专题24 平行四边形（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用）

这是一份专题24 平行四边形（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用），共27页。试卷主要包含了平行四边形的概念，平行四边形的性质，两条平行线之间的距离，平行四边形的判定，三角形的中位线及其定理等内容，欢迎下载使用。

夯实基础
1．平行四边形的概念
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
平行四边形的定义既是性质，又是判定．
（1）由定义知平行四边形的两组对边分别平行；
（2）由定义可以得出只要四边形中的两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形．
平行四边形的基本元素：边、角、对角线．
2．平行四边形的性质
（1）平行四边形的对边平行且相等．
（2）平行四边形的对角相等、邻角互补．
（3）平行四边形的对角线互相平分．
【归纳】（1）平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了新的理论依据；
（2）平行四边形的两条对角线将平行四边形分成的四个三角形中，相对的两个三角形全等，且四个三角形的面积相等，相邻两个三角形的周长差等于平行四边形相应的邻边之差；
（3）利用对角线互相平分可以解决对角线或边的取值范围问题，在解答时应联系“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”来解决．
3．两条平行线之间的距离
（1）定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．
（2）性质
①两条平行线之间的距离处处相等；
②夹在两条平行线间的平行线段相等．
4．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
5．三角形的中位线及其定理
（1）定义：连接三角形两边中点的线段（任意一个三角形都有三条中位线）．
（2）定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
（3）应用：
①位置关系：可以证明两条直线平行．
②数量关系：可以证明线段相等或者倍分．
【注意】（1）三角形有三条中位线，每一条中位线与第三边都有相应的位置关系与数量关系．三角形的中位线定义为证明两条直线平行、两条线段之间的数量关系提供了一个重要依据．
（2）三角形的中位线与中线的区别：三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，三角形的中线是连接三角形顶点与其对边中点的线段．
（3）当遇到中点时，可考虑构造三角形的中位线来解决问题，这种思路方法就是我们常说的“遇到中点想中位线”；相应地，知道三角形的中位线也就等于知道了三角形两边的中点．
吃透考点
1．平行四边形
（1）定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）符号表示
用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．
（3）基本元素
边、角、对角线，邻边、对边、邻角、对角．
2．平行四边形的性质
（1）平行四边形对边平行且相等．
几何描述：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC； AB∥CD，AD∥BC．
（2）平行四边形对角相等、邻角互补．
几何描述：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，∠1+∠4=180°．
（3）平行四边形对角线互相平分．
几何描述：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC=12AC，BO=OD=12BD．
3．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【注意】（1）判定方法可作为“画平行四边形”的依据．
（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形．
（3）一组对边相等，一组对角相等的四边形也不一定是平行四边形．
（4）两组邻边分别相等或两组邻角分别相等都不能判定四边形是平行四边形．
考点1 三角形中位线定理
【例1】（2023•伊通县模拟）如图，是的中线，，分别是，的中点，连接．若，则的长为
A．B．2C．D．4
【答案】
【分析】根据三角形的中线的概念求出，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：是的中线，，
，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
故选：．
【变式练1】（2023•高新区模拟）如图，在中，，，点，，分别是，，的中点，则四边形的周长为
A．16B．18C．20D．22
【答案】
【分析】根据三角形中位线定理分别求出、、，计算即可．
【解答】解：点、、分别是边、、的中点，
、是三角形的中位线，
，，，，
四边形的周长，
故选：．
【变式练2】（2023•罗山县三模）如图，在中，，分别是，的中点，点在上，且，若，，则的长为
A．9B．10C．10.5D．12
【答案】
【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：点，分别是边，的中点，
是的中位线，
，
，，
，
．
，
．
故选：．
【变式练3】（2023•青县校级模拟）如图，在中，是上一点，，，垂足为点，是的中点，若，则的长为
A．32B．16C．8D．4
【答案】
【分析】根据三角形的中位线定理，在三角形中准确应用，并且求证为的中点，再求证为的中位线，从而求得结论．
【解答】解：在中，，，
为的中点，
又是的中点，
为的中位线，
，，
，
，
故选：．
【变式练4】（2023•梁园区一模）如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为
A．1B．1.5C．2D．2.5
【答案】
【分析】延长交于，由三角形中位线定理得到，，，再证，得，然后由三角形中位线定理得，求解即可．
【解答】解：连接并延长交于，如图所示：
点、分别为边、的中点，
，，，
在和中，
，
，
，
，，
是的中位线，
，
，
故选：．
解法二：
是的中位线，，，
，，，
，
是的平分线，
，
，
，
，
故选：．
【变式练5】（2023•怀集县一模）如图，在中，，，分别为，的中点，若，，则的长为
A．5B．6C．7D．8
【答案】
【分析】由已知得为的中位线，得，在中，根据勾股定理得求解
【解答】解：，分别为，的中点，
．
在中，，，．
故选：．
考点2 平行四边形的性质
【例2】（2023•靖边县校级模拟）如图，的对角线，相交于点，，，则的周长为
A．5B．10C．15D．20
【答案】
【分析】由平行四边形的性质得，，，再证是的中位线，得出的长，即可得出结论．
【解答】解：的对角线，相交于点，
