专题10 不等式与不等式组（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用）

这是一份专题10 不等式与不等式组（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用），共46页。试卷主要包含了不等式及性质，一元一次不等式，一元一次不等式组等内容，欢迎下载使用。
夯实基础
一、不等式及性质
1．不等式的定义
用符号“＞”（或“≥”）、“＜”（或“≤”）、“≠”连接起来的式子．
2．不等式的解
使不等式成立的未知数的值．
3．不等式的解集
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解的集合，组成这个不等式的解集．
4．不等式的基本性质
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
若a＞b，则a±c＞b±c．
（2）不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或ac＞bc）．
（3）不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或ac＜bc）．
二、一元一次不等式
1．一元一次不等式的定义
含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1的不等式．
2．一元一次不等式的解法
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．
3．一元一次不等式的实际应用
分析数量关系，设未知数，根据不等关系列出相应不等式（组），解不等式（组），作答．
三、一元一次不等式组
1．定义
一般地，把关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立起来，就组成一个一元一次不等式组．
2．一元一次不等式组的解集
一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组解集．
3．解集在数轴上的表示（a＞b）
吃透考点
1．不等式的解与不等式的解集的区别与联系：
（1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值．
（2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值．
（3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解．
2．用数轴表示不等式的解集：
大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图．
3．列不等式（组）解应用题的一般步骤：
（1）审题；
（2）设未知数；
（3）找出能够包含未知数的不等量关系；
（4）列出不等式（组）；
（5）求出不等式（组）的解；
（6）在不等式（组）的解中找出符合题意的值；
（7）写出答案（包括单位名称）．
考点1 不等式的定义
【例1】（2023春•襄州区月考）下列数表达式①；②；③；④．其中属于不等式的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】
【分析】根据不等式的定义逐个判断即可．
【解答】解：不等式有①，③，共2个，
故选：．
【变式练1】（2023春•石狮市校级期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】
【分析】依据不等式的定义进行判断．用“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式．
【解答】解：①，属于不等式；
②，属于不等式；
③，属于不等式；
④属于代数式，不合题意；
⑤属于方程，不合题意；
⑥，属于不等式．
故选：．
【变式练2】（2023春•武侯区校级期末）下面给出了5个式子：①，②，③，④，⑤，其中不等式有
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】主要依据不等式的定义用“”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
【解答】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，
所以①②⑤为不等式，共有3个．
故选：．
【变式练3】（2023春•开江县校级期末）以下表达式：①；②；③；④；⑤．其中不等式有
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】
【分析】据不等式的定义进行判断即可．
【解答】解：①；②；⑤是不等式，③；④不是不等式，
即不等式有3个，故正确．
故选：．
【变式练4】（2023春•龙川县校级期中）下列式子中，是不等式的有
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．5个B．4个C．3个D．1个
【答案】
【分析】依据不等式的定义判断即可．
【解答】解：①是等式；
②不是等式，也不是不等式；
③是不等式；
④是不等式；
⑤是不等式；
⑥是不等式；
不等式有4个．
故选：．
【变式练5】（2023春•白银期中）下列各式中，不是不等式的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据不等式的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：、，是不等式，故不符合题意；
