2024届吉林省长春博硕学校高三上学期9月月考数学试题含解析

这是一份2024届吉林省长春博硕学校高三上学期9月月考数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则的真子集的个数为（ ）
A．16B．15C．14D．8
【答案】B
【分析】利用一元二次不等式的解法和对数不等式的解法确定集合，即可求解.
【详解】由，解得，
所以，
又由可得，解得，
所以，
所以，有个真子集，
故选：B.
2．“且”是“为第三象限角”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据三角函数符号判断即可.
【详解】充分性：由可知，
由可知或，
综上，，即为第三象限角.
必要性：若为第三象限角，则且.
所以“且”是“为第三象限角”的充要条件.
故选：A
3．已知向量，，若，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】将向量垂直转换为数量积为零，再结合向量坐标运算公式即可求解.
【详解】因为，，且，
所以由数量积的坐标公式可知，解得，
因此，由向量减法坐标公式可得，
最终结合向量模的坐标公式可得.
故选：C.
4．已知随机变量服从正态分布，若，则等于（ ）
A．0.484B．0.439C．0.878D．0.939
【答案】B
【分析】先根据求解，再根据正态分布的对称性即可求解.
【详解】因为，
所以.
故选：B.
5．函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，若关于实数的不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先得出是偶函数，把不等式化为，结合函数的单调性与奇偶性，得到，求解不等式即可．
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，
即，当时，又有意义，
所以是定义域上的偶函数，
又因为在区间上单调递增，
所以，
所以，即，所以，
则或，解得或，
所以的取值范围是．
故选：D．
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对数的换底公式可得，进而得到，构造函数，利用导数分析单调性可得在区间上单调递增，进而得到，进而得到，进而求解即可.
【详解】因为，，所以．
令函数，所以，
令，即，
所以在区间上单调递增，
所以，即，即，
所以．
故选：B.
7．已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等变换然后结合整体法结合三角函数图像性质对进行最值分析，对区间上进行单调分析；
【详解】因为，
当时，因为，则，
因为函数在上存在最值，
则，解得，
当时，，
因为函数在上单调，
则，
所以 其中，解得，
所以，解得，
又因为，则．
当时，；
当时，；
当时，．
又因为2，因此的取值范围是．
故选：B．
【点睛】关键点睛：整体法分析是本题的突破点，结合三角函数图像分析是本题的核心；
8．已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则k的最大值是（ ）
A．B．C．2eD．4e
【答案】B
【分析】设切点分别为和，则，根据题意转化为有解，设，求得，得出函数的单调性和极小值，结合，即可求解.
【详解】因为是和的公切线，
设切点分别为和，则，
由，可得，则
又由，可得，且，则，
所以，可得，
即，显然同号，不妨设，
设，（其中），
可得，令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
要使得有解，则需要，即
即，解得，所以，即的最大值为.
故选：B.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
二、多选题
9．下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“任意，则”的否定是“存在，则”
C．函数的最小值为2
D．不等式在上有解，则实数的取值范围是
【答案】AB
【分析】由充分、必要性定义及不等式性质判断A；写出全称命题的否定判断B；根据对应函数值符号判断C；利用二次函数性质求在上能成立求参数范围判断D.
【详解】A：可得，但反之不一定成立，对；
B：全称命题的否定为特称命题，原命题的否定为：存在，则，对；
C：当时，，即2不是最小值，错；
D：令，开口向上且，使在上能成立，
必有，可得，故对称轴，显然恒成立，
所以，错.
故选：AB
10．若函数在其定义域D的某个子区间M上单调递增，且在M上单调递减，则称在M上是“弱增函数”，则（ ）
A．若，则不存在区间M使为“弱增函数”
B．若，则存在区间M使为“弱增函数”
C．若，则为上的“弱增函数”
D．若在区间上是“弱增函数”，则
【答案】ABD
【分析】根据“弱增函数”的定义，结合基本初等函数的性质，对四个选项一一判断，即可得到正确答案.
【详解】对于A：在上为增函数，
在上是增函数，
故不存在区间M使为“弱增函数”，A正确；
对于B：由对勾函数的性质可知：在上为增函数，，
由幂函数的性质可知，在上为减函数，
故存在区间使为“弱增函数”，B正确；
对于C：因为在上单调递增，则在上单调递增，
，因为在单调递减，
则在上单调递增，
故不是上的“弱增函数”，C错误；
对于D：若在区间上是“弱增函数”，
则在上为增函数，所以，解得，
又在上为减函数，由对勾函数的单调性可知，，则，综上.故D正确．
故选：ABD．
11．设为数列的前项和，已知，，，，则（ ）
A．是等比数列B．
C．D．
【答案】BD
【分析】依题意可得，即可判断D，再由与的关系求得，从而可判断A，B，再代值计算可判断C．
【详解】因为，，，，
所以，又，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以，故D正确；
当时，，
当时，，不满足上式，所以，故A错误；
因为，故B正确；
因为，故C错误．
故选：BD．
12．已知，函数的图象记为，的图象记为.则（ ）
A．函数只有一个零点B．与没有共同的切线
C．当时，曲线在曲线的下方D．当时，
【答案】AC
【分析】利用导数，根据函数零点、切线、最值、不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，
，在区间上，单调递减；
在区间上单调递增，
由于，所以函数只有一个零点，A选项正确.
C选项，由上述分析可知恒成立，
所以恒成立，且当时，，
所以当时，曲线在曲线的下方，C选项正确.
B选项，，
所以和在点处的切线方程为，所以B选项错误.
D选项，当时，，
令，
，由于，所以，
即，所以D选项错误.
