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北师大版九年级数学下册 专题1.8 三角函数的应用（知识讲解）（附答案）
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这是一份北师大版九年级数学下册 专题1.8 三角函数的应用（知识讲解）（附答案），共12页。
会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．
【要点梳理】
要点一、锐角三角函数之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)互余关系：，；
(2)平方关系：；
(3)倒数关系：或；
(4)商数关系：．
要点诠释：
锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
【典型例题】
类型一、利用同角三角函数关系求值
1． 计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）2.
【分析】(1)根据特殊角的三角函数值计算即可；(2)根据直角三角形中tanA=，sin2A+cs2A=1，sinA=csB计算.
解：原式；
原式
.
故答案为：（1）；（2）2.
【点拨】本题考查了三角函数值的计算.
举一反三：
【变式1】已知∠A为锐角且sinA=，则4sin2A－4sinAcsA＋cs2A的值是多少。
【答案】
【分析】先求出的度数，再求出的值，最后代入计算即可.
解：为锐角，且
.
【点拨】本题考查了锐角三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键.
【变式2】.如图，在中，，是对角线上的两点（点在点左侧），且．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）当，，时，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）由平行四边形的性质得到AB=CD，，和已知条件一起，用于证明三角形全等，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定定理得出结论；
（2）根据平行四边形的性质得到一组对角相等，通过等量代换，得到，则相等的角正切值也相等，根据比值算出结果．
解：（1）证明，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，
∴BE=DF，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在中，，
∴AE=3，BE=4．
∵BE=DF，AE=CF，
∴BE=DF=4，AE=CF=3，
，，
∴，
∴tan∠CBF=，tan∠ECF=，
∴，得到EF=，或EF=（舍去），
∴BD=4+4+=，
即BD=．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定以及相等的角的正切值也相等．解决本题的关键在于等量代换出角相等，应用相等的角的正切值也相等来解题．
【变式3】求值：
(1)； 已知，求的值．
【答案】（1）0；（2）.
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值及互余两角三角函数值相互间的关系计算．
（2）根据同角三角函数值相互间的关系计算．
解：（1）原式（）2﹣11=0；
（2）∵tanA=2，∴=2，∴sinA=2csA，∴原式===．
【点拨】本题考查了特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
类型二、求证同角三角函数关系式
2． 已知：，，，请你根据上式写出你发现的规律________．
【答案】
【分析】
从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论．
解：根据题意发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半，
规律为：.
故答案为.
【点拨】本题考点：同角三角函数的关系.
举一反三：
【变式1】已知：实常数同时满足下列两个等式：⑴；⑵（其中为任意锐角），则之间的关系式是：___________
【答案】a2+b2=c2+d2
【分析】把两个式子移项后，两边平方，再相加，利用sin2θ+cs2θ=1，即可找到这四个数的关系．
解：由①得asinθ+bcsθ=c，
两边平方，a2sin2θ+b2cs2θ+2absinθcsθ=c2③，
由②得acsθ-bsinθ=-d，
两边平方，a2cs2θ+b2sin2θ-2absinθcsθ=d2④，
③+④得a2（sin2θ+cs2θ）+b2（sin2θ+cs2θ）=c2+d2，
∴a2+b2=c2+d2．
【点拨】本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，sin2θ+bcs2θ=1的应用是解题的关键，属于基础题．
【变式2】.①sin2A+cs2A=________，②tanA•ctA=________．
【答案】1 1
【解析】如图，设Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为，
则sinA= ，csA=，tanA=，ctA=，，
∴（1）sin2A+cs2A=；
（2）tanA•ctA=.
点睛：解答本题的要点是：画出符合要求的图形，结合锐角三角形函数的定义和勾股定理进行推理计算即可得到答案.
类型三、互余两角的三角函数的关系
3． 在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，sinA＝，求csA、tanA以及∠B的三个三角函数值．
【分析】根据已知角A的正弦设BC＝3k ,得出AB＝5k ,由勾股定理求出AC＝4k ,根据锐角三角函数的定义求出即可.
解：∵sinA＝＝，
∴设BC＝3k，AB＝5k，由勾股定理得：AC＝4k，
则csA＝，
tanA＝，
sinB＝，
csB＝，tanB＝.
【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义的应用,熟练掌握定义是关键.
举一反三：
【变式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，求csA的值．
【答案】csA＝.