、，是不等式，故不符合题意；
、，是等式，故符合题意；
、，是不等式，故不符合题意；
故选：．
考点2 不等式的性质
【例2】（2023•宁江区一模）若，则下列不等式正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：、，
，
故不符合题意；
、，
，
故不符合题意；
、，
，
故不符合题意；
、，
，
故符合题意；
故选：．
【变式练1】（2023•西湖区校级二模）若，则下列不等式不一定成立的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据不等式性质逐个判断即可．
【解答】解：，
、两边同时减5，可得，故一定成立，不符合题意；
、两边同时乘以，得，故一定成立，不符合题意；
、两边同时乘以，当时，当时，故不一定成立，符合题意；
、，两边同时除以，可得，故一定成立，不符合题意；
故选：．
【变式练2】（2023•江阳区一模）若，则下列不等式一定成立的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据不等式的性质，对选项逐个判断即可．
【解答】解：，，原变形错误，不符合题意；
，，原变形错误，不符合题意；
，（乘以负数，不等号方向改变），正确，符合题意；
，比如，，，，，原变形错误，不符合题意．
故答案为：．
【变式练3】（2023•拱墅区校级二模）已知，下列不等式的变形不正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：．，
，故本选项正确，不符合题意；
．，
，故本选项正确，不符合题意；
．，
，故本选项正确，不符合题意；
．当时，，故本选项错误，符合题意．
故选：．
【变式练4】（2023•萧山区模拟）若，则下列不等式一定成立的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用已知条件得到，再利用不等式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：，
，
．
，
选项不成立；
，
，
选项不成立；
，
，
选项一定成立；
，
，
，
选项不成立．
故选：．
【变式练5】（2023•南关区一模）已知，则下列不等式不成立的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】分别根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：、，，故本选项错误；
、，，故本选项错误；
、，，，故选项错误；
、，，，故本选项正确．
故选：．
考点3 不等式的解集
【例3】（2023•杭州一模）若成立，则下列不等式成立的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，由此即可判断．
【解答】解：，则，正确，故符合题意；
、则，故不符合题意；
、，若，则，故不符合题意；
、，则，故不符合题意．
故选：．
【变式练1】（2023•佛山模拟）下列数是不等式的一个解的是
A．B．2C．D．3
【答案】
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的数即可．
【解答】解：，
，
，
，
是不等式的一个解，
故选：．
【变式练2】（2022•二道区校级二模）下列能使不等式一定成立的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】解不等式，解得，对比选项即可得出答案．
【解答】解：由，
解得，
所以不等式的解集为，
故选：．
【变式练3】（2022•吉林模拟）不等式组的解集是 ．
【分析】根据每个不等式的解集，可以求出不等式组的解集．
【解答】解：不等式组的解集为，
故答案为：．
【变式练4】（2022•靖西市模拟）不等式组的解集是 ．
【答案】．
【分析】根据同小取小即可求出不等式组的解集．
【解答】解：不等式组的解集是．
故答案为：．
【变式练5】（2022•银川校级一模）如果不等式组有解，那么的范围是 ．
【答案】．
【分析】根据不等式组有解，画出图形，根据数轴即可得出答案．
【解答】解：如图，不等式组有解，
．
故答案为：．
考点4 在数轴上表示不等式的解集
【例4】（2023•盐田区二模）不等式组的解集如图所示，则该解集表示为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据不等式的解集在数轴上表示出来，向右画；，向左画），表示解集时“”，“ ”要用实心圆点表示；“”，“ ”要用空心圆点表示，可得答案．
【解答】解：由数轴上表示的不等式的解集，得
，
故选：．
【变式练1】（2023•乾安县一模）不等式的解集在数轴上表示为
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得．．
在数轴上表示为：
．
故选：．
【变式练2】（2023•五通桥区模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是
A．B．
C．D．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解答】解：，解得；
解，得，
在数轴上表示都向左，故符合提议，
故选：．
【变式练3】（2023•上饶模拟）不等式组的解集在以下数轴表示中正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】分别解不等式，然后将解集表示出来即可求解．
【解答】解：由题意可知：，
解①得：，
解②得：，
故不等式组的解集为：，
在数轴上表示为
故选：．
