四川省泸州市泸县第一中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省泸州市泸县第一中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷共22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的交集、补集运算即可.
【详解】由已知可得，
因此，.
故选：B
2. 命题“，”的否定是( )
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】利用全程量词命题的否定的概念即可求解.
【详解】根据全称量词命题的否定可知，
命题“，”的否定是，.
故选：A.
3. 如果，下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质，结合作差比较，逐项判定，即可求解.
详解】对于A中，由，可得，又由，
其中的符号不确定，所以A不正确；
对于B中，根据函数在定义域上为单调递增函数，
由，可得，即，所以B正确；
对于C中，由，
由，可得，但的符号不确定，所以C不正确；
对于D中，例如：，可得，所以D不正确.
故选：B.
4. 若，且，则（ ）.
A. B. 或0C. 或1或0D. 或或0
【答案】B
【解析】
【分析】利用条件，得或，求解之后进行验证即可．
【详解】解：因为，，
若，则或，解得x＝2或−2或1或0．
①当x＝0，集合A＝{1，4，0}，B＝{1，0}，满足．
②当x＝1，集合A＝{1，4，1}，不成立．
③当x＝2，集合A＝{1，4，2}，B＝{1，4}，满足．
④当x＝−2，集合A＝{1，4，−2}，B＝{1，4}，满足．
综上，x＝2或−2或0．
故选：B．
【点睛】本题主要考查集合关系的应用，考查分类讨论的思想，属于基础题．
5. 设函数，若，则实数等于
A. B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：因为，所以，故选C.
考点：分段函数的解析式.
6. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A. 25B. 16C. 12D.
【答案】A
【解析】
分析】
利用将化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.
【详解】∵正数a，b满足，∴，，
等号仅当即时等号成立．
故选：A．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
7. 若，不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. {a|a＞1}D.
【答案】D
【解析】
【分析】将已知转化为，，利用函数的单调性求最值即可得解.
【详解】由于，不等式恒成立
所以，恒成立，即 恒成立
令，显然在 上单调递减，
所以实数a的取值范围是
故选：D
【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
②数形结合( 图像在 上方即可)；
③讨论最值或恒成立.
8. 若函数为定义在上的奇函数,且在为减函数,若,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数为定义在上的奇函数,且在为减函数,若,画出函数的大致图像,结合图像即可求得答案.
【详解】根据函数为定义在上的奇函数,且在为减函数,若,画出函数的大致图像,如图:
①当时,即,
由,得或
解得:.
②当时,即
由得或
解得
综上所述:的取值范围是 .
故选:B.
【点睛】本题考查了根据函数图像求解函数不等式,解题关键是根据题意画出函数图像,结合单调性和奇偶性进行求解,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知集合A＝{0，1}，则下列式子正确的是（ ）
A. 0∈AB. {1}∈A
C. ∅⊆AD. {0，1}⊆A
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用元素与集合，集合与集合的基本关系判断.
【详解】解：因为集合A＝{0，1}，
所以0∈A，{1} A，∅A，{0，1}⊆A，
故选：ACD
10. 下列各组函数表示相同函数的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】CD
【解析】
【分析】依据相同函数的定义，定义域和对应法则都相同，依次判断即可
【详解】选项A，两个函数的对应法则不同，不是同一函数；
选项B，两个函数的定义域和对应法则都不相同，不是同一函数；
选项C，，两个函数的定义域和对应法则都相同，是同一函数；
选项D，两个函数的定义域和对应法则都相同，与自变量的符号表示无关，是同一函数.
故选：CD
11. 下列命题中的真命题有（ ）
A. 当时，的最小值是3
B. 最小值是2
C. 当时，的最大值是5
D. 对正实数x，y，若，则的最大值为3
【答案】AC
【解析】
【分析】对A：将目标式进行配凑，再利用基本不等式即可求解；
对B：令，构造对勾函数，利用对勾函数的单调性即可求得结果；
对C：直接利用基本不等式即可求得结果；
对D：取特殊值，即可判断正误.
【详解】对A：当时，，
当且仅当，即时取得等号，故A正确；
对B：，
令，则，令，
又在上单调递增，故，
故的最小值为，也即的最小值为，故B错误；
对C：，当且仅当，即时取得等号；
故当时，的最大值是,故C正确；
对D：因为，且，显然满足题意，
此时有，故D错误.
故选：AC.
12. 已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A.
B. 不等式的解集为
C.
