2024届四川省遂宁市安居育才中学（卓同教育）高三上学期10月月考数学（理）试题含解析

这是一份2024届四川省遂宁市安居育才中学（卓同教育）高三上学期10月月考数学（理）试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解不等式求集合B，利用交集的概念计算即可.
【详解】由，故，所以，
故选：B．
2．已知函数在上可导，且，则（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】D
【分析】利用换元法得到，求导得到，计算得到答案.
【详解】，设，则，，
即，故，.
故选：D.
3．直线的倾斜角是，则的值是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】根据直线方程求得，再利用三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，化简得到，代入即可求解.
【详解】由直线，可得直线的斜率为，所以，
又由.
故选：C.
4．下列命题中错误的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“，”是“”的必要不充分条件
C．对于命题p：，使得，则是：，均有
D．“”是“方程（）有正实数根”的充要条件
【答案】D
【分析】A选项，计算出的两根分别为1和2，故A正确；B选项，举出反例得到充分性不成立，再推出必要性成立；C选项，存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定；D选项，推出有正实数根时需满足.
【详解】A选项，由解得或，
所以由“”能推出“”，但由“”不能推出“”，
则“”是“”的充分不必要条件，故A正确；
B选项，当，即时，，故，则充分性不成立，
若，则，
由于，可知必要性成立，
“，”是“”的必要不充分条件，B正确；
C选项，根据存在量词命题的否定是全称量词命题，
对于命题p：，使得，则是：，均有，C正确；
D选项，设的两根分别为，
由于，故要想有正实数根，
则两根需一正一负，
则要满足，解得，故D错误.
故选：D．
5．若为奇函数，则的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由为奇函数，求出的值，利用复合函数的单调性特征求的单调递增区间.
【详解】函数为奇函数，的定义域为，
由，∴，
函数的定义域为，
函数在定义域内单调递增，
当时，的单调递增区间为，
所以的单调递增区间为.
故选：D．
6．为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL.据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%，那么此人在开车前至少要休息（参考数据：，）（ ）
A．4.1小时B．4.2小时C．4.3小时D．4.4小时
【答案】B
【分析】根据题意列不等式，然后利用对数运算公式解不等式即可.
【详解】设经过小时，血液中的酒精含量为，则.
由，得，则.因为，则
，所以开车前至少要休息4.2小时.
故选：B.
7．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二倍角公式，两角和的正弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.
【详解】，
，
，
或，
由平方可得，即，
由平方可得，即，
因为，所以，，
综上，.
故选：C
8．函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若关于实数t的不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函数是定义在上的偶函数，不等式可化为，再根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可．
【详解】函数是定义在上的偶函数，则，
又，则，即为，
即，即，
又因在区间上单调递增，
所以，则或，解得或，
所以的取值范围是．
故选：A．
9．已知函数是奇函数的导函数，且满足时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件构造函数，求导后可判断当时，函数单调递减，再由，可得当时，，再由为奇函数，得时，，从而可求得不等式的解集.
【详解】令函数，则，即当时，函数单调递减，
因为，所以当时，，当时，.
因为当时，，当时，，所以当时，.
又，，所以当时，；
又为奇函数，所以当时，，
所以不等式可化为或，解得，
所以不等式的解集为，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决函数单调性问题，解题的关键是根据题意构造函数，然后求导后可判断函数的单调性，从而利用函数的单调性解不等式，考查数学转化思想，属于较难题.
10．已知函数，若对，，都有成立，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】通过变形可将问题转化为对，单调递减；即在上恒成立；通过分离变量的方式可求得的取值范围.
【详解】由且得：
对，，都有
令，则
则只需对，单调递减即可
即在上恒成立
令，则
当时，，则在上单调递减
当时，，则在上单调递增

本题正确选项：
【点睛】本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围问题，关键是能够将原题中的恒成立的关系转化为函数单调性的问题，从而通过分离变量的方式来求解.
11．已知，，，其中为自然对数的底数，则（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】根据，，的结构特征，构造函数，利用导数判断单调性，比较与的大小，继而构造比较b与的大小，令比较c与大小；再构造函数，，比较大小，即可判断出答案.
【详解】设，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故，即，当且仅当时取等号，
故，即；
设，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
故，即，当且仅当时取等号，
故，即；
令，则，
即在上单调递增，故，
即，
故，所以．
下面比较b和c的大小：
设，，，
设，，
则，
令，
则
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递减，
故，即在上恒成立，则在上单调递减，
由，则，即，则，
所以，
故选：A
【点睛】关键点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用函数单调性比较数的大小，解答的难点在于要根据的结构特征，构造恰当的函数，从利利用导数解决问题.
12．已知函数，，若有6个零点，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出函数图象，进行分析，最多有两个零点，根据最多4个零点，用数形结合讨论各种情况，根据一元二次方程根的分布即可得出结果.
【详解】由题可得函数图象，当或时，有两个解；
当时，有4个解；当时，有3个解；
当时，有1个解；
因为最多有两个解.
因此，要使有6个零点，则有两个解，设为，.
则存在下列几种情况：
①有2个解，有4个解，即或，，显然，
则此时应满足，即 ，解得，
②有3个解，有3个解，设即，，
则应满足，无解，舍去，
综上所述，的取值范围为.
故选：B.

