2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试题（四） 解析版

这是一份2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试题（四） 解析版，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分)
1.已知集合M={1,2,3,4},集合N={1,3,5},则M∩N等于( )

A.{2}B.{2,3}
C.{1,3}D.{1,2,3,4,5}
2.下列函数为偶函数的是( )
A.y=sin xB.y=x3
C.y=e|x-1|D.y=lnx2+1
3.某中学有高一年级560人,高二年级540人,高三年级520人,用分层抽样的方法抽取容量为81的样本,则在高一、高二、高三三个年级抽取的人数分别为( )
A.28,27,26B.28,26,24
C.26,27,28D.27,26,25
4.设α为锐角,若csa+π6=45,则sin2a+π3的值为( )
A.1225B.2425C.-2425D.-1225
5.已知平面向量a=(0,-1),b=(2,2),|λa+b|=2,则λ的值为( )
A.1+2B.2-1
C.2D.1
6.已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程是( )
A.4x+2y=5B.4x-2y=5
C.x+2y=5D.x-2y=5
7.如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图,根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为( )
(1)
(2)
(3)
(4)
A.三棱台、三棱柱、圆锥、圆台
B.三棱台、三棱锥、圆锥、圆台
C.三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台
D.三棱柱、三棱台、圆锥、圆台
8.已知f(x)=x+1x-2(x>0),则f(x)有( )
A.最大值为0B.最小值为0
C.最大值为-4D.最小值为-4
9.利用计算机在区间(0,1)上产生随机数a,则使不等式9a2-9a+2<0成立的概率是( )
A.13B.23
C.12D.15
10.在△ABC中,A∶B=1∶2,sin C=1,则a∶b∶c=( )
A.1∶2∶3B.3∶2∶1
C.2∶3∶1D.1∶3∶2
11.等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么{an}的前7项和S7=( )
A.22B.24C.26D.28
12.在△ABC中,N是AC边上一点,且AN=12NC,P是BN上的一点,若AP=mAB+29AC,则实数m的值为( )
A.19B.13
C.1D.3
13.csπ12-sinπ12csπ12+sinπ12=( )
A.-32B.-12
C.12D.32
14.已知某几何体的三视图都是边长为2的正方形,若将该几何体削成球,则球的最大表面积是( )
A.16πB.8πC.4πD.2π
15.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=-10,an+1=an+3(n∈N*),则Sn取最小值时,n的值是( )
A.3B.4C.5D.6
二、填空题(共4小题,每小题6分,共24分)
16.若点(2,1)在y=ax(a>0,且a≠1)关于y=x对称的图象上,则a= .
17.已知f(x)=x2+(m+1)x+(m+1)的图象与x轴没有公共点,则m的取值范围是 (用区间表示).
18.设f(x)=lgx,x>0,10x,x≤0,则f(f(-2))= .
19.已知4x+9y=1,且x>0,y>0,则x+y的最小值是 .
三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分)
20.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c·csB-b=2a.
(1)求角C的大小;
(2)设角A的平分线交BC于D,且AD=3,若b=2,求△ABC的面积.
21.已知圆C经过A(3,2),B(1,6)两点,且圆心在直线y=2x上.
(1)求圆C的方程;
(2)若直线l经过点P(-1,3)且与圆C相切,求直线l的方程.
22.如图,四棱锥P-ABCD 的底面是边长为1的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=2,E是侧棱PA上的动点.
(1)求四棱锥P-ABCD的体积;
(2)如果E是PA的中点,求证:PC∥平面BDE;
(3)是否不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BD⊥CE?证明你的结论.
答案：
1.C 【解析】M∩N={1,2,3,4}∩{1,3,5}={1,3},故选C.
2.D 【解析】选项A,B为奇函数,选项C为非奇非偶函数,lnx2+1=ln(-x)2+1,所以选D.
3.A 【解析】根据题意得,用分层抽样在各层中的抽样比为81560+540+520=120,则在高一年级抽取的人数是560×120=28(人),高二年级抽取的人数是540×120=27(人),高三年级抽取的人数是520×120=26(人).故选A.
4.B 【解析】因为α为锐角,且csa+π6=45,
所以sina+π6=1-cs2a+π6=35.
所以sin2a+π3=sin2a+π6
=2sina+π6csa+π6
=2×35×45=2425.
5.C 【解析】λa+b=(2,2-λ),那么4+(2-λ)2=4,解得,λ=2.故选C.
6.B 【解析】线段AB的中点为2,32,kAB=1-23-1=-12,
∴垂直平分线的斜率k=-1kAB=2,
∴线段AB的垂直平分线的方程是y-32=2(x-2)⇒4x-2y-5=0.故选B.
7.C 【解析】(1)三视图复原的几何体是放倒的三棱柱.
(2)三视图复原的几何体是四棱锥.
(3)三视图复原的几何体是圆锥.
(4)三视图复原的几何体是圆台.
所以(1)(2)(3)(4)的顺序为:三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台.故选C.
