2024届陕西省西安市长安区高三上学期10月月考数学（文）试题含解析

这是一份2024届陕西省西安市长安区高三上学期10月月考数学（文）试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.
【详解】解：因为命题“，”是全称量词命题，
所以其否定是存在量词命题，即，，
故选：D
2．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先确定集合中所含的元素，然后利用集合的补集运算，即可得到本题答案.
【详解】因为，，
所以，
故选：B
3．若函数在处取得极小值，则（ ）
A．4B．2C．-2D．-4
【答案】A
【分析】先由，求得的值，再代入导函数，根据函数的单调性，进行验证.
【详解】由题意可得，则，解得.
当时，，
当或时，，则在，单调递增，
当时，，则在单调递减，
所以，函数在处取得极小值，此时.
故选：A
4．已知函数，则（ ）
A．2B．4C．5D．7
【答案】C
【分析】利用赋值法,求函数值.
【详解】解：令，得，
所以.
故选：C
5．已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ）

A．有2个极值点B．在处取得极小值
C．有极大值，没有极小值D．在上单调递减
【答案】C
【分析】通过导函数图象分析函数的单调性即可得出结论.
【详解】由题意及图得，
在上单调递增，在上单调递减，
∴有一个极大值，没有极小值，
∴A，B，D错误，C正确，
故选：C.
6．已知甲的年龄大于乙的年龄，则“丙的年龄大于乙的年龄”是“乙和丙的年龄之和大于甲的年龄的两倍”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充要条件定义结合不等式的性质判断即可.
【详解】设甲､乙､丙的年龄分别为x，y，z，根据已知条件得.若丙的年龄大于乙的年龄，则，则，因为，所以未必成立.
若乙和丙的年龄之和大于甲的年龄的两倍，则，则，即，所以丙的年龄大于乙的年龄.
故“丙的年龄大于乙的年龄”是“乙和丙的年龄之和大于甲的年龄的两倍”的必要不充分条件.
故选：B.
7．车厘子是一种富含维生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到众人的喜爱根据车厘子的果径大小，可将其从小到大依次分为个等级，其等级（）与其对应等级的市场销售单价单位：元千克近似满足函数关系式若花同样的钱买到的级果比级果多倍，且级果的市场销售单价为元千克，则级果的市场销售单价最接近（ ）参考数据：，，，
A．元千克B．元千克
C．元千克D．元千克
【答案】C
【分析】利用指数运算，化简求的值.
【详解】由题意可知，解得，由，可得（元/千克），最接近元千克
故选：C
8．已知函数，且，则（ ）
A．B．C．1D．4
【答案】A
【分析】根据函数解析式的特点，结合奇函数的性质进行求解即可.
【详解】设，定义域为，
则，故是奇函数，
从而，即，
即.
故选：A
9．已知命题p：，；命题q：若，则，.下列命题是真命题的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】应用导数及特值法判断命题的真假，再根据或，且，非定义判断选项即可.
【详解】设，则.
由，得或，由，得，则在和上单调递增，
在上单调递减，从而在上的最小值为，故命题p是假命题.
由，，得，则命题q是假命题，故只有是真命题.
故选：B.
10．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对数的运算性质及对数函数的单调性进行判断即可.
【详解】由题意，，，，
因为，所以.
故选：B.
11．已知函数的定义域为，，且，则（ ）
A．0B．2022C．2023D．2024
【答案】C
【分析】根据解析式赋值代入，解得;
【详解】令，解得，
然后逐项带入，解得：
，
故选：C.
12．已知实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将化为，构造函数，利用导数判断其单调性，根据单调性可得，即，再根据导数可求出其最小值.
【详解】由，得，
则，所以，即.
设，则0，可知在上为增函数，
所以，则，即.
令，则，
当时，，当时，，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以.
故选：B
【点睛】关键点点睛：将化为，再利用指对同构构造函数进行求解是解题关键.
二、填空题
13．函数的定义域是 .
【答案】
【分析】根据题意，列出不等式，即可得到结果.
【详解】由题意可得，解得，即函数的定义域是.
故答案为：
14．某校有62名同学参加数学､物理､化学竞赛，若同时参加数学､物理竞赛的同学有21名.同时参加数学､化学竞赛的同学有16名，同时参加物理､化学竞赛的同学有18名.且没有同学同时参加数学､物理､化学竞赛，则该校只参加一项竞赛的同学有 名.
【答案】7
【分析】运用韦恩图进行求解即可.
【详解】如图，设该校只参加一项竞赛的同学有x名，则，解得.