故选：AC
【点睛】关键点睛：利用导数研究函数的零点，主要是利用导数求得函数的单调区间、极值点等，部分题目要结合零点存在性定理来判断函数零点的个数.求解曲线的切线方程，关键点是切点和斜率，斜率可利用导数求解，也可以利用切线上两个点的坐标来求得.
三、填空题
13．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，并记录正面向上的点数，记事件为“第一次的点数大于第二次的点数”，记事件为“两次点数之和为偶数”，则的值为 ．
【答案】/0.4
【分析】列出事件及事件包含的基本事件，计算出个数，利用条件概率公式计算即可.
【详解】依据题意事件包含的基本事件：
共有个，
事件包含基本事件：共有个，
则
故答案为：
14．当物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则，其中称为环境温度，称为半衰期，现有一杯的热水，放在的房间中，如果水温降到需要分钟．那么在16环境下，水温从降到时，需要 分钟．
【答案】20
【分析】根据所给函数模型，由已知数据求得，然后令求得．
【详解】由已知可得，
由题意知，即，
解得，
当时，
由，得．
解得，
故答案为：.
15．在中，点是的中点，点在上，且，，则 .
【答案】
【分析】根据平面向量共线定理的推论求出，再根据平面向量基本定理求出、，即可得解.
【详解】依题意，又点在上，且，
所以，所以，解得，
即，
所以，
又，所以，，
所以.
故答案为：
16．已知，则当取得最大值时， ．
【答案】
【分析】设，利用二倍角的正切公式得到，再利用导数即可求出其最值时的值，再代入即可得到答案.
【详解】设，因为，则，则，
则．
设函数，
则．
当时，即，，此时单调递增；
当时，即，，此时单调递减，
所以当时，取得最大值，即取得最大值，
此时．
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用二倍角公式构造出关于的函数关系，再利用导数法求出最值即可.
四、解答题
17．设．
(1)求的值及的单调递增区间；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）依题意求出，从而求出，利用差角公式求出、，最后利用两角和的正弦公式计算可得.
【详解】（1）由函数
，
则，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
（2）由，则，
因为，可得，即，
所以，
又由，
，
则
.
18．习主席说：“绿水青山就是金山银山”．某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2018年投入1000万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加．
(1)设n年内（2018年为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出，的表达式；
(2)至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入？
（参考数据：，，）
【答案】(1)；
(2)至少到2022年旅游业的总收入才能超过总投入
【分析】（1）根据题意可知年投入和年收入分别成等比数列，由等比数列的前项和公式即可求得，的表达式；
（2）利用作差法可令，化简解不等式即可得，解出符合题意，即可得出结论.
【详解】（1）2018年投入为1000万元，第n年投入为万元，
根据题意可知，年投入是以1000万元为首项，公比为的等比数列；
由等比数列前项和可知n年内的总投入为
；
2018年收入为500万元，第n年收入为万元．
即年收入是以500万元为首项，公比为的等比数列
所以n年内的总收入为
（2）设经过n（）年旅游业的总收入才能超过总投入，由此，
即
化简得，
设，代入上式得，
解此不等式可得或（舍去）．
即，即 ，所以，
又，得．
所以至少到2022年旅游业的总收入才能超过总投入．
19．某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试．已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，m，其中，技能测试是否通过相互独立．
(1)若，分别求该应聘者应聘甲、乙两家公司，三项专业技能测试恰好通过两项的概率；
(2)若甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，若以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据二项分布和独立事件乘法公式计算求解即可；
（2）分别求得小明报考甲、乙两公司通过科目数的数学期望，再进行比较求解即可．
【详解】（1）若，此时该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，，
则该应聘者应聘甲公司，三项专业技能测试恰好通过两项的概率为,
该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试恰好通过两项的概率为.
（2）设该应聘者应聘甲公司通过的项目数为，应聘乙公司通过的项目数为，
根据题意可知，，则，
，
，
，
，
则随机变量的分布列为：
则，
因为应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，
所以，即，
又，所以，
所以m的取值范围为.
20．数列的前项和为，前项的积为，，对所有正整数均成立.
(1)求；
(2)当成立时，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得到，得出（），两式相减，得到，结合，得到数列为等比数列，利用等比数列的通项公式和求和公式，即可求解；
（2）由（1）得到，根据题意得出不等式，进而求得的最大值.
【详解】（1）解：数列的前项和为，前项的积为，且，
因为，可得，且，①
令，则有，解得，
又由①得：（）②，
①②可得，（），
又当时，也满足上式，
所以数列是以4为公比，8为首项的等比数列，
因此，所以.
（2）解：由（1）知，，
又由，可得，即，
所以，即，解得且，
所以的最大值为.
21．在中，角，，的对边分别为，，，若.
(1)求角的大小；
(2)若为上一点，，，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合余弦定理求得正确答案.
（2）利用三角形的面积公式列方程，结合基本不等式求得的最小值.
【详解】（1）依题意，，
由正弦定理得，
，所以，
所以是钝角，所以.
（2），
，所以，
即，
所以，
当且仅当时等号成立.
22．已知函数，.
(1)求实数的值；
(2)证明：时，.
【答案】(1)1
(2)证明见解析
【分析】（1）先求得，构造函数，利用导数判定其单调性及最值，即可得；
（2）结合（1）知，待证不等式可化为，先证，再构造函数，利用导数研究其单调性即可.
【详解】（1）因为，则，
则，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数的单调减区间为，单调增区间为.
即有最小值，即，
故；
（2）由（1）可知，，
当时，要证，即证，
即证，
因为，则，则，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递增，
则，即，
构造函数，其中，则，
所以函数在上单调递减，
因为，则，即，
因此，当时，.
【点睛】第二问关键在于构造同型结构，将问题转化为证，再通过构造函数证明单调性及最值即可.
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