【变式练4】（2023•宝安区校级三模）已知点在第四象限，则实数的取值范围在数轴上表示正确的为
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据第四象限内点的坐标特点列出关于的不等式组，求出的取值范围，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：点在第四象限，
，
解得，
解集在数轴上的表示为：
故选：．
【变式练5】（2023•柳南区二模）如图所示，在数轴上表示不等式正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据在表示解集时“”，“ ”要用实心圆点表示；“”，“ ”要用空心圆点表示，可得答案．
【解答】解：由题意，得：，
故选：．
考点5 一元一次不等式的定义
【例5】（2023春•巴中期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据一元一次不等式的定义逐个判断即可．
【解答】解：．不等式的左边是分式，不是整式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
．不等式是一元二次不等式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
．不等式是二元一次不等式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
．不等式是一元一次不等式，故本选项符合题意；
故选：．
【变式练1】（2023春•渠县校级期末）在数学表达式：，，，，，中，是一元一次不等式的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】
【分析】根据不等式的定义，用“”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”等不等号表示不相等关系的式子是不等式，依次判断6个式子即可．
【解答】解：根据不等式的定义，依次分析可得：，，，，，，这些不等式中只有1个式子符合一元一次不等式定义，而是等式，是代数式，
故选：．
【变式练2】（2023春•新城区校级月考）下列式子：①；②；③；④中，是一元一次不等式的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】
【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，逐个判断即可．
【解答】解：①，不含未知数，不是一元一次不等式；
②，是一元一次不等式；
③，含有两个未知数，不是一元一次不等式；
④，未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式；
一元一次不等式有1个，
故选：．
【变式练3】（2023春•东平县期末）下列式子是一元一次不等式的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】只含有一次未知数，且未知数的最高次数为1的不等式叫一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义可直接判断求解．
【解答】解：、此不等式中不是整式，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
、此不等式是一元一次不等式，故此选项符合题意；
、此不等式含有2个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
、此不等式最高次数是2次，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意．
故选：．
【变式练4】（2023春•益阳期末）下列式子中，一元一次不等式有
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】
【分析】根据一元一次不等式的定义解答即可．
【解答】解：一元一次不等式有：④；⑤；⑥．
一元一次不等式有3个．
故选：．
【变式练5】（2023春•长岭县期中）下列不等式中是一元一次不等式的是
A．B．C．D．
【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可．
【解答】解：下列不等式中是一元一次不等式的是，
故选：．
考点6 解一元一次不等式
【例6】（2023•二道区校级模拟）如果关于的不等式解集为，那么的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】运用不等式的基本性质求解即可．
【解答】解：不等式解集为，
，
故选：．
【变式练1】（2023•甘井子区校级模拟）不等式的解集是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据一元一次不等式解法直接求解即可得到答案．
【解答】解：，
系数化为1得，
故选：．
【变式练2】（2023•北京模拟）已知是不等式的解，的值可以是
A．4B．2C．0D．
【答案】
【分析】将代入不等式求出的取值范围即可得出答案．
【解答】解：是不等式的解，
，
，
故选：．
【变式练3】（2023•陇南模拟）不等式的解集是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
【变式练4】（2023•港南区三模）下列各数中，是不等式的解是
A．B．C．D．3
【答案】
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
