2024届内蒙古赤峰二中高三上学期第二次月考数学（理）试题含解析

这是一份2024届内蒙古赤峰二中高三上学期第二次月考数学（理）试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】化简集合A，根据集合的交集运算求解即可.
【详解】由得，
因为在内增函数，所以有，解得，
即.
因此，.
故选：B.
2．“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由复数的除法法则化简复数，由纯虚数的定义求出的取值，然后由充分必要条件的定义判断．
【详解】为纯虚数的充要条件为
因此应为复数为纯虚数的充分不必要条件，
故选：A．
3．设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由指数函数和对数函数单调性比较大小即可得解.
【详解】一方面因为函数在上单调递增，
所以，
另一方面又因为函数在上单调递减，
所以，
结合以上两方面有，
所以.
故选：D.
4．已知为等差数列，为其前项和，，则（ ）
A．36B．45C．54D．63
【答案】B
【分析】根据题意求出首项及公差，再根据等差数列前项和公式即可得解.
【详解】设公差为，
由，
得，解得，
所以，
所以.
故选：B.
5．已知平面向量的夹角为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由，利用向量数量积运算可得，即求，又，代入条件运算可得解.
【详解】，
，即，
，
.
故选：A.
6．某知识问答竞赛需要三人组队参加，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段比赛中，如果一支队伍中至少有一人通过，则这支队伍通过此阶段．已知甲、乙、丙三人组队参加，若甲通过每个阶段比赛的概率均为，乙通过每个阶段比赛的概率均为，丙通过每个阶段比赛的概率均为，且三人每次通过与否互不影响，则这支队伍进入决赛的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可得这支队伍通过每个阶段比赛的概率为，利用相互独立事件的概率计算可得出结果.
【详解】“至少有一人通过”的对立事件为“三人全部未通过”，
则这支队伍通过每个阶段比赛的概率为，
所以他们连续通过初赛和复赛的概率为，
即进入决赛的概率为.
故选：B
7．若为所在平面内一点，且，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】由条件可得，即，进而得到，得解.
【详解】因为＝，
所以，
即，
两边平方整理得，
所以，即为直角三角形.
故选：C.
8．已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，然后向上平移1个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A．
B．在上单调递增
C．的图象关于点中心对称
D．在上的值域为
【答案】D
【分析】通过三角函数变换即可得出函数的表达式，利用表达式即可得出函数的单调性，对称性和值域.
【详解】由题意，平移后函数为：，故A不正确;
B中，，可知，
∴先增后减，即在上单调递增不正确，故B不正确；
C中，∵，
∴函数不关于对称，故C不正确；
D中，，则，
∴，∴，故D正确.
故选：D.
9．已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】求导得切点处的导数值，由点斜式求解切线方程，求出截距即可求解面积.
【详解】，则，切点坐标为，
又，则切线斜率，
所以曲线在点处的切线是，即，
取，得，取，得，
故切线与两坐标轴围成的三角形的面积为：.
故选：C.
10．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，的面积为，则的周长是（ ）
A．4B．6C．8D．18
【答案】B
【分析】由正弦定理和和角公式得到，得到，由三角形面积公式得到，再利用余弦定理求出，得到答案.
【详解】，由正弦定理得，，
又，
所以，
因为，所以，故，
因为，所以，
由三角形面积公式可得，故，
由余弦定理得，
解得或（舍去），
故三角形周长为.
故选：B
11．已知长方形ABCD的边长，P，Q分别是线段BC，CD上的动点，，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意建立直角坐标系，利用正切函数的和差公式得到，从而求得，再利用平面向量数量积的坐标表示即可得解.
【详解】设A点为坐标原点，分别以AB，AD为x，y轴建立坐标系，如图，
不妨设，则，
因为，所以，
又，
所以，则，
所以，解得，
当且仅当时，等号成立，
所以，
则的最小值为.
故选：D.
12．设函数（其中为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得，令，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直线下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，即可得出答案．
【详解】函数的定义域为，
由，得，所以，
令，
由题意知，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，
由，得，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，没有最小值，
由，得，
当时，在上单调递增，
在上单调递减，
所以有最大值，无最小值，不合题意，
当时，在上单调递减，
在上单调递增，
所以，
所以即，
所以，即m的取值范围为．
故选：A．
二、填空题
13．已知，则 .
【答案】
【分析】根据两角差的余弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】因为，
所以，且，且，
又，所以，
因为，所以.
故答案为：
14．函数是定义在上的奇函数，且图象关于对称，在区间上，，则 .
【答案】/0.25
【分析】根据对称性和奇函数分析可得，进而结合指对数运算求解.
【详解】由题意可得：，则，
可得，
又因为，即，
则，
所以.
故答案为：.
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为 .
【答案】/
【分析】由离心率求出、，再由双曲线定义结合已知可得，从而求出的周长.
【详解】由题意可得，，
，
，，
为双曲线右支上一点，
，
又 ，
，
则的周长为．
故答案为：．

