2024届陕西省西安市高三上学期10月模拟数学（理）试题含解析

这是一份2024届陕西省西安市高三上学期10月模拟数学（理）试题含解析，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的性质和一元二次不等式的解法，求得集合，再结合集合交集和补集的运算，即可求解.
【详解】由不等式，可得，所以，
又由不等式，解得，即，
则或，所以.
故选：D.
2．设复数，i为虚数单位，则在复平面内复数的共轭复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】由复数代数形式的加减乘除运算化简复数，进而得到复数的共轭复数所对应的点所在象限.
【详解】由，
则，所以在复平面内复数的共轭复数所对应的点位于第一象限.
故选：A.
3．函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出导函数，根据导数的几何意义求出切线斜率，然后代入点斜式求解即可.
【详解】因为，所以，则，
因为，所以所求切线方程为，
即.
故选：B.
4．已知等比数列的首项为1，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意得出以及的等价条件，即可得出答案.
【详解】设等比数列公比为，
若，
因为，，
所以有，.
因为，所以，
所以，，所以；
若，则，即.
因为，所以，
所以，解得或.
所以，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5．已知变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）
A．11B．3C．1D．8
【答案】B
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.
【详解】不等式组表示的可行域如图所示，

由，得，作出直线向上平移过点时，取得最小值，
由，解得，即，所以的最小值为.
故选：B.
6．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先利用导数法判断函数的单调性，再结合奇函数性质利用单调性解不等式即可.
【详解】因为，则，所以函数在R上单调递减，
又，，所以函数为奇函数，
故等价于，所以，解得，
所以不等式的解集为.
故选：D.
7．已知抛物线的焦点为F，点在C的内部，若点B是抛物线C上的一个动点，且周长的最小值为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，结合的周长为，结合两点间距离公式计算可得．
【详解】如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于， 抛物线为，准线l的方程为

B到准线的距离为d，则由抛物线的定义可知，
所以的周长为，
,
,
故选：B．
8．已知圆关于直线对称，过点作圆C的两条切线和，切点分别为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】圆心在直线上，求出，利用切线算出的长度，再利用等面积法即可的.
【详解】圆心在直线上，解得，因此，，
，
,
故选:D
9．五岳是中国汉文化中五大名山的总称，分别为东岳泰山、西岳华山、中岳嵩山、北岳恒山、南岳衡山.某旅游博主为领略五岳之美，决定用两个月的时间游览完五岳，且每个月只游览五岳中的两大名山或三大名山（五岳只游览一次），则恰好在同一个月游览华山和恒山的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合组合计数知识，由分类与分步计数原理分别计算样本空间与事件包含的样本点个数，再应用古典概型概率公式求解即可.
【详解】由题意，确定一个月的游览方案，则另一个月游览其余名山即可.
该旅游博主游览五岳可分两类方法：
第一类，第一个月游览两大名山，从五大名山中任选两大名山，有种方法；
第二类，第一个月游览三大名山，从五大名山中任选三大名山，有种方法；
由分类计数原理可得，共有种方法.
设“该旅游博主恰好在同一个月游览华山和恒山”，可分两步完成这件事：
第一步，从两个月中选一个月游览华山和恒山，有种方法；
第二步，确定游览华山和恒山的这个月的游览方案，分为两类：
若该月只游览两大名山，则只有种方法；
若该月浏览三大名山，则再从其余三大山中任取一大山游览，有种方法，
则第二步共有种方法；
由分步计数原理，则完成事件共有种方法.
由古典概型概率公式得.
故选：C.
10．已知函数满足，且在上单调递减，将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据对称性及最值求得函数解析式，再根据图象变换求得的解析式，利用换元法结合余弦函数单调性求解单调递增区间，逐项判断即可.
【详解】因为函数满足，
则当时，函数有最大值，又，且在上单调递减，
所以，即，所以，又时，函数有最大值，
所以，所以，又，所以，
所以，
将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的得到函数的图象，则，
令得，，
所以函数的单调递增区间为，，
当时，递增区间为，故选项A不合题意，
当时，递增区间为，故选项B符合题意，
当时，递增区间为，故选项CD不合题意.
故选：B.
11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三视图知几何体为三棱锥，根据球的性质找到球心，根据勾股定理求出半径，进一步求出表面积.
【详解】根据三视图可知几何体为底面为边长为2的等腰三角形的三棱锥，如图：
设的外接圆的圆心为，连接，，，则，
连接，则结合三视图及几何关系可知平面，设外接球的球心为，
根据球的性质知在上，连接，设球半径为，
根据勾股定理及球的性质得，可得，
所以.
故选：C.
