2021届西藏日喀则市高三学业水平考试数学（文）试题（解析版）

这是一份2021届西藏日喀则市高三学业水平考试数学（文）试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先化简利用一元二次不等式的解法化简集合B，再利用交集的运算求解.
【详解】因为集合，集合，
所以，
故选：A
2．设复数满足，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】利用复数的除法运算得到复数，再求得模长得解
【详解】,
故选：D
【点睛】本题考查复数的除法运算及模长，属于基础题.
3．如图是一个空间几何体的三视图，则这个几何体侧面展开图的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知可得该几何体是一个圆柱，利用圆柱侧面积公式计算即得结果.
【详解】解：由已知可得该几何体是一个圆柱，
底面直径为1，周长为，圆柱的高为1，故展开图是以圆柱底面周长和高为边长的矩形，故这个几何体侧面展开图的面积是.
故选：B.
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图和圆柱的侧面积公式，属于基础题.
4．在等比数列中，，，且，则公比（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】根据等比数列的通项公式计算即可求解.
【详解】由等比数列性质得，，
又，
所以，
故选：A
5．已知向量与的夹角是，且，，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据，由求解.
【详解】因为向量与的夹角是，且，，
所以，
，
解得 .
故选：B
6．已知，则（ ）
A．B．4C．D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式及同角三角函数的关系，可得，利用两角差的正切公式展开，代入数据，即可得结果.
【详解】因为，
利用诱导公式可得，即，
所以，
故选：C
7．执行如图的程序框图，则输出的值为（ ）
A．33B．215C．343D．1025
【答案】C
【解析】由题意得， ,故选C.
8．等差数列中，已知，，求（ ）
A．11B．22C．33D．44
【答案】B
【分析】根据，，利用等差数列的性质求得和的值，然后由求解.
【详解】∵等差数列中，，
∴，，
∴，，
∴，
故选：B.
9．惠州市某工厂 10 名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14 、14、15 、15 、16 、17 、17 、17，记这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则（ ）
A．a>b>cB．b>c>aC．c>a>bD．c>b>a
【答案】D
【分析】根据平均数的求法，所有数据的和除以总个数即可，中位数求法是从大到小排列后，最中间一个或两数的平均数，众数是在一组数据中出现次数最多的即是众数，根据以上方法可以确定出众数与中位数．
【详解】平均数，中位数，众数，则，
故选：D．
10．过原点的直线被圆所截得的弦长为1，则直线的倾斜角为( )
A．B．或C．D．或
【答案】D
【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，根据垂径定理可构造方程求得直线斜率，由斜率和倾斜角的对应关系可求得结果.
【详解】由圆方程知，圆心，半径.
当直线斜率不存在时，直线与圆相切，不合题意，
可设直线，即，则圆心到直线距离，
，解得：，
直线的倾斜角为或.
故选：.
【点睛】本题考查直线倾斜角的求解，关键是能够利用垂径定理表示出直线被圆截得的弦长，从而构造方程求得直线的斜率.
11．函数的图像为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据分段函数与指数函数图象作图判断即可.
【详解】解：根据题意，当时，，为指数函数，单调递增，且在时函数有最小值；
当时，为指数函数，单调递减，且函数值.
故选：B.
12．下列叙述错误的是（ ）
A．若p∈α∩β，且α∩β=l，则p∈l.
B．若直线a∩b=A，则直线a与b能确定一个平面.
C．三点A，B，C确定一个平面.
D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α则lα.
【答案】C
【分析】由空间线面位置关系，结合公理即推论，逐个验证即可．
【详解】选项，点在是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；
选项，由公理的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确；
选项，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；
选项，由公理1，直线上有两点在一个平面内，则整条直线都在平面内．
故选：C
二、填空题
13．某学校共有学生2000名，采用分层抽样的方法抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生数比男生数少6人，则该校的女生数为__________.
【答案】
【分析】设样本中女生人数为，则男生人数为，根据样本容量求出，再由抽样比，即可得出结果.
【详解】设样本中女生人数为，则男生人数为，
又样本容量为200，所以，解得，
因为抽样比为，
所以该校的女生数为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查分层抽样的计算，属于基础题.
14．若x，y满足约束条件，则的最大值是________．
【答案】10
【分析】先根据不等式组画出可行域，再根据目标函数求得最大值即可.
【详解】根据约束条件画出可行域如下：
作目标函数的一系列平行线，可知直线过A点时z最大.
由得，故的最大值为.
故答案为：10.
【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，属于基础题.
