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北师大版九年级数学下册 专题2.18 二次函数的图像与性质知识点分类专项训练（基础篇）（附答案）
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这是一份北师大版九年级数学下册 专题2.18 二次函数的图像与性质知识点分类专项训练（基础篇）（附答案），共36页。试卷主要包含了对于抛物线，下列结论，二次函数y=ax2+bx+c，已知二次函数的图像等内容，欢迎下载使用。
1．a≠0，函数y＝与y＝﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知二次函数的图像如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
3．抛物线y=ax2+bx+c的图像如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图像大致为（ ）
A．B．C．D．
4．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的图像如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数的图像可能是
B．C．D．
5．对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（－1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为
A．1B．2C．3D．4
6．二次函数的图像如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）
A．B．函数的最大值为
C．当时，D．
7．二次函数的图像如图所示，则m的值是
A．－8B．8C．±8D．6
8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图像如图，下列结论：①abc>0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b>am2+bm；④a-b+c>0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．其中正确的有（ ）
②④B．②⑤C．①②③D．②③⑤
9．在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（ ）
A．的最小值为1
B．图像顶点坐标为（2，1），对称轴为直线
C．当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小
D．它的图像可以由的图像向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
10．已知二次函数的图像（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值 1.5，有最小值﹣2.5B．有最大值 2，有最小值 1.5
C．有最大值 2，有最小值﹣2.5D．有最大值 2，无最小值
11．已知二次函数（m为常数），当时，的最大值是15，则的值是（ ）
A．-10和6B．-19和C．6和D．-19和6
12．若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数（ ）
A．有最大值B．有最大值C．有最小值D．有最小值
13．如图，二次函数y=a（x+2）2+k的图像与x轴交于A、B(-1，0)两点，则下列说法正确的是（ ）
A．a＜0B．点A的坐标为(-3，0)
C．当x＜0时，y随x的增大而减小D．图像的对称轴为直线x=2
14．四位同学在研究函数（b、c是常数）时，甲发现当时，函数有最小值；乙发现是方程的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当时，．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
15．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图像的对称轴在轴的右侧B．图像与轴的交点坐标为（0，8）
C．图像与轴的交点坐标为（-2，0）和（4，0）D．的最小值为-9
16．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx，一次函数y＝ax+b和反比例函数y的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
17．直角坐标系中，一次函数的图像过点，且，与轴，轴分别交于，两点．设的面积为，则的最小值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
18．已知二次函数的解析式为，若函数图像过和两点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
19．若抛物线：与抛物线：关于直线对称，则，值为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
20．将抛物线y＝+1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣2x2+1B．y＝﹣2x2﹣1C．D．
填空题
21．如图，已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=的图像相交于B点，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0,6)，A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为_______．
22．下列各图中有可能是函数图像的是（ ）
A．B．C．D．
23．反比例函数与二次函数的图像的交点个数为_______．
24．对于任意实数t，抛物线y＝x2+（2﹣t）x+t总经过一个固定的点P，若反比例函数经过点P，则k＝_____．
25．如图，二次函数的图像经过点，对称轴为直线下列个结论：；；；；．其中正确的结论为_________________． (注：只填写正确结论的序号)
26．二次函数y＝ax2+bx+c的图像如图所示，给出下列说法：
①abc＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1、x2＝3；③当x＞1时，y随x值的增大而减小；④当y＞0时，﹣1＜x＜3．其中正确的说法是_____．
A．①；B．①②；C．①②③；D．①②③④
27．二次函数的图像如图所示，则下列四个结论：
①；②；③；④．其中正确的有______．（填写番号）
28．已知二次函数的y＝ax2+bx+c （a≠0）图像如图所示，有下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③2a+b＝0；④a+b＜m （am+b） （m≠1的实数），其中正确的结论有_____．
29．二次函数y＝x2﹣2x﹣5的最小值是______．
30．已知实数x，y满足，则的最大值是______．
31．二次函数在范围内的最大值为___．
32．在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上的两点，将抛物线的图像向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图像与x轴没有交点，则n的最小值为_____．
33．当a＞0时，抛物线的开口______，对称轴是直线______，顶点坐标是______，当x＝h时，y有最____值为0，当x＜h时，y随x的增大而____；当x＞h时，y随x的增大而______．
当a＜0时，抛物线的开口______，对称轴是直线______，顶点坐标是______，当x＝h时，y有最____值为0，当x＜h时，y随x的增大而_____；当x＞h时，y随x的增大而_____．
34．下列命题：①函数中，函数随的增大而减小，②有一个角相等的两个等腰三角形相似，③两个等边三角形相似，④平分弦的直径垂直于弦，⑤相等的圆周角所对的弧相等，⑥关于的函数的图像是抛物线．其中正确的结论有________(填序号)．
35．如图，抛物线在第一象限内经过的整数点横坐标、纵坐标都为整数的点依次为，，，其中的横坐标为将抛物线沿直线L：平移得一系列抛物线，且同时满足下列两个条件：①抛物线的顶点，，，，都在直线L：上；②抛物线依次经过点，，，则顶点的坐标为________
36．如图，已知⊙P的半径为1，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为__________________．
37．已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
则代数式的值是______．