D. 不等式的解集为
【答案】BD
【解析】
【分析】一元二次不等式的解的端点即为对应的一元二次方程的解，再根据开口确定的正负.
【详解】因为的解集为，
所以，解得，所以A错误；
对于B：将代入可得，解得，B正确；
对于C：不等式的解集为，
所以时，C错误；
对于D：将代入可得，即，
解得，D正确，
故选：BD
第II卷 非选择题
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知实数满足不等式，则的取值范围为______
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】不等式等价于，即，
对应方程的根是和，
所以不等式的解集是.
故答案为：
14. 已知，，，，则p是q的________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
【答案】充要
【解析】
【分析】
判断和的真假．
【详解】解析当，时，且成立,
当且时，得
所以p是q的充要条件.
故答案为：充要条件
【点睛】本题考查充分必要条件的判断，在确定了和的真假后可给出正确选择．
15. 函数的定义域为，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】函数的定义域为，等价于恒成立，然后分和两种情况讨论求解即可得答案
【详解】函数的定义域为，等价于恒成立，
当时，显然成立；
当时，由，得．
综上，实数的取值范围为．
故答案为：
16. 已知是上的减函数，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题知，解不等式组即可得答案.
【详解】解：当时，为减函数，故
又因为是上的减函数，
所以，解得.
所以实数的取值范围为
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 记全集，集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合运算，结合数轴分析可得；
（2）先分析集合A，B的包含关系，然后利用数轴讨论即可.
【小问1详解】
若，则，
因为或，

所以或.
【小问2详解】
若，则，

所以，解得，即实数的取值范围为.
18. 已知函数，且
（1）求解析式；
（2）判断并证明函数在区间的单调性.
【答案】（1）；
（2）单调递增，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题得且，解方程组即得解；
（2）利用单调性的定义判断证明即可.
【小问1详解】
解：且，解得.
所以函数的解析式为.
【小问2详解】
解：
∵.
∵，
，所以，
所以，所以函数在单调递增.
19. 已知定义域在上的奇函数,当时, 的图象如图所示.
（1）请补全函数的图象并写出它的单调区间.
（2）求函数的表达式.
【答案】（1）如图所示：
的单调递增区间为，；单调递减区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数关于原点对称，即可画出图像．
（2）令,则 ，即，再根据
即可写出，，即可得出答案．
【详解】（1）如图所示：
单调递增区间为，
单调递减区间为
（2）令,则 ，
又为奇函数，所以
所以
【点睛】本题考查利用奇函数的性质求函数的解析式，属于基础题．
20. 已知，且
（1）求的最小值；
（2）若恒成立，求的最大值.
【答案】（1）8 （2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得，化简后利用基本不等式可求出其最小值，
（2）将问题转化为恒成立，求出的最小值，而，化简后利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出的最大值.
【小问1详解】
因为，且，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为8，
【小问2详解】
因为（）恒成立，
所以恒成立，
因为，，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
所以，所以的最大值为.
21. 某乡镇响应“绿水背山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元．已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）．
（1）求函数的解析式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为400元
【解析】
【分析】（1）利用，即可求解；
（2）对进行化简，得到，然后分、讨论的取值，进而得到答案.
【小问1详解】
根据题意，，化简得，
；
【小问2详解】
由（1）得
，
当时，，
当时，，所以
，
当且仅当时，即时等号成立，
因为，所以当时，，
故当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为400元.
22. 设二次函数满足条件：①当时，的最大值为0，②成立，③；
（1）求的解析式；
（2）求的解集；
（3）求最小的实数，使得存在实数，只要当时，就有成立.
【答案】（1）；
（2）或；
（3）.
【解析】
【分析】（1）设，由得的对称轴为，再设二次函数的顶点式，利用得到的解析式；
（2）解一元二次不等式即可；
（3）存在性问题与恒成立问题结合，需要由得出x的范围，然后和比较得，先解得，进而求出的范围.
【小问1详解】
设，由得
整理得 ，所以
所以函数的对称轴为，
由的最大值为0，可设.
由，得，所以得.
所以；
【小问2详解】
由（1）知，即，
解得或，
所以的解集为或；
【小问3详解】
由可得，，
即，
即只要当时，就有成立.
故，所以
由解得，
又在时恒成立，可得，
由得.
令，易知单调递减，
所以，
由于只需存在实数，故，则能取到的最小实数为-9.
此时，存在实数，只要当时，就有成立.
综上：能取到的最小实数为-9.