初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数1 二次函数精练

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1．已知抛物线，其顶点为，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线：与抛物线第一象限交于点，交轴于点，求的值；
（3）若有两个定点，，请在抛物线上找一点，使得的周长最小，并求出周长的最小值．
【答案】（1）；（2）的值为45°；（3）的周长的最小值为
【分析】（1）将点代入，即可求解；
（2）由中点公式可得：点，则，则，进而求解；
（3）设点，则，则，而，即，进而求解．
【解析】解：（1）将点代入得：，解得，
；
（2）由题意得：
解得：或，
结合题意可得：

顶点 而

，故，
连接并延长至点，使，
则是的中垂线，连接交轴于点，
由中点公式可得：点，则，
则，
设为：
则，
解得：，
所以直线的函数表达式为：，故点，


在中，，，，
过点作与点，设：，则，
则，
解得：，则，故，
即：；
（3）作直线，交轴于点，过点作直线交于点，连接，
则点，设点，
则，
则，而，即，
而（点位于点时取等号），
故的最小值为，而，
故周长的最小值为：．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等，其中（3），关键在于确定，本题难度很大．
2．已知抛物线（a，b为常数，）与x轴交于点，顶点为D，且过点．
(1)求抛物线解析式和点C，D的坐标；
(2)点P在该抛物线上（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值；
②连接BD，当时，求点P的坐标．
【答案】(1)，，
(2)①，②点P的坐标为或．
【分析】（1）把点，点代入，求出抛物线解析式，进一步可求出，；
（2）①由题意可知点P坐标为，过点P作轴于点H，交直线BC于点E，求出直线BC的解析式为．利用点P的坐标可知，故点E的坐标为．进一步可求出，所以当时，的面积的最大值为；②分情况讨论：当点P在直线BC的上方，求出直线BD的解析式为，和直线PC的解析式为．即可求出点P的坐标为；当点P在直线BC的下方时，设直线PC与BD交于点M，设，
求出．求出直线CM的解析式为，进一步可求出．
【解析】（1）解：把点，点代入，
可得：，解得
∴抛物线解析式为，
，
∴顶点．
把代入在，得，
∴点．
（2）解：由题意可知点P坐标为，
①如图，过点P作轴于点H，交直线BC于点E，
设直线BC的解析式为，将，点代入，
得，解得．
∴直线BC的解析式为．
∵点P的坐标为，由题意可知，
∴点E的坐标为．
∴．
∴
．
∵，
∴当时，的面积的最大值为．
②存在．
如图①，当点P在直线BC的上方，且时，则，
设直线DB的解析式为，将，点代入，
得，解得．
∴直线BD的解析式为．
∵，
∴设直线PC的解析式为．
∵，
∴．
∴．
∴直线PC的解析式为．
∴．
解得，（舍）．
当时，．
∴点P的坐标为．
如图②，当点P在直线BC的下方时，设直线PC与BD交于点M，
∵，
∴．
设，
∵，
，
∴
解得．
∴点M的坐标为．
由点和点可得直线CM的解析式为，
由，
解得，（舍）．
所以点．
综上，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，会求两直线的交点坐标，掌握二次函数的图象及性质．
3．已知：如图，是等腰直角三角形，，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿，方向匀速移动，P的速度是，Q的速度是，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为，解答下列问题：
（1）当t为何值时，是直角三角形？
（2）问：是否存在某一时刻t，使四边形的面积与面积差最小？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；
（3）设的长为，试确定y与t之间的关系式；写出当t分别为何值时，达到最短和最长，并写出的最小值和最大值．
【答案】（1）1或；（2）存在，t=；（3）y=，时，最短，最小值为；时，最长，最大值为
【分析】（1）由于的直角不确定，需分和两种情况讨论．由于，因此斜边是直角边的倍，由此建立关于的等量关系，就可解决问题．
（2）分两种情况：①当时，作于，证出是等腰直角三角形，求出的面积，得出四边形的面积的面积是的二次函数，即可得出结果；
②当时，作于，同①得出四边形的面积的面积是的二次函数，即可得出结果；
（3）由勾股定理得出二次函数，即可得出的最小值；当到达时，恰好到达，即可得出结果．
【解析】解：（1）由题可得：，，，，．
①当时，如图1，
，
，
．
，
解得：；
②当时，如图2，
同理可得：，
，
解得：；
综上所述；当为1或时，是直角三角形．
