2024届上海市曹杨第二中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2024届上海市曹杨第二中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知集合，则 ．
【答案】
【分析】利用集合的并集运算求解.
【详解】因为集合，
所以.
故答案为：.
2．若（为虚数单位），则 .
【答案】
【分析】根据复数除法的运算法则，结合复数虚部的定义进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
故答案为：
3．若一元二次不等式的解集是，则实数的值为 .
【答案】
【分析】根据题意，利用韦达定理，列出方程，计算可得.
【详解】根据题意，易知，，令，由韦达定理，可得，解得.
故答案为：
4．已知幂函数的图象过点，则
【答案】
【分析】设幂函数，将代入，求得，进而可得结果.
【详解】设幂函数，
因为幂函数的图象过点，
所以，解得，
所以故答案为.
【点睛】本题主要考查幂函数的解析式，属于基础题.
5．若对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】只需将恒成立问题转化为最值问题即可求出参数的取值范围.
【详解】对任意实数，不等式恒成立，
等价于时，，
所以即.
故答案为：
6．不等式的解集为 .
【答案】
【分析】由对数函数的性质列不等式组求解集即可.
【详解】由题设，
则，即，可得.
故答案为：
7．的展开式中含x项的系数为 .
【答案】28
【分析】化简二项式定理展开式通项，求出k值，代入即可.
【详解】设展开式中第项含x项，
则，
令，解得，
代入得，
故答案为：28.
8．设，且，若的最小值为3，则实数的值为 .
【答案】2
【分析】利用基本不等式进行求解即可.
【详解】因为，且，
所以，于是有
，当且仅当时取等号，
因此的最小值为，
而已知的最小值为3，所以，
当且仅当时有最小值为3，
故答案为：2
9．定义在上的偶函数，当时，，则在上的零点个数为 个.
【答案】
【分析】因为函数是定义在上的偶函数,求出时,在的零点个数,根据偶函数关于轴对称,即可求得在上的零点个数.
【详解】当时,,
函数的零点由:,
即,
解得或.
函数是定义在上的偶函数,
根据偶函数关于轴对称,
函数的零点个数为:4个.
故答案为:4.
【点睛】本题考查了求偶函数的零点个数问题,解题关键是掌握偶函数图像关于轴对称,属于基础题.
10．在棱长为2的正方体中，点在正方体的12条棱上（包括顶点）运动，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得的表达式，进而根据线性规划求得的取值范围.
【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系，，，
设（且只在正方体的条棱上运动），则，
，
因为，设，
根据线性规划，作出可行域如图，
当时，取得最小值，即取最小值；
当时，取得最大值，即取最大值.
故答案为：
11．已知平面与所成的二面角为为外一定点，过点的一条直线与､所成的角都是，则这样的直线有且仅有 条.
【答案】4
【分析】过点作平面垂直于平面的交线，并且交直线于点,连接,则，过点在平面内作的平分线，以为轴在的角平分面内转动，根据题意可得出有两条直线满足题意；以为轴在平面内前后转动，根据题意可得出有两条直线满足题意，综合可得结果.
【详解】解：首先给出下面两个结论：
①两条平行线与同一个平面所成的角相等；
②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面内或平行于角平分面.
（1）如图1，过二面角内任一点作棱的垂面，交棱于点，

与两半平面交于，
因为平面，平面，所以，
则为二面角的平面角，则，
设为的平分线，则，
与平面所成的角都是，此时过点且与平行的直线符合要求，
当以为轴心，在二面角的平分面上转动时，与两平面的夹角会变小，
会对称地出现两条符合成的情形；
（2）如图2，设为的补角的平分线，

则，与平面所成的角都是，
当以为轴心，在二面角的平分面上转动时，
与两平面夹角变小 ，对称地在图2中的两侧会出现的情形，有两条，
此时，过点且与平行的直线符合要求，有两条.
综上所述，符合条件的直线有4条.
故答案为：4.