，
不等式的解可以是：3，
故选：．
【变式练5】（2023•东莞市校级二模）在平面直角坐标系中，点在第二象限，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由点在第二象限，知，解之即可．
【解答】解：点在第二象限，
，
解得，
故选：．
考点7 一元一次不等式的整数解
【例7】（2023•朝阳区校级二模）关于的一元一次不等式只有两个正整数解，则的值可能是
A．B．0C．1D．2
【答案】
【分析】求出不等式的解集，根据已知得出，求出的范围即可．
【解答】解：，
解得：，
关于的一元一次不等式只有两个正整数解，
，
，
故选：．
【变式练1】（2023•白云区模拟）下列各数中，能使不等式成立的的整数值是
A．B．0C．2D．3
【答案】
【分析】直接得出的取值范围，进而求出答案．
【解答】解：，
，
能使不等式成立的的整数值是3．
故选：．
【变式练2】（2023•七星区校级模拟）不等式的最大整数解为
A．4B．3C．2D．1
【分析】先解不等式，再求出不等式的整数解，进而求出最大整数解．
【解答】解：移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，．
可见其最大整数解为3．
故选：．
【变式练3】（2023•景洪市模拟）已知关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后根据不等式只有两个正整数解即可得到一个关于的不等式，求得的值．
【解答】解：解不等式得：，
不等式有两个正整数解，一定是1和2，
根据题意得：，
解得：．
故选．
【变式练4】（2023•漳浦县模拟）关于的不等式恰有两个负整数解，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】解不等式可得，根据不等式的两个负整数解为、即可得的范围．
【解答】解：解不等式得，
不等式恰有两个负整数解，
不等式的两个负整数解为、，
，
故选：．
【变式练5】（2023•大庆三模）已知关于的不等式的最小整数解为2，则实数的取值范围是 ．
【分析】先解出不等式，然后根据最小整数解为2得出关于的不等式组，解之即可求得的取值范围．
【解答】解：解不等式，得：，
不等式有最小整数解2，
，
解得：，
故答案为．
考点8 由实际问题抽象出一元一次不等式
【例8】（2023•浑江区一模）如图1，一个容量为的杯子中装有的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图2．设每颗玻璃球的体积为，根据题意可列不等式为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】水的体积个玻璃球的体积．
【解答】解：水的体积为，四颗相同的玻璃球的体积为，
根据题意得到：．
故选：．
【变式练1】（2023•二道区校级模拟）某批电子产品进价为200元件，售价为350元件，为提高销量，商店准备将这批电子产品降价出售，若要保证单件利润率不低于，则该批电子产品最多可降价多少元？若设该批电子产品可降价元，则可列不等式为
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】利用单件利润率，结合单件利润率不低于，即可列出关于的一元一次不等式，此题得解．
【解答】解：根据题意得：．
故选：．
【变式练2】（2023•鄞州区一模）某业主贷款9万元购进一台机器生产甲，乙两种产品．已知甲产品的销售净利润是每个5元，乙产品的销售净利润是每个6元，2个甲产品和1个乙产品组成一套销售，设销售套能赚回这台机器的贷款，则满足的关系是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】设销售套能赚回这台机器的贷款，根据题意得出不等式解答即可．
【解答】解：设销售套能赚回这台机器的贷款，根据题意可得：，
故选：．
【变式练3】（2023•萧山区二模）2023年9月23日，第19届亚运会将在我国杭州市举办．为此，某校举行了关于杭州亚运会的知识竞赛，现共有30道选择题，答对一题得10分，若答错或不答一道题，则扣3分，要使总得分不少于70分则应该至少答对几道题？若设答对题，则根据题意可列不等式为
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据现共有30道选择题，答对一题得10分，若答错或不答一道题，则扣3分，要使总得分不少于70分，可以列出相应的不等式，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：．
【变式练4】（2023•威县校级一模）某商店有一款商品，每件进价为100元，标价为150元，现准备打折销售．若要保证利润率不低于，设打折销售，则下列正确的是
A．依题意得
B．依题意得
C．该商品最少打7折
D．该商品最多打7折
【答案】
【分析】根据题意可得不等关系：标价打折进价利润，根据不等关系列出不等式即可．
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
则最多打7折．
故选：．
【变式练5】（2023•滨江区二模）一次生活常识竞赛共有20题，答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分．小滨有1题没答，竞赛成绩不低于80分，设小聪答错了题，则
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】设小聪答错了道题，则答对了道题，根据总分答对题目数答错题目数，结合小聪竞赛成绩不低于80分，即可得出关于的一元一次不等式，此题得解．
