2024届重庆市渝南田家炳中学校高三上学期10月检测数学试题含解析

这是一份2024届重庆市渝南田家炳中学校高三上学期10月检测数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知全集，集合，集合，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先化简集合,再求出即得解.
【详解】解：由题得，.
所以，
所以.
故选：B
2．已知复数是关于的方程的一个根，则实数的值为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】A
【分析】根据是关于的方程的一个根，代入计算即可求解.
【详解】因为是关于的方程的一个根，
所以，即，所以，
解得：，
故选：.
3．“”是“，成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由，成立求出b的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】由，成立，则当时，恒成立，即，
当时，，解得，
因此，成立时，，
因为，所以“”是“，成立”的充分不必要条件.
故选：A
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式、余弦的倍角公式可得答案.
【详解】因为，所以
.
故选：A.
5．数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法．十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．下图是利用算筹表示数1～9的一种方法．例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用1～9这9个数字表示的所有两位数中，个位数与十位数之和为5的概率是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意把5根算筹所能表示的两位数列举出来后，求出数字和为5的两位数个数作答.
【详解】1根算筹只能表示1，2根算筹可表示2和6，3根算筹可表示3和7，4根算筹可表示4和8，5根算筹可表示5和9，
因此5根算筹表示的两位数有14，18，41，81，23，27，32，72，63，67，36，76，共12个，
其中个位数与十位数之和为5的有14，41，23，32，共4个，
所以所求概率为．
故选：A
6．魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率π约为，是当时世界上最精确的圆周率结果，直到近千年后这一记录才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin52°，则的值为（ ）
A．B．C．8D．﹣8
【答案】B
【分析】将π＝4sin52°代入中，结合三角恒等变换化简可得结果．
【详解】将π＝4sin52°代入中，
得.
故选：B
7．函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】根据周期求得，根据求得，利用整体代入法求得单调区间.
【详解】依题意，
所以，
由于图象过，
所以，
由于，所以，
所以.
由
得，
所以的单调递增区间为，.
故选：D
【点睛】本小题主要考查根据图象求三角函数解析式，考查三角函数单调区间的求法.
8．函数在上有个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】函数得或，解方程即可求函数在上的从小到大的七个零点，根据在上有个零点，列不等式，即可求得的取值范围.
【详解】解：得或
解得或或
即或或
因为，函数在上的七个零点依次为：
由于在上有个零点，所以，解得，
则的取值范围是.
故选：B.
二、多选题
9．下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】利用正弦函数、余弦函数的周期以及单调性逐一判断即可.
【详解】A，，，由，得，函数，显然在区间上不单调，故A错误；
B，，最小正周期为，且在上单调递增，故B正确；
C，，最小正周期为，且在上单调递增，故C正确；
D，，最小正周期为，且在上单调递增，故D正确；
故选：BCD.
10．已知函数，则（ ）
A．B．的最小正周期为
C．在上单调递减D．在上单调递增
【答案】ABC
【分析】首先根据三角函数二倍角化简，然后利用整体代入法研究函数图像即可；
【详解】选项A正确；
所以函数的最小正周期为选项B正确；
根据余弦函数图像性质，（余弦函数对应的单调递减区间），函数单调递减，选项C正确；
根据余弦函数图像性质，（余弦函数对应的单调递增区间），函数不单调，选项D错误；
故选：ABC.
11．已知函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的值域为
C．在单调递减D．关于中心对称
【答案】ABD
【分析】结合图象，利用函数的综合性质，可得到正确答案
【详解】对于A，因为为偶函数，所以满足,又是奇函数，则,所以，用替换可得，再用替换，可得,故A正确
对于B，由已知是奇函数易得当时，，又为偶函数，则可知图象关于轴对称，因此可知在[-3,1]上的值域为，又由A选项可知是周期为4的函数，因此B正确
对于C，结合AB选项可知，为减函数，故C错误
对于D，因为是奇函数，且满足，因此关于中心对称，因此D正确
故答案为：ABD
12．已知函数对于任意的都有，则下列式子成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据条件构造，求函数导数，利用单调性比较大小及可.
【详解】令，
对于任意的，，
所以在上单调递增，
所以，A不对；
，B正确；
，C正确；
，D不对.
故选：BC.
三、填空题
13．展开式中的各二项式系数之和为256，则的系数是
【答案】112
【分析】由二项式系数和等于求得的值，再利用展开式的通项公式计算即可.
【详解】依题意得：解得
则
由，解得
从而.
故答案为：
14．的值等于 .
