期末专题复习05：圆及其垂径定理【六大专题】-2023-2024学年九年级上学期期末专项复习（苏科版）

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【六大专题目录】
专题一：垂径定理求值
专题二：垂径定理求平行弦问题
专题三：垂径定理求同心圆问题
专题四：垂径定理求其他问题
专题五：垂径定理推论
专题六：垂径定理实际应用
【知识导图】
【专题一：垂径定理求值】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，⊙O的弦AB垂直于CD，点E为垂足，连接OE．若AE＝1，AB=CD=6，则OE的值是（ ）

A．22B．32C．42D．52
【答案】A
【难度】基础题
【考点】垂径定理、全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质
【易错点】辅助线问题、知识点的综合应用
【分析】如图所示，过O点作OH⊥AB于H点，OF⊥CD于F点，连接OB、OC，根据垂径定理可求出EH的值，再证Rt△OBH≌Rt△OCF(HL)，可得OH=OF，根据正方形的判定可得四边形OHEF为正方形，由此即可求解．
【详情解析】解：如图所示，过O点作OH⊥AB于H点，OF⊥CD于F点，连接OB、OC，

∴根据垂径定理得，DF=CF=12CD=12×6=3，AH=BH=12AB=12×6=3，
∵AE=1，
∴EH=AH−AE=3−1=2，
在Rt△OBH和Rt△OCF中，
OB=OCBH=CF，
∴Rt△OBH≌Rt△OCF(HL)，
∴OH=OF，
∵CD⊥AB，
∴∠HEF=90°，
∵∠OHE=∠OFE=90°，
∴四边形OHEF为正方形，OE是正方形的对角线，
∴OE=2EH=22，
故选：A．
【提优突破】本题考查圆与三角形的综合，掌握圆的基础值，垂径定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键．
2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB=4，CD=1，则EB的长为（ ）

A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【难度】基础题
【考点】垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理
【易错点】方程思想、知识点的综合应用
【分析】垂径定理得到AC=12AB=2，三角形中位线定理得到EB=2OC，在Rt△ACO中，设OA=x，则OC=x−1，AO2=OC2+AC2，则x2=x−12+22，解得x=52，则OA=52，OC=32，即可得到EB的长．
【详情解析】解：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，
∴OC垂直平分AB，AE是⊙O的直径，
∴AC=12AB=2，
∴OC是△ABE的中位线，
∴EB=2OC，
在Rt△ACO中，设OA=x，则OC=x−1，
∵AO2=OC2+AC2，
∴x2=x−12+22，
解得：x=52，
即OA=52，OC=32，
∴EB=2OC=3，
故选：B．
【提优突破】此题考查了垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理等知识，根据勾股定理得到AO2=OC2+AC2是解题的关键．
3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3)，半径为3，函数y=x的图像被⊙P截得的弦AB的长为42，则a的值是（ ）

A．4B．3+2C．32D．3+3
【答案】B
【难度】中等题
【考点】垂径定理、函数的性质、等腰三角形性质
【易错点】等腰三角形性质与函数结合
【分析】作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，求出D点坐标为(3,3)，可得△OCD为等腰直角三角形，从而△PED也为等腰直角三角形．根据垂径定理得AE=BE=22，在Rt△PBE中，利用勾股定理求出PE=1，再求出PD的长即可求解．
【详情解析】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图，
∵⊙P的圆心坐标是(3,a)，
∴OC=3,PC=a，
把x=3代入y=x得y=3，
∴D点坐标为(3,3)，
∴CD=3，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴∠PDE=∠ODC=45°，
∵PE⊥AB，
∴△PED为等腰直角三角形，AE=BE=12AB=12×42=22，
在Rt△PBE中，PB=3，
∴PE=32−(22)2=1，
∴PD=2PE=2，
∴a=3+2．
故选B．
【提优突破】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，以及垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．正确作出辅助线是解答本题的关键．
4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB为弦作⊙O，并使直角顶点C在⊙O内，点O在△ABC外，若∠OCB=∠CAB，⊙O的半径为7，OC=13，则AB的长为（ ）
A．32B．62C．72D．12
【答案】B
【难度】中等题
【考点】垂径定理、直角三角形斜边中点
【易错点】知识点的综合应用
【分析】取AB中点D，连接CD、OD、OB，利用垂径定理及直角三角形斜边中点性质可得CD=BD=12AB，∠OCD=∠ODB=90°，最后在Rt△ODB中利用勾股定理列方程计算即可．
【详情解析】解：取AB中点D，连接CD、OD、OB，则OB=7
∴∠ODB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴CD=BD=AD=12AB，
∴∠DCA=∠CAB，∠DCB=∠DBC，∠DCB+∠CAB=90°
∵∠OCB=∠CAB，
∴∠DCB+∠OCB=90°，
∵OC=13，
∴在Rt△OCD中，OD2=OC2+CD2=13+14AB2，
∵在Rt△ODB中，OB2=OD2+BD2
∴72=13+14AB2++14AB2，
解得AB=62（负值舍去），
故选：B．
【提优突破】本题考查了垂径定理，勾股定理，直角三角形斜边中点等知识，解题的关键是熟记相关的定理以及公式．
5．（2021秋·江苏·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
【答案】C
【难度】基础题
【考点】垂径定理、三角形中位线
【易错点】知识点的综合应用
【分析】由OD⊥BC，根据垂径定理，可得CD＝BD，即可得OD是△ABC的中位线，则可求得OD的长．
【详情解析】解：∵OD⊥BC，
∴CD＝BD，
∵OA＝OB，AC＝4
∴OD＝12AC＝2．
故选C．
【提优突破】此题考查了垂径定理以及三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
6．（2023·山东德州·统考二模）如图，已知锐角∠AOB，按如下步骤作图：（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作PQ，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M，N；③连接OM，MN，ND．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM=∠CODB．若OM=MN，则∠AOB=20°
C．MN∥CDD．∠COD=2∠MND
【答案】D
【难度】中等题
【考点】垂径定理、几何图形的基本作法
【易错点】综合知识的灵活应用
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得到弧相等，再利用等边三角形的性质得到∠AOB=20°，再利用垂径定理得到弧相等进而得到平行线，利用两点之间线段最短可知D项错误．
【详情解析】解：由作法得：MC=CD=DN，OM=ON=OC=OD，
∴MC⏜=CD⏜=DN⏜，
∴∠COM=∠COD=∠DON，
∴A选项的结论正确；
∵OM=MN，OM=ON，
∴△MON是等边三角形，
∴∠MON=60°，
∴∠AOB=13∠MON=20°，
∴B选项的结论正确；
作半径OE⊥CD，如图，
∴CE⏜=DE⏜，
∴ME⏜=NE⏜，
∴OE⊥MN，
∴MN∥CD，
∴C选项的结论正确；
∵圆周角∠MND所对的弧为MD⏜，圆心角∠MOD所对的弧为MD⏜，
∴∠MOD=2∠MND，
∵∠MOD>∠COD，
∴2∠MND>∠COD，
∴D选项错误；
故选：D．
【提优突破】本题考查了尺规作图，圆周角性质，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，掌握几何图形的基本作法是解题的关键．
7．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过A2,2，B4,0，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
【答案】B
【难度】基础题
【考点】垂径定理、几何图形的基本作法
【易错点】综合知识的灵活应用
【分析】根据图形作线段AB和PQ的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可．
【详情解析】解：如图
作线段AB和PQ的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心，
故选：B．
【提优突破】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用．
8．（2023秋·江苏连云港·九年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(13,0)，一次函数y=kx+3k+4（k为常数，且k≠0）的图像与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为
【答案】24
【难度】基础题
【考点】垂径定理、最值问题、函数问题
【易错点】垂直的弦最短问题
【分析】易知直线 y=kx+3k+4 过定点 D(−3,4)，运用勾股定理可求出 OD，由条件可求出半径OB，由于过圆内定点 D 的所有弦中,与 OD 垂直的弦最短,因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题．
【详情解析】解：对于直线 y=kx+3k+4=k(x+3)+4，当 x=−3 时，y=4，
故直线 y=kx+3k+4 恒经过点 (−3,4)，记为点 D；
过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H，
则有 OH=3,DH=4,OD=OH2+OD2=5，
∵点A (13,0)，
∴OA=13,
∴OB=OA=13.