，，，
，
，是的中位线，
，
的周长．
故选：．
【变式练1】（2023•孝义市三模）如图，在中，点是的中点，对角线，相交于点，连接，若的周长是10，则的周长为
A．3B．5C．6D．7
【答案】
【分析】根据中点的定义和三角形中位线定理得，，，从而得出可得答案．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
点是的中点，
，，
的周长是10，
的周长，
故选：．
【变式练2】（2023•柳南区二模）如图，平行四边形的对角线，相交于点，则下列说法一定正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由平行四边形的性质容易得出结论．
【解答】解：四边形是平行四边形，
；
故选：．
【变式练3】（2023•昆明模拟）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，为的中点，，则的长为
A．2B．3C．4D．5
【答案】
【分析】因为四边形是平行四边形，所以；再根据点是的中点，得出是的中位线，即可解决问题．
【解答】解：四边形是平行四边形，
．
又点是的中点，
是的中位线，
根据三角形的中位线定理可得：．
则．
故选：．
【变式练4】（2023•柯城区校级一模）如图，平行四边形的周长为，，相交于点，交于点，则的周长为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据线段垂直平分线的性质可知，再结合平行四边形的性质即可计算的周长．
【解答】解：根据平行四边形的性质得：，
，
为的垂直平分线，
根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：，
的周长．
故选：．
【变式练5】（2023•鹿城区校级三模）如图，在平行四边形中，为上一点，连结，，已知，，记，则用的代数式表示的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质得出，利用平行线的性质和三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：，，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
考点3 平行四边形的判定
【例3】（2023•衡水模拟）如图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，还需要添加的条件可以是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由，得，由，可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形，可判断符合题意；由可知四边形是平行四边形的条件是，而的条件是，而由，，不能证明与全等，可判断不符合题意；由，或，都不能证明与全等，可判断不符合题意，不符合题意，于是得到问题的答案．
【解答】解：，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
符合题意；
，，
，
但是，由，，不能证明与全等，
与不一定相等，
四边形不一定是平行四边形，
故不符合题意；
由，或，都不能证明与全等，
与不一定相等，
四边形不一定是平行四边形，
故不符合题意，不符合题意，
故选：．
【变式练1】（2023•南漳县模拟）能判定四边形为平行四边形的是
A．，B．，C．，D．，
【分析】直接利用平行四边形的判定定理判定，即可求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用．
【解答】解：、，，则四边形是平行四边形或等腰梯形；故本选项错误；
、，，则四边形为平行四边形；故本选项正确；
、，，则四边形为等腰梯形或矩形；故本选项错误；
、，，不能判定四边形为平行四边形；故本选项错误．
故选：．
【变式练2】（2023春•界首市期末）已知四边形，下列条件中，不能确定四边形是平行四边形的是
A．且B．且
C．且D．且．
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定逐一验证．
【解答】解：、“且”是两组对边分别平行，可以判定四边形是平行四边形；故本选项不合题意；
、“且”是一组对边平行且相等，可以判定四边形是平行四边形；故本选项不合题意；
、“且”不可以判定四边形是平行四边形；故本选项符合题意．
、，
．
又，
，
，
四边形是平行四边形；故本选项不合题意；
故选：．
【变式练3】（2023•喀喇沁旗一模）如图，四边形的对角线，相交于点，且，添加下列条件后仍不能判断四边形是平行四边形的是
A．B．C．D．
【分析】、由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形是平行四边形；、由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得出四边形是平行四边形；、由可得出、，结合可证出，根据全等三角形的性质可得出，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形是平行四边形；、由、无法证出四边形是平行四边形．此题得解．
【解答】解：、、，
四边形是平行四边形；
、、，
四边形是平行四边形；
、，
，．
在和中，，
，
，
四边形是平行四边形；
、由、无法证出四边形是平行四边形．
故选：．
【变式练4】（2023•淮阳区模拟）如图，已知，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：、，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
、，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
、，
，不能判定四边形是平行四边形，故选项符合题意；
、，
，
又，
四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
故选：．
【变式练5】（2023•雁塔区校级模拟）在四边形中，，添加下列条件，能使四边形成为平行四边形的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先证，再由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：，
，
、由，，不能判定四边形为平行四边形，故选项不符合题意；
、由，不能判定四边形为平行四边形，故选项不符合题意；
、，，
四边形为平行四边形，故选项符合题意；
、，
，
不能判定四边形为平行四边形，故选项不符合题意；
故选：．
考点4 平行四边形的判定与性质
【例4】（2023•潮州模拟）如图，在中，点，，分别是，，的中点，以这些点为顶点，在图中能画出多少个平行四边形
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】
【分析】由于、、分别是边，，的中点，易知、、都是的中位线，那么，，，根据平行四边形的定义，两两结合易证四边形是平行四边形；四边形是平行四边形；四边形是平行四边形．