38．已知关于x的二次函数y=mx2-2x+1，当时，y的值随x的增大而减小，则m的取值范围为________．
39．已知下列二次函数①；②；③；④；⑤．
（1）其中开口向上的是________（填序号）；
（2）其中开口向下并且开口最大的是______（填序号）；
（3）有最高点的是_______（填序号）．
40．二次函数的图像和x轴交点的横坐标与一元二次方程的根的关系：
当时，二次函数 （a≠0）与x轴有两个不同的交点________，一元二次方程有两个不同解：_________；当时，二次函数 （a≠0）与x轴有唯一一个交点____，一元二次方程有两个相等的解：________；当时，二次函数 （a≠0）与x轴____交点，一元二次方程_______实数根．
三、解答题
41．在平面直角坐标系中，函数的图像记为，函数的图像记为，其中为常数，且，图像，合起来得到的图像记为．
（1）若图像有最低点，且最低点到轴距离为3，求的值；
（2）若时，点在图像上，且，求的取值范围；
（3）若点、的坐标分别为，，连结．当线段与图像恰有三个公共点时，请直接写出的取值范围．
42．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为40m的围网在水库中围成了如图所示的①②二块矩形区域．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
43．某中学课外活动小组准备围成一个矩形的活动区，其中一边靠墙，另外三边用总长为40米的栅栏围成，已知墙长为22米（如图），设矩形的边米，面积为平方米．
（1）求活动区面积与之间的关系式，并指出的取值范围；
（2）当为多少米时，活动区的面积最大？并求出最大面积．
44．如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC的周长最小，求点P的坐标．
45．定义：若一次函数和反比例函数满足，则称为一次函数和反比例函数的“等差”函数．
（1）和是否存在“等差”函数？若存在，请写出它们的“等差”函数．
（2）若和存在“等差”函数，且“等差”函数的图像与的图像的一个交点的横坐标为1，求反比例函数的表达式．
参考答案
1．D
【分析】
分a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项
解：当a＞0时，函数y＝ 的图像位于一、三象限，y＝﹣ax2+a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项，
当a＜0时，函数y＝的图像位于二、四象限，y＝﹣ax2+a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合；
故选D．
【点拨】本题考查了反比例函数的图像及二次函数的图像的知识，解题的关键是根据比例系数的符号确定其图像的位置，难度不大．
2．C
【分析】
首先根据二次函数图像与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，再根据反比例函数的性质与一次函数图像与系数的关系画出图像可得答案．
解：根据二次函数图像与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，
则反比例函数的图像在第二、四象限，
一次函数经过第一、二、四象限，
故选：C．
【点拨】此题主要考查了二次函数图像，一次函数图像，反比例函数图像，关键是根据二次函数图像确定出a、b、c的符号．
3．B
解：试题解析：由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，
∴一次函数y=ax+b的图像经过第一、三、四象限，
反比例函数y=的图像在第二、四象限，
故选B．
考点：1．二次函数的图像；2．一次函数的图像；3．反比例函数的图像．
4．C
【分析】
根据二次函数y＝ax2+bx+c的图像，可以判断a、b、c的正负情况，从而可以判断一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝的图像分别在哪几个象限，从而可以解答本题．
解：由二次函数y＝ax2+bx+c的图像可知，a＞0，b＜0，c＜0，
则一次函数y＝ax+b的图像经过第一、三、四象限，
反比例函数y＝的图像在二四象限，
故选C．
【点拨】本题考查反比例函数的图像、一次函数的图像、二次函数的图像，解题的关键是明确它们各自图像的特点，利用数形结合的思想解答问题．
5．C
【解析】
试题分析：对于抛物线，有：开口向下，对称轴为直线x=－1，顶点坐标为（－1，3），x＞－1时，y随x的增大而减小．因此，正确结论有①③④三个．故选C．
6．D
【分析】
根据抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与y轴的交点位置可判断a、b、c的符号，利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），从而分别判断各选项．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴，即b=2a，则b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
则abc＞0，故A正确；
当x=-1时，y取最大值为，故B正确；
由于开口向上，对称轴为直线x=-1，
则点（1，0）关于直线x=-1对称的点为（-3，0），
即抛物线与x轴交于（1，0），（-3，0），
∴当时，，故C正确；
由图像可知：当x=-2时，y＞0，
即，故D错误；
故选D．
【点拨】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
7．B
解：试题分析：根据抛物线与x轴只有一个交点，对应的一元二次方程根的判别式△=0（或由抛物线顶点的纵坐标等于0），列式求出m的值，再根据对称轴在y轴的左边求出m的取值范围，从而得解：
∵由图可知，抛物线与x轴只有一个交点，
∴对应的一元二次方程的△=m2﹣4×2×8=0，解得m=±8，
∵对称轴为直线，∴m＞0．
∴m的值为8．故选B．
8．D
【分析】
根据抛物线的对称性得抛物线的对称轴为直线x＝1，根据抛物线对称轴方程得−＝1，则可对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由b＝−2a得b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则可对②进行判断；利用x＝1时，函数有最大值对③进行判断；根据二次函数图像的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）与（−1，0）之间，则x＝−1时，y＜0，于是可对④进行判断；由ax12＋bx1＝ax2²＋bx2得到对称轴为x==1，可对⑤进行判断．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为x＝−＝1，即b＝−2a，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，∴abc＜0，
所以①错误；
∵b＝−2a，∴2a＋b＝0，
所以②正确；
∵x＝1时，函数值最大，
∴a＋b＋c＞am²＋bm＋c，即a＋b＞a m2＋bm（m≠1），
所以③正确；
∵抛物线与x轴的交点到对称轴x＝1的距离大于1，
∴抛物线与x轴的一个交点在点（2，0）与（3，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）与（−1，0）之间，
∴x＝−1时，y＜0，∴a−b＋c＜0，
所以④错误；
当ax12＋bx1＝a x22＋bx2且x1≠x2，
∴对称轴为x==1，∴x1+x2=2，
所以⑤正确；
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b²−4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b²−4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b²−4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
9．C
【分析】
根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确．
解：二次函数，，
∴该函数的图像开口向上，对称轴为直线，顶点为，当时，有最小值1，当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小；
故选项A、B的说法正确，C的说法错误；
根据平移的规律，的图像向右平移2个单位长度得到，再向上平移1个单位长度得到；
故选项D的说法正确，
故选C．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图像与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．C
解：由图像可知，当x=1时，y有最大值2;当x=4时，y有最小值-2.5.
