2023年广东省普通高中学业水平合格性考试模拟(八)数学试题(解析版)
展开一、单选题
1.已知全集,集合,则( )
A.或B.
C.或D.
【答案】C
【分析】根据补集的定义运算即得.
【详解】∵,集合,
∴或.
故选:C.
2.函数的定义域是
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】表达式中带根号,故只需考虑根号内大于等于0即可.
【详解】由,则 ,解得 ,故选C.
【点睛】求定义域时需要注意:1.根号内大于等于0;2.分母不能为0;3.对数函数中真数大于0.
3.函数的最小正周期是( )
A.B.πC.2πD.4π
【答案】D
【分析】利用正弦函数的周期求解.
【详解】f(x)的最小正周期为.
故选:D.
4.已知向量,则( )
A.(4,3)B.(5,1)
C.(5,3)D.(7,8)
【答案】B
【分析】根据向量的坐标运算即得.
【详解】∵,
∴.
故选:B.
5.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若A=60°,b=2,c=3,则a=( )
A.B.
C.4D.
【答案】A
【分析】利用余弦定理求解即可.
【详解】∵A=60°,b=2,c=3,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccs A=4+9-2×2×3×=7,
∴a=.
故选:A
6.若,则的值为( )
A.-B.C.-3D.3
【答案】A
【分析】根据和差角的正切公式即得.
【详解】∵,
∴.
故选:A.
7.已知复数(为虚数单位),则复数在复平面内对应的点为
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】利用复数的乘方和复数的除法运算律将复数表示为一般形式,即可得出复数在复平面内对应的点的坐标.
【详解】,
所以复数在复平面内对应的点的坐标为.
故选:A.
【点睛】本题考查复数的乘方、复数的除法运算,同时也考查了复数对应的点的坐标的计算,解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式,考查计算能力,属于基础题.
8.如果两个球的表面积之比为4∶9,那么这两个球的体积之比为( )
A.2∶3B.4∶9C.8∶27D.16∶81
【答案】C
【分析】球的表面积之比是两球的半径的平方之比,体积之比是半径的立方之比,据此即可计算.
【详解】设两球的半径分别为,则,∴,所以两球的体积比为;
故选:C.
9.函数的图象大致为( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【分析】根据对数函数的图象和性质即得.
【详解】由对数函数性质知为增函数,故排除BD;
当时,,即函数过点,排除C.
故选:A.
10.某校对学生在寒假中参加社会实践活动的时间(单位:小时)进行调查,并根据统计数据绘制了如图所示的频率分布直方图,其中实践活动时间的范围是[9,14],数据的分组依次为:[9,10),[10,11),[11,12),[12,13),[13,14].已知活动时间在[9,10)内的人数为300,则活动时间在[11,12)内的人数为( )
A.600B.800C.1 000D.1 200
【答案】D
【分析】由频率分布直方图,根据频率的意义计算.
【详解】解析:活动时间在[9,10)内的频率为0.10,在[11,12)内的频率为0.40,设活动时间在[11,12)内的人数为x,则,解得x=1 200.
故选:D.
11.从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件,观察正品件数和次品件数,则下列每对事件互斥但不对立的是( )
A.“至少有1件次品”与“全是次品”
B.“恰好有1件次品”与“恰好有2件次品”
C.“至少有1件次品”与“全是正品”
D.“至少有1件正品”与“至少有1件次品”
【答案】B
【分析】由互斥事件和对立事件的定义判断.
【详解】从一堆产品中任取2件,基本事件为“全是正品”,“一件正品,一件次品”,“全是次品”,共3种情况,
其中AD不互斥,C是对立事件,只有B互斥但不对立.
故选:B.
12.函数(a>0,且a≠1)的图象恒过定点( )
A.(0,-3)B.(0,-2)
C.(1,-3)D.(1,-2)
【答案】D
【分析】根据指数函数的图象所过定点的性质求解.
【详解】令x-1=0,则x=1,此时,y=a0-3=-2,∴图象过定点(1,-2).
故选:D.
13.从3本不同的数学书和1本语文书中任取两本,则取出的两本书中有语文书的概率为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】把四本书编号,用列举法写出所有基本事件,并得出有语文书的基本事件,计数后计算概率.
【详解】记3本数学书为a,b,c,1本语文书为d,从中任取两本,共有取法:ab,ac,ad,bc,bd,cd,共6种情况,其中有语文书有3种情况,故所求概率为.
故选:A.
14.一个扇形的弧长与面积的数值都是3,则该扇形圆心角的弧度数为( )
A.B.C.D.2
【答案】C
【分析】由扇形的弧长公式和面积公式列方程组求解.
