2024届重庆市七校高三上学期第一次月考数学试题含解析

这是一份2024届重庆市七校高三上学期第一次月考数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．集合的子集个数为（ ）
A．7B．8C．15D．16
【答案】B
【分析】利用根式与对数式有意义，结合子集的定义即可求解.
【详解】由题意可知，解得，
所以.
所以集合的子集个数为.
故选：B.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定得出结果.
【详解】命题“，”的否定为，.
故选：D.
3．已知第二象限角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义求出，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得.
【详解】因为角的终边过点，所以，
所以.
故选：A
4．函数的部分图象大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性、对称性以及函数值的对应性，利用排除法即可得出结果.
【详解】因为 的定义域为R，定义域关于原点对称，
且 ，
所以是偶函数，图像关于y轴对称，排除B、D选项；
当 时，令 可得 或 ，
当 时， ， ，所以 ，
故选项A错误，选项C正确.
故选：C.
5．古希腊数学家泰特托斯（Theaetetus，公元前417—公元前369年）详细地讨论了无理数的理论，他通过图来构造无理数，，，，如图，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用直角三角形中边角关系和两角和的余弦公式即可求解.
【详解】记，由图知：，，，
所以
.
故选：B.
6．“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）．现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出正三角形的面积和弓形的面积，进而求出“莱洛三角形”的面积.
【详解】正三角形的面积为，
圆弧的长度为，故一个弓形的面积为，
故“莱洛三角形”的面积为.
故选：A
7．定义在上的偶函数满足，当时，，若在区间内，函数，有5个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得是周期为4、关于对称的偶函数，将问题化为、在上有5个交点，数形结合求参数范围即可.
【详解】由题设，即是周期为4、关于对称的偶函数，
又时，且在上有5个零点，
、在上的图象如下，

又恒过，要使、有5个交点，则.
故选：B
8．已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用构造函数法，结合导数求得的最小值.
【详解】依题意，正数满足，
所以，即，
所以，
令，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以，
令，
所以在区间上单调递减；
在区间上单调递增，
所以的最小值是，
所以的最小值为.
故选：B
【点睛】利用导数研究函数的最值，首先要确定函数的定义域，然后对函数进行求导，求得函数的单调区间，进而求得函数的极值、最值.题目已知条件是一个等量关系，这个等量关系的作用一般是进行等量转化，如本题中，通过等量关系可将转化为.
二、多选题
9．已知函数，部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点中心对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在上单调递增
D．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
【答案】BC
【分析】根据三角函数的图象，利用周期性、最值以及方程，求得函数解析式，根据整体思想，结合正弦函数对称性与单调性以及图象变换，可得答案.
【详解】由图可知，函数的周期，，由，解得，
将代入函数，可得方程，解得，
由，则，所以.
对于A，由，则，根据正弦函数的对称性，
可知不是函数的对称中心，故A错误；
对于B，由，则，根据正弦函数的对称性，
可知直线是函数的对称轴，故B正确；
对于C，由，则，根据正弦函数的单调性，
函数在上单调递增，故C正确；
对于D，由，
该函数图象向左平移个单位可得新函数的解析式为
，故D错误.
故选：BC.
10．已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】对于A，由题意可得，再结合基本不等式的性质判断即可；对于B，由题意可得，再结合基本不等式的性质判断即可；对于C，由题意可得，再结合基本不等式的性质判断即可；对于D，由题意可得，再结合基本不等式的性质判断即可；
【详解】解：对于A，因为，
当且仅当时，等号成立，故错误；
对于B，因为，
当且仅当时，等号成立，故正确；
对于C，因为，
当且仅当，即时，等号成立，故正确；
对于D，因为，当且仅当时，等号成立，所以，
所以，当且仅当时，等号成立，故正确.
故选：BCD.
11．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 min.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为.游客乙所在座舱与甲所在座舱间隔7个座舱.在运行一周的过程中，甲、乙俩人距离地面的高度差.下述结论正确的是（ ）

A．B．
C．在运行一周的过程中，的时间超过10 minD．
【答案】ACD
【分析】根据题意建立三角函数模型，先得出解析式，然后结合三角函数的图象与性质判断选项即可.