故选C.
11．D
【分析】
根据题目中的函数解析式和当-2≤x≤4时，y的最大值是15，利用分类讨论的方法可以求得m的值，本题得以解决．
解：二次函数y=-x2+mx+m= ，
当4＜时，即m＞8，
在-2≤x≤4时，x=4时取得最大值，则15=-42+4m+m，得m=6．2（舍去）；
当＜-2时，即m＜-4，
在-2≤x≤4时，x=-2时取得最大值，则15=-22-2m+m，得m=-19（舍去），
当-2≤≤4时，即-4≤m≤8，
在-2≤x≤4时，x=时取得最大值，则15=+m，得m1=6，m2=-10（舍去），
由上可得，m的值是-19或6，
故答案为：-19或6．
【点拨】本题考查考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．
12．B
解：∵一次函数y=（m+1）x+m的图像过第一、三、四象限，
∴m+1＞0，m＜0，即-1＜m＜0，
∴函数有最大值，
∴最大值为，
故选B．
13．B
【分析】
因为图像开口方向向上，所以a＞0，故A错误；因为图像对称轴为直线x=-2，且过B（-1，0），所以A点坐标为（-3，0），故B正确，D错误，当x＜0时，由图像可知y随x的增大先减小后增大，故C错误，即选B．
解：∵二次函数y=a（x+2）2+k的图像开口方向向上，
∴a＞0，故A错误，
∵图像对称轴为直线x=-2，且过B（-1，0），
∴B点的坐标为（-3，0），故B正确，D错误，
由图像知，当x＜0时，由图像可知y随x的增大先减小后增大，故C错误，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图形性质是解题的关键．
14．B
【分析】
假设两位同学的结论正确，用其去验证另外两个同学的结论，只要找出一个正确一个错误，即可得出结论（本题选择的甲和丙，利用顶点坐标求出b、c的值，然后利用二次函数图像上点的坐标特征验证乙和丁的结论）．
解：假设甲和丙的结论正确，则，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2−2x＋4．
当x＝−1时，y＝x2−2x＋4＝7，
∴乙的结论不正确；
当x＝2时，y＝x2−2x＋4＝4，
∴丁的结论正确．
∵四位同学中只有一位发现的结论是错误的，
∴假设成立．
故选：B．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标特征，利用二次函数的性质求出b、c值是解题的关键．
15．D
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
解：∵二次函数＝（x＋1）2−9＝（x＋4）（x−2），
∴该函数的对称轴是直线x＝−1，在y轴的左侧，故A选项错误；
当x＝0时，y＝−8，即该函数与y轴交于点（0，−8），故选项B错误；
当y＝0时，x＝2或x＝−4，即图像与x轴的交点坐标为（2，0）和（−4，0），故选项C错误；
当x＝−1时，该函数取得最小值y＝−9，故选项D正确；
故选：D．
【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16．C
【分析】
先确定一个函数，通过确定函数的未知数的正负判断其它函数．
解：A、一次函数过一、二，四象限，，，但与在一三象限不符，故答案错误；
B、一次函数过一、二、三象限，，，但与 在二四象限不符，故答案错误；
C、一次函数过一、二、四象限，，与在二四象限符合，二次函数也满足 故答案正确；
D、一次函数过一、二、三象限，，，但与 开口向下不符，故答案错误；
故选:C
【点拨】本题考查了反比例函数的图像、一次函数的图像以及二次函数的图像，根据二次函数图像，得出a、b、c的符号是解题的关键．
17．A
【分析】
首先将（2，kb）点代入一次函数解析式，求出k与b的关系式，再求出一次函数y=kx+b（kb≠0）的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点坐标，表示出△ABO的面积S，再根据b≥4，去掉绝对值，利用二次函数最值求法，可求出S的最小值．
解：一次函数的图像过点，代入一次函数解析式得：
，
，
，
，
一次函数的图像与轴、轴分别交于、两点，
点坐标为：，，点的坐标为：，
的面积为，
；
若，，
，
的最小值为：．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标求法，以及二次函数的最值问题等知识，表示图像与坐标轴围成的面积，注意应该加绝对值保证是正值，这是做题中经常犯错的地方．
18．A
【分析】
先将原二次函数整理得一般式，当时取最小值，根据函数过和两点，得时取最小值，根据，进而可得的取值范围．
解：∵，
∴，
∴当时，y取最小，
∵函数图像过和两点，
∴时，y取最小值，
∴，
∴，
∵，
∴，解得，
故选A．
【点拨】本题考查二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题．
19．D
【分析】
分别求出由抛物线与抛物线的对称轴，根据关于直线对称列出关于m的方程求出m，再找到抛物线与y轴的交点，由点关于直线对称的点，把代入抛物线，故可求出n的值．
解：由抛物线：可知抛物线的对称轴为直线，交轴于点，抛物线：的对称轴为直线，
∵抛物线：与抛物线：关于直线对称，
∴，解得.
