2023年广东省普通高中学业水平合格性考试模拟（五）数学试题（解析版）

这是一份2023年广东省普通高中学业水平合格性考试模拟（五）数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知全集，，，则集合
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：因为A∪B={x|x≤0或x≥1}，所以，故选D.
【解析】集合的运算.
2．设i是虚数单位，若复数(2＋ai)i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【答案】B
【分析】根据复数的乘法及复数的概念即得.
【详解】因为，又其实部与虚部互为相反数，
所以，即．
故选：B.
3．已知是第二象限角，为其终边上一点，且，则等于
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由三角函数的定义得，
解得．
又点在第二象限内，
所以．选D．
4．下列函数中，定义域为R的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用基本初等函数的定义域，即得.
【详解】对于A， 函数的定义域为，不符合题意；
对于B，函数的定义域为，不符合题意；
对于C，函数的定义域为，不符合题意；
对于D，函数的定义域为R，符合题意.
故选：D.
5．已知一正方体的棱长为2，则该正方体内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正方体内切球半径为棱长的一半可得球的半径，代入球的表面积公式即可.
【详解】正方体内切球半径为棱长的一半，即
所求内切球的表面积
故选：
【点睛】本题考查正方体内切球表面积的求解，关键是明确正方体内切球半径为棱长的一半，属于基础题.
6．抛掷一颗骰子，观察向上的点数，下列每对事件相互对立的是（ ）
A．“点数为2”与“点数为3”B．“点数小于4”与“点数大于4”
C．“点数为奇数”与“点数为偶数”D．“点数小于4”与“点数大于2”
【答案】C
【分析】根据对立事件的定义依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】若事件为对立事件，则必有一个且仅有一个发生
中，“点数为”和“点数为”不是必有一个发生的事件，错误；
中，“点数小于”与“点数大于”不是必有一个发生的事件，存在“点数等于”，错误；
中，“点数为奇数”与“点数为偶数”必有一个且仅有一个发生，符合对立事件定义，正确；
中，“点数小于”与“点数大于”可同时发生，即“点数等于”，错误.
故选：
【点睛】本题考查对立事件的判断，关键是明确对立事件的定义，即事件为对立事件，则必有一个且仅有一个发生.
7．已知，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由分段函数的定义计算．
【详解】，，
所以．
故选：B．
8．若函数的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由函数的图象可知，函数，则下图中对于选项A，是减函数，所以A错误；对于选项B,的图象是正确的；对C，是减函数，故C错；对D，函数是减函数，故D错误。
故选B．
9．函数y＝－2cs2＋1是( )
A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的非奇非偶函数
【答案】A
【详解】分析：详解原式根据降幂公式化简，然后计算周期和判断奇偶性即可.
详解：由题可得：
故周期为π，并且是奇函数，
所以选A.
点睛：考查三角函数的降幂公式，周期计算和就像判断，属于基础题.
10．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵，∴.
∴，即，
∴,，故选B.
【考点定位】向量的坐标运算
11．2020年双十二这一天，某实体店新进两款棉服，统计如表所示，现用分层随机抽样的方法从新进的商品中抽取6件，再从这6件中任抽2件检测，则抽到的2件均为甲款的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题可得抽取的6件新进产品中，乙款有2件，甲款有4件，然后利用列举法及古典概型概率公式即得.
【详解】根据题意得抽取的6件新进产品中，乙款有2件，记为A，B，甲款有4件，记为a，b，c，d,
从这6件中任意选取2件，所有可能的情况有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB，共15种,
其中抽到的2件均为甲款的有ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种，
故所求概率.
故选：B.
12．下列数值大于1的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数和对数函数单调性依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】，正确；，错误；
，错误；，错误.
故选：
【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数单调性比较大小的问题，属于基础题.
13．如图所示，在正方体中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线与所成的角的大小为（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
【答案】B
【分析】连接，可得为异面直线与所成的角，利用正方体的性质结合条件即得.
【详解】连接，，分别是，的中点，
，又由正方体的性质可知，
故就是异面直线与所成的角或所成角的补角
连接，由题可知为正三角形，即
故与所成的角为60°．
故选：B.
14．从某校高一新生中随机抽取一个容量为20的身高样本，将数据从小到大排序（单位：cm）：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，x，174，175.若样本数据的第90百分位数是173，则x的值为（ ）.
