】4
【分析】根据给定条件，利用凑特殊角的方法及三角恒等变换求解作答.
【详解】由，得
，而，
所以.
故答案为：4
16．若对任意恒成立，则实数k的取值范围是 .
【答案】
【分析】先证明结论，然后将对任意恒成立变形为恒成立 ，构造函数，利用结论求得，即可求得答案.
【详解】先证明一个结论： ，
设 ，
当 时，递减，当 时，递增，
故 ，即；
对于对任意恒成立，分离参数得恒成立 ，
令，则，
当且仅当时取等号，而是增函数，且，
故存在,使得，故等号能够成立，
故 ，
故答案为：
【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，解答时要注意分离参数，构造函数，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题,其中关键的地方是巧妙变形，利用结论求得函数的最值.
四、解答题
17．已知集合．
(1)若，求；
(2)是的必要不充分条件，求的取值范围．
【答案】(1)或
(2)．
【分析】（1）先解一元二次不等式得到集合，再根据交集、补集的定义进行计算；
（2）先解一元二次不等式得到集合，再根据集合的包含关系求得结果.
【详解】（1）解不等式，得，即，
当时，解不等式，得，即，
于是或，
所以或．
（2）原不等式化为：，解得，
于是，
由是的必要不充分条件，则集合是的真子集，
得且等号不同时成立，当时，，
解得．
18．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）若的面积，且，求.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】试题分析：
（Ⅰ）由余弦定理把已知条件化为，再由正弦定理化为角的关系，最后由两角和与差的正弦公式及诱导公式可求得，从而得角；
（Ⅱ）由三角形面积公式求得，再由余弦定理可求得，从而得，再由正弦定理得，计算可得结论.
试题解析：
（Ⅰ）因为，所以由，
即，由正弦定理得，
即，∵，
∴，即，
∵，∴，∴，∵，∴.
（Ⅱ）∵，∴，
∵，，
∴，即，
∴ .
19．已知
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）利用两角和与差的正弦公式将已知两式展开，分别作和、作差可得，，再利用，即可求出结果；
（Ⅱ）由已知求得，再由，利用两角差的余弦公式展开求解，即可求出结果．
【详解】解：（I） ①
②
由①+②得 ③
由①-②得 ④
由③÷④得
（II）∵，
，

【点睛】本题主要考查了两角和差的正余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20．展销会上，在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场．已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产一台需另投入380元．设该企业一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入万元，且
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润＝销售收入－成本）
(2)当年产量为多少万时，该企业获得的利润最大，并求出最大利润．
【答案】(1)
(2)当年产量为25万台时，该公司获得的利润最大为1 490万元．
【分析】（1）根据利润＝销售收入－成本结合已知条件求解即可，
（2）分和求出的最大值，比较即可得答案.
【详解】（1）当时，
，
当时，
，
综上，，
（2）当时，，
函数的对称轴是，则函数在上递增，
所以当时，函数取得最大值；
当时，，
当且仅当，即时取等号，此时的最大值为，
因为
所以当年产量为25万台时，该公司获得的利润最大为1 490万元．
21．已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换及三角函数的单调性计算即可；
（2）先化简，再利用换元法结合二次函数的性质判定的值域，后结合三角函数的图象与性质计算即可.
【详解】（1）化简得
，
令，
得，
∴函数的单调递增区间为；
（2）结合（1）得
，
令，则，
所以，
即
可得，当即时，；
当即时，
∵存在，对任意，
有恒成立，
∴为的最小值，为的最大值，
∴，，
若求的最小值，即求的最小值，
利用正弦函数的图象与性质，不妨在一个周期内取两个相邻的满足题意的自变量，
即，
∴．
22．已知函数，且f（x）在内有两个极值点（）．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】(1)转化为有两个根，讨论单调性结合函数图象可求解；(2)等价于证明构造函数即可证明.
【详解】（1）由题可知, ,令,即,
即有两个根,
令,则,
由得,,解得;由得,,解得,
所以在单调递增, 单调递减,
时,
所以要使有两个根,则,
解得,所以.
（2）由(1)可知 且，所以
要证，只用证，
等价于证明，
而，即，
故等价于证明，
即证.
令，则，
于是等价于证明成立，
设，
，
所以 在上单调递增，
故，即成立，
所以，结论得证.