∵点关于直线对称的点，在抛物线：上，
∴把点代入得，
解得，
故选D．
【点拨】此题主要考查二次函数的对称性，解题的关键是熟知二次函数对称轴的求解方法、函数对称性的应用．
20．D
【分析】
先确定抛物线线y＝+1的顶点坐标为（0，1），再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点（0，1）变换后所得对应点的坐标为（0，﹣1），然后利用顶点式写出旋转后抛物线．
解：抛物线y＝+1的顶点坐标为（0，1），
点关于原点O的对称点的坐标为（0，﹣1），
此时旋转后抛物线的开口方向相反，
所以旋转后的抛物线的解析式为y＝﹣﹣1．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图像与几何变换：抛物线绕某点旋转180°得到旋转后的抛物线开口相反，抛物线的开口大小不变．
21．(，0)
【分析】
根据题意作出合适的辅助线，然后求出点B的坐标，从而可以求得二次函数解析式，然后求出点A的坐标，进而求得A＇的坐标，从而可以求得直线A＇B的函数解析式，进而求得与x轴的交点，从而可以解答本题
解：作点A关于x轴的对称点A＇，连接A＇B，则A＇B与x轴的交点即为所求，
∵抛物线y=ax2-4x+c(a0)与反比例函数y= 的图像相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0,6），
∴点B（3,3），
∴
解得，
∴y=x2-4x+6=（x-2）2+2
∴点A的坐标为（2,2），
∴点A＇的坐标为（2，-2），
设过点A＇（2，-2）和点B（3,3）的直线解析式为y=mx+n
∴
∴直线A＇B的函数解析式为y=5x-12,
令y=0,则0=5x-12得x=,
故答案为（）
【点拨】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
22．A
【解析】
试题分析：按照a的符号分类讨论，逐一排除．
当a＞0时，函数y=ax2+c的图像开口向上，且经过点（0，c），函数y=ax的图像在一三象限，故可排除B、D；
当a＜0时，函数y=ax2+c的图像开口向下，函数y=ax的图像在二四象限，排除C，A正确．
考点：函数的图像与性质
点评：此题主要考察学生对二次函数和反比例函数的图像与性质，对a分开来讨论，逐一排除．
23．3个
【分析】
根据数形结合的思想进行判断即可；
解：，画出图像如图所示：
即可得到有三个交点．
故答案是3．
【点拨】本题主要考查了二次函数与反比例函数的图像问题，准确分析是解题的关键．
24．3
【解析】
【分析】
把抛物线解析式整理成关于t的形式，然后令t的系数为0求解即可．
解：∵y＝x2+（2﹣t）x+t＝x2+（1﹣x）t+2x，
∴当1﹣x＝0，即x＝1时，y的值与t无关，y＝1+2＝3，
所以，抛物线y＝x2+（2﹣t）x+t总经过一个固定的点P（1，3），
∵反比例函数经过点P，
∴k＝3，
故答案为3．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，此类题目，关键在于令t的系数为0，整理成关于t的形式是解题的关键．
25．②⑤
【分析】
根据二次函数图像和系数的关系即可求出答案.
解：①函数的对称轴在y轴右侧，则,而c＞0，故abc＞0,故①错误，不符合题意;
②将点代入函数表达式得:,故②正确符合题意;
③函数的对称轴为直线,即b=-2a,故2a+b=0,故③错误，不符合题意;
④由②③得: ,b=-2a,则,故＞0,故④错误，不符合题意;
⑤当x=1时,函数值取最小值，即,故⑤正确,符合题意;
故答案为②⑤
【点拨】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，灵活的应用图像中给出的数据，把握住特殊点的作用是这类题的解题关键点.
26．D
【分析】
根据函数的基本性质：开口方向、与轴的交点坐标、对称轴等来对①②③④进行判断，从而求解.
