2024届云南省昆明市第二十四中学高三上学期月考数学试题（一）含解析

这是一份2024届云南省昆明市第二十四中学高三上学期月考数学试题（一）含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由函数的值域求集合B，再求两个集合的交集.
【详解】函数的值域为，故，
又，所以.
故选：B.
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用复数的除法运算和共轭复数的定义可得答案.
【详解】，所以.
故选：A.
3．如图，，都是边长为1的等边三角形，A，B，D三点共线，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由图可知，利用向量数量积定义即可求得结果.
【详解】根据题意可知，在中计算得，，
由数量积定义可得；
故选：C
4．已知奇函数在R上为增函数，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】为奇函数，则，解出，验证奇偶性和单调性即可.
【详解】解：因为在R上为奇函数，则，即，解得或.
时，，函数定义域为R，
由函数和都在R上为增函数，所以在R上为增函数，
且，满足函数为奇函数；
时，，在R上为减函数，不合题意.
所以.
故选：A.
5．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，第五层有15个球，…，则该“三角垛”第十层的小球个数为（ ）
A．36B．45C．55D．66
【答案】C
【分析】设每一层的小球数构成一个数列，方法1：观察归纳可得答案；方法2：利用累加法可得答案.
【详解】设每一层的小球数构成一个数列，
方法1：
观察归纳发现：
，，，…，
所以.
方法2：
，，，…，所以，
，
所以.
故选：C.
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】易知，利用两角和的正弦公式代入计算可得结果.
【详解】因为，
所以，
故选：D.
7．设，，，设a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，由导数判断单调性后比较．
【详解】解：构造函数，则，
当时，，函数在上为减函数，
而，，，又，
所以，即，
故选：A
8．设椭圆C：的半焦距为c，离心率为e，已知圆O：与C有四个公共点，依次连接这四点组成一个正方形，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】方法1：连接这四点组成一个正方形，根据椭圆和圆的对称性知点在椭圆C上可得答案；方法2：设圆O与椭圆C在第一象限的公共点为M,设C的左、右焦点为、，，，利用勾股定理、椭圆定义可得答案.
【详解】方法1：连接这四点组成一个正方形，根据椭圆和圆的对称性知，
点在椭圆C上，则，
将代入并化简得，
因为，解得.
方法2：设圆O与椭圆C在第一象限的公共点为M,设C的左、右焦点为、，，，所以，，，
又因为，所以，
所以.
故选：D.

二、多选题
9．在一次考试中，某地抽取一组样本，将学生的考分按，，…，分成10组，得到如下频率分布直方图:

根据频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）
A．规定分数不低于60分为及格，则及格率为0.6
B．样本的中位数为60
C．以频率作为概率，每组数据区间中点作代表，估计该地此次考试的平均分为60分
D．规定此次考试80%的考生定为合格等级，则合格等级的学生最低分为40分
【答案】AD
【分析】计算分数在的频率，得及格率判断选项A；由频率分布直方图，结合中位数和平均数的公式，计算中位数和平均数判断选项BC；由分数在的频率为0.2，得合格等级的学生最低分判断选项D.
【详解】分数在的频率为：，A正确；
分数在的频率为0.4，分数在的频率为0.56，由，得样本的中位数为66.25，B错误；
，
，而.
所以估计该地此次考试的平均分为61.8分，C错误；
分数在的频率为0.2，所以合格等级的学生最低为40分，D正确.
故选：AD.
10．如图，在正方体中，E，F，G，H分别是棱，BC，CD，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面B．平面
C．，D，E，H四点共面D．，D，E，四点共面
【答案】AC
【分析】取的中点M，连接AM，EF，ME，利用线面平行的判定定理可判断A，取的中点，连接，延长与交与点，连接，可得，由直线与平面相交，可判断B；连接EH，由可判断C；若，D，E，四点共面，则，显然不成立可判断D.
【详解】
如上图，取的中点M，连接AM，EF，ME，因为，，，，所以，，则四边形AFEM为平行四边形，
因为平面，平面，所以平面，A正确，
如上图，取的中点，连接，延长与交与点，连接，
因为，所以四边形是平行四边形，可得，
因为平面，平面，所以直线与平面相交，
所以与平面相交，故B错误；
如下图，连接EH，则，，所以，可得，D，E，H四点共面，故C正确；
若，D，E，四点共面，则，显然不成立，所以D错误.
故选：AC.
11．设抛物线C：的焦点为F，准线l与x轴的交点为D，A，B两点在C上，直线依次经过点A，B，D，直线AF与C的另一个交点为E，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】对于A，由直线求出D点坐标即可得；对于B、C，联立抛物线与直线方程，求出A、B点坐标即可得；对于D，求出直线AF的方程，进而求出E点坐标，用两点距离公式即可.