【点睛】方法点睛：解决复合函数零点个数问题的时候，常用数形结合分析，分析各种情况后，往往会用到零点的存在性定理或根的分布情况来确定参数的取值范围.
二、填空题
13．函数的定义域为 .
【答案】
【详解】试题分析:由题设可得,解之得,故应填答案.
【解析】函数定义域的求法及运用．
14． ．
【答案】
【分析】由正切的差角公式，可得，经过等量代换与运算可得答案.
【详解】
．
故答案为：.
15．已知函数，若对恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】对不等式进行合理变形同构得，构造函数利用函数的单调性计算即可.
【详解】易知，由可得，
即，则有，
设，易知在上单调递增，
故，所以，即，
设，令，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以，则有，解之得．
故答案为：.
16．若函数与函数的图象存在公切线，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】设切点为，求导计算得到切线方程，与二次函数联立，计算得到，构造，求导得到函数的单调区间，计算最值得到，解不等式得到范围.
【详解】，可得，
设切点为，则，
则公切线方程为，即，
，则，
所以，整理可得，
又由，可得，解得，
令，其中，可得，
令，可得，函数在上单调递增，
且，
当时，，即，此时函数单调递减，
当时，，即，此时函数单调递增，
所以，且当趋近于时，趋近正无穷，
所以函数的值域为，
所以且，解得，即实数的取值范围为．
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决公切线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将公切线问题根据转化为函数的最值问题是解题的关键，构造新函数是常用的方法，需要熟练掌握.
三、解答题
17．已知命题：关于的方程有实数根， 命题．
(1)若命题是真命题， 求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件， 求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意命题是假命题，即可得到，从而求出参数的取值范围；
（2）记，，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可.
【详解】（1）解：因为命题是真命题，所以命题是假命题．
所以方程无实根，
所以．
即，即，解得或，
所以实数a的取值范围是．
（2）解：由（1）可知：，
记，，
因为是的必要不充分条件，所以，所以（等号不同时取得），
解得，所以实数的取值范围是．
18．已知，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同角三角关系得到，从而利用正切二倍角公式进行求解；
（2）计算出，结合（1）中所求，利用凑角方法，结合余弦和角公式进行求解.
【详解】（1）因为，，
所以，，
故
（2）因为，所以.
因为，所以，
所以
19．已知函数（，且）是奇函数，且．
(1)求，的值；
(2)若对于，不等式成立，求的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）根据函数是奇函数求，再代入，求；
（2）利用指数幂的化简，将不等式恒成立转化为，转化为求函数的最小值问题.
【详解】（1）因为函数是奇函数，所以，
即，得，
所以，，得或（舍），
综上，，；
（2）由（1）知，，
则恒成立，
，，
所以，对恒成立，
即恒成立，
设，函数由外层函数和内层函数复合而成，
当，，单调递增，当，单调递增，
所以根据复合函数的单调性可知，函数单调递增，最小值为，
即，则.
20．已知函数．
(1)若，求在处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求整数a的最大值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）利用函数解析式求切点坐标，利用导数求切线斜率，点斜式求切线方程；
（2）时，不等式恒成立；当时，不等式等价于，设，利用导数求的最小值，可求整数a的最大值．
【详解】（1）若，则，，则切点坐标为，
，则切线斜率，
所以切线方程为，即．
（2）由，得，
当时，，；
当时，，
设，，
设，，
则在单调递增，
，，所以存在使得，即．
时，，即；时，，即，
则有在单调递减，在单调递增，，
所以，
因为，所以，所以整数a的最大值为4．
【点睛】方法点睛：
不等式问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
21．已知函数，.
(1)求证：；
(2)若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）不等式化为，，用导数可得在上单调递增，从而可证得结论.
（2）求出在上的单调性，在每一个单调区间上用零点存在性定理判断零点个数，从而可得.
【详解】（1）证明：由于，则等价于.
令，则，令，则，
因为，所以，即在上为增函数，
所以，故为增函数，
所以，即成立.
（2）设，由于，则，
所以在上为增函数，所以，即.
又由于，由，得，
由（1）知当时，，
此时，当时，函数没有零点，不合题意，故舍去.
当时，因为，所以，
设，.
当时，恒成立，所以即单调递增.
当时，设，.
因为，，所以，所以即单调递增.
又，，
因此在上存在唯一的零点，且.
当时，，所以即单调递减；
当时，，所以即单调递增.
又，，，
因此在上存在唯一的零点，且.
当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增.
又，，，
所以在上没有零点，在上存在唯一零点，因此在上有唯一零点.
综上，的取值范围是.
【点睛】函数零点个数问题，基本方法一是用导数求出函数的单调区间，在每个单调上用零点存在性定理判断每个单调区间上的零点个数；二是数形结合，转化为两个函数的公共点个数问题 .
22．在平面直角坐标系中，射线的方程为，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求射线和曲线的极坐标方程；
(2)若射线与曲线交于点，将射线绕极点按逆时针方向旋转交于点，求的面积.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据直角坐标方程转化为极坐标方程的方法求得射线和曲线的极坐标方程.
（2）利用极坐标，结合三角形的面积公式求得的面积.
【详解】（1）将，代入得，
所以，所以射线的极坐标方程为，
将，代入得，
所以曲线的极坐标方程为.
（2）由题意可设点的极坐标为，点的极坐标为，
则，，
因为，，所以，
所以.
23．已知不等式的解集为．
(1)求实数的值；
(2)若，且，求的最小值．
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）分，，三种情况讨论即可；
（2）设，，则.利用和基本不等式即可求解.
【详解】（1）当时，不等式的解集为，不合题意；
当时，不等式的解集为，不合题意;
当时，，即，
因为不等式的解集为，所以.
（2）由(1)知，，
设，，则.
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.