2023年广东省普通高中学业水平合格性考试模拟（四）数学试题（解析版）

这是一份2023年广东省普通高中学业水平合格性考试模拟（四）数学试题（解析版），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知全集，集合，，则等于（ ）
A．B．C．{3}D．{4}
【答案】D
【分析】根据交集和补集的运算，可得答案.
【详解】，∴.
故选：D.
2．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对数的真数大于零建立不等式可求解.
【详解】由题意得，解得，故函数的定义域是.
故选：C.
3．一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180度所形成的几何体的名称是
A．圆柱B．圆锥C．圆台D．圆柱的一部分
【答案】B
【分析】利用等腰三角形性质结合圆锥的定义直接判断作答.
【详解】等腰三角形底边上的高所在的直线将这个等腰三角形分成两个全等的直角三角形，
则一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180度所形成的几何体，相当于这个等腰三角形底边上的高
所在的直线分它而成的一个直角三角形绕这个直角三角形一条直角边(等腰三角形的高为直角边)所在直线旋转
360度所形成的几何体，由圆锥的定义知，这个几何体是圆锥，所以几何体的名称是圆锥.
故选：B
4．已知，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：∵，，∴，∴，
∴．
【解析】平方关系、倍角关系．
5．下列存在量词命题是假命题的是（ ）
A．存在，使B．存在，使
C．存在钝角三角形的内角不是锐角或钝角D．有的有理数没有倒数
【答案】C
【分析】对于C选项，利用钝角三角形定义判断即可.A，B，D选项举例说明.
【详解】当时，.故A正确.
当时，.故B正确.
因为对任意的钝角三角形，其内角和是，所以内角是锐角或是钝角，所以选项C不正确.
0是有理数，0没有倒数.所以有的有理数没有倒数.所以D正确.
故选：C
6．已知复数满足，则
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：∴，∴z=，故选C.
【解析】复数运算
7．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12．设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将数据从小到大重新排列（也可以是从大到小），计算出的值即可比较大小.
【详解】解：重新排列得：10，12，14，14，15，15，16，17，17，17.
则有：．
所以
故选：D.
8．函数的零点在区间．
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】分析：由零点存在定理直接跑到即可.
详解：∵，，
∴函数的零点在区间．故选．
点睛：本题考查零点存在定理的应用，属基础题.
9．小吴一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（ ）
A．1%B．2%C．3%D．5%
【答案】C
【分析】由图1知食品开支占总开支的30%，由图2知鸡蛋开支占食品开支的，由此求得鸡蛋开支占总开支的百分比．
【详解】解：由图1所示，食品开支占总开支的30%，
由图2所示，鸡蛋开支占食品开支的，
∴鸡蛋开支占总开支的百分比为30%3%．
故选C．
10．函数，且）与的图像大致是
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先看的单调性，可排除CD，在时，再看的纵截距．
【详解】由题知，直线的斜率为，故排除选项C、D，又由选项A、B中的图像知，当时， ，所以A正确，B错误．
故选A．
【点睛】本题考查指数函数的图象，属于基础题，解题时可根据分类讨论，即分和两类．
11．已知向量，，若，则锐角α为（ ）
A．30°B．60°C．45°D．75°
【答案】A
【分析】利用向量平行列方程，即可求出锐角α.
【详解】因为，所以sin2α，∴sin α＝±．
又α为锐角，所以α＝30°．
故选：A
12．掷一枚骰子，出现偶数点或出现不小于4的点数的概率是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据古典概型计算公式，结合列举法进行求解即可．
【详解】∵试验发生包含的事件是掷一个骰子出现的点数，共有6种结果，
∴而满足条件的事件是出现偶数点或出现不小于4的点数，有2，4，5，6共有4种结果，
∴出现偶数点或出现不小于4的点数的概率是，
故选：A
13．某商场的某种商品的年进货量为10000件，分若干次进货，每次进货的量相同，且每次进货的运费为100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金之和最省，每次进货量应为（ ）
A．200件B．5000件
C．2500件D．1000件
【答案】D
【分析】可设每次进x件，总运费与租金的和为元，可得到函数关系式，再利用基本不等式，即可得到答案.
【详解】设每次进货x件，一年的运费和租金之和为y元.
由题意得，，
当且仅当x＝1000时取等号成立.