【详解】解：直线经过D点，令，则，
所以，则，故，A正确；
所以C：，联立，
解得，，所以，B正确；
，C错误；
直线AF的方程为，即，
与抛物线联立，可得，解得,，
则，D正确.
故选：ABD
12．已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ）
A．恒有两个异号的极值点
B．函数图象的对称中心为
C．当时，过点且与图象相切的直线为
D．当时，函数有两个不同的零点
【答案】ABD
【分析】求出，利用其判别式、可判断A；求出的对称轴利用对称中心是两个极值点的中点可判断B；设切点为，求出切线方程，点代入切线方程化简可判断C；求出函数的极大值，极小值可判断D.
【详解】，而方程的，
存在不同的两个根，，且，故恒有两个异号的极值点，A正确；
由函数的对称轴为，
此时的对称中心是两个极值点的中点，
所以函数图象的对称中心为，B正确；
当时，函数，则，
设切点为，则切线的斜率，
所以切线方程为，
切线过点，代入切线化简得：，解得或，
所以过点且与图象相切的直线为或，故C错误；
当时，，
当时，，单调递增，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
此时，为函数的极大值点，1为函数的极小值点，而，，，，
所以当时，函数有两个不同的零点，D正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：在求零点时，将函数进行求导，利用导函数求出函数的增减区间、极大极小值以及最大最小值（有时函数的最大最小值可能就在极点处），判断函数图象与横轴的交点个数既为零点的个数.
三、填空题
13．已知一个球的体积与其表面积的数值相等且不为零，则该球的半径等于 .
【答案】3
【分析】根据球的体积与其表面积公式，解方程即可取得半径.
【详解】设球的半径为，
由题意知，
解得.
故答案为：3
14．已知直线与圆O：交于A，B两点，设满足“”的实数对为，则满足条件的一个实数对可以为 .
【答案】(答案不唯一)
【分析】圆心到直线距离为，圆的半径为，则有，可得的关系式.
【详解】设O到直线的距离为d，则，又，圆O的半径为2，
故，即，所以，
满足条件的实数对可以是.
故答案为：(答案不唯一)
四、双空题
15．某中学对学生是否经常锻炼的情况进行了普查，调查了1124名学生，得到如下数据：
从这1124人中随机选择1人，若已知选到的是女生，则她经常锻炼的概率是 ；若已知选到经常锻炼的学生，则是女生的概率是 .
【答案】
【分析】由条件概率公式求解．
【详解】解：设A表示事件“选到女生”，B表示事件“选到经常锻炼的学生”，
则“在选到女生的条件下，选到经常锻炼的学生”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，则.同理，
已知“选到经常锻炼的学生”，则是女生的概率是.
故答案为：，
五、填空题
16．已知函数，如图，A，B是曲线的相邻两条对称轴与该曲线的交点，C为该曲线与x轴的一个交点，若，则 .
【答案】
【分析】依题意可写出三点的坐标，再利用向量垂直的坐标表示可得出函数的解析式，代入即可求得.
【详解】根据题意不妨取，则，，
所以，，
因为，所以，即，又，解得.
所以，
故.
故答案为：
六、解答题
17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
(1)求；
(2)设，求c.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）中，解得，由根据正弦定理，解得，得和，再由求解即可.
（2）由正弦定理求出，再由余弦定理求出.
【详解】（1）中，所以，故.
,由正弦定理得，即，所以.
则，得，，
所以.
（2）由正弦定理，所以，解得.
由余弦定理，
所以.
18．设等差数列的前项和为，公差为，且，若等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，记数列的前项和为，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列的定义、性质及求和公式运算即可得解.
（2）利用等差数列的求和公式、不等式的解法和数列项数的取值范围运算即可得解.
【详解】（1）解：由题意，.等差数列有：，
且，，.
因为，所以，，，
因为是等差数列，所以，即，
化简得：，
因为，所以且，所以由上式得：.
所以由等差数列通项公式得：，
所以，
所以，，.
（2）解：因为，所以.
因为是等差数列，且由（1）知，
所以.
由题意，即，解得：.
又因为，所以的最小值为.
19．云南省统计局发布《全省旅游业发展情况（2015-2022年）》报告，其中2015年至2022年游客总人数y（单位：亿人次）的数据如下表：
为了预测2023年云南省游客总人数，根据2015年至2022年游客总人数y的数据建立线性回归模型一，得到回归方程：，但由于受到2020年疫情影响，估计预测不准确，若用2015年至2019年数据建立线性回归模型二，得到回归方程：
(1)根据和预测2023年云南省游客总人数（预测数据精确到0.1）；
(2)为了检验两种模型的预测效果，对两种模型作残差分析得到：
模型一：总偏差平方和，残差平方和；
模型二：总偏差平方和，残差平方和，
用来比较模型一与模型二的拟合效果（精确到0.001）；
(3)根据2020年至2022年游客总人数y的数据建立线性回归模型三，求回归方程，并根据预测2023年云南省游客总人数（预测数据精确到0.1）.