A．171B．172C．173D．174
【答案】B
【分析】根据百分位数的计算方法求解．
【详解】∵20×90%=18，
∴样本数据的第90百分位数是第18项和第19项数据的平均数，
故，解得x=172．
故选：B
15．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，得到f（x）在区间上单调递减，然后根据，得到求解.
【详解】因为f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，
所以f（x）在区间上单调递减，
因为，
所以，
所以，
解得，
所以a的取值范围是，
故选：C
二、填空题
16．已知向量，且，则________
【答案】
【分析】根据向量平行的坐标表示即得.
【详解】因为，且，
所以由，
解得．
故答案为：.
17．若为钝角，且，则的值为__________.
【答案】
【分析】根据同角三角函数平方关系可求得，利用二倍角公式可求得结果.
【详解】为钝角
故答案为：
【点睛】本题考查利用二倍角公式求值的问题，涉及到同角三角函数平方关系的应用，易错点是忽略角所处的范围，造成三角函数值符号求解错误.
18．如图．M是棱长为2cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是______cm．
【答案】
【详解】试题分析：由题意，若以为轴展开，则两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2，3,故两点之间的距离是;
若以以为轴展开，则两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是;
故沿正方体表面从点到点的最短路程是,
故答案为.
【解析】多面体和旋转体表面上的最短距离问题.
19．某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价，第二次提价；方案乙：每次都提价，若，则提价多的方案是________.
【答案】乙
【分析】设原价为，计算出两种提价方案后的价格，利用基本不等式比较大小后可得出结果.
【详解】设原价为，则提价后的价格为：
方案甲：；方案乙： ，
由基本不等式得，
且，所以，，则.
所以提价多的方案是乙.
故答案为：乙.
【点睛】本题考查利用基本不等式比较大小，考查推理能力与计算能力，属于基础题.
三、解答题
20．全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2019年8月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下表：
(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；
(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数.
【答案】(1)，，频率分布直方图如下
(2)平均数为95，中位数为87.5
【分析】（1）可得空气质量指数在的频数和频率，即可求出，进而求得，则可得出频率分布直方图；
（2）根据频率分布直方图直接计算即可.
【详解】(1)由图可得空气质量指数在的有20天，频率为，所以，
所以，
则可得频率分布直方图如下：
(2)由频率分布直方图可得平均数为，
因为的频率，的频率，
所以中位数在内，设为，
则，解得.
21．如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上．
(1)求证：AE⊥BE；
(2)求三棱锥D－AEC的体积．
【答案】（1）见证明（2）
【分析】（1）由已知条件推导出AE⊥BC，BF⊥AE，从而得到AE⊥平面BCE，即可证明AE⊥BE．（2）由VD﹣AEC＝VE﹣ADC，能求出三棱锥D﹣AEC的体积．
【详解】(1)由题意知，AD⊥平面ABE，且AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE，∵AE⊂平面ABE，
∴AE⊥BC，
∵BF⊥平面ACE，且AE⊂平面ABE，
∴BF⊥AE，又BC∩BF＝B，
∴AE⊥平面BCE，
又∵BE⊂平面BCE，
∴AE⊥BE.
(2)在△ABE中，过点E作EH⊥AB于点H，
∵AD⊥平面ABE，且AD⊂平面ACD，
∴平面ACD⊥平面ABE，∴EH⊥平面ACD．
由已知及(1)得EH＝AB＝，2.
故＝＝×2×＝.
【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查三棱锥体积的求法，考查空间想象能力和转化能力，属于基础题．
22．已知向量，，，其中．
(1)当时，求的取值集合；
(2)设函数，求的最小正周期及其单调递增区间．
【答案】(1)；
(2)；（）．
【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示及三角恒等变换可得，然后根据三角函数的性质即得；
（2）由题可得，然后利用三角函数的性质即得.
【详解】(1)∵，
∴，
∴，
∴所求x的取值集合为；
(2)∵，
∴
，
∴最小正周期为．
由，得，
∴单调递增区间是（）．
棉服
甲款
乙款
进货数量
20
10
空气质量指数（）
[0，50]
(50，100]
(100.150]
(150.200]
(200.250]
空气质量等级
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
天数
20
40
m
10
5