2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试题（七） 解析版

这是一份2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试题（七） 解析版，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共15小题.每小题6分,满分90分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合M={-1,0,1,2},N={x|-1≤x<2},则M∩N=( )

A.{0,1,2}B.{-1,0,1}C.MD.N
2.对任意的正实数x,y,下列等式不成立的是( )
A.lg y-lg x=lg yxB.lg (x+y)=lg x+lg y
C.lg x3=3lg xD.lg x=lnxln10
3.已知函数f(x)=x3-1,x≥02x,x<0,设f(0)=a,则f(a)=( )
A.-2B.-1C.12D.0
4.定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(x)在(-∞,2)上是增函数,则( )
A.f(-1)f(3)
C.f(-1)=f(3)D.f(0)=f(3)
5.圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为( )
A.x-322+y2=254B.x+342+y2=2516
C.x-342+y2=2516D.x-342+y2=254
6.已知向量a=(1,1),b=(0,2),则下列结论正确的是( )
A.a∥bB.(2a-b)⊥b
C.|a|=|b|D.a·b=3
7.某校高一(1)班有男、女学生共50人,其中男生20人,用分层抽样的方法,从该班学生中随机选取15人参加某项活动,则应选取的男、女生人数分别是( )
A.6和9B.9和6C.7和8D.8和7
8.如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形,俯视图是正方形,则该几何体的体积为( )
A.1B.2
C.4D.8
9.若实数x,y满足x-y+1≥0,x+y≥0,x≤0,则z=x-2y的最小值为( )
A.0B.-1C.-32D.-2
10.如图,O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点,则下列等式正确的是( )
A.DA-DC=ACB.DA+DC=DO
C.OA-OB+AD=DBD.AO+OB+BC=AC
11.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=2,c=13,则C=( )
A.5π6B.π6C.2π3D.π3
12.函数f(x)=4sin xcs x,则f(x)的最大值和最小正周期分别为( )
A.2和πB.4和π
C.2和2πD.4和2π
13.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱AA1,B1C1,C1D1,DD1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是( )
A.直线CC1B.直线C1D1
C.直线 HC1D.直线GH
14.设函数f(x)是定义在R上的减函数,且f(x)为奇函数,若x1<0,x2>0,则下列结论不正确的是( )
A.f(0)=0B.f(x1)>0
C.fx2+1x2≤f(2)D.fx1+1x1≤f(2)
15.已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2,则a1+a2+…+an=( )
A.4(2n-1)2B.4(2n-1+1)2
C.4(4n-1)3D.4(4n-1+2)3
二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,满分24分)
16.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地……”,则该人最后一天走的路程为 。
17.若sinπ2-θ=23,且0<θ<π,则tan θ= .
18.笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔,先从笔筒中随机取出一支笔,使用后放回笔筒,第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用,则两次使用的都是黑色笔的概率为 .
19.圆心为两直线x+y-2=0和-x+3y+10=0的交点,且与直线x+y-4=0相切的圆的标准方程是 .
三、解答题(本大题共3小题.每小题12分,满分36分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)
20.若等差数列{an}满足a1+a3=8,且a6+a12=36.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足b1=2,bn+1=an+1-2an,求数列{bn}的前n项和Sn.
21.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PB=BC,F为BC的中点,DE垂直平分PC,且DE分别交AC,PC于点D,E.
(1)证明:EF∥平面ABP;
(2)证明:BD⊥AC.
22.某学校用简单随机抽样方法抽取了30名同学,对其每月平均课外阅读时间(单位:小时)进行调查,茎叶图如图:
若将月均课外阅读时间不低于30小时的学生称为“读书迷”.
(1)将频率视为概率,估计该校900名学生中“读书迷”有多少人?
(2)从已抽取的7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人,参加读书日宣传活动.
①共有多少种不同的抽取方法?
②求抽取的男、女两位“读书迷”月均读书时间相差不超过2小时的概率.
答案：
1.B 【解析】M∩N={-1,0,1},故选B.
2.B 【解析】对于B项,令x=y=1,则lg (x+y)=lg 2>lg 1=0,而lg x+lg y=0,显然不成立,故选B.
3.C 【解析】∵a=f(0)=03-1=-1,
∴f(a)=f(-1)=2-1=12,故选C.
4.A 【解析】依题意得f(3)=f(1),由-1<1<2,及函数f(x)在(-∞,2)上是增函数得f(-1)5.C 【解析】根据题意,设圆E的圆心坐标为(a,0)(a>0),半径为r,
则a2+(0-1)2=r2,(a-2)2=r2,a2+(0+1)2=r2,
解得a=34,r2=2516,
∴圆E的标准方程为x-342+y2=2516.
6.B 【解析】对于A项,1×2-0×1≠0,错误;
对于B项,2a-b=(2,0),b=(0,2),则2×0+0×2=0⇒(2a-b)⊥b,正确;
对于C项,|a|=2,|b|=2,错误;
对于D项,a·b=1×0+1×2=2,错误.故选B.
7.A 【解析】抽样比为k=1550=310,则应抽取的男生人数为20×310=6(人),应抽取的女生人数为(50-20)×310=9(人),故选A.
