2024届新疆乌鲁木齐市第八中学高三上学期第一次月考数学试题含解析

这是一份2024届新疆乌鲁木齐市第八中学高三上学期第一次月考数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，从而求出的定义域.
【详解】因为，
所以，解得，所以的定义域为.
故选:B.
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据集合的交集求出，根据并集计算即可.
【详解】，
，即，
，
即
故选：A
3．“ ”是 “”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据题意，由充分性以及必要性的定义，即可判断.
【详解】因为，即，所以“ ”是 “”的既不充分也不必要条件条件.
故选：D
4．关于函数，有下列命题：
①函数的图像关于y轴对称；
②当或时，为增函数；
③既有最大值，也有最小值；
其中命题正确的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】根据偶函数的定义判断①，根据对勾函数及对数函数的单调性可判断②，根据基本不等式及偶函 数的性质可判断③.
【详解】由题意，
①定义域为 , 又满足 , 所以函数 的图象关于 轴对称，①正确;
②是增函数，当 时 是增函数; 当 时, 函数 是增函数,
根据复合函数知, 当 或 时 是增函数，②正确;
③ (当且仅当 时等号成立), 又是偶函数. 所以函数 的最小值是 , ③不正确.
故选: C.
5．对于函数 （其中 ），选取的一组值计算，所得出的正确结果一定不可能是（ ）
A．4和6B．3和1C．2和4D．1和2
【答案】D
【分析】构造构造函数，易知是奇函数，再求得的和，进而得到c，然后利用c为整数求解.
【详解】解：构造函数，
因为 ，
所以是奇函数，
所以，
所以，
又因为，所以能被2整除，
故选：D
6．下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若则
C．若，，则D．若，则
【答案】D
【分析】利用不等式的性质、结合特例法逐一判断即可.
【详解】A：当时，显然不成立，因此本选项说法不正确；
B：，而，所以有，因此本选项说法不正确；
C：当时，显然满足，，但是不成立，因此本选项说法不正确；
D：由，而，所以，即，因此本选项说法正确，
故选：D
7．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由图象得故排除AC选项；对D选项根据极值点个数排除；分析B项满足.
【详解】对于A选项，，A选项错误；
对于C选项，，C选项错误；
对于D选项，，有两个不等的实根，故有两个极值点，D选项错误．
对于B选项，，；
当时，，，此时，
当时，，，此时，
当时，，，此时，
依次类推可知函数值有正有负；
显然不单调；
因为当时，所以有多个零点；
因为，所以，所以既不是奇函数也不是偶函数，以上均符合，故B正确.
故选：B．
8．已知定义在上的奇函数，满足，且在区间上是增函数，若方程在区间上有四个不同的根，则（ ）
A．B．C．8D．10
【答案】C
【分析】得出函数周期，根据函数图象即可得出的值.
【详解】由题意，
此函数, 又是奇函数,
∴，
∴即，
∴函数是周期为8的周期函数，
∵在上为增函数,
∴函数在上也为增函数，即函数在上为增函数,
∴函数在上为减函数,
综合条件，得出该函数的部分示意图, 由图看出,
四个交点中两个交点的横坐标之和为
另两个交点的横坐标之和为 ,
所以 .
故选：C.
二、多选题
9．下列四个命题：其中不正确的命题为（ ）
A．是空集B．若，则；
C．集合有两个元素D．集合是有限集.
【答案】ABCD
【分析】根据空集的定义可判断A；根据元素与集合的关系可判断B；解方程求出集合中的元素可判断C；为正整数的倒数时，都有可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：含有一个元素，所以不是空集，故选项A不正确；
对于B：当时，，则，故选项B不正确；
对于C：只有一个元素，故选项C不正确；
对于D：表示有理数，包括整数和分数，比如为正整数的倒数时，都有，所以集合是无限集，故选项D不正确；
故选：ABCD.
10．对于函数，下列命题正确的有（ ）
A．在同一直角坐标系中，函数与的图像关于直线对称
B．若，则函数的图像关于直线 对称
C．若，则函数是周期函数
D．若，则函数的图像关于对称
【答案】CD
【分析】根据函数的对称性和周期性即可得出结论.
【详解】由题意，
在同一直角坐标系中, 函数 与 的图象关于 直线 对称, 故A错误; 若 , 则 函数 的图象关于直线 对称, 故 B错误; 若 , 则函数 是周期为 2 的 周期函数, 故C正确; 若 , 则函数 是奇函数, 其图象关于点 对称, 故D正确,
故选：CD.
11．若函数的最小值为，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】求出函数的对称轴，分、、三种情况，分别求出函数的最小值，即可求出参数的值.
【详解】函数开口向上，对称轴为，
若，即时，解得或（舍去），
若，即时，函数在上单调递减，所以，解得，
若，即时，函数在上单调递增，所以，解得（舍去），
综上可得或.
