海南省海口市秀英区海口嘉勋高级中学2024届高三上学期开学考试数学试题(含答案)

这是一份海南省海口市秀英区海口嘉勋高级中学2024届高三上学期开学考试数学试题(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知集合,若,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
2、已知集合,集合,集合,则集合A,B,C的关系为( )
A.B.C.D.
3、设全集,集合,则( )
A.B.C.D.
4、设,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
5、设a,,,则A,B的大小关系是( )
A.B.C.D.
6、已知为二次函数,且,则( )
A.B.C.D.
7、当时,不等式恒成立,则实数m的取值范围为( )
A.B.C.D.
8、已知正实数a,b满足,则的最小值是( )
A.2B.C.D.6
二、多项选择题
9、下列四个条件中,能成为的充分不必要条件的是( )
A.B.C.D.
10、已知,,则下列不等式不成立的是( )
A.B.C.D.
11、如图是二次函数图像的一部分,图像过点,对称轴为,给出下面四个结论正确的为( )
A.B.C.D.
12、已知关于x的不等式的解集是,则( )
A.B.C.D.
三、填空题
13、设命题；命题,那么p是q的___________条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）.
14、已知,,则的取值范围是_____________.
15、已知二次函数的图象经过点,在x轴上截得的线段长为2,并且对任意,都有,则_____________.
16、非空数集A如果满足：①；②若,有,则称A是“互倒集”.给出以下数集：①；②；③；其中“互倒集”的是________________（请在横线上写出所有正确答案）
四、解答题
17、已知等差数列的前n项和为,数列是等比数列,,, ,.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若,设数列的前n项和为,求
18、在中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,.
(1)求A；
(2)若M为边上一点,且,,求的面积.
19、如图所示,四棱锥中,平面平面ABCD,底面ABCD是边长为2正方形,,,AC与BD交于点O,点E在线段SD上.
(1)求证：平面ABCD；
(2)若平面SAB,求平面SAC与平面EAC夹角的余弦值.
20、某学校为了了解高一学生安全知识水平,对高一年级学生进行“消防安全知识测试”,并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”,否则为“合格”.若该校“不合格”的人数不超过总人数的,则该年级知识达标为“合格”；否则该年级知识达标为“不合格”,需要重新对该年级学生进行消防安全培训.现从全体高一学生中随机抽取10名,并将这10名学生随机分为甲、乙两个组,其中甲组有6名学生,乙组有4名学生.甲组的平均成绩为70,标准差为4；乙组的平均成绩为80,标准差为6（题中所有数据的最后结果都精确到整数）.
(1)求这10名学生测试成绩的平均分和标准差；
(2)假设高一学生的知识测试成绩服从正态分布.将上述10名学生的成绩作为样品,用样本平均数作为的估计值,用样本标准差s作为的估计值.利用估计值估计：高一学生知识达标是否“合格”？
(3)已知知识测试中的多项选择题中,有4个选项.小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项.但根据得分规则：全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.这样,小明在做多项选择题时,可能选择一个选项,也可能选择两个或三个选项,但不会选择四个选项.假设小明在做该道多项选择题时,基于已有的解题经验,他选择一个选项的概率为,选择两个选项的概率为,选择三个选项的概率为.已知该道多项选择题只有两个正确选项,小明完全不知道四个选项的正误,只好根据自己的经验随机选择.记X表示小明做完该道多项选择题后所得的分数.求X的分布列及数学期望.
附：①n个数的方差；
②若随机变量Z服从正态分布,则,,.
21、已知椭圆的左、右焦点分别为,,长轴长为4,椭圆C过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知x轴上存在一点E（点E在椭圆左顶点的左侧）,过E的直线l与椭圆C交于点M和点N,且与互为补角,求面积的最大值.
22、已知,.
(1)记,讨论的单调区间；
(2)记,若有两个零点a,b,且.
请在①②中选择一个完成.
①求证：；
②求证：
参考答案
1、答案：D
解析：因为,
所以,
解得.
故选：D.
2、答案：D
解析：由于,
,
,
可知,.
故选：D.
3、答案：D
解析：由题意,,所以,
所以.
故选：D.
4、答案：A
解析：因为可得：
当时,,充分性成立；
当时,,必要性不成立；
所以当,是的充分不必要条件.
故选：A.
5、答案：B
解析：因,故,所以应选B.
6、答案：B
解析：设,则,
由可得,
所以,,解得,因此,.
故选：B.
7、答案：A
解析：设,其中.
①当时,即当时,函数在区间上单调递增,
则,解得,此时m不存在；
②当时,,解得；
③当时,即当时,函数在区间上单调递减,
则,解得,此时m不存在.