由于过圆内定点 D 的所有弦中，与 OD 垂直的弦最短， 如图所示，

因此运用垂径定理及勾股定理可得：
BC 的最小值为 2BD=2OB2−OD2=2× 132−52=2×12=24；
故答案为：24．
【提优突破】本题主要考查了直线上点的坐标特征、 垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点 (−3,4) 以及运用“过圆内定点 D 的所有弦中，与 OD 垂直的弦最短“这个经验是解决该选择题的关键．
9．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，⊙O的半径是3，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O分别作AB，BC，AC的垂线，垂足为E，F，G，连接EF．若OG=1，则EF= ．
【答案】22
【难度】基础题
【考点】垂径定理、勾股定理、三角形的中位线
【易错点】知识点综合应用
【分析】连接OC，利用勾股定理求出CG，再结合垂径定理及三角形的中位线求解EF．
【详情解析】解：连接OC，如图．
在Rt△OCG中，CG=OC2−OG2=32−12=22．
∵ OG⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，且O是⊙O的圆心，
∴ AC=2CG=42，AE=BE，BF=CF，
∴ EF是△ABC的中位线，
∴ EF=12AC=22．
故答案为：22．
【提优突破】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
10．（2022秋·江苏南京·九年级校联考阶段练习）如图，A(1,0)、B(5,0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点，当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为 ．
【答案】1
【难度】难题
【考点】垂径定理、隐圆问题
【易错点】隐圆的应用
【分析】连接MD，如图，利用垂径定理得到MD⊥EF，则∠ODM=90°，再根据勾股定理得到点D在以OM中点G点为圆心，12OM为半径的圆上，利用点与圆的位置关系可判断当D点为CG与⊙G的交点时，CD的值最小，此时CD＝CG−GD．
【详情解析】连接MD，如图，
∵D为EF的中点，
∴MD⊥EF，
∴∠ODM=90°，
∴点D在以OM为直径的圆上，
∵A(1,0)、B(5,0)，M为AB中点，
∴M点坐标为(3,0)，
令OM的中点为G，连接CG、DG，
∴G坐标为(32，0),⊙G的半径为12OM=32=CG=GM=DG
∵C为弧AB的中点，
∴∠AMC＝90°
∴ΔCGM为直角三角形，
∴CG=CM2+GM2=52
∴当D点为CG与⊙G的交点时，CD的值最小，此时CD=CG−DG=52−32=1，
【提优突破】本题考查了旋转的性质，垂径定理和勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
11．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，⊙O的半径为4，AB，CD是⊙O的弦，且AB//CD，AB=4，CD=42，则AB和CD之间的距离为 ．
【答案】23±22
【难度】中等题
【考点】垂径定理、分类讨论
【易错点】分类讨论
【分析】作OE⊥AB于E，交CD于F，连结OA，OC，根据平行线的性质等到OF⊥CD，再利用垂径定理得到AE=12AB，CF=12CD，再由勾股定理解得OE，OF的长，继而分类讨论解题即可．
【详情解析】作OE⊥AB于E，交CD于F，连结OA，OC，如图，
∵AB//CD
∴OF⊥CD
∴AE=BE=12AB=2，CF=DF=12CD=22
在Rt△OAE中，
∵OA=4，AE=2
∴OE=42−22=23
在Rt△OCF中，
∵OC=4，CF=22
∴OF=42−(22)2=22
当圆心O在AB与CD之间时，
EF=OF+OE=23+22
当圆心O不在AB与CD之间时，
EF=OF−OE=23−22
即AB和CD之间的距离为23±22，
故答案为：23±22．
【提优突破】本题考查勾股定理、垂径定理、分类讨论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【专题二：垂径定理求平行弦问题】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（ ）cm.
A．6B．42C．43D．45
【答案】C
【答案】1
【难度】基础题
【考点】直角三角形、平行弦问题、勾股定理
【易错点】辅助线、构造出直角三角形
【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.
【详情解析】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
∴AC=OA2−OC2=23，
∴AB=2AC=43.
故答案为C.
【提优突破】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.
2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB//CD，AB=8cm，CD=6cm，则AB与CD之间的距离为 cm．
【答案】7或1．
【难度】中等题
【考点】垂径定理、平行弦问题、勾股定理
【易错点】辅助线、分类讨论的思想
【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O同一侧时，当两条弦位于圆心O两侧时；利用垂径定理和勾股定理分别求出OE和OF的长度，即可得到答案．
【详情解析】解：分两种情况考虑：
当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，
过O作OE⊥CD，交CD于点E，交AB于点F，连接OC，OA，
∵AB∥CD，∴OE⊥AB，
∴E、F分别为CD、AB的中点，
∴CE=DE=12CD=3cm，AF=BF=12AB=4cm，
在Rt△AOF中，OA=5cm，AF=4cm，
根据勾股定理得：OF=3cm，
在Rt△COE中，OC=5cm，CE=3cm，
根据勾股定理得：OE═4cm，
则EF=OE−OF=4cm−3cm=1cm；
当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，
同理可得EF=4cm+3cm=7cm，
综上，弦AB与CD的距离为7cm或1cm．
故答案为：7或1．
【提优突破】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为 ．
【答案】212
【难度】中等题
【考点】垂径定理以及最短路径问题
【易错点】垂径定理、最短路径
【分析】由于A、B两点关于MN对称，因而PA＋PC＝PB＋PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA＋PC的值最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值．
【详情解析】解：连接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
∵AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，
∴BE＝12AB＝12，CF＝12CD＝9，
∴OE=OB2−BE2=9，OF=OC2−CF2=12，
∴CH＝OE＋OF＝9＋12＝21，
BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21，
在Rt△BCH中，根据勾股定理得：BC=BH2+CH2=212，
即PA＋PC的最小值为212．
故答案为：212．
【提优突破】本题考查垂径定理以及最短路径问题，灵活根据垂径定理确定最短路径是解题关键．
4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，⊙M交x轴于A−1,0，B3,0两点，交y轴于C，D0,3两点，点S是DB 上一动点，N是OS的中点，则线段DN的最小值是 ．
【答案】26−52
【难度】中等题
【考点】垂径定理、中位线定理
【易错点】垂径定理，中位线定理，作出相应的辅助线
【分析】在y轴上截取DE=OD，连接ES，根据A−1,0，B3,0，求出点M的坐标为1,1，根据OD=DE，ON=NS，得出DN=12ES，当ES取最小值时，DN才能取得最小值，当且仅当E、S、M三点共线时，ES才能取得最小值，求出EM=12+6−12=26，得出ES最小=EM−SM=26−5，即可得出答案．
【详情解析】解：在y轴上截取DE=OD，连接ES，如图所示：
∵A−1,0，B3,0，
∴圆心M在AB的垂直平分线上，
∴M点的横坐标为1，
设M点的纵坐标为n，
∴M1,n，
∵D0,3，
∴r2=1−02+n−32=3−12+n2，
解得：n=1，r=5，
∴M1,1，
∵OD=DE，ON=NS，
∴DN=12ES，
∴当ES取最小值时，DN才能取得最小值，当且仅当E、S、M三点共线时，ES才能取得最小值，如图所示：
∵E0,6，M1,1，
∴EM=12+6−12=26，
∴ES最小=EM−SM=26−5，
∴DN最小=12EM最小=26−52．
故答案为：26−52．
【提优突破】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，中位线定理，作出相应的辅助线，求出点M的坐标，解题的关键是找出当ES取最小值时，DN才能取得最小值，当且仅当E、S、M三点共线时，ES才能取得最小值．
5．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）【阅读理解】三角形中线长公式：三角形两边平方的和，等于所夹中线和第三边一半的平方和的两倍如左图，在△ABC中，点D是BC中点，则有：AB2+AC2=2AD2+BD2．