15．已知为等差数列，为其前项和..若．则的值为_________．
【答案】60
【分析】由等差数列的通项公式和前项和公式求得首项和公差，然后再求和．
【详解】设数列的公差为，则，解得，
所以．
故答案为：60．
【点睛】本题考查求等差数列的前项，解题方法是等差数列的基本量法．即求出首项和公差，然后由等差数列的前项和公式得结论．
16．一个圆锥的底面面积是S，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积是__________．
【答案】
【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，利用侧面展开图是半圆，求出，利用圆的面积公式可得结果.
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，
则，底面周长，
因为侧面展开图是半圆，所以，，
所以侧面积为．
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：利用侧面展开图是半圆求出母线长与底面半径的关系是解题关键，属于基础题.
三、解答题
17．在中，角、、所对的边分别为、、，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由，利用正弦定理得到，然后利用两角和的正弦公式化简得到求解.
（2）根据，，利用余弦定理求得，代入公式求解.
【详解】（1）,由正弦定理得
∴
，
在中，,可得，
又∴
（2）∵，其中，，
∴，
所以.
18．2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位:小时)， 随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求该校学生学习的周均时长的众数的估计值;
（2）估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.
【答案】（1）25小时；（2）0.3.
【分析】（1）根据直方图，频率最大的区间中点横坐标为众数即可求众数；（2）由学习的周均时长不少于30小时的区间有、，它们的频率之和，即为该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.
【详解】（1）根据直方图知：频率最大的区间中点横坐标即为众数，
∴由频率最大区间为，则众数为；
（2）由图知：不少于30小时的区间有、，
∴该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.
【点睛】本题考查了根据直方图求众数、概率，应用了众数的概念、频率法求概率，属于简单题.
19．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，为的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见详解；（2）
【分析】（1）证出⊥平面，利用面面垂直的判定定理即可证出.
（2）利用三棱锥的体积即可求解.
【详解】（1）在三棱柱中，底面，所以，
又因为，所以⊥平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）因为，，，
所以，
所以三棱锥的体积为：==.
20．易知椭圆，其短轴为4，离心率为e1.双曲线的渐近线为，离心率为e2，且.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设椭圆E的右焦点为F，过点G(4，0)斜率不为0的直线交椭圆E于M、N两点设直线FM和FN的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
【答案】（1）（2）是定值，.
【详解】（1）由题意可知：2b=4，b=2，，双曲线的离心率，
则椭圆的离心率为.椭圆的离心率，则a=.
所以椭圆的标准方程：.
（2）是定值，证明如下：
如图，设直线MN的方程为.
联立消去y整理得.
设，则，
.
将，代入上式得，
即.
21．已知曲线 y = x3 + x－2 在点 P0 处的切线 平行于直线
4x－y－1=0，且点 P0 在第三象限,
⑴求P0的坐标;
⑵若直线 , 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程.
【答案】（1）（2）
【详解】本试题主要是考查了导数的几何意义，两条直线的位置关系，平行和垂直的运用．以及直线方程的求解的综合运用．
首先根据已知条件，利用导数定义，得到点P0的坐标，然后利用，设出方程为x+4y+c=0,根据直线过点P0得到结论．
解：（1）由y=x3+x-2，得y′=3x2+1，
由已知得3x2+1=4，解之得x=±1．
当x=1时，y=0；
当x=-1时，y=-4．
又∵点P0在第三象限，
∴切点P0的坐标为（-1，-4）；
（2）∵直线 l⊥l1，l1的斜率为4，
∴直线l的斜率为-1/ 4 ，
∵l过切点P0，点P0的坐标为（-1，-4）
∴直线l的方程为y+4=（x+1）即x+4y+17=0．
22．以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线：，M是上的动点，点N在射线上且满足，设点N的轨迹为.
（1）写出曲线的极坐标方程，并化为直角坐标方程；
（2）已知直线l的参数方程为(t为参数，)，曲线截直线l所得线段的中点坐标为，求的值.
【答案】（1）， ；（2）.
【分析】（1）设，得到代入的方程得到，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解.
（2）将l的参数方程代入的直角坐标方程，求得，再结合直线参数方程的几何意义，得到，即可求解.
【详解】（1）设，因为，可得，
代入满足的方程，可得，
即，两边同乘以并展开整理得，
又由，
所以的直角坐标方程为.
（2）将l的参数方程代入的直角坐标方程，整理得，
可得，
又由直线的参数方程经过点，可得，
即，即，
因为，所以.
23．已知，函数.
（1）若，，求不等式的解集；
（2）求证：.
【答案】（1）或；（2）证明见解析.
【分析】（1）代入、的值，解此不等式即可得解；
（2）利用分析法可得知：要证不等式成立，即证，利用绝对值三角不等式及两次基本不等式证明即可.
【详解】（1）依题意，，
则或，
解得或，故不等式的解集为或.
（2）依题意，，
因为，
，故，
故，当且仅当，时等号成立.
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式证明不等式，考查了转化思想，属中档题.