2021届福建省普通高中学业水平合格性考试（会考 ）适应性练习（一）数学试题（解析版）

这是一份2021届福建省普通高中学业水平合格性考试（会考 ）适应性练习（一）数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由交集定义计算．
【详解】根据集合交集中元素的特征，可得，
故选：A.
【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题．
2．在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据平面向量基本定理列出方程组，然后判断方程组是否有解即可.
【详解】解：根据平面向量基本定理，
选项A ，，则，方程组无解，故选项A不能；
选项B，，则，故选项B能.
选项C，，则，
因为，所以方程组无解，故选项C不能.
选项D，，则，
因为，所以方程组无解，故选项D不能.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用以及向量的坐标运算，根据列出方程解方程，判断方程组是否有解是关键，属于基础题.
3．不等式的解集是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】A
【分析】确定对应二次方程的解，根据三个二次的关系写出不等式的解集．
【详解】，即为，．
故选：A．
4．某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有人，则该样本的老年教师人数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，总体中青年教师与老年教师比例为；设样本中老年教师的人数为，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即，解得，故选C.
【解析】分层抽样.
5．圆心为且过原点的圆的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】试题分析：设圆的方程为，且圆过原点，即，得，所以圆的方程为.故选D.
【解析】圆的一般方程.
6．设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.
【详解】因为，
，
，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据余弦二倍角公式计算即可得到答案.
【详解】.
故选：D
【点睛】本题主要考查余弦二倍角公式，属于简单题.
8．函数y=xcsx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】因为，则，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项CD错误；
且时，，据此可知选项B错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
9．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可得 ，解不等式组即可求解.
【详解】由题意得，即，
解得即或
所以函数的定义域为.
故选：C
10．已知三点A(1,0)，B(0， )，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
选B.
【解析】圆心坐标
11．某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：设这两年年平均增长率为，因此解得．
【解析】函数模型的应用．
12．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．
【详解】设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有共6种，
所以恰有2只做过测试的概率为，选B．
【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．
13．等比数列的前n项和为，已知，则
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设公比为q,则，选A.
14．在中，，BC边上的高等于,则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】试题分析：设边上的高线为，则，所以．由正弦定理，知，即，解得，故选D．
【解析】正弦定理
【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．
15．已知是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为
A．B．
C．D．(D)
【答案】C
【解析】分析：首先根据偶函数的性质判断函数在的单调性，再由函数的零点确定或的解集，最后讨论不等式的解集.
详解：由条件可知函数在时增函数，且，这样时，，时，，所以或 ，解集为，故选C.
点睛：本题考查了利用函数的基本性质解不等式，将不等式的性质由图像表示，问题迎刃而解，属于基础题型
二、填空题
16．函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．
【答案】.
【分析】将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.
【详解】函数,周期为
【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.
17．已知，满足，则的最小值为________.
【答案】
【分析】先画出可行域，由，得，画出直线，向上平移过点时，取得最小值，将点坐标代入可得结果
【详解】解：变量，满足所表示的可行域如图所示，
由，得，画出直线，向上平移过点时，取得最小值，
对于，当时，，所以点的坐标为，
所以的最小值为，
故答案为：
18．已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥；③l⊥．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.
【分析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.
【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：
（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m. 正确；
（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.正确；
（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α.不正确，有可能l与α斜交、l∥α.
【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.
19．设函数，若为奇函数，则______.
【答案】-1
【分析】利用函数为奇函数，由奇函数的定义即可求解.
【详解】若函数为奇函数，则，
即，
即对任意的恒成立，则，
得.
故答案为：-1
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，需掌握奇偶性的定义，属于基础题.
20．如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_____.
【答案】10.
【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.
【详解】因为长方体的体积为120，
所以，
因为为的中点，
所以，
由长方体的性质知底面，
所以是三棱锥的底面上的高，
所以三棱锥的体积.
【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.
三、解答题
21．已知等差数列满足，前3项和.
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足，，求的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
【详解】（1）设的公差为，则由已知条件得，，
化简得，，解得，，
故的通项公式，即；
（2）由（1）得，．设的公比为，则，从而，
故的前项和．
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．已知四边形为平行四边形，、，为边的垂直平分线与轴的交点.
（1）求点的坐标；
（2）一条光线从点射出，经直线反射，反射光线经过的中点，求反射光线所在直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求出线段的垂直平分线方程，可求得点的坐标，设点，由结合平面向量的坐标运算可求得点的坐标；
（2）求出点关于直线的对称点的坐标，并求出线段的中点的坐标，求出直线的方程，即为反射光线所在直线的方程.
【详解】（1）如图，设中点为，则，
由的垂直平分线与轴交于点，可知，
，，
所以，直线的方程为，即.
令，则，点的坐标为.
又四边形为平行四边形，设，
，即，，，即点的坐标为；
（2）由（1）知，直线的方程为，
如图，设点关于直线的对称点为，
则，整理可得，解得，，
又的中点的坐标为，因此，反射光线所在直线的方程为.