综上所述,实数m的取值范围是.
故选：A.
8、答案：B
解析：由,得,
所以,
当且仅当,即,取等号.
故选：B.
9、答案：ABD
解析：对于选项：若,则,则,
反之,当时得不出,
所以是的充分不必要条件,故正确；
对于B选项：由可得,即能推出；
但不能推出因为x,y的正负不确定) ,
所以是的充分不必要条件,故B正确；
对于C选项：由可得,则,不能推出；
由也不能推出(如) ,
所以是的既不充分也不必要条件,故C错误；
对于D选项:若,则,反之得不出,
所以是的充分不必要条件,故选项D正确.
故选：ABD.
10、答案：ACD
解析：由题意知,,所以,
又,所以,得,
同理,,即.
所以若y=0时,不一定成立；成立；不成立；若时,则不一定成立.
故选：ACD
11、答案：AD
解析：因为图像与x轴交于两点,所以,即,故A正确；
对称轴为,即,所以,故B错误；
结合图像,当时,,即,故C错误；
由对称轴为知,,根据抛物线开口向下,知,所以,
即,故D正确.
故选：AD.
12、答案：ABD
解析：由关于x的不等式,的解集是,
所以,是一元二次方程的两根；
所以,选项A正确；
,选项B正确；
所以,选项D正确.
由,可得：是错误的,即选项C错误.
故选：ABD.
13、答案：充分不必要
解析：命题或,
命题；
故p是q的充分不必要条件,
故答案为：充分不必要
14、答案：
解析：因为,
所以,
得.
故答案为：.
15、答案：
解析：因为对恒成立,
所以的图象关于对称.
又的图象在x轴上截得的线段长为2,
所以的两根为或,
所以二次函数与x轴的两交点坐标为和,
因此设.
又点在的图象上,
所以,则,故.
故答案为：
16、答案：②③
解析：①中,,二次方程判别式,故时方程无根,该数集是空集,不符合题意；
②中,即,显然,又,即,故也在集合中,符合题意；
③中,,易见,,又,故也在集合中,符合题意.
故答案为：②③.
17、答案：(1),
(2)
解析：（1）设等差数列的公差为d,等比数列的公比为,
,,,
,,
,,
,
（2）由（1）知,,
,,
,
18、答案：(1)；
(2)﹒
解析：（1）由,得,
由正弦定理得,,
故,
,,,,；
（2）是等边三角形,
由,解得,∴,
易知,则在中,
由余弦定理得：,
解得, ,
的面积.
19、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）因为平面平面ABCD且交线为AD,
又平面ABCD且,所以平面SAD,
又平面SAD,所以,
因为ABCD是边长为2正方形,所以,又,
所以,即,
又因为,AB,平面ABCD,所以平面ABCD；
（2）因为平面SAB,平面SBD,平面平面,
所以,
因为O为BD的中点,所以E为SD的中点,
以AB,AD,AS分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则有,,,,,
易得平面SAC的一个法向量为,
设平面EAC的一个法向量为,
则,取,则,
设平面SAC与平面EAC所成夹角为,则,
所以平面SAC与平面EAC所成夹角的余弦值为.
20、答案：(1)；；
(2)能；
(3)分布列见解析；.
解析：（1）,
,解得,
,解得,
这40名学生的方差为
,
.
（2）由,,得的估计值,的估计值,
,
,
从而高三年级1000名学生中,不合格的有（人）,
又,所以高三年级学生体能达标为“合格”.
（3）由题意得,X的可能取值为0,2,5,
,
,
,
X的分布列为
.
21、答案：(1)
(2)
解析：（1）由已知得
将点代入椭圆方程,得,
椭圆C方程为.
（2）设直线l为,则E为
由得,
,可得①
设,,则,,
与互补,
,则,
,
,
,解得,
直线l的方程为,
且由①可得,,即,
由点到直线l的距离,

令,,则,
当且仅当时,等号成立,
所以面积S最大值为.
22、答案：(1)答案见解析
(2)①证明见解析；②证明见解析
解析：（1）函数的定义域为,,
当时,,在单调递增；
当时,令,解得,令,解得,
在单调递增,在单调递减；
综上,当时,的单调递增区间为；
当时,的单调递增区间为,单调递减区间为
（2）证明：因为,令,则,
设,则,
函数在单调递减,在单调递增,且时,,
当时,,,
,
又,则,
若证①所证不等式,即,
即证,
又,则,故即证,
即证,
设,,则,
在上单调递减,
,即得证；
若证②所证不等式,即,即证,
即证,
又,即,故即证,
即证,
设,,则,
在单调递减,故,即得证.
X
0
2
5
P