北师大版九年级数学下册 专题1.3 锐角三角函数（巩固篇）（专项练习）（附答案）

这是一份北师大版九年级数学下册 专题1.3 锐角三角函数（巩固篇）（专项练习）（附答案），共39页。试卷主要包含了三角函数概念的辨析，求三角函数值，由三角函数值求边长，三角函数值的增减性，由函数值确实锐角的取值范围等内容，欢迎下载使用。
知识点一、三角函数概念的辨析
1．在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列结论正确的是（ ）
A．b＝a•sinAB．b＝a•tanAC．c＝a•sinAD．a＝c•csB
2．已知中，为的对边，为的对边，若与已知，则下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，与，，分别交于点E，G，F，且，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE＝2，则tan∠DBE的值是（ ）
B．2C．D．
知识点二、求三角函数值
5．如图，的三个顶点都在边长为1的格点图上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，正方形ABCD的边长为6，AC为对角线，取AB中点E，DE与AC交于点F．则sin∠DFC＝（ ）
A．B．C．D．
7．如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
8．如图，已知E是正方形中边延长线上一点，且，连接、，与交于点N，F是的中点，连接交于点M，连接．有如下结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
知识点三、由三角函数值求边长
9．如图，中，，，的值为，则（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在矩形中，，，是的中点，将沿直线翻折，点落在点处，连结，则的长为（ ）
A．B．C．D．
11．如图：等腰中，是上一点，若，则（ ）．
A．B．2C．1D．
12．如图①，在菱形中，，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图像，且图像上最低点的坐标为，则菱形的边长为（ ）
A．2B．C．D．4
知识点四、三角函数值的增减性
13．角，满足，下列是关于角，的命题，其中错误的是（ ）
A．B．C．D．
14．如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ）
A．越来越小B．不变C．越来越大D．无法确定
15．下列命题：①同位角相等；②如果45°＜α＜90°，那么sinα＞csα；③若关于x的方程3x−mx+2=2的解是负数，则m的取值范围为m＜﹣4；④相等的圆周角所对的弧相等．其中假命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
16．下列结论中，不正确的是（ ）
A．
B．中，，则
C．中，，则
D．中，，则
知识点五、由函数值确实锐角的取值范围
17．在菱形ABCD中，过点A作AE与边BC垂直于点E，将△ABE沿直线AE折叠，若点B恰好落在线段EC上（不与E，C重合），则∠B的度数可以是（ ）
A．36°B．60°C．75°D．100°
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE是△ABC的中位线，连结CD．下列各组线段的比值一定与csA相等的是（ ）
A．B．C．D．
19．红领巾的形状是等腰三角形，底边长为100厘米，腰长为60厘米，则底角（ ）
A．小于30°B．大于30°且小于45°C．等于30°D．大于45°且小于60°
20．已知∠A为锐角，且sinA＜，那么∠A的取值范围是( )
A．0°＜∠A＜30°
B．30°＜∠A＜60°
C．60°＜∠A＜90°
D．30°＜∠A＜90°
填空题
知识点一、三角函数概念的辨析
21．如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC的每一个顶点都在网格的交点处，则sinC=_____。
22．如图，在中，，将沿折叠，点恰巧落在边上的处，折痕为，再将其沿折叠，使点落在的延长线上的处．若与相似，则相似比________．
23．如图，点在的正半轴上，且于点，将线段绕点逆时针旋转到的位置，且点的坐标为．若反比例函数的图象经过点，则______．
24．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上．，，，……都是等腰直角三角形，如果点，那么b的值是________；的纵坐标是________．
知识点二、求三角函数值
25．如图，在中，，是斜边的中点，，垂足为，若，，则的值为________．
26．中，，，则__．
27．如图，在中，为上一点，且于，连结，则_____．
28．如图，中，的垂直平分线分别交于两点，连接，如果，那么______．
知识点三、由三角函数值求边长
29．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，sin∠B＝，D是BC边上的一个动点（异于B、C两点），过点D分别作AB、AC边的垂线，垂足分别为E、F，则EF的最小值是______．
30．如图，矩形ABCD中，AD＝2，E为CD上一点，连接AE，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC上，记为D′，再将△D′CE沿D′E折叠，若点C的对应点C′落在AE上，则AB的长为___．
31．如图，中，，将绕A点顺时针方向旋转角得到，连接，，则与的面积之比等于_______．
32．如图，折叠矩形，使D落在边上的F处，若折痕，则_________．
知识点四、三角函数值的增减性
33．比较大小：____(填“”“”或“＞”)
34．对于锐角__________．（填）.