解：①由题意函数的图像开口向下，与轴的交点大于，
，，
函数的对称轴为，
，
，
，正确；
②由函数图像知函数与轴交于点为、，正确；
③由函数图像知，当，随的增大而减小，正确；
④由函数图像知，当时，，正确；
综上①②③④正确.
故选：.
【点拨】此题主要考查函数的性质，函数的对称轴，函数的增减性及其图像，还考查了一元二次方程与函数的关系，函数与轴的交点的横坐标就是方程的根，要充分运用这一点来解题.
27．③④
【分析】
根据二次函数图像的性质解题．
解：由图像知，二次函数的图像开口向下，，故①错误；
由图像知，二次函数的图像与轴交于正半轴，，故②错误；
当时，由图可知，，，故③正确；
由图可知，二次函数图像与轴有两个不同的交点，，故④正确，
故其中正确的有③④，
故答案为：③④．
【点拨】本题考查二次函数的图像与性质，在重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
28．①③
【分析】
①由抛物线开口向下a＜0，抛物线和y轴的正半轴相交，c＞0， ＝1＞0，b＞0，②令x＝﹣1，时y＜0，即a﹣b+c＜0，③＝1，即2a+b＝0，④把x＝m代入函数解析式中表示出对应的函数值，把x＝1代入解析式得到对应的解析式，根据图形可知x＝1时函数值最大，所以x＝1对应的函数值大于x＝m对应的函数值，化简得到不等式．
解：①∵抛物线开口向下，抛物线和y轴的正半轴相交，
∴a＜0，c＞0，
∵＝1＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②令x＝﹣1，时y＜0，即a﹣b+c＜0，故②错误；
③∵＝1，
∴2a+b＝0，
故③正确；
④x＝m对应的函数值为y＝am2+bm+c，
x＝1对应的函数值为y＝a+b+c，又x＝1时函数取得最大值，
∴a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm＝m（am+b），
故④错误；
故答案为①③．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像与系数、性质，熟练掌握二次函数的图像与系数、性质的关系是解题的关键．
29．-6
解：∵原式可化为y=x2﹣2x+1﹣6=（x﹣1）2﹣6，
∴最小值为﹣6．
故答案为﹣6
点睛：本题考查了配方法求二次函数的最值，对于，当a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，函数有最大值.
30．10
【分析】
由x2﹣3x+2y=6，可得2y=6-x2+3x，代入x+2y，利用二次函数的性质求解.
解：由实数x、y满足x2﹣3x+2y=6,，可得2y=6-x2+3x，
x+2y=x+6-x2+3x=-x2+4x+6；
令Z= x+2y=-x2+4x+6，
可得当x=2时，Z有最大值为10，
故答案为:10
【点拨】x的最高次幂是2, x+2y的最高次幂是1, 应用x表示出2y, 进而表示出x+2y, 得到关于x的二次函数, 利求二次函数性质求出最大值.
31．36
【分析】
把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
离对称轴越远函数值越大，
∵离对称轴的距离远，
当时，有最大值为：，
故答案为：36．
【点拨】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．
32．4
【分析】
通过A、B两点得出对称轴,再根据对称轴公式算出b,由此可得出二次函数表达式,从而算出最小值即可推出n的最小值．
解：∵A、B的纵坐标一样,
∴A、B是对称的两点,
∴对称轴,即,
∴b=﹣4．
．
∴抛物线顶点(2,﹣3)．
满足题意n得最小值为4,
故答案为4．
【点拨】本题考查二次函数对称轴的性质及顶点式的变形,关键在于根据对称轴的性质从题意中判断出对称轴．
33．向上 x＝h （h，0） 小 减小 增大 向下 x＝h （h，0） 大 增大 减小
解：略
34．③
【分析】
根据反比例函数的性质、相似三角形的判定方法、垂径定理、圆周角定理、以及二次函数的性质分析即可．
解：①函数中，在每个象限内，函数随的增大而减小，故原说法错误；
②当一个等腰三角形的顶角与另一个三角形的底角相等时，两个三角形不相似，故原说法错误；
③因等边三角形的三个角都等于60°，所以两个等边三角形相似，故原说法正确；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误；
⑤同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故原说法错误；
⑥关于的函数（x≠0）的图像是抛物线故原说法错误．
故答案为：③．
【点拨】本题考查了反比例函数的性质、相似三角形的判定方法、垂径定理、圆周角定理、以及二次函数的性质，熟练掌握定理和性质是解答本题的关键．
35．(
【分析】
设顶点是抛物线的顶点，根据抛物线与抛物线交于点求解即可．
解：设顶点是抛物线的顶点，
由题意可知
∵抛物线与抛物线交于点，
∴
解得或（舍去），
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了二次函数图像的平移问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
