2024届四川省广安市友谊中学实验学校高三上学期10月月考数学（理）试题含解析

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一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求得集合，然后求得.
【详解】由于，
所以.
故选：B
2．已知命题，则命题的否定为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据存在命题的否定是全称命题进行判断即可.
【详解】因为存在命题的否定是全称命题，
所以命题的否定为，
故选：D
3．已知向量 ​为平面向量的一组基底，且​，若​三点共线，则实数​应该满足的条件为（ ）
A．​B．​
C．​D．​
【答案】D
【分析】由三点共线，可得进而由共线定理可得，将代入，再利用基本定理可求的的关系.
【详解】若三点共线，
又
又为平面向量的一组基底
故选：D.
4．设，则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用倍角公式化简，结合三角函数的单调性比较大小.
【详解】，即；
，，
，即，
所以.
故选：A
5．若，且，那么是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】由给定边的关系式结合余弦定理求出角A，再由正弦定理角化边，结合边的关系式可得c=b即可推理作答.
【详解】由，得，
化简得，
所以，由余弦定理得，
因为，所以，
因为，
所以，由正余弦定理角化边得，化简得，
所以，即为等边三角形．
故选：B
6．核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA的数量X与扩增次数n满足，其中为DNA的初始数量，p为扩增效率．已知某被测标本DNA扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p约为（）（参考数据：，）
A．22.2%B．43.8%C．56.02%D．77.8%
【答案】D
【分析】根据列方程，结合指数、对数运算求得正确答案.
【详解】依题意，
，
，
，
.
故选：D
7．函数在上的图象的大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分析函数的奇偶性以及在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】函数的定义域为，
，
所以，函数为偶函数，排除CD选项，
且当时，，，则，排除B选项.
故选：A.
8．函数的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向右平移个单位得到函数的图象，则关于函数有下列四个说法，其中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的一条对称轴为直线
C．函数的一个对称中心坐标为
D．再向左平移个单位得到的函数为偶函数
【答案】D
【分析】根据图象求得的解析式，根据三角函数图象变换求得，根据的最小正周期、对称轴、对称中心、图象变换等知识确定正确答案.
【详解】对于，
由图可知，，
，，
由于，所以，所以.
图象上的所有点向右平移个单位得到函数，
的最小正周期为，A选项错误.
，B选项错误.
点的纵坐标是，所以不是的对称中心，C选项错误.
再向左平移个单位得到，
所得函数为偶函数，所以D选项正确.
故选：D
9．某工厂的烟囱如图所示，底部为，顶部为，相距为的点，与点在同一水平线上，用高为的测角工具在，位置测得烟囱顶部在和处的仰角分别为，.其中，和在同一条水平线上，在上，则烟囱的高（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】在中利用正弦定理可得，再根据可得，进而求得即可
【详解】如下图，在中，，由正弦定理可得，
所以，
从而，
故，
故选：D.
10．若外接圆的半径为1，圆心为，且,则等于
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】分析：利用向量的运算法则将已知等式化简得到，得到为直径，所以为直角三角形，求出三边的长求得的值，利用两个向量的数量积的定义即可求得的值．
详解：因为，所以，
所以，所以三点共线，且为直径，
如图所示，所以，
因为，所以，
则，故选D．
点睛：本题主要考查了向量在几何问题中的应用、数量积的计算，以及向量垂直的充要条件等知识的应用，其中求出为直角三角形即三边是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．
11．已知是定义域为的奇函数，满足.若，则（ ）
A．B．0C．2D．50
【答案】C
【分析】利用奇函数的性质及，推出函数的周期为4，然后得出得出结果．
【详解】由函数是定义域为的奇函数，则，
，，
，所以函数是周期函数，且周期为4，
，，则，
，，
故选：C
12．若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由已知将不等式转化为.令，根据导函数研究函数的性质.根据已知可知，作出的图象，结合图象，即可得出不等式组，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，
将不等式可化为，
令，，
所以，时，，在为增函数；
时，，在为减函数.
所以，在处有极大值，也是最大值1.
令，显然，所以单调递增.
作出的图象