【问题解决】请利用上面的结论，解决下面问题：如右图，点C、D是以AB为直径的⊙O上两点，点P是OB的中点，点E是CD的中点，且∠CPD=90°，若AB=8，当△EPB面积最大时，则CD的长为 ．
【答案】42
【难度】难题
【考点】三角形中线长公式，垂径定理，直角三角形斜边上的中线，勾股定理
【易错点】垂径定理，直角三角形斜边上的中线，作出相应的辅助线
【分析】连接CO,EO，根据垂径定理可得OE2+14CD2=16①，取OP的中点Q，则OQ=1，根据三角形中线长公式可得：OE2+EP2=2EQ2+1②，由①②得出 EQ=7，可得E点的轨迹，进而根据三角形中线的性质，以及三角形面积公式，圆上一点到直径的距离，求得当EQ⊥AB时，△EPB面积最大，进而勾股定理求得EP的长，根据直角三角形斜边上的中线即可求解．
【详情解析】解：如图，连接CO,EO，
∵E为CD的中点，
∴OE⊥CD，EP=12CD，
∴CO2=CE2+OE2，
∵AB为⊙O的直径,AB=8,
∴CO=4，
∴OE2=CO2−12CD2=16−14CD2，
∴OE2+14CD2=16①
如图，取OP的中点Q，则OQ=1，
根据三角形中线长公式可得：OE2+EP2=2EQ2+1②
∵EP=12CD，
∴OE2+14CD2=2EQ2+1，
即EQ2=12OE2+14CD2−1②，
将①代入②得：EQ2=12×16−1=7，
∴EQ=7，
∴E在以Q为圆心7为半径的圆上运动，
在△OPE中，P为OB的中点，
∴S△EPB=S△OPE
设点E到AB的距离为ℎ，由S△OPE=12OP⋅ℎ，则当ℎ取得最大值时，S△EPB最大，
∴当EQ⊥AB时，ℎ=EQ，
在Rt△PEQ中，EQ=7,PQ=1，
∴EP=22，
∴CD=2PE=42，
故答案为：42．
【提优突破】本题考查了三角形中线长公式，垂径定理，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，充分利用三角形中线长公式是解题的关键．
6．（2023·河南驻马店·驻马店市第二初级中学校考二模）如图，在⊙O中，AB是直径，弦EF∥AB．
(1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧EF的中点P；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)如图2，在（1）的条件下连接OP、PF，若OP交弦EF于点Q ，△PQF的面积6，且EF=12，求⊙O的半径；
【答案】(1)见解析
(2)10
【难度】中等题
【考点】几何图形的基本性质、垂径定理
【易错点】垂径定理，作出相应的辅助线
【分析】（1）由圆的对称性，连接AF、BE交于点M，连接OM并延长交⊙O于P点即可；
（2）连接OF，如图，根据垂径定理得到OP⊥EF，EQ=FQ=12EF=6，再利用三角形面积公式计算出PQ=2，设⊙O的半径，则OQ=r−2，OF=r，利用勾股定理得到62+(r−2)2=r2，解方程即可．
【详情解析】（1）解：连接AF、BE，它们相交于点M，连接OM并延长交⊙O于P点，如图1，
点P为所作；
（2）连接OF，如图2，
∵点P为劣弧EF的中点，
∴OP⊥EF，EQ=FQ=12EF=6，
∵△PQF的面积为6，
∴ 12×PQ×6=6，
解得PQ=2，
设⊙O的半径r，则OQ=r−2，OF=r，
在Rt△OQF中，62+(r−2)2=r2，
解得r=10，
即⊙O的半径为10．
【提优突破】本题考查了作图−复杂作图，涉及垂径定理和勾股定理，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【专题三：垂径定理求同心圆问题】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm
A．5B．4C．25 D．27
【答案】D
【难度】基础题
【考点】同心圆、弦心距
【易错点】弦心距的概念和性质
【详情解析】解：∵ O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点，
∴ C点是AB的中点，即AC=BC=12AB=6；
并且OC⊥AB，在RtΔAOC中，
由勾股定理得AO2=AC2+OC2，
所以OC2=AO2−AC2；AO=8cm，
所以OC2=82−62=28，
所以OC=27
故选：D
【提优突破】本题考查弦心距，勾股定理，解答本题要求考生掌握弦心距的概念和性质，熟悉勾股定理的内容.
2．（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么AC所对的圆心角的大小是（ ）
A．60°B．75°C．80°D．90°
【答案】D
【难度】基础题
【考点】垂径定理推论、圆心确定
【易错点】径定理的推论
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到圆心，进而解答即可．
【详情解析】解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，
它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．
连接AQ，CQ，
在△APQ与△QNC中
AP=QN∠APQ=∠QNCPQ=CN，
∴△APQ≌△QNCSAS，
∴∠AQP=∠QCN，∠PAQ=∠CQN，
∵∠AQP+∠PAQ=90°，
∴∠AQP+∠CQN=90°，
∴∠AQC=90°，
即AC所对的圆心角的大小是90°，
故选：D．
【提优突破】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．
3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠AC后，恰好经过点O，则∠AOC等于（ ）
A．120°B．125°C．130°D．145°
【答案】A
【难度】中等题
【考点】垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质
【易错点】折叠的性质
【分析】连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，根据折叠的性质得到OD=12OE，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据三角形的中位线的性质得到OD=12BC，求得∠COB=60°，得到∠AOC=120°，于是得到结论．
【详情解析】解：如图，连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，
∵把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，
∴OD=12OE，OD⊥AC
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴OD∥BC，
∵OA=OB，
∴OD=12BC，
∴BC=OE=OB=OC，
∴△OCB是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∴∠AOC=120°，
【提优突破】本题考查了折叠的性质，垂径定理，中位线的性质，等边三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．
4．（2023·江苏·九年级假期作业）在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．
(1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，AB=24，则CD的长为 ___________．
(2)如图②，大圆的另一条弦EF交小圆于G，H两点，若AB=EF，求证CD=GH．
【答案】(1)46
(2)见解析
【难度】难题
【考点】垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质
【易错点】辅助线、垂径定理综合使用
【分析】（1）连接OA，OC，过O点作OH⊥AB，则H为AB，CD的中点，得出AH=12AB，CH=12CD，根据勾股定理即可求出CD的长；
（2）过O作OM⊥AB，作ON⊥EF，垂足分别为M、N，得出DM=12CD，HN=12GH，AM=12AB，EN=12EF，连接OA、OE、OD、OH，通过证明Rt△OAM≅Rt△OEN和Rt△ODM≅Rt△OHN，即可得证CD=GH．
【详情解析】（1）连接OA，OC，过O点作OH⊥AB，则H为AB，CD的中点，
∵AB=24，
∴AH=12AB=12×24=12，CH=12CD，
∵OH⊥AB，
∴OH2=OA2−AH2，OH2=OC2−CH2，
∴OA2−AH2=OC2−CH2，
∴132−122=72−CH2，
∴CH=26，
∴CD=2CH=46，
故答案为：46
（2）过O作OM⊥AB，作ON⊥EF，垂足分别为M、N，
∴DM=12CD，HN=12GH，AM=12AB，EN=12EF，
又∵AB=EF，
∴AM=EN，
连接OA、OE、OD、OH，

在Rt△OAM和Rt△OEN中，
OA=OEAM=EN，
∴Rt△OAM≅Rt△OEN，
∴OM=ON，
在Rt△ODM和Rt△OHN中，
OD=OHOM=ON，
∴Rt△ODM≅Rt△OHN，
∴DM=HN，
∴CD=GH．
【提优突破】本题主要考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解此类题的关键．
5．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．
(1)求证：AC=BD．
(2)若AC=2,BC=4，大圆的半径R=5，求小圆的半径r．
【答案】(1)证明见解析
(2)小圆的半径r为17.
