2022年6月湖北省普通高中学业水平合格性模拟考试数学试题（解析版）

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这是一份2022年6月湖北省普通高中学业水平合格性模拟考试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知复数满足，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复数代数形式的除法法则化简复数，再根据复数模的计算公式计算可得；
【详解】解：因为，所以，
所以；
故选：B
2．设集合，集合，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先解出集合A,B,再求交集即可.
【详解】解：因为，
由合，解得，
所以，
又因为，
由，解得，
所以，
所以.
故选：D.
3．已知平面向量，，若，则的值为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可；
【详解】解：因为，且，
所以，解得；
故选：B
4．某校高一（6）班有男生30人，女生20人，现采用分层随机抽样的方法从该班级抽取10人参加“楚天杯”有奖知识竞答，且这10人中要选取2人担任领队，则2名领队中至少有1名男生的概率为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先按照分层抽样的原理求出男生和女生的人数，再计算领队全为女生的概率，再根据对立事件求解即可.
【详解】根据分层抽样原理，男生人数为，女生人数为4，
领队全为女生的概率，“至少有1名男生”与“全为女生”是对立事件，
∴至少有1名男生的概率为，
故选：C.
5．下列函数的图象关于轴对称的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据偶函数的定义判断即可；
【详解】解：对于A：定义域为，所以，
故为偶函数，函数图象关于轴对称，故A正确；
对于B：定义域为，且，
故为奇函数，函数图象关于原点对称，故B错误；
对于C：定义域为，定义域不关于原点对称，
故函数是非奇非偶函数，故C错误；
对于D：定义域为，定义域不关于原点对称，
故函数是非奇非偶函数，故D错误；
故选：A
6．已知正实数、满足，则的取值可能为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式求得的最小值判断.
【详解】解：因为正实数、满足，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：D
7．在正三棱柱中，，点为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出异面直线与所成角，利用余弦定理求得该角的余弦值.
【详解】根据正三棱柱的性质可知，
所以是异面直线与所成角，设，
在三角形中，，
由余弦定理得.
故选：C
8．设、，记：，：，则是的（）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】解：当时，无意义，故不充分；
当时，因为在上递增，则，即，故必要，
故选：B
9．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据抽象函数定义域计算规则计算可得；
【详解】解：因为函数的定义域为，
即，所以，令，解得，
所以函数的定义域为；
故选：A
10．方程的正实数根所在的区间为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据零点存在定理判断即可.
【详解】解：令,
,,
所以函数的零点在（1,2）内,
又因为，
所以函数的零点在内.
故选：C.
11．已知，则的值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用同角关系计算即可.
【详解】，
；
故选：D.
12．在矩形中，点为边的中点，点为对角线上一点，且，记，，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作图，根据图中的几何关系，将作为基底即可.
【详解】如图：
，
故选：C.
13．某高校数学与应用数学专业计划招收190名本科新生，现有1000名考生达到该校最低录取分数线且均填报了该校数学与应用数学专业，该高校对这1000名考生组织了一次数学学科能力测试（满分100分），按成绩由高到低择优录取，并绘制了考试成绩的频率分布直方图，据此可以估计该校数学与应用数学专业的最低录取分数线为（）
A．86分B．87分C．88分D．90分
【答案】B
【分析】根据录取率为0.19，利用频率分布直方图求解.
【详解】解：设该校数学与应用数学专业的最低录取分数线为x，
由题意得，
解得，
故选：B
14．现有甲、乙两个不透明的盒子，里面均装有大小、质地一样的红球和白球各1个，从两个盒子各取出1个球，记事件为“从甲盒子中取出红球”，记事件为“从乙盒子中取出红球”，记事件为“从两个盒子中取出的球颜色相同”．下列说法正确的是（）
A．与，与均相互独立B．与相互独立，与互斥
C．与，与均互斥D．与互斥，与相互独立
【答案】A
【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概念判断即可；
【详解】解：因为事件为“从甲盒子中取出红球”，事件为“从乙盒子中取出红球”，
所以事件与相互独立，且，，
事件与事件可以同时发生，故事件与事件不互斥，
又，
所以，即，
所以事件与事件相互独立，
故选：A
15．将函数的图像向右平移个单位长度后得到的函数图像关于轴对称，则实数的值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出平移后的解析式，再利用正余弦函数的性质列式作答即可.
【详解】依题意，平移后所得图象对应的函数解析式是：，
因函数的图象关于y轴对称，即函数是偶函数，
因此，，即，而，所以.
故选：D.