参考公式：，，，.
【答案】(1)亿人次，亿人次
(2)模型二的拟合效果更好
(3)，10（亿人次）
【分析】（1）代入回归方程求解，
（2）由参考公式计算后判断，
（3）由参考公式求解回归方程．
【详解】（1）根据预测2023年云南省游客总人数为（亿人次）；
根据预测2023年云南省游客总人数为（亿人次）.
（2）模型一：；
模型二：.
因为，所以模型二的拟合效果更好.
（3）设2020年至2022年的年份代号x分别为1，2，3，
则，，，
，所以，，
所以：，所以当时，.
所以根据预测2023年云南省游客总人数为10（亿人次）.
20．已知四棱锥的底面为菱形，且，.
(1)证明：；
(2)若，求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取BC中点E，通过证明平面PDE，得，可得.
（2）以DA，DE分别为x轴，y轴，建立如图空间直角坐标系D-xyz，利用向量法求二面角的正弦值.
【详解】（1）证明：取BC中点E，连接，如图所示，
因为底面ABCD为菱形，
且，所以为等边三角形，故，
因为，，所以.
又因为，平面PDE，
所以平面PDE，
平面PDE，所以.
因为E是BC的中点，所以.
（2）证明：因为，以DA，DE分别为x轴，y轴，过D作z轴，建立如图空间直角坐标系D-xyz，
过P作于点F，由（1）得平面PDE，，
，平面BCD，
所以平面BCD，由得：
，，，
，，
因为为正四面体，为的中心，有，，
所以，
设平面PAB的一个法向量为，
则，即，
令，则，则，
同理可得平面PBC的一个法向量为，
设二面角为，则.
所以二面角的正弦值为.
21．已知实数m，n满足.令，，记动点的轨迹为E.
(1)求E的方程，并说明E是什么曲线；
(2)过点作相互垂直的两条直线和，和与E分别交于A、B和C、D，证明：.
【答案】(1)，双曲线
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意消去后求解，
（2）由条件设出和方程，与双曲线方程联立后由弦长公式求解后证明．
【详解】（1）由题意知，故，所以E的方程为.
由方程得，，所以E是以，为焦点，实轴长为的等轴双曲线.
（2）证明：当直线垂直于x轴时，则AB为通径，故；
为x轴，此时为实轴长，故，所以.
当直线不垂直x轴，设：，：，，
与E联立方程，消去x并整理得，
因为与E交于两点，故，此时，
所以，
同理，所以.
22．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数存在两个零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将代入并对函数求导，利用导数的几何意义即可求得切线方程为；
（2）解法一：求出函数的导函数并构造函数得出其单调性，再结合零点个数限定函数最值的取值范围即可求出实数a的取值范围；
解法二：根据函数解析式的特征，利用同构函数进行构造得出其单调性，利用零点个数限定最值范围解不等式可得实数a的取值范围.
【详解】（1）当时，函数，所以，
设切线的斜率为k，则，又，
即切点为，
故切线方程为，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）解法一：函数的定义域为，，
当时，，函数在上单调递增，不存在两个零点，不合题意；
当时，设，则，
所以在上单调递增，
因为趋近于0时，趋近于，趋近于时，趋近于，
所以在上有唯一零点，
不妨设在上有唯一零点，
即，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即在上有唯一极小值点，要函数存在两个零点，即需要，
由得，所以
所以，
即，又，解得.
所以实数a的取值范围.
解法二：
易知，，
令，则，
易知在上恒成立，
所以在上单调递增，则，
令，所以.
当时，恒成立，函数在上单调递增，
即函数在上单调递增，不存在两个零点，不合题意；
当时，令，可得，
所以当，，
所以在上单调递减，同理可得在上单调递增，
而，所以是函数的唯一极小值点，
要函数存在两个零点，即要，
即，解得.
所以实数a的取值范围.
【点睛】方法点睛：求解函数零点问题时，一般采用参变分离并构造函数求出参数取值范围；若实现不了参变分离可直接对参数进行分类讨论，利用导函数求得函数最值即可求出参数取值范围.
性别
锻炼
合计
不经常
经常
女生
192
331
523
男生
128
473
601
合计
320
804
1124
年份
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
年份代号x
1
2
3
4
5
6
7
8
游客总人数y
3.3
4.3
5.7
6.9
8.1
5.3
6.5
8.4