北师大版九年级数学下册 专题2.9 二次函数y=ax²+k(a≠0)的图像与性质（巩固篇）（附答案）

这是一份北师大版九年级数学下册 专题2.9 二次函数y=ax²+k(a≠0)的图像与性质（巩固篇）（附答案），共35页。试卷主要包含了抛物线y＝x2+1的对称轴是，若二次函数y=mx2-，抛物线y＝－1＋3x2，抛物线的顶点坐标是，二次函数在内的最小值是，已知函数经过A等内容，欢迎下载使用。

1．抛物线y＝x2+1的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝0D．直线y＝1
2．若二次函数y=mx2-（m2-3m）x+1-m的图像关于y轴对称，则m的值为（ ）
A．0B．3C．1D．0或3
3．抛物线y＝－1＋3x2( )
A．开口向上，且有最高点B．开口向上，且有最低点
C．开口向下，且有最高点D．开口向下，且有最低点
4．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
5．对于抛物线与抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．开口方向相同B．对称轴相同
C．都有最高点D．顶点坐标相同
6．二次函数在内的最小值是（ ）
A．3B．2C．－29D．－30
7．下列函数中，对于任意实数，，当时，满足的是（ ）
A．y=﹣3x+2B．y=2x+1C．y=2x2+1D．y=﹣
8．已知函数经过A（m，）、B（m−1，），若．则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知点，均在抛物线上，则、 的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
10．下列关于二次函数y=x2﹣3的图像与性质的描述，不正确的是( )
A．该函数图像的开口向上
B．函数值y随着自变量x的值的增大而增大
C．该函数图像关于y轴对称
D．该函数图像可由函数y=x2的图像平移得到
11．已知抛物线y=-x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有（ ）
A．5个B．4个C．3个
D．2个
12．二次函数的图像是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向下B．抛物线与轴有两个交点
C．抛物线的对称轴是直线=1D．抛物线经过点（2,3）
13．下列对二次函数的图像的描述，正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴是y轴
C．经过原点D．在对称轴右侧，抛物线从左到右下降
14．若二次函数y＝x2+与y＝－x2+k的图像的顶点重合，则下列结论不正确的是（ ）
A．这两个函数图像有相同的对称轴B．这两个函数图像的开口方向相反
C．方程－x2+k＝0没有实数根D．二次函数y＝－x2＋k的最大值为
15．已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线y=x2﹣1上，下列说法中正确的是（ ）
A．若y1=y2，则x1=x2B．若x1=﹣x2，则y1=﹣y2
C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2
16．小张同学说出了二次函数的两个条件：
(1)当x＜1时，y随x的增大而增大；
(2)函数图像经过点(－2，4)．
则符合条件的二次函数表达式可以是( )
A．y＝－(x－1)2－5 B．y＝2(x－1)2－14
C．y＝－(x＋1)2＋5 D．y＝－(x－2)2＋20
17．二次函数的图像与的图像形状相同,开口方向相反,且经过点,则该二次函数的解析式为( )
A．B．C．D．
18．定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点，这个矩形叫做和谐矩形．已知点P(m，n)是抛物线y＝x2+k上的和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，则k的值可以是（ ）
A．﹣12B．0C．4D．16
19．若一条抛物线与的形状相同且开口向下，顶点坐标为，则这条抛物线的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
20．与抛物线y=﹣x2+1的顶点相同、形状相同且开口方向相反的抛物线所对应的函数表达式为（ ）
A．y=﹣x2B．y=x2﹣1C．y=﹣x2﹣1D．y=x2+1
21．与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线对应的函数是（ ）
A．B．C．D．
22．如图所示是二次函数y=的图像在x轴上方的一部分，对于这段图像与x轴所围成的阴影部分的面积，你认为可能的值是（ ）
A．4B．C．2πD．8
23．如图，在中，，，点从点沿边、匀速运动到点，过点作交于点，线段，，，则能够反映与之间函数关系的图像大致是（ ）
A． B．
C．D．
24．如图，矩形纸片ABCD中，BC=4，AB=3，点P是BC边上的动点（点P不与点B、C重合）．现将△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，作∠BPC′的角平分线，交AB于点E．设BP=x， BE=y，则下列图像中，能表示y与x的函数关系的图像大致是（ ）
A．B．C．D．
25．如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是（ ）
A．B．C．D．
26．已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0,2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3,6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（ ）