【难度】中等题
【考点】垂径定理，勾股定理、
【易错点】辅助线做法、垂径定理
【分析】（1）过O作OE⊥AB于点E，由垂径定理可知E为CD和AB的中点，则可证得结论；
（2）连接OC,OA，由条件可求得CD的长，则可求得CE和AE的长，在Rt△AOE中，利用勾股定理可求得OE的长，在Rt△COE中可求得OC的长；
【详情解析】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，如图1，
由垂径定理可得AE=BE,CE=DE,
∴AE−CE=BE−DE,
∴AC=BD.
（2）解：连接OC,OA，如图2，
∵AC=2,BC=4，
∴AB=2+4=6，
∴AE=3，
∴CE=AE−AC=1，
在Rt△AOE中，由勾股定理可得OE2=OA2−AE2=52−32=16，
在Rt△COE中，由勾股定理可得OC2=OE2+CE2=16+12=17,
∴OC=17，即小圆的半径r为17．
【提优突破】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
【专题四：垂径定理求其他问题】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．1米B．3+5米C．3米D．3−5米
【答案】D
【难度】基础题
【考点】垂径定理，勾股定理
【易错点】实际应用问题
【分析】连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD=BD=2，根据勾股定理求得OD的长，由CD=OC−OD即可求解．
【详情解析】解：根据题意和圆的性质知点C为AB的中点，
连接OC交AB于D，
则OC⊥AB，AD=BD=12AB=2，
在Rt△OAD中，OA=3，AD=2，
∴OD=AO2−AD2=5，
∴CD=OC−OD=3−5，
即点C到弦AB所在直线的距离是3−5米，
故选：D．
【提优突破】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．
2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，点A是CB中点，则下列结论正确的是（ ）

A．AB=OC B．∠BAC+∠AOC=180°
C．BC=2AC D．∠BAC+12∠AOC=180°
【答案】B
【难度】基础题
【考点】垂径定理，圆心角、弧、弦的关系
【易错点】圆心角、弧、弦的关系
【分析】直接利用圆心角、弧、弦的关系得出各线段、角的关系即可解答．
【详情解析】解：A、∵点A是CB中点，
∴AB=AC，
∴AB=AC，
无法得出AB=OC，故选项A错误；
B、如图：连接BO，
∵AB=AC，
∴∠BOA=∠AOC，
∵BO=AO=CO，
∴∠OAC=∠BAO=∠ACO，
∴∠OAC+∠ACO+∠AOC=∠BAC+∠AOC=180°，故此选项正确；
C、∵AB=AC，AB+AC>BC，
∴BC≠2AC，故选项C错误；
D、无法得出∠BAC+12∠AOC=180°，故选项D错误．
故选：B．

【提优突破】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，正确把握相关定理是解题关键．
3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED=1寸，AB=10寸，求直径CD的长．”则CD= 寸．

【答案】26
【难度】基础题
【考点】垂径定理，勾股定理
【易错点】垂径定理应用
【分析】连接AO，设⊙O的半径为r寸，则OA=r寸，OE=r−1寸，由垂径定理得AE=BE=12AB=5寸，由勾股定理得52+r−12=r2，解方程求出r，从而得到直径CD的值．
【详情解析】解：如图，连接AO，
，
设⊙O的半径为r寸，则OA=r寸，OE=r−1寸，
∵ AB⊥DC，AB=10寸，
∴AE=BE=12AB=5寸，
在Rt△AOE中，AE2+OE2=OA2，
即52+r−12=r2，
解得：r=13寸，
∴CD=2r=26寸，
故答案为：26．
【提优突破】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理、勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
4．（2022春·江苏·九年级期末）【数学认识】
数学是研究数量关系的一门学科，在初中几何学习的历程中，常常把角与角的数量关系转化为边与边的数量关系，把边与边的数量关系转化为角与角的数量关系．
【构造模型】
（1）如图①，已知△ABC，在直线BC上用直尺与圆规作点D，使得∠ADB＝12∠ACB．
（不写作法，保留作图痕迹）
【应用模型】
已知△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的半径为r，△ABC的周长为c．
（2）如图②，若r＝5，AB＝8，求c的取值范围．
（3）如图③，已知线段MN，AB是⊙O一条定长的弦，用直尺与圆规作点C，使得c＝MN．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）见解析；（2）16＜c≤8＋85；（3）见解析
【难度】难题
【考点】垂径定理，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，综合作图问题
【易错点】综合作图问题
【分析】（1）可找到两个这样的点：①当点D在BC的延长线上时：以点C为圆心，AC长为半径，交BC的延长线于点D，连接AD，即为所求；②当点D在CB的延长线上时：以点A为圆心，AD长为半径，交CB的延长线于点D1，连接AD1，即为所求；两种情况均可利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质证明；
（2）考虑最极端的情况：当C与A或B重合时，则CA+CB=AB=8，可得此时c=16，根据题意可得c>16，当点C为优弧AB的中点时，连接AC并延长至D，使得CD=CB，利用等腰三角形的性质及三角形外角性质可得点D的运动轨迹为一个圆，点C为优弧AB的中点时，点C即为△ABD外接圆的圆心，AC长为半径，连接CO并延长交AB于点E，连接AO，根据垂径定理及勾股定理可得AC=45，当AD为直径时，c最大即可得；
（3）依照（1）（2）的做法，方法一：第1步：作AB的垂直平分线交⊙O于点P；第2步：以点P为圆心，PA为半径作⊙P；第3步：在MN上截取AB的长度；第4步：以A为圆心，MN减去AB的长为半径画弧交⊙P于点E；第5步：连接AE交⊙O于点C，即为所求；方法二：第1步：在圆上取点D，连接AD、BD，延长AD使得ED=BD；第2步：作△ABE的外接圆；第3步：在MN上截取AB的长度；第4步：以点A为圆心，MN减去AB的长为半径画弧交△ABE的外接圆于点F；第5步：连接AF交⊙O于点C，即为所求．
【详情解析】（1）如图所示：①当点D在BC的延长线上时：以点C为圆心，AC长为半径，交BC的延长线于点D，连接AD，即为所求；②当点D在CB的延长线上时：以点A为圆心，AD长为半径，交CB的延长线于点D1，连接AD1，即为所求；