36．（2，1）或（﹣2，1）或（0，﹣1）
解：当⊙P与x轴相切时可求得P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标．
【解答】
解：∵⊙P与x轴相切，
∴P到x轴的距离等于半径1，
∴点P的纵坐标为1或﹣1，
当y＝1时，代入可得1＝x2﹣1，解得x＝2或x＝﹣2，此时P点坐标为（2，1）或（﹣2，1）；
当y＝﹣1时，代入可得﹣1＝x2﹣1，解得x＝0，此时P点坐标为（0，﹣1）；
综上可知P点坐标为（2，1）或（﹣2，1）或（0，﹣1），
故答案为：（2，1）或（﹣2，1）或（0，﹣1）．
【点拨】此题注意应考虑两种情况．熟悉直线和圆的位置关系应满足的数量关系是解题的关键．
37．5
【分析】
观察表格可知：二次函数的对称轴为x=1，故得到当x=-1时，y的值与x=3时相等，则x＝−1时，y＝-5，x＝1时，y＝−1，可得a−b＋c＝-5，a＋b＋c＝−1，代入故可求解．
解：观察表格可知：x=0与x=2时函数值相等，
∴二次函数的对称轴为x=1，
∴当x=-1时，y的值与x=3时相等
∴x＝−1时，y＝-5，x＝1时，y＝−1，
∴a−b＋c＝-5，a＋b＋c＝−1，
∴（a＋b＋c）（a−b＋c）的值为5，
故答案为5．
【点拨】本题考查二次函数图像上的点的特征、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
38．0＜m≤5
【分析】
根据对称轴的左侧的增减性，可得m＞0，根据增减性，可得对称轴大于或等于，可得答案．
解：由当x＜时，y的值随x的增大而减小可知，抛物线开口向上，m＞0，
且对称轴，
解得m≤5，
故答案为：0＜m≤5．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的增减性得出抛物线的开口方向且是解题的关键．
39．②③⑤ ① ①④
解：略
40．（，0），（，0） （ ，0） 没有 没有
解：略
41．（1）；（2）；（3）或．
【分析】
（1）先将函数化为顶点式，根据图像有最低点，且最低点到轴距离为3，可得，即可求解；
（2）根据题意可得 ， ，然后分两种情况：当时和当时，进行讨论，即可求解；
（3）根据题意可得直线PQ为 ，然后分两种情况：当 时和当 时，并结合图像，进行分类讨论，即可求解．
解：∵，
∴，
∵图像有最低点，最低点到轴距离为3，
∴ ，
∵最低点到轴距离为3，
∴，
∴ ，解得：；
（2））当时， ， ，
当时，点A在函数图像 上，且当 时，函数随着x的增大而减小，
当 时，，
当 时，，
此时 ；
当时，点A在图像 上，
∵函数，的对称轴为 ，
∴当时， 最小为-5，
当 时，，
当 时，，
∴此时 ，
综上所述，的取值范围为；
（3）∵点、的坐标分别为，，
∴直线PQ为 ，
当 时，如图：
函数的顶点为 ，
若PQ经过图像M1的顶点 ，
则 ，即 ，
对于图像M2，有，解得： ， （舍去），
∵ ，
∴直线PQ与图像M2的交点在点P的右侧，
∴线段与图像恰有三个公共点，
由题意得：M1与y轴交于
∴ ，解得： ；
当 时，如图：
函数的顶点为 ，
若PQ经过图像M2的顶点 ，
则 ，即 ，
对于图像M1，时，解得： ， （舍去），
∵ ，
∴直线PQ与图像M1的交点在点Q的左侧，
∴此时线段与图像只有一个公共点，不符合题意；
若线段PQ过M2与y轴的交点时，有 ，解得： ，
对于图像M1，，解得： ，（舍去） ，
∵，
∴此时线段PQ与图像M有三个交点，符合题意，
综上所述，当线段与图像恰有三个公共点时， 的取值范围为或．
【点拨】本题主要考查了二次函数与性质，一元一次不等式组，一元二次方程的解法，利用数形结合思想和分类讨论的思想是解题的关键．
42．（1）y=﹣x2+x；（2）当x=20时，y有最大值，最大值是m2
【分析】
（1）由BC的长度为xm，可表示出AB的长，再由矩形的面积公式即可表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可；
（2）利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．
解：（1）设BC的长度为xm，则AB=（40﹣x）m，
则矩形区域ABCD的面积y=x（40﹣x）=﹣x2+x；
（2）∵y=﹣x2+x=（x﹣20）2+ ，
∴当x=20时，y有最大值，最大值是m2．
【点拨】本题主要考查了二次函数的几何应用，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识.
43．（1）；（2）当为10米时，活动区的面积最大，最大面积是200平方米
【分析】
(1)由总长度-垂直于墙的两边的长度=平行于墙的这边的长度，根据墙的长度就可以求出x的取值范围；
(2)由长方形的面积公式建立二次函数，利用二次函数性质求出其解即可.
解：（1）四边形是矩形，米，
米，
墙长为22米，
，
，
，
即；
（2）设矩形的面积为
，
由（1）知，，
当时，有最大值200，
即当为10米时，活动区的面积最大，最大面积是200平方米．
【点拨】此题考查了二次函数的实际应用问题，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解.