故答案为：
15．若命题“，”是真命题，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】先分离讨论化简不等式，再根据命题为真转为最值问题求解即可.
【详解】由，得.当时，.
当时，，则.
因为“，”是真命题，所以.
因为,当单调递减，时取最小值7，
所以.
故答案为：.
16．已知函数的定义域是（-5，5），其导函数为，且，则不等式的解集是 .
【答案】
【分析】设，根据，得到，从而是上的增函数，将不等式转化为，即求解.
【详解】解：设，
则.
因为，
所以，
则是上的增函数.
不等式等价于，
，
即，则
解得.
故答案为：
三、解答题
17．已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用交集的定义以及一元二次不等式的解集求法得出结果；
（2）由得出，利用子集关系讨论，两种情况得出结果.
【详解】（1）由题意可得.
当时，，
则.
（2）若，则，
当时，，解得.
∴当时，解得
综上，a的取值范围是.
18．已知函数是奇函数.
(1)求的值；
(2)求在上的值域.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据，利用函数是奇函数求解；
（2）根据指数函数的单调性易证是上的减函数求解.
【详解】（1）解：因为，
所以.
因为是奇函数，
所以，即，
即，
解得.
（2）由（1）可知，
易知在上单调递增且，在上单调递减，
所以是上的减函数.
因为，，
所以在上的值域为.
19．已知函数.
(1)求的图象在处的切线方程；
(2)讨论函数的零点个数.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可；
（2）根据导函数的性质判断原函数的单调性，结合函数的零点定义分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）由题意可得，
则.
因为，
所以所求切线方程为，
即；
（2）由题意可得.
由，得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减.
当时，，当时，，且，.
当，即时，有且仅有1个零点；
当，即时，有2个零点；
当时，即时，有3个零点；
当，即时，有2个零点；
当，即时，有且仅有1个零点.
综上，当或时，有且仅有1个零点；
当或时，有2个零点；
当时，有3个零点.
【点睛】关键点睛：本题的关键是根据函数极值点的正负分类讨论.
20．某企业计划对甲､乙两个项目共投资200万元，且每个项目至少投资10万元.依据前期市场调研可知，甲项目的收益（单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式；乙项目的收益（单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式.设对甲项目投资x万元，两个项目的总收益为（单位：万元），且当对甲项目投资30万元时，甲项目的收益为180万元，乙项目的收益为120万元.
(1)求的解析式.
(2)试问如何安排甲､乙这两个项目的投资金额，才能使总收益最大？并求出的最大值.
【答案】(1)
(2)对甲项目投资18万元，对乙项目投资182万元，才能使总收益取得最大值453.6万元
【分析】（1）根据题意先求出a，b，由 即可得出；
（2）设，求出函数 的导函数 ，利用导函数判断函数 的单调性，进而求出的最大值.
【详解】（1）由题意可得，解得.
当对甲项目投资30万元时，对乙项目投资170万元，
则，解得.
设对甲项目的投资金额为x万元，则对乙项目的投资金额为万元，
则解得.
故.
（2）设，.
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，则.
故，即对甲项目投资18万元，对乙项目投资182万元，
才能使总收益取得最大值453.6万元.
21．已知函数.
(1)求的定义域；
(2)证明：在区间上存在最大值的充要条件是
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据定义域的定义求解即可；
（2）将函数化简为：，然后利用二次函数的单调性证明即可.
【详解】（1）由
得，
所以的定义域为.
（2），
因为，
所以.
当时，单调递增；
当时，单调递减.
先证明充分性.
①若，则，
所以在区间上存在最大值，且最大值为；
②若，则，
所以在区间上存在最大值，且最大值为；
所以充分性成立.
再证明必要性.
若在区间上存在最大值，则在区间上可能先增后减，还可能单调递减，
若先增后减，则最大值为，即
若单调递减，则最大值为，即，
又，
所以，所以必要性成立.
综上，在区间上存在最大值的充要条件是.
22．已知函数
(1)求的单调区间；
(2)若，，证明：
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求导数，结合定义域确定，的解集即可得单调区间；
（2）将原不等式变形整理成，构造新函数，分析讨论，时不等式成立情况，再将问题转化为，设函数，求导数确定单调性与最值，即可证明结论.
【详解】（1）解：的定义域为，则，令得，
当时，；当时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）证明：由，得，则，
所以，
令，则，
若，则当时，，而，所以对不可能恒成立，所以
令函数，则，令得，
当时，，当时，，
所以，所以，所以，
令函数，则，令得，
当时，，当时，，
所以，所以，即.
【点睛】本题考查了函数单调性、含参不等式恒成立与导数的综合应用，属于中等难度题.解决本题中含双参不等的关键是，先化简指对混合结构的不等式，利用指对同构，涉及的母函数为 ，则不等式化为恒成立，构造新函数，确定其单调性与最值即可转换为恒成立，将双参数不等式转化为单变量不等式恒成立问题，即再构造函数，求导确定其最值即可证得.