证明：①∵AC=CD，
∴∠CDA=∠CAD，
∴∠CDA=12∠BCA；
同理可证明∠CD1A=12∠BCA；
（2）当C与A或B重合时，则CA+CB=AB=8，
∴c=CA+CB+AB=16，
∵△ABC，
∴c>16，
如图，当点C为优弧AB的中点时，连接AC并延长至D，使得CD=CB，
∴∠D=12∠ACB，
∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠ACB为定角，
∴∠D为定角，
∴点D的运动轨迹为一个圆，当点C为优弧AB的中点时，点C即为△ABD外接圆的圆心，AC长为半径，连接CO并延长交AB于点E，连接AO，
由垂径定理可得：CE垂直平分AB，
∴AE=12AB=4，
在Rt△AOE中，
OE=AO2−AE2=3，
∴CE=5+3=8，
∴AC=AE2+CE2=42+82=45，
∴AD为直径时最长，
∴AC+BC=AD=85最长，
∴△ABC的周长最长．
∴c最长为AB+AC+BC=8+85，
∴c的取值范围为：160)上有点P，以P为圆心，OP长为半径画图，分别交x轴，y轴于A，B两点．
（1）三角形AOB的面积是否为定值？若为，求出；若不为，说明理由．
（2）y=−2x+4与⊙P交于M，N两点，且OM=ON，求⊙P的面积．
（3）若定点Q(a,a)到P的最小距离为32，求所有满足条件的a的值．
【答案】（1）为，8；（2）10π；（3）-1或26
【难度】难题
【考点】函数问题、最值问题、三角形问题、不等式的性质
【易错点】最值问题、不等式的性质
【分析】（1）连接AB，可得AB为圆P直径，设A（2a，0），B（0，2b），可得P（a，b），由三角形面积公式可得结论；
（2）根据y=-2x+4求出GO=4，QO=2，根据勾股定理求出GQ=25，由垂径定理得OP⊥GQ，根据等积关系计算出OE，EF，EH，从而得出点E坐标（85，45），进一步求出直线OP的解析式，设P(x,4x)代入求得x的值，从而求出OP，根据圆的面积公式求解即可；
（3）设P(x,4x)，求出PQ2=2a2−2a(x+4x)+(x+4x)2−8，令t=x+4x，则t≥2x⋅4x=4，把PQ2化简为PQ2=(t−a)2+a2−8，然后分两种情况讨论求解即可．
【详情解析】解：如图，连接AB，
∵∠AOB=90°
∴AB为圆P直径，即AB的中点为点P,
设A（2a，0），B（0，2b），
∴P(2a+02,0+2b2)，即P(a,b)
∵点P在y=4x(x>0)上
∴ab=4
∴SΔABO=12⋅OA⋅OB=2ab=8
即ΔAOB的面积为定值8；
（2）设直线y=-2x+4与x轴交于点Q，与y轴交于点G，与OP交于点E，过点E作EF⊥y轴，EH⊥x轴，垂足分别为F，H，如图，
∵M，N在圆P上，且OM=ON
∴OP⊥MN
对于y=-2x+4，令x=0，则y=4；令y=0，则x=2
∴OG=4，OQ=2
由勾股定理得，GQ=OG2+OQ2=42+22=25
又12OG·OQ=12GQ·OE
∴OE=OG·OQGQ=4×225=455
又GE=GO2−OE2=42−(455)2=855，EQ=OQ2−OE2=22−(455)2=255
同理可得，EF=85，EQ=45
∴E(85,45)
设直线OP的解析式为y=kx，则85k=45
∴k=12
∴直线OP的解析式为y=12x
设P（x，4x），则有12x=4x
解得，x=22或x=−22（舍去）
∴P(22，2)
∴PO=(22)2+(2)2=10
∴⊙P的面积为：π·PO2=10π
（3）设P(x,4x)，
∵Q(a,a)
∴PQ2=(a−x)2+(a−4x)2
=2a2−2a(x+4x)+x2+16x2
=2a2−2a(x+4x)+(x+4x)2−8
令t=x+4x，则t≥2x⋅4x=4，
∴PQ2=t2−2at+2a2−8=(t−a)2+a2−8
①当aBC，①错误；根据同圆中等弦对等弧得到AB=DE，FG=AC．推出DE+FG=AB+AC，得到DE+FG=BC，②正确；连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，根据同圆中等弦所对圆心角相等得到∠AOB=∠DOE，∠AOC=∠FOG，得到∠AOB+∠AOC=∠DOE+∠FOG，得到∠DOE+∠FOG=∠BOC，③正确；根据同圆的半径相等，等边对等角得到，∠OAB=∠OBA=180°−∠AOB2=90°−12∠AOB，∠OAC=90°−12∠AOC，∠DEO=90°−12∠DOE，∠FGO=90°−12∠FOG，根据∠AOB=∠DOE，∠AOC=∠FOG，推出∠DEO=∠OAB，∠FGO=∠OAC，得到∠DEO+∠FGO=∠OAB+∠OAC=∠BAC，④正确．
【详情解析】解：∵AB+AC>BC，AB=DE，FG=AC，
∴DE+FG>BC．
∴①错误；
∵AB=DE，FG=AC，
∴AB=DE，FG=AC．
∴DE+FG=AB+AC，
∴DE+FG=BC，
∴②正确；
连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，如图，
∵AB=DE，FG=AC，
∴∠AOB=∠DOE，∠AOC=∠FOG，
∴∠DOE+∠FOG=∠AOB+∠AOC=∠BOC；
∴③正确；
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=180°−∠AOB2=90°−12∠AOB．
同理可得：
∠OAC=90°−12∠AOC，
∠DEO=90°−12∠DOE，
∠FGO=90°−12∠FOG．
∵∠AOB=∠DOE，∠AOC=∠FOG，
∴∠DEO=∠OAB，∠FGO=∠OAC，
∴∠DEO+∠FGO=∠OAB+∠OAC=∠BAC．
∴④正确．
∴正确的序号为：②③④．
故选：D．
【提优突破】本题主要考查了圆的基本性质，解决问题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦之间是关系，三角形三边的关系，等腰三角形的性质．
2．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，在半径为5的⊙A中，弦BC，DE所对的圆心角分别是∠BAC，∠DAE．若DE=6，∠BAC+∠DAE=180°，则弦BC的弦心距为（ ）.
A．412B．342C．4D．3
【答案】D
【难度】中等题
【考点】圆的基本性质、垂径定理和三角形中位线性质
【易错点】垂径定理推论
【分析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，则AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=12BF=3．
【详情解析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
而∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，
∴DE=BF，
∴DE=BF=6，
∵AH⊥BC，
∴CH=BH，
而CA=AF，
∴AH为△CBF的中位线，
∴AH=12BF=3,
故选：D.