【详解】设扇形的圆心角的弧度数为α,半径为r,则解得
故选:C.
15.下图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,有以下判断:①BF与DN平行;②CM与BN是异面直线;③DF与BN垂直;④AE与DN是异面直线.则判断正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【分析】还原为正方体根据空间直线的位置关系结合正方体的性质即得.
【详解】把平面展开图折起,得到如图所示的正方体,
则BF与DN是异面直线,故①错误;
CM与BN平行,故②错误;
由题可知,所以DF与BN垂直,故③正确;
AE与DN是异面直线,故④正确;
故正确个数为2.
故选:B.
二、填空题
16.已知函数,则的值为________
【答案】-3
【分析】由分段函数的定义计算,注意自变量的取值范围.
【详解】,,
∴.
故答案为:.
17.已知向量与的夹角为,且,,则的值为________.
【答案】-6
【分析】由数量积的定义计算.
【详解】.
故答案为:.
18.如图,在长方形ABCD中,AB=2,AD=1,E是CD的中点,沿AE将△DAE向上折起,使D为D′,且平面AED′⊥平面ABCE.则直线AD′与平面ABC所成角的正弦值为_____.
【答案】
【分析】由面面垂直,易得斜线在平面的射影,进而得角.
【详解】解:由题意,为等腰直角三角形,
∵平面平面,
∴在底面的射影为,
∴为直线与平面所成角,
且,
其正弦值为.
故答案为:.
【点睛】此题考查了斜线与平面所成角,难度不大.
19.已知函数对任意,都有成立.有以下结论:
①;②是上的偶函数;③若,则;
④当时,恒有,则函数在上单调递增.
则上述所有正确结论的编号是________
【答案】①③
【分析】对于①,通过赋值可得,①正确;
对于②,通过赋值可证为奇函数,②错误;
对于③,通过赋值可得,③正确;
对于④,函数单调性的定义,根据题意,结合函数为奇函数,可证在上单调递减,④错误.
【详解】对于①令,则,解得,①正确;
对于②令,则,∴,∴是上的奇函数,②错误;
对于③令,则,∴,③正确;
对于④设,则,∴,
则,∴在上单调递减,④错误.
故答案为:①③.
三、解答题
20.如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为平行四边形,E,F分别为BC,CC1的中点.证明:EF∥平面AB1D1.
【答案】证明见解析
【分析】由直线与平面平行的判定定理,需要证明EF∥AD1.
【详解】证明:连接BC1,如图所示
∵E,F分别为BC,CC1的中点,∴EF∥BC1,
在四棱柱中,底面ABCD为平行四边形,∴AB∥DC∥D1C1且AB=DC=D1C1,
∴四边形AB C1D1为平行四边形,有BC1∥AD1,∴EF∥AD1,
∵EF⊄平面AB1D1,AD1⊂平面AB1D1,∴EF∥平面AB1D1.
21.已知函数,
(1)求函数的单调递增区间;
(2)若函数在上有零点,求的取值范围.
【答案】(1) ,k∈Z
(2)
【分析】(1)利用余弦的二倍角公式化简,再结合余弦函数的单调性求解即可;(2)转化为方程在上有解即可.
【详解】(1)
当 ,k∈Z时,单调递增,
∴函数的单调递增区间为,k∈Z.
(2)函数在上有零点,也就是在上有解.
∵当时,.
∴a的取值范围是.
22.树立和践行“绿水青山就是金山银山,坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心,已形成了全民自觉参与,造福百姓的良性循环.据此,某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查,大量的统计数据表明,参与调查者中关注此问题的约占.现从参与调查的人群中随机选出人,并将这人按年龄分组:第组,第组,第组第组第组得到的频率分布直方图如图所示:
(1)求的值
(2)求这人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位);
(3)现在要从年龄较小的第组中用分层抽样的方法抽取人,再从这人中随机抽取人进行问卷调查,求这组恰好抽到人的概率.
【答案】(1);(2)平均数为岁;中位数为岁;(3).
【解析】(1)由频率分布直方图即能求出;
(2)由频率分布直方图即能求出平均数和中位数;
(3)第1,2组的人数分别为20人,30人,从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人,则第1,2组抽取的人数分别为2人,3人,再利用列举法即可求出.
【详解】解:(1)由,得.
(2)平均数为岁;
设中位数为,则,∴岁.
(3)第组的人数分别为人,人,从第组中用分层抽样的方法抽取人,
则第组抽取的人数分别为人,人,分别记为.
从人中随机抽取人,有,
共个基本事件,从而第组中抽到人的概率.
【点睛】方法点睛:求解古典概型的问题方法之一:运用列举法是常用的方法,列举时,注意思考的顺序,做到不重不漏.
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