故选：D.
【点睛】本题考查基本不等式在实际问题中的应用，关键在于分析实际问题得到正确的函数关系，属于中档题．
14．设函数（，），已知函数的图象相邻的两个对称中心的距离是，且当时，取得最大值，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是B．函数在上单调递增
C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称
【答案】A
【分析】根据正弦函数的周期性，利用整体思想，建立方程，可得函数解析式，利用整体代入的方法，结合单调性以及对称性，可得答案.
【详解】由题意，的最小正周期，∴.
∵当时，取得最大值，即，.∴，.
∵，∴.∴.
对于A，正确；
对于B，当时，，由正弦函数的单调性可知错误；
对于C，由，，故错误；
对于D，由，，故错误.
故选：A.
15．如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面中，D为的中点，，，则异面直线与所成的角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】C
【分析】取的中点，连接，得或其补角为所求，在中求解角即可.
【详解】如图，取的中点，连接，则，
故或其补角为所求异面直线与所成的角，
又，，
所以为等边三角形，
所以，
故选：C
【点睛】本题考查了求异面直线所成角的大小，解题的关键是找到与异面直线所成角的大小相等的两角，属于基础题.
二、填空题
16．已知是奇函数，且当时，.若，则__________.
【答案】-3
【分析】当时，代入条件即可得解.
【详解】因为是奇函数，且当时，．
又因为，，
所以，两边取以为底的对数得，所以，即．
【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
17．若等边三角形ABC的边长为4，E是中线BD的中点，则___________
【答案】1
【分析】根据平面向量的加减表示，利用一组基底表示向量，结合数量积的运算性质，可得答案.
【详解】∵等边三角形ABC的边长为4，E是中线BD的中点，，
∴，.
∴.
故答案为：.
18．《九章算术》中有文：今有鳖臑，下广五尺，无袤，上袤四尺，无广，高七尺，问积几何？文中所述鳖臑是指四个面皆为直角三角形的三棱锥.在如图所示的鳖臑中，若，则该鳖臑的体积为__________.
【答案】
【分析】根据垂直关系可确定为鳖臑的高，根据棱锥体积公式可求得结果.
【详解】四个面均为直角三角形且 平面且
为鳖臑的高
故答案为：
【点睛】本题考查三棱锥体积的求解问题，关键是能够根据垂直关系确定三棱锥的高，属于基础题.
19．在中，若，的面积为，则边a的长为___________.
【答案】
【解析】由条件结合三角形的面积公式可得，再由余弦定理可得答案.
【详解】由
，所以，
由余弦定理可得：， 即.
故答案为：.
三、解答题
20．如图，在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD.求证：
(1)直线平面BDE；
(2)平面BDE⊥平面PCD.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据线面平行的判定定理，结合中位线定理，可得答案；
（2）利用平行线的性质，以及等腰三角形的性质，根据线面垂直判定定理，结合面面垂直判定定理，可得答案.
【详解】（1）如图，连接OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以O为AC的中点.
又E为PC的中点，所以.
因为平面BDE，平面BDE，所以直线平面BDE.
（2）因为，PA⊥PD，所以OE⊥PD.
因为OP=OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC.
又平面PCD，平面PCD，，所以OE⊥平面PCD.
因为平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD.
21．已知函数f（x）=ax–1（x≥0）的图象经过点，其中a>0且a≠1．
（1）求a的值；
（2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）将点代入函数解析式即可求出（2）根据的值确定函数单调性，利用单调性求函数值域即可.
【详解】（1）由题意得，所以；
（2）由（1）得，
因为函数在[0，+∞）上是减函数，
所以当x=0时，f（x）有最大值，
所以f（x）max=f（0）==2，
所以f（x）∈（0，2]，
即函数y=f（x）（x≥0）的值域为（0，2]．
【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，属于中档题.
22．已知函数，将函数的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的最大值和最小值.
【答案】(1) (2)见解析
【分析】(1)首先化简三角函数式，然后确定平移变换之后的函数解析式即可；
(2)结合(1)中函数的解析式确定函数的最大值即可.
【详解】（1）

.
由题意得，
化简得.
（2）∵，
可得，
∴.
当时，函数有最大值1；
当时，函数有最小值.
【点睛】本题主要考查三角函数图像的变换，三角函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.