【解答】解：设小聪答错了道题，则答对了道题，
依题意得：．
故选：．
考点9 一元一次不等式的应用
【例9】（2023•宁波模拟）商店为了对某种商品促销，将定价为30元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折，现有270元，最多可以购买该商品的件数是
A．9件B．10件C．11件D．12件
【答案】
【分析】由购买5件商品只需150元可设可以购买该商品件，根据超出5件部分，列出关于的一元一次不等式，解之取其最大的正整数即可．
【解答】解：设可以购买该商品件，
根据题意得：，
解得：，
即最多可以购买该商品10件，
故选：．
【变式练1】（2023•东安县模拟）已知地在地的西方，且有一以、两地为端点的东西向直线道路，其全长为400公里，今在此道路上距离地12公里处设置第一个广告牌，之后每往东27公里就设置一个广告牌，如图所示．若某车从此道路上距离地19公里处出发，往东直行320公里后才停止，则此车在停止前经过的最后一个广告牌距离地多少公里？
A．309B．316C．336D．339
【答案】
【分析】由于在此道路上距离地12公里处设置第一个广告牌，之后每往东27公里就设置一个广告牌，所以第个广告牌距离地，设此车停止时前面有个广告牌，根据题意列出不等式，将不等式的最大整数解代入，计算即可．
【解答】解：设此车停止时前面有个广告牌，根据题意得
，
，
即此车停止时前面有13个广告牌，并且超过第13个广告牌3公里，
所以此车在停止前经过的最后一个广告牌距离地公里，
故选：．
【变式练2】（2023•虎林市校级模拟）某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有型和型两种分类垃圾桶，型分类垃圾桶500元个，型分类垃圾桶550元个．若购买的总费用不超过3100元，则不同的购买方式有
A．6种B．5种C．4种D．3种
【答案】
【分析】设购买型分类垃圾桶个，则购买型分类垃圾桶个，根据总价单价数量，结合总费用不超过3100元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再结合，均为非负整数，即可得出的可能值，进而可得出购买方案的数量．
【解答】解：设购买型分类垃圾桶个，则购买型分类垃圾桶个，
依题意，得：，
解得：．
，均为非负整数，
可以为4，5，6，
共有3种购买方案．
故选：．
【变式练3】（2023•安徽一模）洛阳牡丹远近闻名，某景区为了吸引游客，现打算在一空地种植、两种品种的牡丹，、两种牡丹每棵的价格分别是55元和72元，若购买两种牡丹共90棵，且总价格不超过5460元，则最少可购买种牡丹的数量是
A．59棵B．60棵C．61棵D．62棵
【答案】
【分析】设购买种牡丹棵，则购买种牡丹棵，根据题意列出不等式求解即可．
【解答】解：设购买种牡丹棵，则购买种牡丹棵，
由题意得，，
解得：，
最少可购买种牡丹60棵，
故选：．
【变式练4】（2023•富锦市校级二模）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则购买方案种类有
A．1种B．2种C．3种D．4种
【答案】
【分析】设购买甲种奖品件，乙种奖品件，列出关系式，并求出，由于，且，都是正整数，所以是4的整数倍，由此计算即可．
【解答】解：设：购买甲种奖品件，乙种奖品件，
，
解得，
，且，都是正整数，
是4的整数倍，
时，，
时，，
时，，
时，，不符合题意，
故有3种购买方案，
故选：．
【变式练5】（2023•瑶海区三模）某超市销售一批创意闹钟，先以55元个的价格售出60个，然后调低价格，以50元个的价格将剩下的闹钟全部售出，销售总额超过了5500元，这批闹钟至少有 个．
A．44B．45C．104D．105
【分析】根据题意设出未知数，列出相应的不等式，从而可以解答本题．
【解答】解：设这批创意闹钟有个，
解得，
这批创意闹钟至少有105个，
故选：．
考点10 一元一次不等式组的定义
【例10】（2022•丰顺县校级开学）下列不等式组为一元一次不等式组的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．
【解答】解：．是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
．是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
．是一元二次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
．是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选：．
【变式练1】（2022春•招远市期末）下列各式不是一元一次不等式组的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据一元一次不等式组的定义进行解答．
【解答】解：、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误；
、该不等式组中含有2给未知数，不是一元一次不等式组，故本选项正确；
、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误；
、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项错误；
故选：．
【变式练2】（2021春•游仙区校级期中）下列不等式组是一元一次不等式组的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．