8.B 【解析】由x>0,可得1x>0,
即有f(x)=x+1x-2≥2x·1x-2=2-2=0,
当且仅当x=1x,即x=1时,取得最小值0.
9.A 【解析】解不等式知1310.D 【解析】在△ABC中,A∶B=1∶2,sin C=1,
可得A=30°,B=60°,C=90°.
a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=12∶32∶1=1∶3∶2.
故选D.
11.D 【解析】∵等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,
∴3a4=a3+a4+a5=12,解得a4=4,
∴S7=7(a1+a7)2=7×2a42=7a4=28.故选D.
12.B 【解析】如图,
因为AN=12NC,
所以AN=13AC,AP=mAB+29AC=mAB+23AN.
因为B,P,N三点共线,
所以m+23=1,所以m=13.
13.D 【解析】csπ12-sinπ12csπ12+sinπ12=cs2π12-sin2π12=csπ6=32.故选D.
14.C 【解析】∵三视图均为边长为2的正方形,
∴几何体是边长为2的正方体,
将该几何体削成球,则球的最大半径为1,表面积是4π×12=4π.故选C.
15.B 【解析】在数列{an}中,由an+1=an+3,得an+1-an=3(n∈N*),
∴数列{an}是公差为3的等差数列.
又a1=-10,∴数列{an}是公差为3的递增等差数列.
由an=a1+(n-1)d=-10+3(n-1)=3n-13≥0,解得n≥133.
∵n∈N*,∴数列{an}中从第五项开始为正值.
∴当n=4时,Sn取最小值.故选B.
16.2 【解析】∵点(2,1)在y=ax(a>0,且a≠1)关于y=x对称的图象上,
∴点(1,2)在y=ax(a>0,且a≠1)的图象上,
∴2=a1,解得a=2.
17.(-1,3) 【解析】依题意Δ=(m+1)2-4(m+1)=(m+1)(m-3)<0⇒-1故m的取值范围用区间表示为(-1,3).
18.-2 【解析】∵x=-2<0,∴f(-2)=10-2=1100>0,
∴f(10-2)=lg 10-2=-2,即f(f(-2))=-2.
19.25 【解析】∵4x+9y=1,且x>0,y>0,
∴x+y=4x+9y(x+y)
=13+4yx+9xy≥13+24yx·9xy=25,
当且仅当4yx=9xy,即x=10且y=15时取等号.
20.【解】(1)由已知及余弦定理得2c×a2+c2-b22ac=2a+b,
整理得a2+b2-c2=-ab,
∴cs C=a2+b2-c22ab=-ab2ab=-12,
又0∴C=2π3,即角C的大小为2π3.
(2)由(1)C=2π3,依题意画出图形.在△ADC中,AC=b=2,AD=3,
由正弦定理得sin∠CDA=AC·sinCAD=23×32=22,
又△ADC中,C=2π3,
∴∠CDA=π4,
故∠CAD=π-2π3-π4=π12.
∵AD是角∠CAB的平分线,
∴∠CAB=π6,
∴△ABC为等腰三角形,且BC=AC=2.
∴△ABC的面积S=12BC·ACsin2π3=12×2×2×32=32.
21.【解】(1)方法一:设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
依题意得,(3-a)2+(2-b)2=r2,(1-a)2+(6-b)2=r2,b=2a,
解得a=2,b=4,r2=5.
所以圆C的方程为(x-2)2+(y-4)2=5.
方法二:因为A(3,2),B(1,6),所以线段AB中点D的坐标为(2,4),
直线AB的斜率kAB=6-21-3=-2,
因此直线AB的垂直平分线l'的方程是y-4=12(x-2),即x-2y+6=0.
圆心C的坐标是方程组x-2y+6=0,y=2x的解.
解此方程组,得x=2,y=4,即圆心C的坐标为(2,4).
圆C的半径长r=|AC|=(3-2)2+(2-4)2=5.
所以圆C的方程为(x-2)2+(y-4)2=5.
(2)由于直线l经过点P(-1,3),
当直线l的斜率不存在时,x=-1与圆C:(x-2)2+(y-4)2=5相离.
当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y-3=k(x+1),即kx-y+k+3=0.
因为直线l与圆C相切,且圆C的圆心为(2,4),半径为5,所以有|2k-4+k+3|k2+1=5.
解得k=2或k=-12.
所以直线l的方程为y-3=2(x+1)或y-3=-12(x+1),
即2x-y+5=0或x+2y-5=0.
22.【解】(1)∵PA⊥底面ABCD,
∴PA为此四棱锥底面上的高.
∴V四棱锥PABCD=13S正方形ABCD·PA=13×12×2=23.
(2)证明:如图,连接AC交BD于O,连接OE.
∵四边形ABCD是正方形,∴AO=OC.
又∵AE=EP,∴OE∥PC.
又∵PC⊄平面BDE,OE⊂平面BDE,
∴PC∥平面BDE.
(3)不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BD⊥CE.
∵四边形ABCD是正方形,∴BD⊥AC.
∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BD.
又∵PA∩AC=A,
∴BD⊥平面PAC.
∵CE⊂平面PAC,
∴BD⊥CE.