（2）分两种情况：
①当时，作于，如图3所示：
，
是等腰直角三角形，
，
的面积，
四边形的面积的面积的面积，
四边形的面积的面积，当时，面积差最小，
但是，不符合题意；
②当时，作于，如图4所示：
，
是等腰直角三角形，
，
的面积，
四边形的面积的面积的面积，
四边形的面积的面积，
当时，面积差最小；
因此，存在某一时刻，使四边形的面积与面积差最小，；
（3）根据题意得：时，存在的值，使最短，；理由如下：
如图3所示：，，
由勾股定理得：，
∴y=，
当时，y的最小值，
当时，；
当时，；
综上所述：当时，最短，最小值；
当到达时，恰好到达，此时秒，的最大值．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，难度较大，需要通过作辅助线进行分类讨论才能得出结果．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，交双曲线于点抛物线过点B，且与该双曲线交于点D，点D的纵坐标为．
（1）求双曲线与抛物线的解析式．
（2）若点P为该抛物线上一点，点Q为该双曲线上一点，且P，Q两点的纵坐标都为，求线段的长．
（3）若点M沿直线从点A运动到点C，再沿双曲线从点C运动到点D．过点M作轴，交抛物线于点N．设线段的长度为d，点M的横坐标为m，直接写出d的最大值，以及d随m的增大而减小时m的取值范围．
【答案】（1），；（2）或；（3）的最大值是，，，时，随的增大而减小．
【分析】（1）根据直线解析式求出点、、的坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点的坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据抛物线和双曲线解析式求出点、的坐标，然后根据平行于轴的直线上两点间的距离的求法求解即可；
（3）分点在、、上三种情况，根据直线、抛物线和双曲线的解析式表示出，再根据二次函数的增减性解答．
【解析】解：（1）令，则，
解得，
令，则，
所以，点，，
时，，
所以，点，
设双曲线解析式为，
则，
解得，
所以，双曲线解析式为，
点的纵坐标为，
，
解得，
点，
抛物线过点、，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）当时，，
整理得，，
解得，，
点的坐标为，或，，
，
解得，
点的坐标为，
或；
（3）①点在上时，，
，
随的增大而减小，
②点在上时，，
，
时，有最大值为，
时，随的增大而减小，
③点在上时，，
，
由图可知，随的增大而减小，
综上所述，的最大值是，，，时，随的增大而减小．
【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求函数解析式（包括二次函数解析式，反比例函数解析式），二次函数与反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的增减性，综合题，但难点不大，（2）要注意点有两个，（3）要注意分情况讨论．
5．在平面直角坐标系中，O为原点，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，点B关于原点的对称点为点C．
(1)过A，B，C三点的抛物线的解析式为_______；
(2)P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q．
①当四边形为菱形时，求点P的坐标；
②若点P的横坐标为，当t为何值时，四边形面积最大，并说明理由．
【答案】(1)
(2)①点P的坐标为，或，；②当t为0时，四边形面积最大，理由见解析
【分析】（1）联立两直线解析式可求得点坐标，由关于原点对称可求得点坐标，由直线可求得点坐标，再利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①当四边形为菱形时，可知，则可求得直线的解析式，联立抛物线解析式可求得点坐标；②过作，垂足为，作轴的垂线，交直线于点，由，可知当最大时，也最大，用可表示出的长，可求得取最大值时的的值．
（1）
解：联立两直线解析式可得，
解得，
点坐标为，
又点为点关于原点的对称点，
点坐标为，
直线与轴交于点，
点坐标为，
设抛物线解析式为，
把、、三点坐标代入可得，
解得，
抛物线解析式为，
故答案为：；
（2）
①当四边形为菱形时，则，
直线解析式为，
直线解析式为，
联立抛物线解析式可得，
解得或，
点坐标为，或，；
②当时，四边形的面积最大．
理由如下：
如图，过作，垂足为，作轴的垂线，交直线于点，
则，
线段长固定不变，
当最大时，四边形面积最大，
又（固定不变），
当最大时，也最大，
点在抛物线上，点在直线上，
点坐标为，点坐标为，
，