16．已知函数，若存在互不相同的、、，使得，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】化简函数解析式，根据题意可得，即至少能取到三个最大值，列出不等式求解即可.
【详解】
，
所以，又，
所以,
因为当时，，
所以存在互不相同的、、时，，
则需满足，即
故答案为：
三、解答题
17．5G技术对社会和国家十分重要.从战略地位来看，业界一般将其定义为继蒸汽机革命､电气革命和计算机革命后的第四次工业革命，某科技集团生产，两种5G通信基站核心部件，下表统计了该科技集团近几年来在部件上的研发投入（亿元）与收益（亿元）的数据，结果如下：
(1)利用样本相关系数说明是否可以用线性回归模型拟合与的关系（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性）：
(2)求出关于的经验回归方程，若要使生产部件的收益不低于15亿元，估计至少需要投入多少研发资金？（精确到0.001亿元）
附：样本相关系数，回归直线方程的斜率，截距.
【答案】(1)可以用线性回归模型拟合与的关系，且认为两个变量有很强的线性相关性
(2)
【分析】（1）计算出，，，，，求出可得答案；
（2）利用（1）求出关于的经验回归方程可得答案.
【详解】（1），，
，
，
，
所以，
所以可以用线性回归模型拟合与的关系，且认为两个变量有很强的线性相关性；
（2），所以，
所以关于的经验回归方程为，
由得，
若要使生产部件的收益不低于15亿元，估计至少需要投入亿元.
18．如图，在三棱锥中，平面，，，是的中点，为上的动点．

(1)证明：平面 平面；
(2)平面时，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）根据空间中垂直关系的转化，即可求证，
（2）建立空间直角坐标系，，利用法向量的夹角求解.
【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以平面平面．
又，平面平面，平面，
所以平面,又平面，所以．
又，是的中点，所以．
又，，平面，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
（2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点且与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为平面，平面，平面平面，所以．
又是的中点，所以是的中点，
则，，，，，，
所以，，，
则平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
则即
令，得，，所以平面的一个法向量为．
设平面与平面的夹角为，所以，
故平面与平面夹角的余弦值为．

19．在锐角中，角、、所对的边分别为、、，.
(1)求的大小；
(2)若，，为的中点，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）利用余弦定理可得出关于的方程，结合为锐角三角形可求出的值，利用平面向量的线性运算可得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得的长.
【详解】（1）解：因为，由正弦定理可得，
所以，，
因为，所以，所以，
因为，所以.
（2）解：在中，因为，
所以，所以，解得或
当时，，则为钝角，不符合题意，
当时，，则为锐角，合乎题意，故，
因为为的中点，则，
所以，
，故.
20．已知椭圆的左、右焦点为，，离心率为．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线、分别与椭圆C交于点A、B，的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用椭圆的定义及性质计算即可；
（2）设直线PA的方程为，设，，联立椭圆方程结合韦达定理可得的关系，再由易知向量线性关系转化，计算即可.
【详解】（1）∵，
∴，
由离心率为得，从而，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）
设，，则，
可设直线PA的方程为，其中，
联立，化简得，
则，同理可得，．
因为，．
所以
，
所以是定值.
21．已知函数，．
(1)若为上的增函数，求的取值范围；
(2)若在内恒成立，，求的最大值．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意在上恒成立，参变分离得到，令，，利用导数求出函数的最小值，即可得解；
（2）依题意可得恒成立，则，令，利用导数说明函数的单调性，得到，再令，，求出的最大值，即可得解.
【详解】（1）因为，，
则，
为上的增函数，
在上恒成立，
，
令，，
，
令，解得，
可得函数在上单调递减，在上单调递增，
时，函数取得极小值即最小值，，
，
的取值范围是．
（2）在内恒成立，在内恒成立，
化为，
，
令，，，
，，
当时，，函数在上单调递增，时，时，不符合题意，舍去；
当时，令，解得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
时，函数取得极小值即最小值，
，
令，则，
令，则，
令，解得，
所以当时，则单调递增，
当时，则单调递减，
所以当时，函数取得极大值即最大值，，
的最大值为．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
22．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，极轴所在的直线为轴建立极坐标系，曲线是经过极点且圆心在极轴上的直径为的圆，曲线是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为．

(1)求曲线的极坐标方程，并求曲线和曲线的交点（异于极点）的极径；
(2)若曲线的参数方程为（为参数），且曲线和曲线相交于除极点以外的、两点，求线段的长度．
【答案】(1)，，两曲线交点的极径长为.
(2)
【分析】（1）写出曲线的普通方程，利用普通方程与极坐标方程之间的转换关系可得出曲线的极坐标方程，再将曲线和曲线的极坐标方程联立，即可得出两曲线交点的极径长；
（2）写出曲线的极坐标方程，将曲线、的极坐标方程联立，得出点、的极坐标，即可得出的值.
【详解】（1）在平面直角坐标系中，由题意可知，曲线是以点为圆心，半径为的圆，
曲线的直角坐标方程为，即，
将，代入并化简得的极坐标方程为，，
由消去，并整理得，
即，解得（舍）或，
所以所求异于极点的交点的极径为.
（2）因为曲线的参数方程为（为参数），
所以，曲线是过原点，且倾斜角为的直线，
所以，曲线的极坐标方程为和，
由得，由得，
则曲线与曲线两交点的极坐标为、，
所以（为极点）.
23．已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)设函数f(x)的最大值为M，若a，b，c均为正数，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）先对函数去绝对值，然后分段进行解不等式即可求解；
（2）结合（1）的结论得到，然后利用均值不等式即可求解.
【详解】（1）函数，
当时，化为，解得；
当时，化为，解得
当时，化为，无解；
综上所述，的解集为..
（2）由（1）知，，
因为（当且仅当时，等号成立），
2，（当且仅当，即，c=2时，等号成立），
所以的最小值为12.
研发投入（亿元）
1
2
3
4
5
收益（亿元）
3
7
9
10
11