【提优突破】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质，掌握以上知识是解题的关键．
3．（2022秋·江苏·九年级期中）【概念提出】
圆心到弦的距离叫作该弦的弦心距．
【数学理解】
如图①，在⊙O中，AB是弦，OP⊥AB，垂足为P，则OP的长是弦AB的弦心距．
（1）若⊙O的半径为5，OP的长为3，则AB的长为 ．
（2）若⊙O的半径确定，下列关于AB的长随着OP的长的变化而变化的结论：
①AB的长随着OP的长的增大而增大；
②AB的长随着OP的长的增大而减小；
③AB的长随着OP的长的确定而确定；
④AB的长与OP的长无关．
其中所有正确结论的序号是 ．
【问题解决】
如图②，已知线段EF，MN，点Q是⊙O内一定点．
（3）用直尺和圆规过点Q作弦AB，满足AB＝EF；（保留作图痕迹，不写作法）
（4）若弦AB，CD都过点Q，AB＋CD＝MN，且AB⊥CD．设⊙O的半径为r，OQ的长为d，MN的长为l．
①求AB，CD的长（用含r，d，l的代数式表示）；
②写出作AB，CD的思路．
【答案】（1）8．（2）②③；（3）见解析；（4）①AB＝l−16r2−8d2−l22，CD＝l+16r2−8d2−l22；②见解析
【难度】难题
【考点】圆的基本性质、弦心距
【易错点】垂径定理推论
【分析】（1）连接OA，先根据垂径定理得出AP=12AB，再根据勾股定理求出AP的长，即可求得AB的长；
（2）设半径为r不变，得出AB=2r2−p2，然后根据式子判断即可；
（3）利用弦心距及线段的垂直平分线作图即可；
（4）①设AB＝2m，CD＝2n，列出关于m和n的二元一次方程组求解即可；
②类比（3）的作图方法即可．
【详情解析】（1）解：连接OA．
∵OP⊥AB，
∴AP=12AB，
∵OA=5，OP=3，
∴AP=OA2−OP2=52−32=4，
∴AB=2AP=8．
（2）设半径为r不变，
∴AB=AP+BP=OA2−OP2+OB2−OP2=2r2−p2，
当r不变，OP的长增大时，AB减小；OP长确定时，AB也确定，
∴选②③
（3）如图，弦AB，满足AB＝EF；
（4）①解：设AB＝2m，CD＝2n，如图，可得：
r2−m2+r2−n2=d22m+2n=l.，解得m=l−16r2−8d2−t24,n=l+16r2−8d2−t24
∴ AB＝l−16r2−8d2−l22，CD＝l+16r2−8d2−l22，
②作图思路：先作斜边为4r，一条直角边为22d，另一条直角边为16r2−8d2的直角三角形；后作斜边为16r2−8d2，一条直角边为l，另一条直角边为16r2−8d2−12的直角三角形；再在⊙O中作出长为1−16r2−8d2−l22的弦，再如（3）中作法过点Q作弦AB；最后过点Q作AB的垂直弦CD．
【提优突破】本题考查了垂径定理，勾股定理及圆的弦心距，解题的关键是灵活运用这些性质解决问题．
4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，已知AB、CD是⊙O的两条平行弦，AB=8，CD=6，弦AB、CD之间的距离为7．
（1）求证：弧AD=弧BC．
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）25π−504
【难度】难题
【考点】圆的基本性质、不规则图形的面积、勾股定理
【易错点】不规则图形的面积
【分析】（1）过点O作OM⊥AB，延长MO交CD于点N，连接OA、OB、OC、OD，通过证明△DON≌△OAM推出∠AOD=90°，∠BOC=90°，根据相等的圆心角所对的弧相等即可得出结论；
（2）根据S阴=S扇形BOC−S△BOC代入数值求解即可．
【详情解析】解：（1）过点O作OM⊥AB，延长MO交CD于点N，连接OA、OB、OC、OD，
∵AB//CD，
∴ON⊥CD，
∴AM=12AB=4，CN=12CD=3，MN=7，
在Rt△AOM中，∵OM2+AM2=OA2，
∴OM2+42=r2①，
在Rt△CON中，∵ON2+CN2=OC2，
∴ON2+32=r2②，
②−①得ON2−OM2=7，
∴(ON+OM)(ON−OM)=7，
∴ON−OM=1，
∴ON=4，OM=3，
∴OA=AM2+OM2=5，ON=AM，DN=OM，
在△DON和△OAM中，OD=OADN=OMON=AM，
∴△DON≌△OAM，
∴∠AOM=∠ODN，
∴∠AOM+∠DON=∠ODN+∠DON=90°，
∴∠AOD=90°，
同理可得∠BOC=90°，
∴AD⏜=BC⏜；
（2）S阴=S扇形BOC−S△BOC=90π⋅52360−12×5×5=25π−504．
【提优突破】本题考查圆的基本性质、不规则图形的面积、勾股定理等内容，作出辅助线是解题的关键．
5．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期末）如图所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上的点，且CF=CB，BF交CG于点E，求证：CE＝BE．
【答案】见解析．
【难度】难题
【考点】垂径定理、圆周角定理、全等三角形的性质和判定
【易错点】综合应用
【分析】证法一：连接CB，可证CF=GB，从而可证明CE＝BE；
证法二：作ON⊥BF，垂足为N，连接OE，证明△ONE≌△ODE，可得NE＝DE，再结合垂径定理可得BN＝CD，再根据线段的差即可证明结论；
证法三：连接OC交BF于点N，只需要证明△CNE≌△BDE即可证明结论．
【详情解析】证法一：如图(1)，连接BC，
∵ AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB，
∴CB=GB,
∵CF=BC，
∴CF=GB，
∴∠C＝∠CBE，
∴CE＝BE．
证法二：如图(2)，作ON⊥BF，垂足为N，连接OE．
∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CG，
∴CB=BG，
∵CB=CF，
∴CF=BC=BG，
∴BF＝CG，ON＝OD，
∵∠ONE＝∠ODE＝90°，OE＝OE，ON＝OD，
∴△ONE≌△ODE（HL），
∴NE＝DE．
∵BN=12BF，CD=12CG，
∴BN＝CD，
∴BN-EN＝CD-ED，
∴BE＝CE．
证法三：如图(3)，连接OC交BF于点N．
∵CF=BC，
∴OC⊥BF，
∵AB是⊙O的直径，CG⊥AB，
∴BG=BC，
∴CF=BG=BC，
∴BF=CG，ON=OD，
∵OC＝OB，
∴OC-ON＝OB-OD，
即CN＝BD，
又∠CNE＝∠BDE＝90°，
∠CEN＝∠BED，
∴△CNE≌△BDE，
∴CE＝BE．
【提优突破】本题考查垂径定理、圆周角定理、全等三角形的性质和判定等．熟练掌握垂径定理及其推理是解题关键．
【专题六：垂径定理实际应用】
1．（2020秋·江苏盐城·九年级校考期中）[阅读材料]如图1所示，对于平面内⊙P，在⊙P上有弦AB，取弦AB的中点M，我们把弦AB的中点M到某点或某直线的距离叫做弦AB到这点或者这条直线的“密距”例如：图1中线段MO的长度即为弦AB到原点O的“密距”，过点M作y轴的垂线交y轴于点N线段MN的长度即为弦AB到y轴的“密距”．
[类比应用]
已知⊙P的圆心为P（0，4），半径为2，弦AB的长度为2，弦AB的中点为M．
（1）当AB//y轴时，如图2所示，圆心P到弦AB的中点M的距离是____，此时弦AB到原点O的“密距”是 ；