8.C 【解析】由三视图可知,该几何体为长方体,长为2,宽为2,高为1,则体积为V=2×2×1=4,故选C.
9.D 【解析】(快速验证法)交点为(0,1),(0,0),-12,12,则z=x-2y分别为-2,0,-32,所以z的最小值为-2,故选D.
10.D 【解析】对于A项,DA-DC=CA,错误;
对于B项,DA+DC=2DO,错误;
对于C项,OA-OB+AD=BA+AD=BD,错误;
对于D项,AO+OB+BC=AB+BC=AC,正确.故选D.
11.A 【解析】由余弦定理,得cs C=a2+b2-c22ab=(3)2+22-(13)22×3×2=-32,
又∵012.A 【解析】∵f(x)=2sin 2x,∴f(x)max=2,最小正周期为T=2π2=π,故选A.
13.C 【解析】连接EH,HC1,可知EH∥A1D1,又FC1∥A1D1,∴EH∥FC1.又EH≠FC1,∴直线EF与HC1相交.故选C.
14.D 【解析】对于A项,∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,正确;
对于B项,∵f(x)为R上的减函数,∴x1<0⇒f(x1)>f(0)=0,正确;
对于C项,∵x2>0∴x2+1x2≥2x2·1x2=2(当且仅当x2=1x2,即x2=1时等号成立)
∴f(x2+1x2)≤f(2),正确;
对于D项,∵x1<0,∴x1+1x1=--x1+1-x1≤-2-x1·1-x1=-2,
∴fx1+1x1≥f(-2)=-f(2),错误.故选D.
15.C 【解析】当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2×2n-2n=2n;
当n=1时,a1=S1=22-2=2适合上式.
∴an=2n(n∈N*)⇒an2=(2n)2=4n,
∴{an2}是首项为4,公比为4的等比数列,
∴a12+a22+…+an2=4(1-4n)1-4=4(4n-1)3,故选C.
16.6里 【解析】由题意知,该人每天行走的里数构成一个等比数列{an}(n∈N*),q=12,则S6=a11-1261-12=378,∴a1=192,∴a6=a1q5=192×125=6.故该人最后一天走的路程为6里.
17.52 【解析】∵sinπ2-θ=cs θ=23,且0<θ<π,∴sin θ=1-cs2θ=1-232=53,
∴tan θ=sinθcsθ=53×32=52.
18.49 【解析】P=2×23×3=49.
19.(x-4)2+(y+2)2=2 【解析】联立x+y-2=0,-x+3y+10=0,得x=4,y=-2,⇒圆心为(4,-2),则圆心(4,-2)到直线x+y-4=0的距离为d=|4-2-4|12+12=2,故圆的半径为2,∴圆的标准方程为(x-4)2+(y+2)2=2.
20.【解】(1)设等差数列{an}的公差为d.
∴a1+a3=8,a6+a12=36⇒a1+a1+2d=8,a1+5d+a1+11d=36⇒a1=2,d=2,
∴an=2+(n-1)×2=2n,
∴数列{an}的通项公式为an=2n.
(2)由(1)知,an=2n,
∴bn+1=an+1-2an=2(n+1)-2×2n=-2n+2,
∴bn=-2(n-1)+2=-2n+4,
又∵b1=2适合上式,∴bn=-2n+4(n∈N*),
∴bn+1-bn=-2n+2-(-2n+4)=-2.
∴数列{bn}是首项为2,公差为-2的等差数列.
∴Sn=2n+n(n-1)2×(-2)=2n-n2+n=-n2+3n.
21.【解】(1)证明:∵DE垂直平分PC,∴E为PC的中点.
又∵F为BC的中点,
∴EF为△BCP的中位线,
∴EF∥BP.
又∵EF⊄平面ABP,BP⊂平面ABP,∴EF∥平面ABP.
(2)证明:连接BE,
∵PB=BC,E为PC的中点,∴PC⊥BE.
∵DE垂直平分PC,∴PC⊥DE.
又∵BE∩DE=E,BE,DE⊂平面BDE,
∴PC⊥平面BDE.
又∵BD⊂平面BDE,∴PC⊥BD.
∵PA⊥平面ABC,BD⊂平面ABC,∴PA⊥BD.
又∵PC∩PA=P,PC,PA⊂平面PAC,
∴BD⊥平面PAC.
又∵AC⊂平面PAC,∴BD⊥AC.
22.【解】(1)设该校900名学生中“读书迷”有x人,
则730=x900,解得x=210.
所以该校900名学生中“读书迷”约有210人.
(2)①设抽取的男“读书迷”为a35,a38,a41,抽取的女“读书迷”为b34,b36,b38,b40(其中下角标表示该生月平均课外阅读时间),
则从7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人的所有基本事件为
(a35,b34),(a35,b36),(a35,b38),(a35,b40),(a38,b34),(a38,b36),(a38,b38),(a38,b40),(a41,b34),(a41,b36),(a41,b38),(a41,b40),
所以共有12种不同的抽取方法.
②设A表示事件“抽取的男、女两位‘读书迷’月均读书时间相差不超过2小时”,
则事件A包含(a35,b34),(a35,b36),(a38,b36),(a38,b38),(a38,b40),(a41,b40)共6个基本事件,
所以所求概率P(A)=612=12.