2024届甘肃省庆阳市第二中学高三上学期第一次月考数学试题含解析

这是一份2024届甘肃省庆阳市第二中学高三上学期第一次月考数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若集合，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用一元二次不等式求解集合，再利用集合的并集运算知识即可求出的值.
【详解】，.
故选：C.
2．函数的部分图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数解析式，从函数的奇偶性、特殊值符号、零点进行判断即可得所求函数图象.
【详解】函数得定义域为，则，故该函数为奇函数，故可排除B选项；
又，故可排除C选项；
又，，可以排除D选项.
故符合的函数图象为A.
故选：A.
3．下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.
【详解】对于A，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数且在上不是单调递减，不符合题意；故A错误；
对于B，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数且在上单调递减，符合题意；故B正确；
对于C，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数且在上单调递增；不符合题意；故C错误；
对于D，的定义域为，不是偶函数，不符合题意；故D错误；
故选：B.
4．已知函数（是的导函数），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对求导，再代入，从而求得，进而得到，由此得解.
【详解】因为，所以，
则，解得：，
所以，则.
故选：D
5．已知角的终边上一点的坐标，其中a是非零实数，则下列三角函数值恒为正的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据定义求出，然后逐一对各个选项分析判断即可得出结果.
【详解】因为角的终边上一点的坐标且a是非零实数，所以根据三角函数的定义知，，，，
选项A，，故选项A正确；
选项B，，因为的正负不知，故选项B错误；
选项C，，因为的正负不知，故选项C错误；
选项D，，因为的正负不知，故选项D错误；
故选：A.
6．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用函数导数与函数单调性的关系将问题转化为恒成立问题，构造函数，利用导数求得的最大值，从而得解.
【详解】因为，则，
由题意知在区间上恒成立，即在区间上恒成立.
令，，所以，
因为，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以，则，即的取值范围是.
故选：C.
7．设函数的导函数为，若在其定义域内存在，使得，则称为“有源”函数.已知是“有源”函数，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据“有源”函数概念，转化为函数有解问题，利用导函数求出函数值域即可得到参数a的范围
【详解】∵，∴，
由是“有源”函数定义知，存在，使得，即有解，
记，所以a的取值范围是就是函数的值域，
则，
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
所以，所以，
即a的取值范围是.
故选：A
8．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合已知要比较函数值的结构特点,可考虑构造函数,然后结合导数与单调性关系分析出时,函数取得最大值,可得最大,然后结合函数单调性即可比较大小.
【详解】设,则,
当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,
故当时,函数取得最大值,
因为,,
,
当时,,函数单调递减,可得,
即.
故选:C
二、多选题
9．下列说法正确的是（）
A．若不等式的解集为，则
B．命题“，都有”的否定是“，使得”
C．当时，的最小值是5
D．函数（，）过定点
【答案】AD
【详解】对于A，因为不等式的解集为，
所以是的两根，且，
则，解得，则，故A正确；
对于B，命题“，都有”的否定是“，使得”，故B错误；
对于C，因为，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，显然等号不成立，故C错误；
对于D，令，则，所以，所以函数过定点，故D正确.
故选：AD.
10．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据不等式的性质、基本不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】因为，所以，所以，即，故A错误；
因为，所以，故B正确；
由，得，.所以，当且仅当，即时等号成立，
因为，所以等号不成立，故，故C正确；
因为，所以，所以，所以，
所以，即，故D正确.
故选：BCD
11．已知函数，则（ ）
A．函数的图象关于原点对称B．函数的图象关于轴对称
C．函数的值域为D．函数是减函数
【答案】AC
【分析】求函数的奇偶性可判断AB；分离参数可得，根据指数函数的值域可判断C；根据单调性的定义可判断D.
【详解】的定义域为，，则，
所以为奇函数，的图象关于原点对称,A正确，B错误；
，因为,所以,，
所以,故的值域为,C正确；
设,则
,
因为，所以，
所以,即，
所以函数是增函数，故D错误，
故选:AC.
12．已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有两条，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】设出切点并根据导函数性质设出过切点的切线方程，参变分离构建新函数，求导画出草图即可根据条件得出答案.
【详解】设切点为，
由，
得，
则过切点的切线方程为：，
把代入，得，
即，
令，
则，
则当时，，
当时，，
的增区间为与，减区间为，
做出草图如下：
因为过点且与曲线相切的直线有两条，则或，
则或，
故选：AC.
三、填空题
13．已知，则等于 ．
【答案】/
【分析】利用诱导公式确定目标式函数值与已知函数值的关系，即可得答案.
【详解】.
