2023-2024学年江苏省淮安市淮阴中学五校联盟高三上学期10月学情调查测数学含解析

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试卷满分：150分考试时长：120分钟
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次不等式化简集合，即可由交集运算求解.
【详解】由可得又，所以，
故选：A
2. 已知复数满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数除法的运算法则进行求解即可.
【详解】由，
故选：D
3. 已知，命题，命题，则是的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次不等式恒成立，利用判别式即可求解，利用集合间的关系即可求解.
【详解】为真命题，则，故，
由于，所以是的必要不充分条件，
故选：B
4. 数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列.其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列是等差数列，则称数列为二阶等差数列.现有二阶等差数列，其前六项分别为，则的最小值为（）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】先得出递推公式，叠加法求通项公式，再用基本不等式求最小值即可.
【详解】数列前六项分别为，
依题知，
叠加可得：，
得，
当时，，满足，
所以，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
又，所以等号取不了，所以最小值在取得，
当时，，
所以最小值为.
故选：C
5. 已知为锐角，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二倍角公式以及诱导公式即可求解.
详解】由于，所以，
，
故选：D
6. 已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性以及单调性即可列不等式求解.
【详解】由于的定义域为，关于原点对称，
且故为偶函数，
而当为单调递增函数，故当，单调递减，
由可得，平方得，解得或，
故的取值范围是，
故选：C
7. 已知等差数列和等差数列的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为（）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质可得，进而可求解.
【详解】由于
所以，
要使为整数，则为24因数，由于，故可以为，故满足条件的正整数的个数为7个，
故选：B
8. 已知，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数和指数的互化关系可得均满足方程，进而根据一元二次方程的解，即可结合的单调性求解.
【详解】令，则，
由可得，
进而可得故，同理可得，
令或，
故均为方程的实数根，
故，，
由于函数为单调递增函数，所以，
，
故选:B
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知为等比数列，是其前项和.若与的等差中项为20，则（）
A. B. 公比
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比和首项，进而由求和公式以及通项公式即可求解.
【详解】由得，
又与的等差中项为20，则，所以公比为，
故，故，
故ACD正确，B错误，
故选:ACD
10. 已知正数满足，则（）
A. 的最大值为B. 的最小值为9
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】运用基本不等式逐一判断即可.
【详解】A：因为正数，
所以，当且仅当时取等号，
即当时，有最大值为，因此本选项不正确；
B：因为是正数，，
所以，
当且仅当时取等号，即当取等号，故本选项正确；
C：因为是正数，，
所以，
当且仅当时取等号，即当时，有最小值，因此本选项不正确；
D：因为是正数，，
所以，当且仅当时取等号，即当时，的最小值为
因此本选项正确，
故选：BD
11. 已知函数，则（）
A. 的图象关于原点中心对称
B. 在区间上的最小值为
C. 过点有且仅有1条直线与曲线相切
D. 若过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是
【答案】AD
【解析】
【分析】根据奇函数的定义即可判断A，求导得函数的单调性，即可求解函数的最值，进而判断B，求解切点处的切线方程，将经过的点代入，利用方程的根即可判断DC.
【详解】的定义域为，且，
所以为奇函数，故图象关于原点对称，故A正确，
，令得或，
故在单调递增，在单调递减，
故在区间单调递增，在单调递减，在单调递增，
又，最小值为，故B错误，
设切点为，则切点处切线方程为，
若切线经过，则将代入可得，
所以或，故经过会有两条切线，C错误，
若切线经过，则将代入得，
令，
则当因此在单调递增，在和单调递减，
作出的图象如下：，
要使过点存在3条直线与曲线相切，则直线过点与的图象有三个不同的交点，
故，D正确，
故选：AD
12. 已知函数，则（）
A. 是方程的两个不等实根，且最小值为，则
B. 若在上有且仅有4个零点，则
C. 若在上单调递增，则在上的零点最多有3个
D. 若的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次为，若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据正弦函数性质和周期公式可判断A；函数由小到大的第4个零点在区间内，第5个零点大于求解可判断B；根据单调性和第3个零点在区间内分别求出范围即可判断C；数形结合可得，然后可得，即可求出m，可判断D.
【详解】A选项：由题可知，所以，A正确；
B选项：若，令得，即，
所以，函数由小到大的第4个零点为，第5个零点为，
由题知，，解得，B正确；
C选项：由得，
因为在上单调递增，所以，解得，
若在上有3个零点，则，解得，
因为，所以C错误；
D选项：由图可知，，
又，所以，即，
因为，所以，
所以，D正确.
故选：ABD.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 数列满足，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据递推式得到数列的周期，应用周期性求对应项.
【详解】由题设，
所以是周期为3的数列，则.
故答案为：
14. 已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由导数求解函数的单调递增区间，即可列不等式求解.
【详解】由得，
由于函数的定义域为，故令,解得，故的单调递增区间为，
若在区间上单调递增，则，解得，
故答案为：
15. 在中，角的对边分别为为边中点，若，则面积的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量模长公式即可，结合基本不等式即可求解，进而根据三角函数的单调性，结合面积公式即可求解.