12．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】通过对的变形，转化为不同函数在处的函数值，进而构造函数，利用导数研究函数单调性，比较大小即可.
【详解】由已知，
，
比较与的大小，即比较与的大小.
构造函数，
则，
设，
则，
令解得（舍），，
当时，，单调递增；
则，且，得，
即，故在单调递增，且，
当时，则恒成立，
由，则，即，.
比较与的大小，即比较与的大小，即比较与的大小.
构造函数，，
则，则在单调递减，又，
由，则，
即当时，恒成立，
由，则，
即，即，则，故.
综上所述，.
故选：A.
【点睛】构造函数比较大小的方法点睛：
分析给出的数值之间的关系，找出相应数值的共性，进而把某个数值看作自变量的取值，然后找出该数值与其他数值之间的关系，把给出的数值转化为相应的函数值，最后构造函数利用函数的单调性比较大小.一般通过作差或作商构造函数，作差法构造函数的关键点是研究函数的单调性与函数的零点，作商法构造函数的关键点是函数值的正负、函数的单调性及函数的最值与的大小关系.
二、填空题
13．已知，若，则 .
【答案】
【分析】先运算向量加法，再将向量垂直转化为数量积坐标表示求解，再求即可.
【详解】，，
又，则，解得，
则，所以.
故答案为：.
14．已知，且，若的展开式中存在常数项，则展开式中的系数为 .
【答案】6
【分析】根据展开式通项公式及存在常数项确定，再求出展开式中含的项即可得解.
【详解】展开式的通项公式为，
因为存在常数项，所以，故只有当时满足题意，
即求展开式中含的项的系数，
令 ，即，
所以展开式中含的项为，
所以展开式中的系数为6.
故答案为：6
15．在中，，内角的对边分别为，且，，若点为边上的动点，线段的中垂线分别交直线、于、两点，则的最小值是 .
【答案】
【分析】利用正弦定理将角化边，结合余弦定理求出，即可得到，设线段的中点为，则且，设（），则，利用锐角三角函数得到、，再利用三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得.
【详解】因为，
由正弦定理可得，
整理得，
所以，
又，故，则．
设线段的中点为，则且，设（），
则，
又，所以，即，所以，
又，所以
，
因为，所以，所以，
所以当，即时取得最小值，即.
故答案为：
16．已知双曲线的离心率为2，左、右焦点分别为、，且到渐近线的距离为3，过的直线与双曲线C的右支交于、两点，和的内心分别为、，则的最小值为 .
【答案】
【分析】求出双曲线的方程，根据与的内心性质得到关系式和点的横坐标，设出直线的倾斜角，得到的表达式，即可求出的取值范围，则得到其最小值.
【详解】由题意，，
已知焦点到渐近线的距离为3，
由对称性，不妨设焦点为，渐近线，即，
则焦点到渐近线的距离为，
又离心率为2，
∴，解得，
∴，
∴双曲线的方程为.
记的内切圆在边，，上的切点分别为，
则，横坐标相等，且，，，
由，即，
得，即，
由双曲线定义知点双曲线右支上，且在轴上，则，即内心的横坐标为.
同理内心的横坐标也为，故轴.
设直线的倾斜角为，则，（为坐标原点），
在中，，
由于直线与双曲线的右支交于两点，
且的一条渐近线的斜率为，倾斜角为，
∴，即，
∴的范围是，
当时，即直线垂直于轴时，取到最小值.
故答案为：.

【点睛】双曲线焦点三角形内切圆问题结论点睛：
双曲线上一点与两焦点若构成三角形，则焦点三角形的内切圆与实轴相切于实轴顶点，当点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当点在双曲线右支时，切点为右顶点.
三、解答题
17．已知数列的前n项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知得，与条件相减并进一步化简可得，从而可得是等差数列，进而可求出其通项公式.
（2）由（1）得，然后利用错位相减法可求得.
【详解】（1）因为，所以，两式相减并化简得：
，所以，两式相加得，
所以数列为等差数列，又当时，，所以，
设等差数列的公差为，因为，所以，
所以；
（2）由（1）知，
则，，
所以，
所以.
18．肺炎是指终末气道、肺泡和肺间质的炎症，由多种病因所致的肺组织充血、水肿和渗出性炎症.夏季天气潮热、蝇蚊滋生、霉菌泛滥，再加上热应激的因素等，导致肺炎高发.某调查小组为了解本市不同年龄段的肺炎患者在肺炎确诊两周内的治疗情况，在肺炎患者中随机抽取200人进行调查，并将调查结果整理如下：
(1)试判断是否有90%的把握认为该市肺炎患者在肺炎确诊两周内治愈与年龄有关；
(2)现从样本中肺炎确诊两周内未治愈的人群中用分层抽样法抽取4人做进一步调查，然后从这4人中随机抽取2人填写调查问卷，记这2人中12岁以下的人数为X，求X的分布列与数学期望.