35．从下面两题中只选做一题，如果做了两题的，只按第（1）题评分：
（1）用“=＞”与“＜=”表示一种运算法则：（a=＞b）=﹣b，（a＜=b）=﹣a，如（2=＞3）=﹣3，则（2010=＞2011）＜=（2009=＞2008）=________ （括号运算优先）
（2）用“＞”或“＜”号填空：sin40°cs50°﹣________ 0．（可用计算器计算）
36．已知∠B是△ABC中最小的内角，则tanB的取值范围是_______．
知识点五、由函数值确实锐角的取值范围
37．若α为锐角，且，则m的取值范围是______________．
38．如图，在中，，，点是的中点，是等腰直角三角形，，线段与线段相交于点，将绕点逆时针转动，点从线段上转到与点重合的过程中，线段的长度的取值范围______．
39．已知＜csA＜sin70°，则锐角A的取值范围是_________
40．函数对任意实数都有，且是三角形的内角，则的取值范围是________
三、解答题
41．如图，在中，是对角线、的交点，，，垂足分别为点、．
（1）求证：．
（2）若，，求的值．
42．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．
（1）求证：AC⊥EF；
（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG=，求AO的长．
43．如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cs C＝，AC＝.求：
（1）BC的长；
（2）sin ∠ADC的值．
参考答案
1．D
【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作csA．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．分别进行分析即可．
解：在直角△ABC中，∠C＝90°，则
sinA＝，则，故A选项错误、C选项错误；
tanA＝，则b＝，故B选项错误；
csB＝，则a＝ccsB，故D选项正确；
故选：D．
【点拨】本题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
2．C
【分析】利用锐角三角函数的定义列出算式，然后变形计算即可．
解：如图所示：tanA=，
则a=btan∠A．
故选：C．
【点拨】此题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
3．C
【分析】根据平行线的判定定理，可判断A，根据平行线的性质，可判断B，D，根据锐角三角函数的定义，可判断C，进而即可得到答案．
解：∵，
∴，故A正确，不符合题意；
∵，
∴，故B正确，不符合题意；
∵，，
∴，即：∠GFC=90°，故D正确，不符合题意；
又∵，
∴，即：，故C错误，符合题意．
故选C．
【点拨】本题主要考查平行线的判定和性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握平行线的判定和性质，锐角三角函数的定义是解题的关键．
4．B
【分析】在直角三角形ADE中，，求得AD，AE．再求得DE，即可得到tan∠DBE．
解：设菱形ABCD边长为t．
∵BE＝2，
∴AE＝t−2．
∴，
∴，
∴t＝5．
∴AE＝5−2＝3．
∴DE＝＝＝4．
∴tan∠DBE＝＝2．
故选：B．
【点拨】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握边角之间的关系．
5．B
【分析】根据网格的特点，找到点所在网格的顶点，连接，通过勾股定理的逆定理判断是直角三角形，进而根据正弦的定义求得 的值．
解：如图，连接，
根据网格的特点可知：
，
，
是直角三角形，
，
，
故选B
【点拨】本题考查了求一角的正弦，网格中证明三角形是直角三角形，勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，证明是是直角三角形解题的关键．
6．A
【分析】连接BD与AC交于点O，利用勾股定理求得DE，OD，根据正方形的性质证明△AFE∽△CFD，然后根据相似三角形的性质求得DF，进而可求．
解：连接BD与AC交于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠EAD＝90°，AC⊥BD，OD＝，AB∥CD，AD＝AB＝CD＝6，
∴∠DOF＝90°，∠EAF＝∠DCF，OD＝3，
∵E为AB中点，
∴AE＝AB＝＝3，
由勾股定理得，DE＝，
∵∠EAF＝∠DCF，∠AFE＝∠DFC，
∴△AFE∽△CFD，
∴，
∴DF＝DE＝2，
∴sin∠DFC＝，
故选：A．
【点拨】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，解题关键是构造直角三角形和找出相似三角形进行求解．
7．B
【分析】连接BC，AB=，BC=，AC=，得到△ABC是直角三角形，从而求解．
解：如图，连接，
∵每个小正方形的边长均为1，
∴由勾股定理得，，，
∵，
∴△ABC是直角三角形，
∴．
故选：B．