【分析】先根据三角形内角和定理得出∠A+∠B=90°，再根据互余两角的三角函数的关系求解．
解：：在△ABC中，∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，
∴csA＝sinB＝.
故答案为：.
【点拨】本题考查直角三角形中互为余角的两角的三角函数的关系及三角形内角和定理．解题关键是一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，一个角的余弦值等于它的余角的正弦值；三角形内角和是180°．
【变式2】.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，求csA，sinB，csB，tanA，tanB的值．
【答案】；；；；
【分析】已知直角三角形中一个锐角的某个三角函数值，求这个锐角的其他三角函数值和它的余角的各三角函数值，可以先画出直角三角形，结合图形和已知条件，利用设“k”法，将直角三角形的各边长用含“k”的代数式表示出来，其中k＞0，然后根据锐角三角函数的定义，求得锐角的各三角函数值．
解：:如图
因为Rt△ABC中，∠C=90°，，
所以，
设BC＝3k(k＞0)，
则AB＝4k．
在Rt△ABC中，由勾股定理得．
所以，
，
，
，
．
【变式3】.在Rt△ABC中，∠C＝90°，csB＝35，求tanA的值．
【答案】34
【分析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据，csB＝BCAB＝35，设BC＝3x，AB＝5x，再根据勾股定理，可得AC的长 再根据正切等于对边比邻边，可得答案．
解： 由在Rt△ABC中，∠C＝90°，csB＝35，得
csB＝BCAB＝35，
设BC＝3x，AB＝5x，勾股定理得
AC＝AB2-BC2＝4x，
由正切等于对边比邻边，得
tanA＝BCAB=3x4x=34.
【点拨】本题考查了余弦函数的定义，勾股定理，正切函数的定义．熟练掌握相关知识是解题的关键。
类型四、三角函数综合
4． 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.
(1)求线段CD的长；
(2)求cs ∠ABE的值．
【答案】（1）5；（2）.
解：试题分析：（1）利用正弦定义很容易求得AB=10，然后由已知D为斜边AB上的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解.（2）cs∠ABE=，则求余弦值即求BE，BD的长，易求得BD=5.再利用等面积法求BE的长.
试题解析：(1)在△ABC中，∵∠ACB＝90°，sinA＝，而BC＝8，∴AB＝10.∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝5.
(2)在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6.
∵D是AB中点，∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC，∴S△BDC＝S△ABC，即CD·BE＝·AC·BC，∴BE＝.
在Rt△BDE中，cs∠DBE＝＝ ＝，即cs∠ABE的值为.
点睛：在直角三角形中求长度，一般可通过勾股定理或全等三角形来求；若已知角度则可用锐角三角函数来求；若这些方法均不可行，又是求高或已知高的长度则可利用等面积法来求.
举一反三：
【变式1】如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70nmile，若该渔船由西向东航行30nmile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C之间的距离．
【答案】渔船此时与C岛之间的距离为50海里．
【分析】
过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：∠BCD=30°，设BC=x，解直角三角形即可得到结论．
解：过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：
∠BCD=30°，设BC=x，则：
在Rt△BCD中，BD=BC•sin30°=x，CD=BC•cs30°=x；
∴AD=30+x，
∵AD2+CD2=AC2，即：（30+x）2+（x）2=702，
解得：x=50（负值舍去），
【点拨】注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．
【变式2】.如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．
（1）若∠A=60°，求BC的长；
（2）若sinA=，求AD的长．
（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
【答案】（1）6﹣8；（2）．
【分析】（1）根据锐角三角函数求得BE和CE的长，根据BC=BE﹣CE即可求得BC的长；（2）根据题意求得AE和DE的长，由AD=AE﹣DE即可求得AD的长．
解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，
∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6，
又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，
∴CE==8，
∴BC=BE﹣CE=6﹣8；
（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，
∴设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，
∴3x=6，得x=2，
∴BE=8，AE=10，
∴tanE====，
解得，DE=，
∴AD=AE﹣DE=10﹣=，
即AD的长是．
考点：解直角三角形．
【变式3】.如图，在中，.
（1）利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若的周长为，先化简，再求的值．
【答案】（1）作图见解析；（2）.
【解析】（1）尺规作图——作线段的垂直平分线；（2）化简求值，利用三角函数求其余两边的长度.