【答案】
【分析】利用两角和的余弦公式和二倍角公式化简即可
【详解】
故答案为：
15．假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
据此估计，该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为 ．
【答案】/0.5
【分析】根据随机数以及古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】解：两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1，2，3，4中的之一.
它们分别是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10个，
因此所求的概率为=0.5.
故答案为：.
16．在中，为边上一点，，，若，且，则 ．
【答案】
【解析】由及向量平行四边形法则可得出，结合条件可得中，，，根据余弦定理计算即可.
【详解】解：因为，，
所以根据向量平行四边形法则可得，，
又，故且，
在中，由余弦定理：，
所以.
故答案为：
【点睛】求解几何计算问题要注意：
（1）根据已知的边角画出图形并在图中标示；
（2）选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.
四、解答题
17．设全集为，集合，．

(1)当时，求图中阴影部分表示的集合C；
(2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解对数不等式求集合A，根据韦恩图及集合的交、补运算求集合C；
（2）根据所选的条件均可得，讨论是否为空集列不等式组求参数范围即可.
【详解】（1）由集合A知，即，解得或，
所以，当时，
∴.
（2）选择①②③，均可得.
当时，，解得；
当时，或，解得或，即．
综上所述，实数a的取值范围是．
18．在中，角所对的边分别为，．
(1)求角；
(2)若的面积为，且，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理的边角变换与三角函数的恒等变换化简题干条件，从而得解；
（2）利用三角形面积公式与余弦定理分别得到与的值，从而求得，由此得解.
【详解】（1），
由正弦定理得，即，
即，，
，
（2），
又，
所以，即（负值舍去），
又，所以的周长为.
19．为了应对国家电网用电紧张的问题，了解我市居民用电情况，我市统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：kW·h），并将得到数据按如下方式分为9组：[0，40），[40，80），…，[320，360]，绘制得到如下的频率分布直方图：
(1)试估计抽查样本中用电量在[160，200）的用户数量；
(2)为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为[0，40）和[320，360]的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同的组的概率．
【答案】(1)26
(2)
【分析】（1）根据题意频率分布直方图中的矩形面积和为得样本落在的频率为，再根据频率，频数关系求解即可；
（2）根据古典概型列举基本事件个数，利用古典概型概率公式计算即可.
【详解】（1）解：由直方图可得，样本落在，，，的频率分别为0.02，0.15，0.27，0.23，
落在，，，的频率分别为0.09，0.06，0.04，0.01．
因此，样本落在的频率为：
所以样本中用电量在的用户数为．
（2）解：由题可知，样本中用电量在的用户有4户，设编号分别为1，2，3，4；
在的用户有2户，设编号分别为，，
则从6户中任取2户的样本空间为：
，共有15个样本点．设事件“走访对象来自不同分组”，
则，
所以，从而．
所以走访对象来自不同的组的概率为.
20．北京2022年冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保，舒适，温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，且.
(1)求氢能源环保电动步道的长；
(2)若，求花卉种植区域总面积（电动步道的面积忽略不计）.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得，从而由余弦定理即可求出AC的长；
（2）利用余弦定理求出，利用面积公式求出和，进而可得花卉种植区域总面积.
【详解】（1）解：因为，，所以，
因为，，所以由余弦定理得，
因为，所以；
（2）解：因为，
所以在ABC中，由余弦定理得，解得或（舍去），
因为，所以，
所以，
因为，所以，
故，
所以花卉种植区域总面积为.
21．已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析；
(2)当为偶数时，；
当为奇数时，.
【分析】（1）根据等比数列的定义进行证明即可；
（2）利用分组求和法，结合错位相减法进行求解即可.
【详解】（1）由题知：
所以
又因为
所以
所以数列为以－1为首项，－1为公比的等比数列；
（2）由（1）知：，
所以，，
记，
所以，当为偶数时，；
当为奇数时，；
记
两式相减得：，
所以，
所以，当为偶数时，；
当为奇数时，.
22．某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元，公司拟投入万元，作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
【答案】(1)40元
(2)10.2万件，30元
【分析】（1）设每件定价为t元，根据题意列不等式，然后解不等式即可；
（2）根据题意得到时，不等式有解，然后转化为，再根据基本不等式求最值即可.
【详解】（1）设每件定价为t元，依题意得，
整理得，解得．
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
（2）依题意知当时，不等式有解，
等价于时，有解，
由于，
当且仅当，即时等号成立，所以，
当该商品改革后销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
93
28
12
45
85
69
68
34
31
25
73
93
02
75
56
48
87
30
11
35