【解答】解：．是一元二次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
．是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
．是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
．是分式不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选：．
【变式练3】（2020春•毕节市月考）下列是一元一次不等式组的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】利用一元一次不等式组的定义判断即可．
【解答】解：是一元一次不等式组．
故选：．
【变式练4】（2020春•安庆期中）下列不等式组：
①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】
【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可．
【解答】解：①是一元一次不等式组；
②是一元一次不等式组；
③含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
④是一元一次不等式组；
⑤，未知数是3次，不是一元一次不等式组，
其中是一元一次不等式组的有3个，
故选：．
【变式练5】（2019春•磁县期末）下列选项中是一元一次不等式组的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据一元一次不等式组的定义即用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式组解答即可．
【解答】解：、含有三个未知数，不符合题意；
、未知数的最高次数是2，不符合题意；
、含有两个未知数，不符合题意；
、符合一元一次不等式组的定义，符合题意；
故选：．
考点11 解一元一次不等式组
【例11】（2023•兴宁市二模）一元一次不等式组的解集为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
故选：．
【变式练1】（2023•禅城区校级三模）已知点在第四象限，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】根据第四象限点的坐标符号特点得出关于的不等式组，解不等式组即可得．
【解答】解：点在第四象限，
，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
不等式组的解集为，
故选：．
【变式练2】（2023•南山区三模）将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】先求出不等式组的解集并在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可．
【解答】解：由得，
所以不等式组的解集为，
在数轴上的表示为：
故选：．
【变式练3】（2023•浉河区三模）不等式组的解集为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先求每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集是，
故选：．
【变式练4】（2023•湖南模拟）不等式组的解集是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
原不等式组的解集为，
故选：．
【变式练5】（2023•岳西县校级模拟）已知关于的不等式组无解，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】先按照一般步骤进行求解，因为大大小小无解，那么根据所解出的的解集，将得到一个新的关于不等式，解答即可．
【解答】解：解不等式，得：，
不等式组无解，
，
故选：．
考点12 一元一次不等式组的整数解
【例12】（2023•红塔区模拟）若关于的不等式组有且只有3个整数解，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后根据不等式组有且只有3个整数解，即可得到的取值范围．
【解答】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
该不等式组的解集是，
关于的不等式组有且只有3个整数解，
这三个整数解是0，1，2，
，
故选：．
【变式练1】（2023•夹江县模拟）已知关于的不等式组的解集中有且仅有3个整数，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】解不等式组得出，根据关于的不等式组的解集中有且仅有3个整数，知这3个整数只能是，，0，据此可得答案．
【解答】解：解不等式组得：，
不等式组的解集中有且仅有3个整数，
这3个整数只能是，，0，
．
故选．
【变式练2】（2023•金乡县一模）关于的不等式组恰好有3个整数解，则满足
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，然后根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”并结合不等式组有3个整数解，得出关于的不等式求解即可．
【解答】解：由得：，
由得：，
不等式组恰好有3个整数解，
不等式组的整数解为3、4、5，
，解得，
故选：．
【变式练3】（2023•游仙区模拟）不等式组的所有整数解的和为9，则整数的值有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】