44．P(1，－2)．
【分析】
根据“将军饮马”问题，将A点沿对称轴对称至B点，连接BC，与对称轴交点即为所求P点，从而结合图形性质求解即可．
解：如下左图，点A与点B对称，连结BC，那么在△PBC中，PB＋PC总是大于BC的．
如下右图，当点P落在BC上时，PB＋PC最小，因此PA＋PC最小，△PAC的周长也最小．
由y＝x2－2x－3，令y=0，解得：x=-1或3，
∴A（-1,0），B（3,0），对称轴为直线x=1，
∴可知OB＝OC＝3，OD＝1，∠OBC=45°，
∴DB＝DP＝2，
∴P(1，－2)．
【点拨】本题考查二次函数的对称性以及最短路径问题，理解常见的求最短路径的模型是解题关键．
45．（1）存在，；（2）
【分析】
本题第（1）问利用题目所给的对于“等差”函数的定义，求解出b的值即可，第（2）问根据题目所给“等差”函数的定义将c用含有b的式子表示，并根据函数图像的交点坐标列出方程组节课求解出反比例函数的表达式.
解：（1）存在，
假设一次函数与反比例函数存在“等差”函数，
则，解得，
∴存在“等差”函数，其表达式为．
（2）根据题意知，
∴，
则“等差”函数的表达式为，
反比例函数的表达式为，
根据题意，将代入
得，解得，
故反比例函数的表达式为．
【点拨】本题主要考察对于新定义的理解，以及函数之间的关系，根据题目所给定义以及函数图像与解析式的关系列出方程组求解即可. …
…
…
…
抛物线（a≠0）
与x轴的公共点的个数
一元二次方程
（a≠0）的根的情况
＞0
有 个
有两个不相等的实数根
＝0
有 个
有两个相等的实数根
＜0
没有公共点
没有实数根
1．a≠0，函数y＝与y＝﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知二次函数的图像如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
3．抛物线y=ax2+bx+c的图像如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图像大致为（ ）
A．B．C．D．
4．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的图像如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数的图像可能是
B．C．D．
5．对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（－1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为
A．1B．2C．3D．4
6．二次函数的图像如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）
A．B．函数的最大值为
C．当时，D．
7．二次函数的图像如图所示，则m的值是
A．－8B．8C．±8D．6
8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图像如图，下列结论：①abc>0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b>am2+bm；④a-b+c>0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．其中正确的有（ ）
②④B．②⑤C．①②③D．②③⑤
9．在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（ ）
A．的最小值为1
B．图像顶点坐标为（2，1），对称轴为直线
C．当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小
D．它的图像可以由的图像向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
10．已知二次函数的图像（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值 1.5，有最小值﹣2.5B．有最大值 2，有最小值 1.5
C．有最大值 2，有最小值﹣2.5D．有最大值 2，无最小值
11．已知二次函数（m为常数），当时，的最大值是15，则的值是（ ）
A．-10和6B．-19和C．6和D．-19和6
12．若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数（ ）
A．有最大值B．有最大值C．有最小值D．有最小值
13．如图，二次函数y=a（x+2）2+k的图像与x轴交于A、B(-1，0)两点，则下列说法正确的是（ ）
A．a＜0B．点A的坐标为(-3，0)
C．当x＜0时，y随x的增大而减小D．图像的对称轴为直线x=2
14．四位同学在研究函数（b、c是常数）时，甲发现当时，函数有最小值；乙发现是方程的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当时，．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
15．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图像的对称轴在轴的右侧B．图像与轴的交点坐标为（0，8）
C．图像与轴的交点坐标为（-2，0）和（4，0）D．的最小值为-9
16．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx，一次函数y＝ax+b和反比例函数y的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
17．直角坐标系中，一次函数的图像过点，且，与轴，轴分别交于，两点．设的面积为，则的最小值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
18．已知二次函数的解析式为，若函数图像过和两点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
19．若抛物线：与抛物线：关于直线对称，则，值为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
20．将抛物线y＝+1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣2x2+1B．y＝﹣2x2﹣1C．D．
填空题
21．如图，已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=的图像相交于B点，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0,6)，A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为_______．
22．下列各图中有可能是函数图像的是（ ）
A．B．C．D．
23．反比例函数与二次函数的图像的交点个数为_______．
24．对于任意实数t，抛物线y＝x2+（2﹣t）x+t总经过一个固定的点P，若反比例函数经过点P，则k＝_____．
25．如图，二次函数的图像经过点，对称轴为直线下列个结论：；；；；．其中正确的结论为_________________． (注：只填写正确结论的序号)
26．二次函数y＝ax2+bx+c的图像如图所示，给出下列说法：
①abc＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1、x2＝3；③当x＞1时，y随x值的增大而减小；④当y＞0时，﹣1＜x＜3．其中正确的说法是_____．