解：（1）如图所示：
（2），
∵，
∴ ,∴ ，
∴，.
会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．
【要点梳理】
要点一、锐角三角函数之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)互余关系：，；
(2)平方关系：；
(3)倒数关系：或；
(4)商数关系：．
要点诠释：
锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
【典型例题】
类型一、利用同角三角函数关系求值
1． 计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）2.
【分析】(1)根据特殊角的三角函数值计算即可；(2)根据直角三角形中tanA=，sin2A+cs2A=1，sinA=csB计算.
解：原式；
原式
.
故答案为：（1）；（2）2.
【点拨】本题考查了三角函数值的计算.
举一反三：
【变式1】已知∠A为锐角且sinA=，则4sin2A－4sinAcsA＋cs2A的值是多少。
【答案】
【分析】先求出的度数，再求出的值，最后代入计算即可.
解：为锐角，且
.
【点拨】本题考查了锐角三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键.
【变式2】.如图，在中，，是对角线上的两点（点在点左侧），且．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）当，，时，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）由平行四边形的性质得到AB=CD，，和已知条件一起，用于证明三角形全等，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定定理得出结论；
（2）根据平行四边形的性质得到一组对角相等，通过等量代换，得到，则相等的角正切值也相等，根据比值算出结果．
解：（1）证明，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，
∴BE=DF，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在中，，
∴AE=3，BE=4．
∵BE=DF，AE=CF，
∴BE=DF=4，AE=CF=3，
，，
∴，
∴tan∠CBF=，tan∠ECF=，
∴，得到EF=，或EF=（舍去），
∴BD=4+4+=，
即BD=．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定以及相等的角的正切值也相等．解决本题的关键在于等量代换出角相等，应用相等的角的正切值也相等来解题．
【变式3】求值：
(1)； 已知，求的值．
【答案】（1）0；（2）.
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值及互余两角三角函数值相互间的关系计算．
（2）根据同角三角函数值相互间的关系计算．
解：（1）原式（）2﹣11=0；
（2）∵tanA=2，∴=2，∴sinA=2csA，∴原式===．
【点拨】本题考查了特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
类型二、求证同角三角函数关系式
2． 已知：，，，请你根据上式写出你发现的规律________．
【答案】
【分析】
从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论．
解：根据题意发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半，
规律为：.
故答案为.
【点拨】本题考点：同角三角函数的关系.
举一反三：
【变式1】已知：实常数同时满足下列两个等式：⑴；⑵（其中为任意锐角），则之间的关系式是：___________
【答案】a2+b2=c2+d2
【分析】把两个式子移项后，两边平方，再相加，利用sin2θ+cs2θ=1，即可找到这四个数的关系．
解：由①得asinθ+bcsθ=c，
两边平方，a2sin2θ+b2cs2θ+2absinθcsθ=c2③，
由②得acsθ-bsinθ=-d，
两边平方，a2cs2θ+b2sin2θ-2absinθcsθ=d2④，
③+④得a2（sin2θ+cs2θ）+b2（sin2θ+cs2θ）=c2+d2，
∴a2+b2=c2+d2．
【点拨】本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，sin2θ+bcs2θ=1的应用是解题的关键，属于基础题．
【变式2】.①sin2A+cs2A=________，②tanA•ctA=________．
【答案】1 1
【解析】如图，设Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为，
则sinA= ，csA=，tanA=，ctA=，，
∴（1）sin2A+cs2A=；
（2）tanA•ctA=.
点睛：解答本题的要点是：画出符合要求的图形，结合锐角三角形函数的定义和勾股定理进行推理计算即可得到答案.
类型三、互余两角的三角函数的关系
3． 在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，sinA＝，求csA、tanA以及∠B的三个三角函数值．
【分析】根据已知角A的正弦设BC＝3k ,得出AB＝5k ,由勾股定理求出AC＝4k ,根据锐角三角函数的定义求出即可.
解：∵sinA＝＝，
∴设BC＝3k，AB＝5k，由勾股定理得：AC＝4k，
则csA＝，
tanA＝，
sinB＝，
csB＝，tanB＝.
【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义的应用,熟练掌握定义是关键.
举一反三：
【变式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，求csA的值．
【答案】csA＝.