【点拨】本题考查直角三角形，勾股定理；熟练掌握在方格中利用勾股定理求边长，同时判断三角形形状是解题的关键．
8．D
【分析】（1）证明△NCD∽△NBE，根据相似三角形的性质列出比例式，得到DN＝EN，判断①；根据两边对应成比例、夹角相等的两个三角形相似判断②；FG⊥AE于G，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义求出tan∠FAG，根据相似三角形的性质判断③；根据三角形的面积公式计算，判断④．
解：∵四边形ABCD为正方形，AB＝BE，
∴AB＝CD＝BE，AB∥CD，
∴△NCD∽△NBE，
∴1，
∴DN＝EN，故①结论正确；
∵∠CBE＝90°，BC＝BE，F是CE的中点，
∴∠BCE＝45°，BFCEBE，FB＝FE，BF⊥EC，
∴∠DCE＝90°+45°＝135°，∠FBE＝45°，
∴∠ABF＝135°，
∴∠ABF＝∠ECD，
∵，，
∴，
∴△ABF∽△ECD，故②结论正确；
作FG⊥AE于G，则FG＝BG＝GE，
∴，
∴tan∠FAG，
∵△ABF∽△ECD，
∴∠CED＝∠FAG，
∴tan∠CED，故③结论正确；
∵tan∠FAG，
∴，
∴，
∴S△FBMS△FCM，
∵F是CE的中点，
∴S△FBC＝S△FBE，
∴S四边形BEFM＝2S△CMF，故④结论正确；
故选：D．
【点拨】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形的面积计算，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、三角形的面积公式是解题的关键．
9．D
【分析】根据，，可得,进而可得，进而可得，根据已知条件设，则，求得，即可求得答案．
解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
．
故选D．
【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，相似三角形的性质与判定，根据两边成比例夹角相等证明三角形相似是解题的关键．
10．D
【分析】过点E作EH⊥CF于H，根据折叠的性质得到∠AEB=∠AEF，再根据点E是BC中点可得EF=EC，可得∠EFC=∠ECF，从而推出∠ECF=∠AEB，求出，则.
解：如图所示，过点E作EH⊥CF于H
由折叠可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF，
∵点E是BC中点，，
∴BE=CE=EF=，
∴△EFC为等腰三角形
∴CF=2FH=2CH
∴∠EFC=∠ECF，AE=，
∵∠BEF=∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF，
∴∠ECF=∠AEB，
∴==，
∴
∴CF=2CH=
故选D.
【点拨】本题考查了矩形的性质和折叠的性质，以及余弦的定义，解题的关键是利用折叠的性质得到∠ECF=∠AEB.
11．B
【分析】过D作DH⊥AB于H，由tan∠DBA=，设DH=m，则BH=5m，AB=6m，根据三角形ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=6，可得AB=6，从而可得6m=6，解得m，即可得到答案．
解：过D作DH⊥AB于H，如图：
Rt△BDH中，tan∠DBA=，
∴=，
设DH=m，则BH=5m，
∵三角形ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=6，
∴∠A=45°，AB=AC=6，
∴△AHD是等腰直角三角形，
∴AH=m，AD= m，
∴AB=AH+BH=6m，
∴6m=6，解得m=，
∴AD=m=2．
故选B．
【点拨】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是设DH=m，用含m的代数式表示AB，从而列方程求解．
12．D
【分析】连接DP根据轴对称性质，由两点间线段最短可知D、P、E共线时PE+PB最小，然后根据Q点的坐标，得到PC和DE的长，再利用∠D=120°，可得△ABD为等边三角形，利用锐角三角函数求出EB，得到AB的长即可．
解：、D关于直线AC对称，
连接DP，，
，（点E，D，P三点共线）
的值最小，
，
，，
∵四边形ABCD为菱形，DB为对角线，∠D=120°，
∴∠ADB=∠CDB=，AD=AB，
∴△ABD为等边三角形，
∵点E为AB中点，
∴ED⊥AB，
∴∠EDB=30°，
∴tan∠EDB=
∴
∴AB=2BE=4．
故选D．
【点拨】本题查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，以及最短路径和函数图象问题，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，以及最短路径和函数图象问题，是解题的关键．
13．C
【分析】由角，满足，确定锐角三角函数的增减性，随的增大而增大，随的增大而减小，随的增大而增大，利用45°函数值的分点即可确定答案．
解：角，满足，随的增大而增大，随的增大而减小，
随的增大而增大，
A.∵,∴0