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2023-2024学年四川省内江市第六中学高三上学期第一次月考理科数学试题含解析
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一、单选题（本大题共12小题，共60分）
1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知，，则“，”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知数列是等差数列，为数列的前项和，，，则（ ）
A. 10B. 15C. 20D. 30
4. 执行如图所示的程序框图，将输出的看成输入的的函数，得到函数，若，则（ ）
A B. C. 或D. 1
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
6. 若直线：平分圆：的面积，则的最小值为（ ）．
A. 8B. C. 4D. 6
7. 为了提高命题质量，命题组指派5名教师对数学卷的选择题，填空题和解答题这3种题进行改编，则每种题型至少至少指派1名教师的不同分派方法种数为（ ）
A. 144B. 120C. 150D. 180
8. 设实数x，y满足，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D. 前三个答案都不对
9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线分别交双曲线的左、右两支于A，B两点，且，若，则双曲线离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
10. 函数，若有个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
11. 设正方体的棱长为1，点E是棱的中点，点M在正方体的表面上运动，则下列命题：
①如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为；
②如果∥平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为；
③如果∥平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为；
④如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为．
其中正确的命题个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
12. 已知函数是奇函数的导函数，且满足时，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 展开式中的系数是__________.
14. 已知向量，，且，则__________.
15. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上一点A关于原点O对称的点为B，且满足，，则该双曲线的渐近线方程为______．
16. 如图，在直角梯形中，，将沿翻折成，使二面角为，则三棱锥外接球的表面积为__________.
三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 在中，是，B，所对应的分边别为，，，且满足.
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长.
18. 如图，在直三棱柱中，，是的中点，.
（1）求证：若中点，求证：平面；
（2）点为中点时，求二面角余弦值.
19. 下表为某班学生理科综合能力测试成绩（百分制）频率分布表，已知在分数段内的学生人数为21.`
（1）求测试成绩在分数段内的人数；
（2）现欲从分数段内学生中抽出2人参加物理兴趣小组，若其中至少有一名男生的概率为，求分数段内男生的人数；
（3）若在分数段内的女生为4人，现欲从分数段内的学生中抽出3人参加培优小组，为分配到此组的3名学生中男生的人数．求的分布列及期望
20. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，点在第一象限，为坐标原点．
（1）设为抛物线上的动点，求的取值范围；
（2）记的面积为的面积为，求的最小值．
21. 已知函数在处取得极小值.
（1）求实数值；
（2）当时，证明：.
四、选做题（总分10分，只需要从中选择1个题目完成）
22. 在直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线C相交于A，B两点，弦AB的中点为N，求的值.
23. 已知函数，．
（1）当时，求不等式的解集；分数段
频率
0.1
0.15
0.2
0.2
0.15
0.1
*
一、单选题（本大题共12小题，共60分）
1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知，，则“，”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知数列是等差数列，为数列的前项和，，，则（ ）
A. 10B. 15C. 20D. 30
4. 执行如图所示的程序框图，将输出的看成输入的的函数，得到函数，若，则（ ）
A B. C. 或D. 1
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
6. 若直线：平分圆：的面积，则的最小值为（ ）．
A. 8B. C. 4D. 6
7. 为了提高命题质量，命题组指派5名教师对数学卷的选择题，填空题和解答题这3种题进行改编，则每种题型至少至少指派1名教师的不同分派方法种数为（ ）
A. 144B. 120C. 150D. 180
8. 设实数x，y满足，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D. 前三个答案都不对
9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线分别交双曲线的左、右两支于A，B两点，且，若，则双曲线离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
10. 函数，若有个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
11. 设正方体的棱长为1，点E是棱的中点，点M在正方体的表面上运动，则下列命题：
①如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为；
②如果∥平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为；
③如果∥平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为；
④如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为．
其中正确的命题个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
12. 已知函数是奇函数的导函数，且满足时，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 展开式中的系数是__________.
14. 已知向量，，且，则__________.
15. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上一点A关于原点O对称的点为B，且满足，，则该双曲线的渐近线方程为______．
16. 如图，在直角梯形中，，将沿翻折成，使二面角为，则三棱锥外接球的表面积为__________.
三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 在中，是，B，所对应的分边别为，，，且满足.
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长.
18. 如图，在直三棱柱中，，是的中点，.
（1）求证：若中点，求证：平面；
（2）点为中点时，求二面角余弦值.
19. 下表为某班学生理科综合能力测试成绩（百分制）频率分布表，已知在分数段内的学生人数为21.`
（1）求测试成绩在分数段内的人数；
（2）现欲从分数段内学生中抽出2人参加物理兴趣小组，若其中至少有一名男生的概率为，求分数段内男生的人数；
（3）若在分数段内的女生为4人，现欲从分数段内的学生中抽出3人参加培优小组，为分配到此组的3名学生中男生的人数．求的分布列及期望
20. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，点在第一象限，为坐标原点．
（1）设为抛物线上的动点，求的取值范围；
（2）记的面积为的面积为，求的最小值．
21. 已知函数在处取得极小值.
（1）求实数值；
（2）当时，证明：.
四、选做题（总分10分，只需要从中选择1个题目完成）
22. 在直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线C相交于A，B两点，弦AB的中点为N，求的值.
23. 已知函数，．
（1）当时，求不等式的解集；分数段
频率
0.1
0.15
0.2
0.2
0.15
0.1
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