当时，有最大值1，此时有最大值，即四边形的面积最大．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、点的对称、菱形的判定和性质、三角形的面积和二次函数的最值等知识点．在（1）中求得、、三点的坐标是解题的关键，在（2）①中得出直线的解析式是解题的关键，在②中确定出四边形面积最大的条件是解题的关键．本题涉及知识点较多，综合性较强，其中第（2）②小题是难点．
6．如图，在平面直角坐标系中，等腰的斜边在x轴上，．抛物线过点O，A，B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点是线段上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线于点E，交抛物线于点F，以为一边，在的右侧作矩形．
①若，求矩形面积的最大值；
②若，矩形与等腰重叠部分为轴对称图形，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）①矩形面积的最大值为8；②m=或m=或≤m＜
【分析】（1）过点A作AD⊥x轴于D，先求出点B的坐标，根据等腰直角三角形的性质求出点A的坐标，设抛物线的解析式为，将点A的坐标代入即可求出结论；
（2）①设抛物线与直线的右交点为C，联立方程求出点C的坐标，根据PF在点C左侧和PF在点C右侧分类讨论，利用m表示出矩形的面积，利用二次函数求出最值即可；
②根据矩形四个顶点的位置分类讨论：（i）当矩形的四个顶点都在抛物线对称轴左侧时，易知此时四边形为正方形，利用EF=FG列出方程即可求解；（ii）当矩形的四个顶点中，E、F在抛物线对称轴左侧、G、H在抛物线对称轴右侧时，易知此时抛物线的对称轴直线x=4也是矩形的对称轴，从而求解；（iii）当矩形的四个顶点都在抛物线对称轴右侧，且H在AB左侧时，画出图形可知，此时不符合题意；（iiii）当点H落在AB上时，设直线与AB交于点M，由图可知：从点H落在AB上到点E与点M重合之前，矩形与等腰重叠部分为等腰直角三角形，从而求出m的取值范围；（iiiii）当m≥，即点E和点M重合或点E在点M右侧时，矩形与等腰无重叠部分，此时不符合题意．
【解析】解：（1）过点A作AD⊥x轴于D
∵等腰的斜边在x轴上，，
∴OD=DB==4，点B的坐标为（8，0）
∴AD==4
∴点A的坐标为（4，4）
由抛物线过点O，A，B，设抛物线的解析式为
将点A的坐标代入，得
解得：
∴抛物线的解析式为；
（2）①设抛物线与直线的右交点为C，
联立
解得：或
∴点C的坐标为（6，3）
当0≤m＜6时，如下图所示，
∴点E的坐标为（m，），点F的坐标为（m，）
∴EF=－=
∴S矩形EFGH=FG·EF==
∵＜0
∴当m=3时，S矩形EFGH有最大值，最大值为；
当6≤m≤8时，如下图所示
∴点E的坐标为（m，），点F的坐标为（m，）
∴EF=－=
∴S矩形EFGH=FG·EF==，对应抛物线的开口向上，对称轴为直线m=3，
∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大
∵6≤m≤8
∴当m=8时，S矩形EFGH有最大值，最大值为8；
∵＜8
∴矩形面积的最大值为8；
②（i）当矩形的四个顶点都在抛物线对称轴左侧时，如下图所示，此时，m＋≤4，即m≤，

若矩形与等腰重叠部分为轴对称图形，易知此时四边形为正方形
∴EF=FG
∴=
解得：m1=，m2=（不符合前提，舍去）
∴此时m=；
（ii）当矩形的四个顶点中，E、F在抛物线对称轴左侧、G、H在抛物线对称轴右侧时，如下图所示，此时，m≤4且m＋＞4，即＜m≤4，
若矩形与等腰重叠部分为轴对称图形，易知此时抛物线的对称轴直线x=4也是矩形的对称轴
∴此时点E的横坐标m=4－FG=；
（iii）当矩形的四个顶点都在抛物线对称轴右侧，且H在AB左侧时，如下图所示，矩形与等腰重叠部分为直角梯形，不可能是轴对称图形，不符合题意，舍去；
（iiii）当点H落在AB上时，设直线与AB交于点M，
∵EH∥OB
∴∠EHA=∠OBA=45°
∴矩形与等腰重叠部分为等腰直角三角形，即为轴对称图形
∴此时符合题意
设直线AB的解析式为y=kx＋b
将点A、B的坐标代入，得
解得：
∴直线AB的解析式为y=-x＋8
由点E（m，）
∴点H的坐标为（m＋，），代入y=-x＋8中，得
=-（m＋）＋8
解得：m=
联立
解得：
∴点M的坐标为（，）
由下图可知：从点H落在AB上到点E与点M重合之前，矩形与等腰重叠部分为等腰直角三角形，即为轴对称图形
∴此时符合题意
∴≤m＜；
（iiiii）当m≥，即点E和点M重合或点E在点M右侧时，如下图所示，矩形与等腰无重叠部分，故不符合题意，舍去；
综上：m=或m=或≤m＜．
【点睛】此题考查的是二次函数与几何图形的综合大题，此题难度较大，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、利用二次函数求最值、轴对称图形的定义、等腰直角三角形的判定及性质是解题关键．