【分析】由得，由得，根据所有整数解的和为9知整数解为4、3、2或4、3、2、1、0、，据此得出的范围，解之可得答案．
【解答】解：由得：，
由得，
所有整数解的和为9，
整数解为4、3、2或4、3、2、1、0、，
或，
解得或，
符合条件的整数的值为2和，
故选：．
【变式练4】（2023•浉河区校级三模）不等式组的所有整数解的和为
A．0B．1C．3D．6
【答案】
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出所有整数解之和即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
解得：，
不等式组的整数解为0，1，2，3，
则不等式组的所有整数解的和为．
故选：．
【变式练5】（2023•宁波模拟）若关于的不等式组共有2个整数解，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】解不等式得，结合不等式组的整数解个数得出其整数解情况，据此列出关于的不等式组，解之即可．
【解答】解：解不等式，得：，
不等式组共有2个整数解，
不等式组的整数解为1、0，
则，
解得，
故选：．
考点13 由实际问题抽象出一元一次不等式
【例13】（2023•英德市一模）小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不低于50次，用不等式表示为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直接根据题意可得不等式即可．
【解答】解：小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不少于50次，用不等式表示为．
故选：．
【变式练1】（2020•贺州模拟）某商店甲商品的单价为8元，乙商品的单价为2元．已知购买乙商品的件数比购买甲商品的件数的2倍少4件，如果购买甲、乙两种商品的总件数不少于32，且购买甲、乙两种商品的总费用不超过148元．设购买甲商品件，依题意可列不等式组得
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】设购买甲商品件，则购买乙商品件，根据“购买甲、乙两种商品的总件数不少于32，且购买甲、乙两种商品的总费用不超过148元”，即可得出关于的一元一次不等式组，此题得解．
【解答】解：设购买甲商品件，则购买乙商品件，
依题意得：．
故选：．
【变式练2】（2018•马边县模拟）八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】不到8棵意思是植树棵数在0棵和8棵之间，包括0棵，不包括8棵，关系式为：植树的总棵数位同学植树的棵树，植树的总棵数位同学植树的棵树，把相关数值代入即可．
【解答】解：位同学植树棵数为，
有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的棵数为棵，
可列不等式组为：，
即．
故选：．
【变式练3】（2013•温岭市校级模拟）某校准备组织520名学生进行野外考察活动，行李共有240件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共12辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载50人和15件行李，乙种汽车每辆最多能载40人和25件行李．设租用甲种汽车辆，你认为下列符合题意的不等式组是
A．
B．
C．
D．
【分析】设租用甲种汽车辆，则租用乙种汽车辆，根据题意可得两种车所载人数人，两种车载行李数件，根据不等关系列出不等式组即可．
【解答】解：设租用甲种汽车辆，则租用乙种汽车辆，由题意得：
，
故选：．
【变式练4】（2013•青岛模拟）用若干辆载重量为6吨的货车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下18吨货物；若每辆汽车只装6吨，则最后一辆货车装的货物不足5吨．若设有辆货车，则应满足的不等式组是 ．
【分析】设有辆货车，则货物吨，根据题意可得不等关系：货物总量辆货车装走的货物，根据不等关系列出不等式组即可．
【解答】解：设有辆货车，由题意得：，
故答案为：．
【变式练5】（2012•陕西模拟）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个．若小朋友的人数为，则列式正确的是
A．B．
C．D．
【分析】根据每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个．由此得出不等式组．
【解答】解：根据小朋友的人数为，根据题意可得：
，
故选：．
考点14 一元一次不等式组的应用
【例14】（2023•佳木斯一模）某班级奖励“德、智、体、美、劳”五育表现优异的学生，计划用不超过100元购买，两种笔记本作为奖品，种笔记本每本8元，种笔记本每本10元，每种笔记本至少买4本，则购买方案有
A．7种B．8种C．9种D．10种
【答案】
【分析】当购买6本种笔记本时，分购买4本种笔记本、购买5本种笔记本及购买6本种笔记本及购买7本种笔记本四种情况考虑，根据“种笔记本至少购买4本，且总价不超过100元”，可得出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，即可得出购买方案的数量．
【解答】解：设购买本种笔记本．
当购买4本种笔记本时，，
解得：，
又为正整数，
可以为4，5，6，7，
当购买4本种笔记本时，有4种购买方案；