【详解】
由题意可得是关于的三角函数，如图所示，以摩天轮轴心为原点，以与地面平行的直线为横轴建立平面直角坐标系，设摩天轮距地面最近点为P，
则当时，游客甲位于，以OP为终边的角为，而转一圈需要大约30min，可知角速度大约为，由题意可得：，即A正确；
当时，，即B错误；
，
由正弦函数的性质可得：，
故，即高度超过90+2.5米时时间长20-10=10min，显然高度超过90米的时间长超过10min，故C正确；
甲乙所在位置分别设为A、B两点，甲乙座舱差7个，则，故t分钟后甲乙的高度分别为：，，
其高度差为：，即D正确.
故选：ACD.
12．已知函数，则（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数在上有两个零点
C．对恒有，则整数的最大值为
D．若，则有
【答案】ABD
【分析】A选项，求导得到时，，得到在上单调递增；B选项，二次求导，得到在上单调递增，结合隐零点得到在上单调递减，在上单调递增，结合特殊点的函数值得到在上有两个零点；C选项，转化为，由选项B知，，由得：，变形得到，令，，求导得到其单调性，得到，进而得到，求出整数的最大值；D选项，构造函数得到当时，，，构造并放缩得到，，得到其单调性，求出，D正确．
【详解】函数，
求导得，
对于A，当时，，有，
故函数在上单调递增，A正确；
对于B，令，则，
当时，，有，
函数在上单调递增，
而，，则使得，
当时，，当时，，
因此在上单调递减，在上单调递增，
由选项A知，在上递增，
又，
则，
使得，因此函数在上有两个零点，B正确；
对于C，对恒有，故，由选项B知，，
则有，由得：，
令，，
则，
函数在上单调递减，，
又，
则有，故，
因此整数的最大值为，C不正确；
对于D，当时，令，
则，，
函数在上递减，，即，
函数在上递增，，即，
令，，
显然在上单调递增，则有函数在上单调递增，
因此，即，
所以当时，成立，D正确．
故选：ABD
【点睛】隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
三、填空题
13．已知向量、的夹角为，，，则 ．
【答案】7
【分析】先利用两个向量的数量积的定义求出，根据模的计算公式：，即可计算出结果.
【详解】因为向量、的夹角为，，，则，
则，
所以．
故答案为：7.
14．已知是锐角，且，则 ．
【答案】/
【分析】根据角的范围及正余弦值求得、，再由及差角正弦公式求值即可.
【详解】由题设，则，而，
所以.
故答案为：
15．已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先得到为奇函数，且在R上为增函数，从而得到，换元后得到，利用基本不等式求出最值，求出.
【详解】定义域为R，
且
，
故为奇函数，
因为在R上为增函数，由复合函数单调性可知，在R上为增函数，
变形为，
故，令，得，
故，
由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，
故，解得.
故答案为：
四、双空题
16．在中，角的对边分别为，，，满足，，则 ，的面积最大值为 ．
【答案】 12 3
【分析】变形得到，结合得到，由正弦定理和余弦定理得到，由余弦定理和同角三角函数平方关系得到，表达出三角形面积，利用基本不等式求出最值.
【详解】由可得，
由，则，，
因为，所以，故，
又，，
则，
因为，所以，
则，
即，
故，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
则，则；
因为，
则，
则，
当且仅当，即时取得等号．
故，面积最大值为．
故答案为：12，3
【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
五、解答题
17．已知集合，.
(1)求，.
(2)已知集合，若满足______，求实数的取值范围.
请从①，②，③中选一个填入（2）中横线处进行解答.
【答案】(1)，或
(2)
【分析】（1）解一元二次不等式求解集合B，然后利用交并补的运算求解即可；
（2）若选①②，根据集合的关系分类讨论求解即可，若选③，利用集合运算的性质得集合关系，分类讨论求解即可.
【详解】（1）因为，，
所以，，
所以或.