附：
，其中.
【答案】(1)有
(2)分布列见解析，期望为1.
【分析】（1）根据计算的卡方值判断即可；
（2）根据分层抽样求出各层人数，再计算出分布列和期望即可.
【详解】（1）
故，
有的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年軨有关．
（2）根据题意，在抽取的4人中，根据两周内未治愈的人群中12岁以上和12岁以上人数比值为，则抽取的4人中12岁以上和12岁以上人数各2人，则的可能取值为0，1，2．
，，，
故的分布列为
∴X的数学期望．
19．如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，且，M是上靠近点的三等分点，N是的中点，.
(1)求证：；
(2)求平面与平面所成锐二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）借助空间直角坐标系，证明，即可得到本题答案；
（2）先求出平面法向量与平面法向量夹角的余弦值，从而可求得本题答案.
【详解】（1）因为底面是等腰直角三角形，所以，
又因为三棱柱为直三棱柱，所以，
所以，两两垂直，
以点为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图，由题可得，，
因为M是上靠近点的三等分点，所以，设，
则，解得，所以，
所以，，
所以，，即，
又因为，平面，
所以，；
（2）由（1）得，，设平面的法向量为，
则有，令，则，
所以平面的法向量为，
由（1）得，为平面的法向量，
设平面与平面所成锐二面角为，
因为，
所以，
即平面与平面所成锐二面角的正弦值为.
20．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点，直线与椭圆C交于两点，与y轴交于点N，若，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意设，，则．代入菱形的面积公式求出t即可求解；
（2）直线方程联立椭圆方程，利用韦达定理表示，由题意可得，从而得，代入面积运算公式结合二次函数化简即可求解.
【详解】（1）由椭圆的离心率为，可设，，则，
四个顶点构成的四边形为菱形，其面积为，
即，所以椭圆的方程为：.
（2）设，联立直线与椭圆，
消去y可得，
，则，，
设PQ的中点为，则，所以，
因为，所以，所以，
所以，即，所以，
又，所以，
又，所以，所以，所以的取值范围是，
所以面积的取值范围为.
21．已知函数.
(1)试判断函数的单调性；
(2)已知函数，若有且只有两个极值点，且，证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）分和两种情况讨论，即可求得函数的单调性；
（2）将转化为，再根据，即证，构造函数，证明其小于0即可.
【详解】（1）因为函数，定义域为，
所以，
当时，在上恒成立，所以在单调递增；
当时，令，即，解得，
令，解得或，
所以在单调递增，在单调递减；
（2）由题可知，，，
因为有两个极值点，
所以是的两个根，
则，
所以
，
所以，要证，
即证，
即证，即证，即证，
令，则证明，
令，则，
所以，在上单调递增，则，
即，
所以原不等式成立．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
22．平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)已知点，记和交于两点，求的值.
【答案】(1)曲线的普通方程为；曲线的直角坐标方程为
(2)
【分析】（1）消去参数得到普通方程，利用公式将极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）写出符合要求的直线参数方程，利用t的几何意义求解.
【详解】（1）已知曲线（为参数），
则，由消参得，
则曲线的普通方程为．
由曲线的极坐标方程为，
变形得，
即，且满足，
由互化公式，得，即.
故曲线的直角坐标方程为．
（2）由于在直线l上，
可设直线l的参数方程的标准形式为（t为参数），
代入曲线，
化简得，，
设A，B对应的参数分别为，，
则，，
由于，故，
所以.
故的值为.
23．已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）分，，三种情况，去掉绝对值求解即可得出答案；
（2）先根据（1），得出函数解析式，分，，三种情况，分别根据函数的单调性，得出函数的最小值.进而推得，求解即可得出答案.
【详解】（1）当时，，
由可得，，解得.
又，所以解为；
当时，，
由可得，，解得.
又，所以无解；
当时，，
由可得，，解得.
又，所以解为.
综上所述，不等式的解集或.
（2）由（1）可知，.
当时，单调递减，此时有；
当时，单调递减，此时有；
当时，单调递增，此时有.
综上所述，在处有最小值为.
由已知恒成立，
只需，即，
即有，所以.
两周内治愈
两周内未治愈
12岁以上（含12岁）
90
30
12岁以下
50
30
0.150
0.100
0.050
0.025
2.072
2.706
3.841
5.024
两周内治愈
两周内未治愈
合计
12岁以上（含12岁）
90
30
120
12岁以下
50
30
80
合计
140
60
200
0
1
2