故答案为：
14．已知是定义在上的奇函数，若，，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据函数奇偶性和可推导得到函数为周期函数，周期为；将
变为，根据奇函数可得，且可求得结果.
【详解】为奇函数 ，又

是周期为的周期函数
又，
本题正确结果：
【点睛】本题考查利用函数的周期性求解函数值的问题，关键是能够利用函数的奇偶性和对称性求解得到函数的周期，从而将所求函数值变为已知的函数值.
15．党的二十大报告将“完成脱贫攻坚､全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一.某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，.每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为 万元.
【答案】1000
【分析】依题意求得利润，借助导数和基本不等式可求得最大值.
【详解】由题意得，销售收入为万元，
当产量不足50万件时，利润；
当产量不小于50万件时，利润.
所以利润
因为当时，，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
所以在上单调递增，在上单调递减，
则；
当时，，当且仅当时取等号.
又，故当时，所获利润最大，最大值为1000万元.
故答案为：1000
16．已知函数若互不相等，且，则的取值范围是 ．
【答案】（10，12）
【详解】
不妨设a作出f(x)的图象，如图所示：
由图象可知0由f(a)=f(b)得|lga|=|lgb|，即−lga=lgb，
∴lgab=0，则ab=1，
∴abc=c，
∴abc的取值范围是(10,12)，
四、解答题
17．已知函数的定义域为集合A，集合．
(1)若，求；
(2)若，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由函数定义求出定义域得集合，然后由并集定义计算；
（2）由得，然后根据和分类讨论．
【详解】（1）由题意得：，解得，所以．
若，则，所以．
（2）因为，所以
当时，满足，则，解得；
当时，由得，解得．
综上，m的取值范围为．
18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决.已知 .
(1)求的值；
(2)当为第三象限角时，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式化简可得，再根据齐次式化简求值；
（2）利用诱导公式化简，再根据同角三角函数关系式化简求值.
【详解】（1）若选①，由已知，即，
所以；
若选②，由已知，即，，则，
所以；
若选③，由已知，即，则，
所以；
（2）由（1）得，
又为第三象限角，则，，
所以.
19．已知函数在与处都取得极值．
（1）求，的值；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）对求导，根据极值点列方程组求参数即可.
（2）由（1）有，进而判断的单调性并确定最值，结合不等式恒成立求参数范围.
【详解】（1）由题设，，又，，解得，．
（2）由，知，即，
当时，，随的变化情况如下表：
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，为极大值，又，则为在上的最大值，
要使对任意恒成立，则只需，解得或，
∴实数的取值范围为．
20．已知函数
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调递增区间.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求解；
（2）先对函数求导，令，得或，分，和三种情况讨论，结合导数即可求得的单调区间
【详解】（1）当时，，则，
所以切线的斜率，又，
所以在处的切线方程为，即．
（2）因为，所以，
令，得或，又，
当时，恒成立，所以在上单调递增．
当时，，
令，得或，
所以的单调递增区间为，；
当时，，
由，得或，
所以的单调递增区间为，；
综上所述，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，；
当时，的单调递增区间为，.
21．已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求的取值范围.
【答案】(1)在单调递增，在单调递减
(2)
【分析】（1）对求导，利用导数的几何意义，分析导函数的符号即可；
（2）利用导函数研究单调性，结合零点存在性定理求解即可.
【详解】（1）当，，则，
令解得，令解得，
所以在单调递增，在单调递减.
（2）由题意可得，，
当时，恒成立，单调递增，故至多有一个零点，不符合题意，
所以，由解得，由解得，
所以在单调递增，在单调递减，
所以由零点存在性定理可得若有两个零点，则，即，
令，由（1）得在单调递增，在单调递减，
又，所以由解得，
当时，
因为，
所以由得在和之间存在一个零点，又，符合题意；
当时，因为趋近于时，趋近于负无穷，所以函数在上有一个零点，又，符合题意；
所以的取值范围为.
22．已知函数.
（1）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；
（2）若且，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）函数在定义域内为增函数，则恒成立，分离参变量，利用基本不等式得出最值，可得实数的取值范围；
（2）要证，即证：，构造，，分别利用导数判断出单调性和最值，即可得原命题成立．
【详解】（1）函数的定义域为，，又在定义域内为增函数，
则恒成立，即恒成立，即，
又当时，，当且仅当时等号成立，∴，
即实数的取值范围是；
（2）∵，则，要证，
即证：，
设，其中，则，当时，
故在为增函数，∴，
设，其中，
则当时，，又，∴，
则，∴恒成立，即原不等式成立.
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0
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递增
极大值
递减
极小值
递增