（2）①如果弦AB在⊙P上运动，在运动过程中，圆心P到弦AB的中点M的距离变化吗?若不变化，请求出PM的长，若变化，请说明理由．
②直接写出弦AB到原点O的“密距”d的取值范围 ；
[拓展应用]如图3所示，已知⊙P的圆心为P（0，4），半径为2,点A（0，2），点B为⊙P上白一动点，有直线y=-x-3，弦AB到直线y=-x-3的“密距”的最大值是 ．（直接写出答案）
【答案】【类比应用】（1）3；19；（2）①不变化，PM长为3；②4−3≤d≤4+3；【拓展应用】32+1．
【难度】难题
【考点】新定义、最值问题、动点轨迹
【易错点】动点轨迹
【分析】[类比应用]：（1）理解“密距”之意义，运用垂径定理相关知识，构造直角三角形，运用勾股定理容易作答．（2）①运用同圆中等弦的的弦心距相等，易得答；②运用两点之间线段最短，易得弦AB到原点O的“密距”d的取值范围．
[拓展应用]：先证得弦AB的中点M运动轨迹是以(0,3)为圆心，以1为半径的圆，再求出此圆心到直线y=-x-3的“密距”，加1即可得弦AB到直线y=-x-3的“密距”的最大值．
【详情解析】[类比应用]（1）如下图2
连接PA、PM、OM、
∵P为圆心，M是弦AB（非直径）的中点
∴PM⊥AB
在RT△PAM中，由勾股定理得
PM=PA2−AM2=PA2−(12AB)2=22−1=3
即圆心P到弦AB的中点M的距离是3；
∵AB∥y轴
∴PM⊥y轴
在RT△OMP中，由勾股定理得
OM=PM2+OP2=(3)2+42=19
∴由“密距”的意义得
弦AB到原点O的“密距”是19．
（2）①不变化
连接PM、PA、
∵点M是弦AB（非直径）的中点，P为圆心，
∴PM⊥AB，MA=MB=1，
∴PM=PA2−PM2=3
②由图知OP−PM≤OM≤OP+PM
∴4−3≤d≤4+3；
[拓展应用]：如下图3
C是PA中点，连接CM、过C作CD⊥EF于D
∵M是AB（非直径）中点，P是⊙P的圆心
∴PM⊥AB
又∵C是PA中点
∴CM=AP2=1
当AB是⊙P的直径时，CM=CP=1
∴当B点在⊙P上运动是，M的运动轨迹是以C为圆心，以1为半径的圆．
易知直线y=-x-3与两坐标轴的交点为E(0,-3)、F(-3,0)
∴OE=OF=3，
∴EC=AO+OE+AC=2+3+1=6
又∵x轴⊥y轴
∴∠DEC=45°
∴CD=CEsin∠DEC=6sin45°=32
由图易知M到EF的最远距离为CD+CM=32+1
所以弦AB到直线y=-x-3的“密距”的最大值为32+1．
【提优突破】此题主要考查垂径定理的相关知识．其关键是读懂题意理解“密距”，在拓展应用中还有一关键是发现弦AB的中点的轨迹是圆．
2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点．
(1)如图1，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：四边形ADOE是正方形；
(2)如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分别交⊙O于D，C两点，连接CD．求证：AB，CD是⊙O的等垂弦；
(3)已知⊙O的半径为10，AB，CD是⊙O的等垂弦，P为等垂点．若AP=3BP，求AB的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)AB=85或45
【难度】难题
【考点】新定义、圆的有关知识，全等三角形的判定和性质
【易错点】综合应用能力
【分析】（1）根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形ADOE是矩形，根据垂径定理得出OD=OE，即可判定矩形ADOE是正方形；
（2）连接AC，由圆心角、弦的关系可得AB=CD，由圆周角定理可得∠BAC=12∠BOC=45°，∠ACD=12∠AOD=45°，可证AB⊥CD，可得结论；
（3）分两种情况讨论，过点O作OH⊥AB，作OG⊥CD，可证矩形OHPG为正方形，利用勾股定理可求解．
【详情解析】（1）证明：∵AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠A=∠ADO=∠AEO=90°，
∴四边形ADOE是矩形，
∵AB，AC是⊙O的等垂弦，
∴AB=AC，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OD=OE，
∴矩形ADOE是正方形；
（2）证明：设AB交CD于点E，连接AC，
∵OD⊥OA，OC⊥OB，
∴∠AOD=∠BOC=90°，
∴∠AOB=∠COD，
∴AB=CD，
∵∠BAC=12∠BOC=45°，∠ACD=12∠AOD=45°，
∴∠BEC=∠ACD+∠BAC=90°，
即AB⊥CD，
∵AB=CD，AB⊥CD，
∴AB，AC是⊙O的等垂弦；
（3）解：若点P在⊙O内，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，如图，
∵AB，CD是⊙O的等垂弦，
∴AB=CD，AB⊥CD，
∴四边形OHPG是矩形，
∵OH⊥AB，OG⊥CD，
∴AH=12AB，DG=12CD，∠AHO=∠DGO=90°，
∴AH=DG，
又∵OA=OD，
∴Rt△AHO≌Rt△DGO(HL)，
∴OH=OG，
∴矩形OHPG为正方形，
∴OH=HP，
∵AP=3BP，且AH=BH，
∴AH=2BP=2OH，
在Rt△AOH中，AO2=AH2+OH2，
即2OH2+OH2=AO2=100，
解得OH=25，
∴HP=25，
∴AB=4HP=85；
若点P在⊙O外，过点O作OH⊥AB，垂足为H，作OG⊥CD，垂足为G，如图，
同理，AH=25，则AB=2AH=45；
∴AB=85或45．
【提优突破】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
3．（2022秋·江苏·九年级阶段练习）图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆AB的两端都在圆O上，A、B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆CD的底端C固定在圆O上，另一端D是滑动杆AB的中点，（即当支架水平放置时直线AB平行于水平线，支撑杆CD垂直于水平线），通过滑动A、B可以调节CD的高度．当AB经过圆心O时，它的宽度达到最大值10cm，在支架水平放置的状态下：
(1)当滑动杆AB的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆CD的高度．
(2)如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等（AE=AB），求该手机的宽度．
【答案】(1)支撑杆CD的高度为9cm．
(2)手机的宽度为8cm．
【难度】中等题
【考点】垂径定理的应用、勾股定理的应用
【易错点】垂径定理的应用
【分析】（1）如图，连结OA，由题意可得：⊙O的直径为10，AB=6, 由OD⊥AB, 先求解OD, 从而可得答案；
（2）如图，记圆心为O，连结OA，证明AE=CD=BF=AB, 设AD=BD=x,则AE=CD=BF=AB=2x,则OD=2x−5, 再利用勾股定理建立方程求解即可．
【详情解析】（1）解：如图，连结OA，由题意可得：⊙O的直径为10，AB=6,
∴OA=5,
∵CD⊥AB, 即OD⊥AB,
∴AD=BD=3,
∴OD=52−32=4,
∴CD=OC+OD=9.