故选：BD
12．悬链线是一根目睹均匀的绳子或铁链两端固定在水平杆上，受重力的作用自然下垂后形成的曲线，建立适当的平面直角坐标系后，得到悬链线的函数解析式为，双曲余弦函数，则下列正确的是（ ）
A．是偶函数B． 在上单调递增
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据偶函数的定义可知选项A正确，通过导数可知选项B错误，由基本不等式可知选项C，通过构造新函数知D正确.
【详解】由题知定义域为，
所以，是偶函数，故选项A正确.
函数的导数，
所以当时，当时，
所以单调递减区间为，单调递增区间为.
又，所以函数在单调递增，
由复合函数的单调性，可知 在上单调递减，故选项B错误.
由基本不等式可知，当且仅当时取等号，
故选项C正确.
令，
当时，，
令，
则，当且仅当时取等号，
当时，有，则在单调递增，
所以，即，
所以在单调递增，则，
又因为，所以，
由A知为偶函数，为偶函数，则也为偶函数，
所以，，即，，
所以成立，故选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．函数在处的切线方程为
【答案】
【分析】利用导数的几何意义计算即可.
【详解】由题意可知，
且，所以函数在处的切线方程为.
故答案为：.
14．若函数有两个零点，则实数b的取值范围是
【答案】
【分析】由题意可得与的图象有两个交点，画出图象，数形结合即可求解.
【详解】函数有两个零点，即与的图象有两个交点.
作出与的大致图象如图所示：
由图可知.
故实数b的取值范围是.
故答案为:.
15．已知函数，若、、 互不相等，且，则的取值范围是
【答案】
【分析】令，画出的图象，根据图象可知：、、的范围，又因为可得，进而可求出答案.
【详解】因为，
所以函数的图象如图所示：

又、、不相等，且，不妨令，
由图知，，，且，即，解得，
又因为，所以.
故答案为：
四、双空题
16．设表示不超过x的最大正数，若，则 ，若的最小值为M，则
【答案】 2 2
【分析】根据函数即可求出的值，利用导函数求出函数单调性，即可求出的值.
【详解】由题意，
在中，，
，
当时，解得：，
∴存在使得，
∴当即时函数单调递减，
当即时函数单调递减，
∴函数在处取得最小值，
∵
∴，.
故答案为：2；2.
五、解答题
17．设集合，非空集合
(1)求集合
(2)若，求实数的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解不等式，即可求得集合；
（2）由，得，列出不等式，即可求得的取值范围.
【详解】（1）因为，所以，即，
所以；
（2）因为，
所以，
因为集合非空,所以，解得：；
综上所述：当时，的取值范围为.
18．已知函数，，关于x的不等式的解集为.
（1）求，的值；
（2）求函数的所有零点之积.
【答案】（1），；（2）10.
【解析】（1）根据不等式的解集得到方程的解为2和3，列出方程组求解，即可得出结果；
（2）令，由（1）得到，求出或，由韦达定理，即可求出结果.
【详解】（1）因为不等式的解集为，即的解集为，
所以方程的解为2和3，
所以，解得，；
（2）由（1）得，
令，即，
解得或，
即或，
,
方程有两解，设为，，
方程有两解，设为，，
所以，，
即函数的所有零点之积为.
【点睛】本题主要考查由一元二次不等式的解集求参数，考查求函数的零点之积，属于常考题型.
19．已知函数.
(1)求函数的值域；
(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用换元法注意新元的范围及二次函数的性质即可求解；
（2）根据对数的运算性质及对数不等式的解法，将不等式恒成立的问题转化为求函数的最值问题，结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）令，因为，所以，
从而，
由二次函数的性质知，对称轴为，开口向上，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得最小值为，
当时，函数取得最大值为，
所以函数的值域为.
（2）因为函数的定义域为，所以，解得.
因为，
所以当时，恒成立等价于在上恒成立，即，即可.
因为，
当且仅当，即时取等号，
所以当时， 的最小值为,即，
故实数的取值范围为.
20．随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：4≤t≤15，N，平均每趟地铁的载客人数p(t)（单位：人）与发车时间间隔t近似地满足下列函数关系：，其中.
(1）若平均每趟地铁的载客人数不超过1500人，试求发车时间间隔t的值．
(2）若平均每趟地铁每分钟的净收益为（单位：元），问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．
【答案】（1）t=4.（2）当发车时间间隔为7min时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大，最大净收益为260元.
【分析】（1）分段考虑的解；
（2）净收益也是分段函数，将其写出，分别考虑每段函数的在对应的范围内的最大值.
【详解】解: （1）9≤t≤15时，1800≤1500，不满足题意，舍去.
4≤t