12．已知，若过点恰能作两条直线与曲线相切，且这两条切线关于直线对称，则的一个可能值为 ．
【答案】（或或或）
【分析】设切点坐标为，利用导数求出切线方程，将点的方程代入切线方程，可得出，设过点且与曲线相切的切线的切点的横坐标分别为、，易知、关于的方程的两个根，且，利用三次方程根与系数的关系可求得实数的值.
【详解】设切点坐标为，因为，则，切线斜率为，
所以，曲线在处的切线方程为
将点的坐标代入切线方程可得，
设过点且与曲线相切的切线的切点的横坐标分别为、，且，
因为这两条切线关于直线对称，则，
所以，，
易知、关于的方程的两个根，设该方程的第三个根为，
则，
则，
所以，，
因为过点恰能作两条直线与曲线相切，
则关于的方程只有两个不等的实根，不妨设，
则，
若，则，可得，解得；
若，则，所以，，可得，，
所以，，解得.
综上所述，或.
故答案为：（或或或）.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用过曲线外一点作曲线的切线求参数的值，解题的关键在于写出切线方程后，将切点坐标转化为三次方程的根，结合三次方程根与系数的关系求解.
二、单选题
13．“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【分析】根据充分性和必要性的定义进行判断即可.
【详解】成立，不一定成立，但是成立，一定成立，
因此“”是“”的必要非充分条件，
故选：B
14．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据已知，结合不等式性质及指对数的性质比较各式的大小关系.
【详解】A：若，此时，错；
B：若，此时，错；
C：由单调递增，且，则，所以，对；
D：若，则，此时，错.
故选：C
15．在正方体中，过点B的平面与直线垂直，则截该正方体所得截面的形状为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【答案】A
【分析】作出辅助线，证明出⊥平面，所以⊥，同理可证明⊥，得到⊥平面，故平面即为平面，得到截面的形状.
【详解】连接，
因为⊥平面，平面，
所以⊥，
又四边形为正方形，所以⊥，
又，平面，
所以⊥平面，
因为平面，
所以⊥，
同理可证明⊥，
因为，平面，
故⊥平面，
故平面即为平面，
则截该正方体所得截面的形状为三角形.

故选：A
16．对于定义在上的函数如果同时满足以下三个条件：①；②对任意成立；③当时，总有成立.则称为“理想函数”.有下列两个命题：
命题：若为“理想函数”，则对任意，都有；
命题：若为“理想函数”，则对任意，都有成立.
则下列说法正确的是（ ）
A．命题､命题都是真命题
B．命题为真命题，命题为假命题
C．命题为假命题，命题为真命题
D．命题､命题都是假命题
【答案】A
【分析】令，结合性质②③可得，即可判断真假，由此有在上有递增趋势的函数(不一定严格递增)，进而得到，应用反证法：若为“理想函数”，存在，使成立，讨论、，结合递归思想判断的存在性，判断真假.
【详解】令，则，
所以，
又对任意成立，则，即，
所以，即对任意，都有，命题为真命题；
由命题为真，即在上非递减，有递增趋势的函数(不一定严格递增)，
令，则，而任意成立；
所以，又，故，
反证法：若为“理想函数”，存在，使成立，
对于，，而，此时不存在使成立；
对于，若存在使成立，则，
而，则，即，
由，依次类推，必有，且趋向于无穷大，
此时，而必然会出现大于1的情况，与矛盾，
所以，在上也不存在使成立，
综上，若为“理想函数”，则对任意，都有成立，命题为真命题；
故选：A
【点睛】关键点点睛：对于的真假判断，应用反证及递归思想推出情况下矛盾结论.
三、解答题
17．已知函数是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)若关于的不等式有且只有一个整数解，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用奇函数有求参数值，注意验证所得函数是否为奇函数即可；
（2）由所得函数解析式判断函数单调性，结合奇函数得，整理成一元二次不等式形式，讨论参数a求对应解集，根据题设要求确定参数范围.
【详解】（1）由题设，故，
所以的定义域为R，且，
故满足为奇函数，则.