【点睛】方法点睛：解决光线反射问题，一般转化为点关于直线的对称点问题来求解，解决点关于直线对称问题要把握两点：点与点关于直线对称，则线段的中点在直线上，直线与直线垂直．
23．某二手交易市场对某型号的二手汽车的使用年数x（0＜x≤10）与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据：
（1）试求y关于x的回归直线方程．
（参考公式：，）
（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为ω＝0.05x2﹣1.75x+17.2万元，根据（1）中所求的回归方程，预测x为何值时，销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大？（利润＝销售价格﹣收购价格）
【答案】（1）；（2）3.
【分析】（1）先求样本中心，再求，最后将代入求，即可求解；
（2）先列出利润的表达式z＝﹣0.05x2+0.3x+1.5，再结合二次函数性质即可求解最值；
【详解】（1）由表中数据，计算（2+4+6+8+10）＝6，
（16+13+9.5+7+4.5）＝10，
（xi）（yi）＝（﹣4）×6+（﹣2）×3+0×（﹣0.5）+2×（﹣3）+4×（﹣5.5）＝﹣58.5；
（﹣4）2+（﹣2）2+02+22+42＝40，
由最小二乘法求得1.45，
10﹣（﹣1.45）×6＝18.7，
∴y关于x的回归直线方程为；
（2）根据题意利润函数为
z＝（﹣1.45x+18.7）﹣（0.05x2﹣1.75x+17.2）＝﹣0.05x2+0.3x+1.5，
∴当时，利润z取得最大值．
【点睛】本题考查最小二乘法公式的求法，利用二次函数性质求最值，属于中档题
24．如图，在四梭柱中，底面是菱形，底面，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）设，交于点，证明即可得线面平行；
（2）证明平面，即可得．
【详解】证明：（1）设，交于点.
∵四边形为菱形，∴是的中点，
∵是的中点，连接，∴，
∵平面，平面，
∴平面；
（2）∵四边形为菱形，
∴，
∵底面，平面，
∴，
∵平面，平面，
，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面.
【点睛】本题考查证明线面平行，证明面面垂直．解题方法是几何法，即应用线面平行和面面垂直的判定定理证明．空间线面间的位置关系还可用空间向量法证明．
25．已知函数f（x）＝x2﹣2x+1+a在区间[1，2]上有最小值﹣1．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（lg2x）+1﹣2klg2x＝0在[2，4]上有解，求实数k的取值范围；
（3）若对任意的x1，x2∈（1，2]，任意的p∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤m2﹣2mp﹣2成立，求实数m的取值范围．（附：函数g（t）＝t在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．）
【答案】（1）﹣1；（2）0≤t ；（3）m≤﹣3或m≥3．
【分析】（1）由二次函数的图像与性质即可求解.
（2）采用换元把方程化为t2﹣（2+2k）t+1＝0在[1，2]上有解，然后再分离参数法，化为
t与2+2k在[1，2]上有交点即可求解.
（3）求出|f（x1）﹣f（x2）|max＜1，把问题转化为1≤m2﹣2mp﹣2恒成立，研究关于
的函数h（p）＝﹣2mp+m2﹣3，使其最小值大于零即可.
【详解】（1）函数f（x）＝x2﹣2x+1+a对称轴为x＝1，
所以在区间[1，2]上f（x）min＝f（1）＝a，
由根据题意函数f（x）＝x2﹣2x+1+a在区间[1，2]上有最小值﹣1．
所以a＝﹣1．
（2）由（1）知f（x）＝x2﹣2x，
若关于x的方程f（lg2x）+1﹣2k•lg2x＝0在[2，4]上有解，
令t＝lg2x，t∈[1，2]
则f（t）+1﹣2kt＝0，即t2﹣（2+2k）t+1＝0在[1，2]上有解，
t2+2k在[1，2]上有解，
令函数g（t）＝t，
在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．
所以g（1）≤2+2k≤g（2），
即2≤2+2t，
解得0≤t．
（3）若对任意的x1，x2∈（1，2]，|f（x1）﹣f（x2）|max＜1，
若对任意的x1，x2∈（1，2]，任意的p∈[﹣1，1]，
都有|f（x1）﹣f（x2）|≤m2﹣2mp﹣2成立，
则1≤m2﹣2mp﹣2，即m2﹣2mp﹣3≥0，
令h（p）＝﹣2mp+m2﹣3，
所以h（﹣1）＝2m+m2﹣3≥0，且h（1）＝﹣2m+m2﹣3≥0，
解得m≤﹣3或m≥3．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质、函数与方程以及不等式恒成立问题，综合性比较强，需有较强的逻辑推理能力，属于难题.
类别
人数
老年教师
中年教师
青年教师
合计
使用年数x
2
4
6
8
10
销售价格y
16
13
9.5
7
4.5