7．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，y=x+1；（2）满足条件的点E的坐标为(0，1)或(，)或(，)；（3）面积的最大值为．
【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）利用配方法及一次函数图象上点的坐标特征，可求出点B，D的坐标，设点E的坐标为（x，x+1），分点E在线段AC上及点E在线段AC（或CA）延长线上两种情况考虑：①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，由BD的长结合点E的坐标可得出点F的坐标为（x，x+3），再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出x的值，进而可得出点E的坐标；②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，由BD的长结合点E的坐标可得出点F的坐标为（x，x﹣1），再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出x的值，进而可得出点E的坐标．综上，此问得解；
（3）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，过点C作CN⊥x轴，垂足为N，设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3）（﹣1＜x＜2），则点M的坐标为（x，0），结合点A，C的坐标及S△APC＝S△APM+S梯形PMNC﹣S△ACN，可得出S△APC关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【解析】解：（1）将A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2+2x+3．
设直线AC的函数关系式为y＝kx+a（k≠0），
将A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝kx+a，得：
，解得：，
∴直线AC的函数关系式为y＝x+1．
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴点D的坐标为（1，4）．
当x＝1时，y＝x+1＝2，
∴点B的坐标为（1，2）．
设点E的坐标为（x，x+1）．
分两种情况考虑（如图1）：
①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，
∴点F的坐标为（x，x+3）．
∵点F在抛物线上，
∴x+3＝﹣x2+2x+3，
解得：x1＝0，x2＝1（舍去），
∴点E的坐标为（0，1）；
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，
∴点F的坐标为（x，x﹣1）．
∵点F在抛物线上，
∴x﹣1＝﹣x2+2x+3，
解得：，
∴点E的坐标为（）或（，）．
综上：满足条件的点E的坐标为（0，1），（）或（，）．
（3）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，过点C作CN⊥x轴，垂足为N，如图2所示．
设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3）（﹣1＜x＜2），则点M的坐标为（x，0）．
∵点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（2，3），
∴AM＝x+1，MN＝2﹣x，PM＝﹣x2+2x+3，CN＝3，AN＝3，
∴S△APC＝S△APM+S梯形PMNC﹣S△ACN，
．
∴当x＝时，S△APC取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为（）．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、三角形的面积、梯形的面积以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次（一次）函数解析式；（2）分点E在线段AC上及点E在线段AC（或CA）延长线上两种情况，求出点E的坐标；（3）利用分割图形求面积法，找出S△APC关于x的函数关系式．
8．如图，抛物线(t＞0)与x轴的交点为B，A(点B在左边)，过线段OA的中点M作MPx轴，交直线(x＞0)于点P.
(1)当t＝3时，直线MP于抛物线对称轴之间的距离为______；当直线MP于抛物线对称轴距离为3时，t＝______.
(2)把抛物线在直线MP左侧部分的图像(含与直线MP的交点)记为，用t表示最高点的坐标.
(3)在(2)的条件下，当t＞4时，图像的最高点与P之间的距离何时有最大值，并求出最大值.
【答案】(1)，10；(2)0