A．5B．9C．11D．13
填空题
27．二次函数图像的顶点坐标是_____.
28．二次函数y=-x2-2图像的顶点坐标是___________.
29．抛物线的顶点坐标是______________.
30．记实数，中的最小值为，例如，当取任意实数时，则的最大值为___________．
31．抛物线的开口比抛物线的开口________．（填“大”“小”或“相等”）
32．二次函数y=3x2-3的图像开口向_____，顶点坐标为_____，对称轴为_____，当x>0时，y随x的增大而_____；当x0，所以y有最_____值，当x=_____时，y的最_____值是_____.
33．设A（﹣1，y1），B（0，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2+2a上的三点，则y1，y2，y3由小到大关系为_____．
34．已知二次函数，如果随的增大而增大，那么的取值范围是__________．
35．若点M(﹣2，y1)，N(﹣1，y2)，P(4，y3)在抛物线上，则y1，y2，y3由小到大的顺序为_______.
36．如图，已知抛物线，直线，当任取一值时，对应的函数值分别 为，若，取中的较小值记为；若，记，例如：当时，，此时，下列判断：
①当时，；
②当时，值越大，值越小；
③使得大于2的值不存在；
④使得的值是或．
其中正确的是_______________________．
37．二次函数y＝3x2+1和y＝3（x﹣1）2，以下说法：
①它们的图像开口方向、大小相同；
②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，1）；
③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；
④它们与坐标轴都有一个交点；
其中正确的说法有_____．
38．对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法：①最小值为2；②图像的顶点是(3，2)；③图像与x轴没有交点；④当x＜－1时，y随x的增大而增大．其中正确的是____．
39．已知二次函数，当分别取时，函数值相等，则当取时，函数值为______．
40．不透明的袋子里装有除标号外完全一样的四个小球，小球上分别标有，，，这四个数字，从袋子中随机抽取一个小球，记标号为，不放回后将袋子摇匀，再随机抽取一个小球，记标号为.则，使得二次函数的图像同时经过四个象限的概率为______．
41．从抛物线y=2x2﹣3的图像上可以看出，当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是_____．
42．请你写出一个二次函数，其图像满足条件：①开口向下；②与轴的交点坐标为.此二次函数的解析式可以是______________
43．将函数向上平移3个单位后，再绕新函数图像的顶点旋转180°所得图像的函数解析式为__________．
44．写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式_____．
45．写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，2），这个二次函数的解析式可以是______．
46．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则BC的长为________．
47．如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为，则图中CD的长为__________．
48．如图，已知点M（p，q）在抛物线y＝x2－1上，以M为圆心的圆与x轴交于A、B两点，且A、B两点的横坐标是关于x的方程x2－2px＋q＝0的两根，则弦AB的长等于_______.
49．在线段上取点，分别以、为边在的同一侧构造正方形和正方形，点、分别是、的中点，连接，若，则线段的最小值为______．
50．已知二次函数y=2x2的图像如图所示，将x轴沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为____.
51．如图，抛物线y=（x-1）2-1与直线y=x交于点O，点B为线段OA上的动点，过点B作BC∥y轴，交交抛物线于点C，则线段BC长度的最大值为___
52．如图，在平面直角坐标系中，y轴上一点A（0,2），在x轴上有一动点B，连结AB，过B点作直线l⊥x轴，交AB的垂直平分线于点P(x,y)，在B点运动过程中，P点的运动轨迹是________,y关于x的函数解析式是________.
53．如图，抛物线与过点（0，-3）且平行于x轴的直线相交于点、，与轴交于点C，若 为直角，则a=_______
三、解答题
54．在同一平面直角坐标系中画出函数和的图像，并根据图像回答下列问题：
（1）抛物线经过怎样的平移才能得到抛物线？
（2）函数，当x_______时，y随x的增大而减小；当x________时，函数有最大值，最大值是_____________；其图像与y轴的交点坐标是______，与x轴的交点坐标是________________.
（3）试说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
55．已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c．
（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图像的变与不变；
（2）若这两个函数图像的形状相同，则a＝ ；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图像完全重合，则c＝ ；
（3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表：
表中m、n、p的大小关系为 （用“＜”连接）．
参考答案
1．C
【分析】由抛物线解析式可直接求得答案．
解：∵抛物线y=x2+1，
∴抛物线对称轴为直线x=0，即y轴，
故选C．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
2．B
【分析】由于函数图像关于y轴对称，则函数的解析式形式应该是y=ax2+c型，由此求得问题的答案．
解：∵二次函数y=mx2-（m2-3m）x+1-m的图像关于y轴对称，
∴函数的解析式形式应该是y=ax2+c型，
∴-（m2-3m）=0，
解得：m=0或m=3，
∵二次函数的二次项系数m不能为0，
∴m=3．
故选：B．
【点拨】本题考查关于y轴对称的抛物线的表达式是y=ax2+c，（a≠0，a、c为常数）．熟练掌握此类型二次函数的性质是解答此题的关键．
3．B
【分析】抛物线y=-1+3x2的二次项系数是3＞0，因而抛物线的开口一定向上，则函数一定有最小值，图像存在最低点．
解：∵抛物线y=-1+3x2的二次项系数是3＞0，
∴抛物线y=-1+3x2开口向上，且有最低点．
故选B．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），
对称轴直线x=，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜时，y随x的增大而减小；x＞时，y随x的增大而增大；x=时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜时，y随x的增大而增大；x＞时，y随x的增大而减小；x=时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
4．C
【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标．
解：∵y=-2x2-1，
∴该抛物线的顶点坐标为（0，-1），
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次和函数的性质解答．
5．D
【分析】根据二次函数的性质，结合两函数顶点式形式，即可得出两二次函数的开口方向、顶点坐标以及对称轴和是否有最高点，分别分析即可．
解：∵抛物线，
∴此函数顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，a