【详解】由于为边中点,所以,平方,
因此,
由于，所以，当且仅当时等号成立，
故，
由于在单调递减，故当时，最小，且为钝角，
,
由于在单调递增，故当取最小值时，此时面积最大，故当时，此时最小，进而最小，故面积最大，
由可得，故面积的最大值为，
故答案为：
16. 已知函数，若恒成立，则满足条件的所有整数的取值集合为__________.（参考数据：）
【答案】
【解析】
【分析】对函数求导，讨论、研究单调性，转化为极小值恒成立，构造中间函数研究使对应a的区间，即得答案.
【详解】由题意且，
当时，即在上递减，又，
所以，定义域内存在，不符合题意；
当时，时，递减；时，递增；
所以，要使恒成立，只需，
令且，则，
所以，时，递增；时，递减；
由，
所以在各有一个零点，且取两个零点之间的值（含零点）时，
故整数时恒成立.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用导数研究单调性，特殊值判断是否能使恒成立，对于求的极小值，构造中间函数研究极小值恒大于等于0的情况.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知函数，且的最大值为3，最小正周期为.
（1）求的解析式；
（2）求在上的值域，并指出取得最大值时自变量的值.
【答案】（1）
（2）值域为，取最大值时自变量的值为
【解析】
【分析】（1）由辅助角公式化简，即可由周期公式求解，根据最值可得，
（2）由得，即可结合三角函数的性质求解.
【小问1详解】
，
所以的最小正周期，则；且的最大值，则.
所以.
【小问2详解】
因为，所以，则，
则，所以的值域为.
当取得最大值时，，所以自变量的值为.
18. 已知是等差数列的前项和，且.
（1）求数列的通项公式与前项和；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，进而根据公式即可求解，
（2）根据当时，，；当时，，，即可分类求解，结合等差数列求和公式即可.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，则，解得.
所以数列的通项公式为，
数列的前项和.
【小问2详解】
由得，所以当时，，；
由得，所以当时，，.
所以，当时，；
当时，
.
所以，.
19. 已知函数.
（1）若在处取得极值，求的极值；
（2）若在上的最小值为，求的取值范围.
【答案】（1）极大值为，极小值为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据极值点可得，进而可得，利用导数即可求解函数的单调区间，进而可求解极值，
（2）根据导数确定函数单调性，结合分类讨论即可求解.
【小问1详解】
，，.
因为在处取得极值，所以，则.
所以，，
令得或1，列表得
所以的极大值为，极小值为.
【小问2详解】
.
①当时，，所以在上单调递增，的最小值为，满足题意；
②当时，令，则或，所以在上单调递减，在上单调递增，
此时，的最小值为，不满足题意；
③当时，在上单调递减，最小值为，不满足题意.
综上可知，实数的取值范围时.
20. 已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求证：数列的前项和.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据的关系可得，进而可得为等比数列，即可求解，
（2）利用放缩法，结合等比数列求和公式即可求证.
【小问1详解】
因为，所以①
当时，，所以；
当时，②
①-②得，即，
则，所以数列构成以为首项，3为公比的等比数列，
则，所以.
【小问2详解】
因为，所以，
所以
.
21. 中，角的对边为.
（1）求角的大小；
（2）若内切圆的半径，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理的角边化及降幂公式，结合余弦定理的推论及三角函数的特殊值对应的特殊角即可求解；
（2）根据（1）的结论及三角形的面积公式即可求解.
【小问1详解】
由正弦定理得，
因为
，
所以，则，即，
由余弦定理得，
又，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，
因为，所以（*）.
又的面积，
即，则，
代入（*）式得，即，
所以，则，
所以的面积.
22. 已知函数.
（1）若函数在点处的切线与函数的图象有公共点，求实数的取值范围；
（2）若函数和函数的图象没有公共点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程，联立方程转化为一元二次方程，利用判别式即可求解,
（2）将问题转化为没有实数根，求导，利用导数确定函数的单调性,分类讨论，进而结合零点存在性定理即可求解.
【小问1详解】
因为，所以，
则在点处的切线斜率为，
所以切线方程为，即.
由得，即.
因为函数定义域为，所以方程有非零实数根，
当时，，符合题意，当时，则，即，且，
所以实数a的取值范围是.
【小问2详解】
因为函数和函数的图象没有公共点，所以，即无实根，
所以当时，无实根，
因为，即是偶函数，所以在上无实根.
，
记则，.
①当时，，又，则，所以，满足在上无实根.
②当时，上有实根，不合题意，舍去.
③当时，，所以在单调递增，
则，所以在上单调递增，
所以，满足在上无实根.
④当时，因为在单调递增，且，，
则存在唯一的，使，列表得
所以当时，，则在单调递减，则，
又因为，且在上连续，
所以在上有实根，不合题意.
综上可知，实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.1
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0
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0
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极大值
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极小值
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0
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↘
极小值
↗