【分析】先根据三角形内角和定理得出∠A+∠B=90°，再根据互余两角的三角函数的关系求解．
解：：在△ABC中，∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，
∴csA＝sinB＝.
故答案为：.
【点拨】本题考查直角三角形中互为余角的两角的三角函数的关系及三角形内角和定理．解题关键是一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，一个角的余弦值等于它的余角的正弦值；三角形内角和是180°．
【变式2】.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，求csA，sinB，csB，tanA，tanB的值．
【答案】；；；；
【分析】已知直角三角形中一个锐角的某个三角函数值，求这个锐角的其他三角函数值和它的余角的各三角函数值，可以先画出直角三角形，结合图形和已知条件，利用设“k”法，将直角三角形的各边长用含“k”的代数式表示出来，其中k＞0，然后根据锐角三角函数的定义，求得锐角的各三角函数值．
解：:如图
因为Rt△ABC中，∠C=90°，，
所以，
设BC＝3k(k＞0)，
则AB＝4k．
在Rt△ABC中，由勾股定理得．
所以，
，
，
，
．
【变式3】.在Rt△ABC中，∠C＝90°，csB＝35，求tanA的值．
【答案】34
【分析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据，csB＝BCAB＝35，设BC＝3x，AB＝5x，再根据勾股定理，可得AC的长 再根据正切等于对边比邻边，可得答案．
解： 由在Rt△ABC中，∠C＝90°，csB＝35，得
csB＝BCAB＝35，
设BC＝3x，AB＝5x，勾股定理得
AC＝AB2-BC2＝4x，
由正切等于对边比邻边，得
tanA＝BCAB=3x4x=34.
【点拨】本题考查了余弦函数的定义，勾股定理，正切函数的定义．熟练掌握相关知识是解题的关键。
类型四、三角函数综合
4． 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.
(1)求线段CD的长；
(2)求cs ∠ABE的值．
【答案】（1）5；（2）.
解：试题分析：（1）利用正弦定义很容易求得AB=10，然后由已知D为斜边AB上的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解.（2）cs∠ABE=，则求余弦值即求BE，BD的长，易求得BD=5.再利用等面积法求BE的长.
试题解析：(1)在△ABC中，∵∠ACB＝90°，sinA＝，而BC＝8，∴AB＝10.∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝5.
(2)在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6.
∵D是AB中点，∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC，∴S△BDC＝S△ABC，即CD·BE＝·AC·BC，∴BE＝.
在Rt△BDE中，cs∠DBE＝＝ ＝，即cs∠ABE的值为.
点睛：在直角三角形中求长度，一般可通过勾股定理或全等三角形来求；若已知角度则可用锐角三角函数来求；若这些方法均不可行，又是求高或已知高的长度则可利用等面积法来求.
举一反三：
【变式1】如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70nmile，若该渔船由西向东航行30nmile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C之间的距离．
【答案】渔船此时与C岛之间的距离为50海里．
【分析】
过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：∠BCD=30°，设BC=x，解直角三角形即可得到结论．
解：过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：
∠BCD=30°，设BC=x，则：
在Rt△BCD中，BD=BC•sin30°=x，CD=BC•cs30°=x；
∴AD=30+x，
∵AD2+CD2=AC2，即：（30+x）2+（x）2=702，
解得：x=50（负值舍去），
【点拨】注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．
【变式2】.如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．
（1）若∠A=60°，求BC的长；
（2）若sinA=，求AD的长．
（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
【答案】（1）6﹣8；（2）．
【分析】（1）根据锐角三角函数求得BE和CE的长，根据BC=BE﹣CE即可求得BC的长；（2）根据题意求得AE和DE的长，由AD=AE﹣DE即可求得AD的长．
解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，
∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6，
又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，
∴CE==8，
∴BC=BE﹣CE=6﹣8；
（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，
∴设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，
∴3x=6，得x=2，
∴BE=8，AE=10，
∴tanE====，
解得，DE=，
∴AD=AE﹣DE=10﹣=，
即AD的长是．
考点：解直角三角形．
【变式3】.如图，在中，.
（1）利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若的周长为，先化简，再求的值．
【答案】（1）作图见解析；（2）.
【解析】（1）尺规作图——作线段的垂直平分线；（2）化简求值，利用三角函数求其余两边的长度.
解：（1）如图所示：
（2），
∵，
∴ ,∴ ，
∴，.
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