（2）由在R上为增函数，而，
所以，
若，则解集为或，不符合题设；
若，则解集为，不符合题设；
若，则解集为，此时有且只有一个整数解，则；
若，则解集为，不符合题设；
若，则解集为，不符合题设.
综上，，即.
18．已知向量，.设.
(1)求函数的最小正周期；
(2)在中，角、、所对的边分别为、、.若，，三角形的面积为，求边的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用数量积的坐标公式及二倍角公式、辅助角公式化简函数，利用最小正周期公式求解即可；
（2）根据求出角A，结合条件及三角形面积公式求出c，利用余弦定理即可求解a.
【详解】（1）由题意，
，
因此函数的最小正周期为；
（2）由得，
因为，所以，解得，
因为，所以,
由余弦定理解得,
所以.
19．1.某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式（，a为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和．
(1)若，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；
(2)若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a的取值范围．
【答案】(1)当时血液中药物的浓度最高，最大值为6
(2)
【分析】（1）根据题意建立函数关系式，进而结合二次函数最值求法和基本不等式求得答案；
（2）讨论和两种情况，
【详解】（1）当时，药物在白鼠血液内的浓度y与时间t的关系为
①当时，．
②当时，因为（当且仅当时，等号成立），
所以．
故当时血液中药物的浓度最高，最大值为6．
（2）由题意得
①当时，，
设，则，，则，故；
②当时，，
由，得，
令，则，，则，故．
综上，．
20．已知抛物线为抛物线上四点，点在轴左侧，满足.
(1)求抛物线的准线方程和焦点坐标；
(2)设线段的中点为.证明：直线与轴垂直；
(3)设圆，若点为圆上动点，设的面积为，求的最大值.
【答案】(1)
(2)证明见解析；
(3)的最大面积为48.
【分析】（1）根据抛物线标准方程求解即可；
（2）根据共线向量可知为中点，结合点在抛物线上可确定为方程的两根，由此可得韦达定理的结论,根据点纵坐标可知斜率为零，由此可得结论；
（3）由代入韦达定理，结合点在圆上，在圆上，可化简得到，根据二次函数最值的求法可求得结果.
【详解】（1）因为所以，
所以准线是焦点坐标是.
（2）
设，
由可知，为中点，且点在抛物线上，即
又
，
整理可得：，
由可知，为中点，且点在抛物线上，
同理可得：，
故为方程的两根，
D点的纵坐标为
所以直线的TD的斜率为0，即直线与轴垂直.
（3）,
,
,
因为在圆上，所以
,
，
则当时，
.
【点睛】设而不求是圆锥曲线的常用方法，第二问通过证明直线的TD的斜率为0，从而来证明直线与轴垂直，第三问通过,结合二次函数的性质来求解.
21．已知为实数，函数.
(1)若函数在处的切线斜率为2，求的值；
(2)讨论函数在上的零点个数；
(3)设表示的最大值，设.当时，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可；
（2）利用导数的性质，结合函数零点的宝义、零点存在原理进行求解即可；
（3）根据题中定义，结合导数的性质，给合函数的单调性分类讨论进行求解即可.
【详解】（1），
因为函数在处的切线斜率为2，
所以；
（2），
令，
，
令，解得.
①当，即时，在恒成立，
在为严格增函数，
，
由零点存在定理知在上有唯一零点.
②当时，在恒成立，
在为严格增函数，
，故在恒成立，没有零点.
③当时
最小值，无零点.
综上，时有一个零点，时没有零点.
（3）当时，，
根据题中定义显然有.
当时，
时，，
根据题中定义显然有；
时，
根据题中定义显然有.
下考虑时的情况.
，
由解得，且
最小值.
令，则在为严格增函数.
①时，
，故，
故的最小值；
②时，
故在上的最小值，
而在上，，即在上，
此时.
综上，.
【点睛】关键点睛：本题的关键是理解题中定义含义，能够转化为不等式，能够运用分类讨论思想进行求解.
-
0
+
极小值
-
0
+
极小值