二、多选题
16．下列函数，在区间上单调递增的是（）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据基本初等函数和其复合函数的性质，逐项分析即可.
【详解】对于A，，，当时是增函数；
对于B，，由反比例函数的性质可知，当时是增函数；
对于C，，由于，当时，是减函数；
对于D，，二次函数的对称轴是，当时，是增函数，所以也是增函数；
故选：ABD.
17．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列说法错误的是（）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，，则D．若，，则
【答案】AC
【分析】根据线面、面面关系的性质定理与判定定理一一判断即可；
【详解】解：对于A：若，，则或或或与相交不垂直，故A错误；
对于B：若，，根据面面平行的性质可得，故B正确；
对于C：若，，，则或或与相交或与异面，故C错误；
对于D：若，，根据面面垂直的判定定理可得，故D正确；
故选：AC
18．已知函数，下列说法正确的是（）
A．函数的定义域为
B．函数为偶函数
C．函数的单调递增区间为
D．函数的图像关于直线对称
【答案】BD
【分析】先求出的定义域，再对化简，根据对数函数和其复合函数的性质逐项分析即可.
【详解】的定义域为：，，

= ；
对于A，错误；
对于B，，
是偶函数，正确；
对于C，不在定义域内，错误；
对于D，二次函数的对称轴是x=-1， ∴ 是关于x=-1对称的，正确；
故选：BD.
三、填空题
19．函数的单调递减区间为________.
【答案】
【分析】由题意利用正弦函数的单调性，求得该函数的单调减区间．
【详解】对于函数，
令，,
求得，
可得它的单调递减区间为，，，
故答案为，，．
【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．
20．在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为_________．
【答案】
【分析】将三棱锥补全为长方体，长方体的外接球就是所求的外接球，长方体的对角线就是外接球直径，计算出半径后可得表面积．
【详解】将三棱锥补全为长方体，
则长方体的外接球就是所求的外接球，设球半径为R，
则，
所以球的表面积为．
故选答案为：．
21．已知平面内两个向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【分析】当两向量的夹角是钝角时，其数量积是负数，但必须排除两向量反向（夹角为）.
【详解】由题意，，
当反向时，有，解得，
∴k的取值范围是；
故答案为：.
22．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，向上的点数依次记为、，则使得函数在区间上不单调且该函数与轴交点的纵坐标大于1的概率为_________．
【答案】
【分析】先求出满足题意的m，n的范围，再求出在所求范围内的数对的概率即可.
【详解】对于函数，欲使得在上不单调，并且与y轴交点的纵坐标大于1，
则必须，即，
由于，数对共有36对，即基本事件为36，
满足的有 4种，∴的概率为；
故答案为： .
四、解答题
23．已知平面向量，，记函数．
(1)若，求的值；
(2)求函数的对称轴方程、单调递减区间和最小值．
【答案】(1)-1
(2)对称轴为，单调递减区间为，最小值为-2+m
【分析】（1）根据数量积坐标运算法则计算出的解析式，将代入即可；
（2）用整体代入法直接对分析即可.
【详解】(1) ，
，
将代入，，m=-1；
(2)由于，对称轴为，
当时，单调递减，
∴单调递减区间为，最小值为-2+m；
综上，m=-1，对称轴为，单调递减区间为，最小值为-2+m.
24．在四棱锥中，底面为矩形，，平面平面，点为中点．
(1)证明：；
(2)若，四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接、，即可得到、，从而得到平面，即可得证；
（2）令，即可求出，，再根据面面垂直的性质得到平面，连接，可得即为直线与平面所成角，根据锥体的体积公式求出，即可求出，从而得解；
【详解】(1)证明：取的中点，连接、，
因为，所以，
在矩形中，点为中点，
所以，所以，
又，平面，
所以平面，平面，所以；
(2)解：令，则，
所以，，
因为，平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以，解得，所以
连接，因为平面，
所以即为直线与平面所成角，
又，所以，
在中，，即直线与平面所成角的余弦值为；
25．已知函数．
(1)用定义法证明：函数在区间上单调递增；
(2)判断函数在上的零点个数（不需要证明）．
【答案】(1)证明见解析
(2)1个
【分析】（1）利用定义法证明，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；
（2）依题意可得，令，，利用函数的单调性及特殊点的函数值判断即可；
【详解】(1)证明：设，且，
则
因为，所以，，所以，，
所以，所以，
所以，，
所以，
即，所以函数在区间上单调递增；
(2)解：因为，，
令，，因为与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，，
所以当时，当时，
所以当时，当时，，
所以在上有且仅有个零点；