【解答】解：、、分别是边，，的中点，
、、都是的中位线，
，，，
四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形．
故选：．
【变式练1】（2023•唐河县模拟）如图，在中，，点，，分别在边，，上，，，则四边形的周长是
A．10B．15C．18D．20
【答案】
【分析】根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，进而利用平行四边形的性质解答即可．
【解答】解：，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
同理可得，，
四边形的周长，
故选：．
【变式练2】（2023•梅州一模）如图，在中，点，分别在，边上，添加下列条件中的一项，不能保证四边形是平行四边形的是
①；②；③；④
A．①B．②C．③D．④
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质得出，，进而利用平行四边形的判定解答即可．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，故②正确；
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，故③正确；
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，故④正确；
①，不能得出边形是平行四边形，
故选：．
【变式练3】（2023•红花岗区三模）如图，点是线段上的动点（不与点、重合），分别以、为边向上作等边三角形和，延长、交于点，若，则四边形的周长是
A．4B．8C．10D．12
【答案】
【分析】根据等边三角形的性质证明四边形是平行四边形，，，再证明是等边三角形，可得，进而可以解决问题．
【解答】解：和都是等边三角形，
，，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
是等边三角形，
，
四边形的周长．
故选：．
【变式练4】（2023•同心县模拟）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，下列选项不正确的是
A．，B．，C．，D．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质进行分析即可．
【解答】解：、四边形是平行四边形不能判定，故此选项符合题意；
、平行四边形对角线互相平分即，，故此选项不符合题意；
、平行四边形对边平行且相等可得，，故此选项不符合题意；
、四边形是平行四边形可得，，所以，故此选项不符合题意；
故选：．
【变式练5】（2023•赣州二模）如图，点是边延长线上一点，连接，，，与交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质和判定判断即可．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，故正确；
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，故正确；
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
是的中位线，
，
四边形为平行四边形，故正确；
由，得出，但不能得出四边形为平行四边形，故错误；
故选：．
考点5 平行线之间的距离
【例5】（2023•开发区二模）如图是两条平行线，则表示这两条平行线间距离的线段有
A．0条B．1条C．2条D．无数条
【答案】
【分析】根据从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，平行线间的距离处处相等即可得出答案．
【解答】解：表示这两条平行线间距离的线段有无数条，
故选：．
【变式练1】（2023•承德一模）在同一平面内到直线的距离等于2的直线有
A．1条B．2条C．4条D．无数条
【答案】
【分析】根据平行线间的距离相等，直线上方与下方各有一条直线与已知直线平行，即可求解．
【解答】解：同一平面内到直线的距离等于2的直线有2条，
故选：．
【变式练2】（2021•云岩区模拟）如图，直线，通过度量测得，之间的距离为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据平行线之间距离的概念进行测量即可得出答案．
【解答】解：如图：
根据从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，因为，所以直线，之间的距离是线段的长度，测量的长度是．
故选：．
【变式练3】（2021•涟源市二模）在同一平面内，设、、是三条互相平行的直线，与之间的距离为5，与之间的距离为2，则与之间的距离为 7或3 ．
【分析】方两种情况讨论，分别画出图形，根据图形进行计算即可．
【解答】解：有两种情况：
①如图①所示，直线与之间的距离是；
②如图②所示，直线与之间的距离是；
综上所述，与之间的距离为7或3．
故答案为：7或3．
【变式练4】（2021•宜昌模拟）如图，直线，与、分别交于点、，且，交直线于点．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求直线与的距离．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由直线，根据平行线的性质得出，再由，根据垂直的定义即可得到结果；
（2）过作于，依据，即可求出．
【解答】解：（1）直线，
，
又，
，
；
（2）如图，过作于，则的长即为直线与的距离．
，，
，
，
，
直线与的距离为．
【变式练5】（2020•博兴县一模）如图，，的角平分线与的角平分线相交于点，作于点．若，则两平行线与间的距离为
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出，，即可得出答案．
【解答】解：过点作，
，的角平分线与的角平分线相交于点，于点，
，，
，，
；
故选：．
方
法
技
巧
点
拨
1．（1）一组对边平行，另一组对边相等点拨的四边形不一定是平行四边形．例如：等腰梯形．
（2）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．
2．注意平行线之间的距离和平行线之间的平行线段是不同的概念，不能混为一谈．
3．（1）平行四边形的邻边之和等于平行四边形周长的一半．
（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个小三角形周长之差等于两邻边之差．
4．中点四边形的形状的方法
顺次连接四边形各边的中点得到的四边形叫做中点四边形．连接原四边形的一条对角线，得到两组三角形的中位线，利用一组对边平行且相等这一判定定理可得中点四边形是平行四边形．
5．遇到中点想中位线
如果在三角形中遇到一个中点或一条中线，那么应当考虑是否还存在另一个中点，是否隐含了三角形的中位线，这种方法就是常说的“遇到中点想中位线”．特别是出现“线段相等十垂直”或“角平分线十垂直”模型时，往往存在另一个中点．