（2）选①，因为，所以，
若，则，解得；
若，则，解得，
综上，.
选②，因为，所以，
若，则，解得；
若，则，解得，
综上，.
选③，因为，所以，
若，则，解得；
若，则，解得，
综上，.
18．已知函数，．
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数在上的值域．
【答案】(1)最小正周期，单调递增区间为，
(2)
【分析】（1）应用三角恒等变换将式子化为的形式，即可求解；（2）换元法求值域.
【详解】（1）∵
∴的最小正周期，
由,
解得
的单调递增区间为；
（2），
，则
函数在上的值域.
19．已知函数．
(1)当时，求函数在区间上的最大值和最小值;
(2)若对任意的，均存在，使得，求a的取值范围．
【答案】(1)最大值为，最小值为；
(2).
【分析】（1）利用导数研究的区间单调性，进而确定端点值和极值，比较它们的大小，即可得最值；
（2）将问题转化为、上，利用二次函数性质及导数求函数最值，即可得结果.
【详解】（1）由题设，则，
所以在上，递增，在上，递减，
则，极大值，
综上，最大值为，最小值为.
（2）由在上，
根据题意，只需即可，
由且，
当时，，此时递增且值域为R，所以满足题设；
当时，上，递增；上，递减；
所以，此时，可得，
综上，a的取值范围.
【点睛】关键点点睛：第二问，将问题转化为、上求参数范围.
20．在锐角中，角、、所对的边分别为、、，.
(1)求的大小；
(2)若，，为的中点，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）利用余弦定理可得出关于的方程，结合为锐角三角形可求出的值，利用平面向量的线性运算可得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得的长.
【详解】（1）解：因为，由正弦定理可得，
所以，，
因为，所以，所以，
因为，所以.
（2）解：在中，因为，
所以，所以，解得或
当时，，则为钝角，不符合题意，
当时，，则为锐角，合乎题意，故，
因为为的中点，则，
所以，
，故.
21．近日，随着李佳琦直播事件的持续发酵，国货品牌上演花式直播．现有一品牌商也想借这个热度，采取了“量大价优”“广告促销”等方法，提高其下某商品的销售额．市场调查发现，这种商品供不应求，生产出来都能销售完．且此商品的月销售量（万件）与广告促销费用（万元）满足：，该产品的单价与销售量之间的关系定为：万元，已知生产一万件该产品的成本为8万元，设该产品的利润为万元．
(1)求与的函数关系式（利润=销售额-成本-广告促销费用）
(2)当广告促销费用定为多少万元的时候，该产品的利润最大？最大利润为多少万元？．
【答案】(1)
(2)当广告促销费用定为2.5万元的时候，该产品利润最大，为15.5万元
【分析】（1）根据已知条件及关系式即可求解；
（2）由（1）的结论及基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题意可知.
（2），
当且仅当时取等，
所以当广告促销费用定为2.5万元的时候，该产品利润最大，为15.5万元
22．设且，．
(1)若，求在处的切线方程；
(2)若存在极值点．
①求的取值范围；
②证明
【答案】(1)
(2)① ；②证明见解析
【分析】（1）化简，求出，即可求出，，再由点斜式方程求解即可；
（2）①求出，令，讨论和，的单调性，即可求出的取值范围；②由①知的极大值点满足方程，即可表示出，再结合基本不等式即可证明.
【详解】（1）先作换底变换：．
则，
当时，
则，而，
则切线方程为，即.
（2）①由（1）知，
分母不影响符号，故只研究分子的变化情况．
设，
则．
第一种情形，若，则，而，
则在上恒成立，则在上单调递增，
又因为当趋近于时，趋近于，则在上恒成立，
即在上恒成立，则在上单调递增，
则在定义域内无极值点．
第二种情形，若，令得，
易知在单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减．
而，
又因为当趋近于时，趋近于，当趋近于正无穷时，趋近于负无穷，
则存在唯一的实数，
使得当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
则为函数的极大值点，所以的取值范围为．
②由前面的分析知的极大值点满足方程，
而，
则，
当且仅当时取等号，此时．故成立．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.