当购买5本种笔记本时，，
解得：，
又为正整数，
可以为4，5，6，
购买5本种笔记本时，有3种购买方案；
当购买6本种笔记本时，，
解得：，
又为正整数，
可以为4，5，
当购买6本种笔记本时，有2种购买方案；
当购买7本种笔记本时，，
不等式组无解，即不存在该种情况．
上所述，购买方案共有（种．
故选：．
【变式练1】（2023•齐齐哈尔二模）闻宏商店计划用不超过8400元的货款，购进、两种单价分别为120元、200元的商品共50件，据市场行情，销售、商品各一件分别可获利20元、40元，两种商品均售完．若所获利润大于1500元，则该商店进货方案有
A．4种B．5种C．6种D．8种
【答案】
【分析】设该店购进种商品件，则购进种商品件，根据用不超过8400元的货款，购进、两种商品共50件，所获利润大于1500元，列出一元一次不等式组，解之求得整数的值，即可得出答案．
【解答】解：设该店购进种商品件，则购进种商品件，
由题意得：，
解得：，
为整数，
，21，22，23，24，
该店进货方案有5种，
故选：．
【变式练2】（2023•西区校级一模）每年3月12日是“植树节”，某班为响应“绿水青山就是金山银山”的理念，在植树节这天组织学生开展植树活动，老师提前购买了一定数量的小树苗，在分发树苗的过程中，若每人种3棵，则多出86棵，若每人种5棵，则有一人可分得但不足3棵，则这批小树苗共有
A．122棵B．186棵C．212棵D．221棵
【答案】
【分析】设有人植树，则这批小树苗共有棵，根据“如果每人种5棵，则有一人可分得但不足3棵”，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数即可得出结论．
【解答】解：设有人植树，则这批小树苗共有棵，
由题意得：，
解得：，
又为正整数，
，
，
故选：．
【变式练3】（2023•辉县市二模）北京冬奥会之所以能够开启全球冰雪运动新时代，关键在于中国通过筹办冬奥会和推广冬奥运动，让冰雪运动进入寻常百姓家，某校组建了一个滑雪队，现队长需要购买一些滑雪板，经了解，现有、两种滑雪板．若购进种滑雪板10副，种滑雪板5副，需要2000元；若购进种滑雪板5副，种滑雪板3副，需要1100元．
（1）求购进、两种滑雪板的单价；
（2）若该滑雪队决定拿出1万元全部用来购进这两种滑雪板，要求购进种滑雪板的数量不少于种滑雪板数量的6倍，且购进种滑雪板数量不少于8副，那么该校共有几种购买方案？
【答案】（1）购进种滑雪板的单价是100元，种滑雪板的单价是200元；
（2）该校共有5种购买方案．
【分析】（1）设购进种滑雪板的单价是元，种滑雪板的单价是元，根据“购进种滑雪板10副，种滑雪板5副，需要2000元；购进种滑雪板5副，种滑雪板3副，需要1100元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该校购进副种滑雪板，则购进副种滑雪板，根据“购进种滑雪板的数量不少于种滑雪板数量的6倍，且购进种滑雪板数量不少于8副”，可得出关于的一元一次不等式组，解之可求出的取值范围，结合，均为正整数，即可得出该校共有5种购买方案．
【解答】解：（1）设购进种滑雪板的单价是元，种滑雪板的单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进种滑雪板的单价是100元，种滑雪板的单价是200元；
（2）设该校购进副种滑雪板，则购进副种滑雪板，
根据题意得：，
解得：，
又，均为正整数，
可以为76，78，80，82，84，
该校共有5种购买方案．
【变式练4】（2023•贵阳模拟）某学校准备到文化用品商店购买数学实验器材和，若购买4件器材和3件器材共需要580元，若购买3件器材和3件器材共需要450元．
（1）求每件器材，的销售价格；
（2）学校准备用不多于2680元的金额购买这两种器材共24件，还要求购买器材不少于15件，则学校购买费用最少多少元？
【答案】（1）每件器材的销售价格为130元，每件器材的销售价格为20元；
（2）购买费用最少为2130元．
【分析】（1）设、价格的未知数，根据已知条件列方程组．
（2）设、数量的未知数，求出未知数的大小范围，根据要求选择合适的数量进行求和．
【解答】解：（1）设每件器材为元，每件器材为元，
由题可得方程组为：，
解得：，
所以每件器材的销售价格为130元，每件器材的销售价格为20元；
（2）设器材买件，器材买件，
由题可得方程组为：，
解得：，
若要使学校购买费用最少，那么由于器材的销售价格低于器材的销售价格，所以当器材的购买数量最大时，学校购买费用最少，
即当时，购买费用最少为：元．
【变式练5】（2023•平罗县校级模拟）一中双语举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生，已知购买2个甲种文具，1个乙种文具共需要花费35元，购买1个甲种文具，3个乙种文具共需要花费30元．
（1）求购买一个甲种文具，一个乙种文具各需多少钱？
（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元，又不多于1000元，问有多少种购买方案？
【分析】（1）设购买一个甲种文具元，一个乙种文具元，根据“购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元”列方程组解答即可；
（2）根据题意列不等式组解答即可．
【解答】解：（1）设购买一个甲种文具元，一个乙种文具元，
由题意得：，
解得，
答：购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元；
（2）根据题意得：
，
解得，
是整数，
，37，38，39，40．
有5种购买方案．
x>ax>b
x＞a
两大取大
x