因为不等式的解集中恰有2个整数，
根据的单调性，结合图象可知，
1和2满足不等式，且3不满足不等式，即，
解得.
故选：C．
【点睛】思路点睛：移项转化不等式，构造函数，根据导函数研究函数的性质，作出函数的图象，结合函数的性质，以及图象，即可得出答案.
二、填空题
13．在中，已知，则此三角形最大内角度数为 ．
【答案】
【分析】利用正弦定理角化边可得三边比例关系，由大边对大角知所求角为，利用余弦定理可求得结果.
【详解】在中，利用正弦定理可得：，的最大内角为，
不妨设，，，
则，
，.
故答案为：.
14．设函数（且）.若在上是增函数，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】第一段是指数函数，第二段是对数函数.对于指数函数，要单调递增就需要底数大于1，2显然大于1对于对数函数，要单调递增就需要底数大于1.两段分别递增还不行，还需要在两段交接的地方，左边比右边小，这样才能满足在身上单调递增.
【详解】函数（且）.若在上是增函数，所以有.
故答案为：
15．若函数，的值域为，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】由辅助角公式得到，结合函数图象得到，，同时，，从而得到.
【详解】由辅助角公式得，
令，解得或，，
令，解得，，
画出函数图象如下，
可知，，同时，，
所以.
故答案为：
16．已知实数，满足，，其中是自然对数的底数，则的值为 .
【答案】
【分析】由已知条件得出，，进而可知与是关于的方程的两根，构造函数，分析该函数的单调性，可得出，化简整理可求得的值.
【详解】解：因为实数、满足，，
所以，，，即，
所以，与是关于的方程的两根，
构造函数，该函数的定义域为，且该函数为增函数，
由于，所以，，
，即，即，解得.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用指数与对数的互化求代数式的值，解题的关键在于由已知等式化简得出与是关于的方程的两根，转化利用函数的单调性来得出，同时也要注意将根代入方程，得出关系式进而求解.
三、解答题
17．已知向量.
(1)若，求的值；
(2)若与共线，求与同向的单位向量的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由垂直的的向量表示即数量积为0求得值；
（2）由共线向量的坐标表示求得，再求得，从而易得结论．
【详解】（1）因为，且，
所以，
所以；.
（2）因为与共线，且，
所以，
，
所以，
，
因为与同向的单位向量为，
所以与同向的单位向量坐标为.
18．在①､②两个条件中任取一个填入下面的横线上，并完成解答.①在上有且仅有4个零点；②在上有且仅有2个极大值点和2个极小值点.
设函数，且满足___________.
(1)求ω的值；
(2)将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，求在（0，2π）上的单调递减区间.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）选①，根据题意得到，从而得到，即可得到；选②，根据题意得到，从而得到，即可得到；
（2）根据题意得到，再求解单调区间即可.
【详解】（1）选①
因为，所以，
若函数在上有且仅有4个零点，则，
即，又，所以；
选②
因为，所以，
若函数在上有且仅有2个极大值点和2个极小值点，
则，即，
又，所以.
（2）因为，将函数的图象向右平移个单位得到
函数，
单调递减区间为，，
即，，
因为，所以单调递减区间有，.
19．已知函数在处取得极大值.
(1)求的值；
(2)求曲线过点的切线方程.
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）由题意得到关于，的方程组，求解方程组即可求解；
（2）根据导数的几何意义求解即可.
【详解】（1）由，则，
因为函数在处取得极大值，
所以，
解得，，
此时，
令，则或；令，则，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，满足题意.
综上，，.
（2）由（1）得，，，
当为切点时，，
即切线斜率为1，
所以切线方程为，即.
当不为切点时，设切点为，，
则，
解得（舍去）或，
即切点为，切线斜率为0，
所以切线方程为.
综上所述，曲线过点的切线方程为或.
20．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，，的角平分线交BC于点D，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理和得到，由辅助角公式求出，进而求出A；
（2）先根据向量数量积公式得到，由余弦定理变形得到，由和面积公式求出.
【详解】（1）∵，
∴由正弦定理得：，
∴，
即，
又∵，
∴，则有，
∴，
即，
又∵，∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，解得；
（2）由得，，所以，
由（1）知，，

由余弦定理得：，
因为，所以，
∴，
由得：，
∴．
21．已知函数 .
(1)若函数 有两个不同的零点， 求实数 的取值范围；
(2)若方程 有两个不等实根 ， ， 且 ，求 的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将函数的零点问题转化为与图象交点个数问题，然后结合的图象求解即可；
（2）将方程的根转化为的根，得到，然后结合（1）得到，令，得到，构造函数，根据的单调性得到，即.
【详解】（1）由题意可知， 有两个不等根，
令，，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，上单调递减，
，，则的图象如下：

∴，解得，
∴实数 的取值范围为 ；
（2），
，
令，在R上为单调递增函数，
由题意有两个不等实根，
即 有两个不等实根，
由（1）可知 ， ，令 ， ，
，
设， ，
令，，所以在上单调递增，
，所以， 为增函数，
，即，，
的取值范围为 .
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
22．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求曲线的直角坐标方程；
(2)直线与曲线交于两点，点，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据极坐标方程与直角坐标方程的转化关系求解即可；
（2）先将直线的方程化为参数方程，再与曲线的方程联立，根据参数的几何意义即可得解.
【详解】（1），，
又，
，
曲线的直角坐标方程为；
（2）直线的参数方程为（为参数），
代入中整理得，
，同号，
．