所以此时支撑杆CD的高度为9cm．
（2）解：如图，记圆心为O，连结OA，
由题意可得：AB=AE,∠E=∠EAB=∠ABF=90°,
∴四边形AEFB为正方形，
∵CD⊥EF,
∴AE=CD=BF=AB,
∵CD⊥AB,
∴ 设AD=BD=x,
则AE=CD=BF=AB=2x,
∵OA=OC=5,
∴OD=2x−5,
由勾股定理可得：52=x2+(2x−5)2,
解得x1=0,x2=4,
经检验x=0不符合题意，舍去，取x=4,
AB=8（cm），
即手机的宽度为8cm．
【提优突破】本题考查的是正方形的判定与性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意，建立方程解题是关键．
4．（2021·江苏南通·南通田家炳中学校考二模）（1）风筝起源于中国，至今已有2300多年的历史，如图1，在小明设计的“风筝”图案中，已知AB=AD，∠B=∠D，∠BAE=∠DAC．求证：AC=AE；
（2）如图2，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是弧CD的圆心，E为弧CD上一点，OE⊥CD，垂足为F．已知CD=600m，EF=100m，求这段弯路的半径．
【答案】（1）答案见解析；（2）这段弯路的半径是500m
【难度】中等题
【考点】垂径定理的应用、方程思想
【易错点】垂径定理的应用、几何问题
【分析】（1）由“ASA”可证△BAC≌△DAE，可得AC=AE．
（2）根据垂径定理即可求得CF的长，设这段弯路的半径长是r，则在直角△OCF中，OE=r，OF=(r-100)m，CF=300m利用勾股定理即可列方程即可求得r的长
【详情解析】（1）证明：∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC，
即∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
∠B＝∠DAB＝AD∠BAC＝∠DAE，
∴△BAC≌△DAE（ASA），
∴AC=AE．
（2）连接CO，如图，∵OF⊥CD，
∴△OFC是直角三角形，
∵CD=600m，EF=100m，
∴CF=300m，
设OC=r，则OF=r-100
根据勾股定理：r2=（r-100）2+3002
则r=500，
∴这段弯路的半径是500m．
【提优突破】本题考查了全等三角形的判定和性质，用方程解几何问题，方程是解决几何有关计算问题的有效的方法和工具，通常结合勾股定理的形式出现．
5．（2019秋·江苏镇江·九年级校联考阶段练习）【操作思考】画⊙O和⊙O的直径AB、弦CD，使AB⊥CD，垂足为P（如图1）．猜想所画的图中有哪些相等的线段、相等的劣弧？（OA=OB除外）．
（1）猜想：① ；② ；③ ．
操作：将图1中的ADB沿着直径AB翻折，因为圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴，所以ADB与ACB重合，又因为∠APD=∠APC=90∘，所以射线PD与射线PC重合（如图2），于是点C与点D重合，从而证实猜想．
【知识应用】图3是某品牌的香水瓶，从正面看上去（如图4），它可以近似看作割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在EF上），其中EF∥GH．
（2）已知⊙O的半径为3cm，AB=3cm，EF=3.6cm，GH=4.8cm，求香水瓶的高度ℎ．
【答案】（1）CP=DP，AC=AD，BC=BD；（2）7.2cm
【难度】中等题
【考点】垂径定理的应用、勾股定理
【易错点】垂径定理的应用、几何问题
【分析】（1）根据轴对称图形的定义及垂径定理即可得到答案；
（2）作OM⊥EF，延长MO角GH于N，连接OE、OG，根据垂径定理分别求出EM、GN，利用勾股定理求出OM、ON，即可得到答案.
【详情解析】（1）∵⊙O的直径AB、弦CD，使AB⊥CD，垂足为P，
∴相等的线段是：CP=DP，相等的劣弧是：AC=AD ，BC=BD，
故答案为：CP=DP，AC=AD，BC=BD；
（2）作OM⊥EF，延长MO角GH于N，连接OE、OG，
∵EF∥GH，
∴ON⊥GH，
∵EM=12EF=1.8cm，GN=12GH=2.4cm，⊙O的半径为3cm，
∴OM=32−1.82=2.4cm，ON=32−2.42=1.8cm,
∴香水瓶的高度ℎ=AB+OM+ON=3+2.4+1.8=7.2cm.
【提优突破】此题考查轴对称图形和圆的相关知识，勾股定理，垂径定理正确掌握轴对称图形的定义，圆的轴对称关系，利用垂径定理进行计算是解题的关键.
6．（2022秋·江苏·九年级专题练习）几何模型：
条件：如图1，A、B是直线l同侧的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小，
方法：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交l于点P，则PA+PB=AB′的值最小．
直接应用：
(1)如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为______．
变式练习：
(2)如图3，点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是AN的中点，P是直径MN上一动点，求PA+PB的最小值．
深化拓展：
(3)如图4，在锐角△ABC中，AB=42，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求BM+MN的最小值．
(4)如图5，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．（要求：保留作图痕迹，并简述作法．）
【答案】(1)10
(2)PA+PB的最小值为2
(3)BM+MN的最小值为4
(4)见解析
【难度】难题
【考点】垂径定理的应用、最值问题、辅助线、正方形
【易错点】综合问题
【分析】（1）连接BN，根据AC是对角线为对称轴，得出BN=DN，根据两点之间距离得出DN+NM=BN+NM≥BM，当B、N、M三点共线时DN+NM最短=BM，然后利用勾股定理求解即可；
（2）作点B关于NM的对称点B′，连接PB′，OB′，可得PB=PB′，根据两点之间距离得出PA+PB=PA+PB′≥AB′，当A、P、B′，三点共线时PA+PB最小=AB′，然后求出∠AOB′=90°，再利用勾股定理AB′=OA2+OB'2=12+12=2即可；
（3）作BE⊥AC于E，作点N关于AD的对称点N′，连接MN′根据AD平分∠CAB，点N在AB上，得出点N′在AC上，根据对称性得出MN=MN′，BM+MN=BM+MN′≥BE，当点M，N′在BE上时BM+MN最小=BE，可证△AEB为等腰直角三角形，根据勾股定理求出BE=22AB=22×42=4即可；
（4）作点B关于AC对称点B′，作射线DB′交AC与P，连接BP，根据点B与点B′关于AC对称，得出PB=PB′，根据等腰三角形三线合一性质得出PE平分∠BPB′即可．
【详情解析】（1）解：连接BN，
∵四边形ABCD为正方形，AC是对角线为对称轴，
∴BN=DN，
∴DN+NM=BN+NM≥BM
∴当B、N、M三点共线时DN+NM最短=BM，
∵DM=2，DC=BC=8，
∴CM=DC-DM=8-2=6，
在Rt△BCM中，BM=BC2+CM2=82+62=10，
∴DN+NM最小=10；
故答案为10；
（2）解：作点B关于NM的对称点B′，连接PB′，OB′，
则PB=PB′，
∴PA+PB=PA+PB′≥AB′，
∴当A、P、B′，三点共线时PA+PB最小=AB′
∵点A是半圆上（半径为1）的三等分点，
∴AN的度数为60°，
∵B是AN的中点，
∴BN=B'N的度数为30°，
∴AB'的度数为60°+30°=90°，
∴∠AOB′=90°，
∵OA=OB′=1，
∴AB′=OA2+OB'2=12+12=2，
∴PA+PB最小=2；
（3）解：作BE⊥AC于E，作点N关于AD的对称点N′，连接MN′
∵AD平分∠CAB，点N在AB上，
∴点N′在AC上，
MN=MN′，BM+MN=BM+MN′≥BE，
∴当点M，N′在BE上时BM+MN最小=BE，
∵∠CAB=45°，BE⊥AC
∴∠EBA=180°-90°-45°=45°=∠CAB，
∴AE=BE，
∴△AEB为等腰直角三角形，
∴AE2+BE2=2BE2=AB2，
∴BE=22AB=22×42=4，
∴BM+MN最小=4；
（4）作点B关于AC对称点B′，作射线DB′交AC与P，连接BP，
∵点B与点B′关于AC对称，
∴PB=PB′，
∵PE⊥BB′
∴PE平分∠BPB′，
∴∠APB=∠APD．
【提优突破】本题考查尺规作图，轴对称性质，两点之间线段最短，正方形性质，勾股定理，圆心角，圆周角弧弦的关系，等腰直角三角形判定与性质，掌握尺规作图，轴对称性质，两点之间线段最短，正方形性质，勾股定理，圆心角，圆周角弧弦的关系，等腰直角三角形判定与性质是解题关键．