A．①；B．①②；C．①②③；D．①②③④
27．二次函数的图像如图所示，则下列四个结论：
①；②；③；④．其中正确的有______．（填写番号）
28．已知二次函数的y＝ax2+bx+c （a≠0）图像如图所示，有下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③2a+b＝0；④a+b＜m （am+b） （m≠1的实数），其中正确的结论有_____．
29．二次函数y＝x2﹣2x﹣5的最小值是______．
30．已知实数x，y满足，则的最大值是______．
31．二次函数在范围内的最大值为___．
32．在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上的两点，将抛物线的图像向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图像与x轴没有交点，则n的最小值为_____．
33．当a＞0时，抛物线的开口______，对称轴是直线______，顶点坐标是______，当x＝h时，y有最____值为0，当x＜h时，y随x的增大而____；当x＞h时，y随x的增大而______．
当a＜0时，抛物线的开口______，对称轴是直线______，顶点坐标是______，当x＝h时，y有最____值为0，当x＜h时，y随x的增大而_____；当x＞h时，y随x的增大而_____．
34．下列命题：①函数中，函数随的增大而减小，②有一个角相等的两个等腰三角形相似，③两个等边三角形相似，④平分弦的直径垂直于弦，⑤相等的圆周角所对的弧相等，⑥关于的函数的图像是抛物线．其中正确的结论有________(填序号)．
35．如图，抛物线在第一象限内经过的整数点横坐标、纵坐标都为整数的点依次为，，，其中的横坐标为将抛物线沿直线L：平移得一系列抛物线，且同时满足下列两个条件：①抛物线的顶点，，，，都在直线L：上；②抛物线依次经过点，，，则顶点的坐标为________
36．如图，已知⊙P的半径为1，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为__________________．
37．已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
则代数式的值是______．
38．已知关于x的二次函数y=mx2-2x+1，当时，y的值随x的增大而减小，则m的取值范围为________．
39．已知下列二次函数①；②；③；④；⑤．
（1）其中开口向上的是________（填序号）；
（2）其中开口向下并且开口最大的是______（填序号）；
（3）有最高点的是_______（填序号）．
40．二次函数的图像和x轴交点的横坐标与一元二次方程的根的关系：
当时，二次函数 （a≠0）与x轴有两个不同的交点________，一元二次方程有两个不同解：_________；当时，二次函数 （a≠0）与x轴有唯一一个交点____，一元二次方程有两个相等的解：________；当时，二次函数 （a≠0）与x轴____交点，一元二次方程_______实数根．
三、解答题
41．在平面直角坐标系中，函数的图像记为，函数的图像记为，其中为常数，且，图像，合起来得到的图像记为．
（1）若图像有最低点，且最低点到轴距离为3，求的值；
（2）若时，点在图像上，且，求的取值范围；
（3）若点、的坐标分别为，，连结．当线段与图像恰有三个公共点时，请直接写出的取值范围．
42．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为40m的围网在水库中围成了如图所示的①②二块矩形区域．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
43．某中学课外活动小组准备围成一个矩形的活动区，其中一边靠墙，另外三边用总长为40米的栅栏围成，已知墙长为22米（如图），设矩形的边米，面积为平方米．
（1）求活动区面积与之间的关系式，并指出的取值范围；
（2）当为多少米时，活动区的面积最大？并求出最大面积．
44．如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC的周长最小，求点P的坐标．
45．定义：若一次函数和反比例函数满足，则称为一次函数和反比例函数的“等差”函数．
（1）和是否存在“等差”函数？若存在，请写出它们的“等差”函数．
（2）若和存在“等差”函数，且“等差”函数的图像与的图像的一个交点的横坐标为1，求反比例函数的表达式．
参考答案
1．D
【分析】
分a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项
解：当a＞0时，函数y＝ 的图像位于一、三象限，y＝﹣ax2+a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项，
当a＜0时，函数y＝的图像位于二、四象限，y＝﹣ax2+a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合；
故选D．
【点拨】本题考查了反比例函数的图像及二次函数的图像的知识，解题的关键是根据比例系数的符号确定其图像的位置，难度不大．
2．C
【分析】
首先根据二次函数图像与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，再根据反比例函数的性质与一次函数图像与系数的关系画出图像可得答案．
解：根据二次函数图像与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，
则反比例函数的图像在第二、四象限，
一次函数经过第一、二、四象限，
故选：C．
【点拨】此题主要考查了二次函数图像，一次函数图像，反比例函数图像，关键是根据二次函数图像确定出a、b、c的符号．
3．B
解：试题解析：由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，
∴一次函数y=ax+b的图像经过第一、三、四象限，
反比例函数y=的图像在第二、四象限，
故选B．
考点：1．二次函数的图像；2．一次函数的图像；3．反比例函数的图像．
4．C
【分析】
根据二次函数y＝ax2+bx+c的图像，可以判断a、b、c的正负情况，从而可以判断一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝的图像分别在哪几个象限，从而可以解答本题．
解：由二次函数y＝ax2+bx+c的图像可知，a＞0，b＜0，c＜0，
则一次函数y＝ax+b的图像经过第一、三、四象限，
反比例函数y＝的图像在二四象限，
故选C．
【点拨】本题考查反比例函数的图像、一次函数的图像、二次函数的图像，解题的关键是明确它们各自图像的特点，利用数形结合的思想解答问题．
5．C
【解析】
试题分析：对于抛物线，有：开口向下，对称轴为直线x=－1，顶点坐标为（－1，3），x＞－1时，y随x的增大而减小．因此，正确结论有①③④三个．故选C．
6．D
【分析】
根据抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与y轴的交点位置可判断a、b、c的符号，利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），从而分别判断各选项．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴，即b=2a，则b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
则abc＞0，故A正确；
当x=-1时，y取最大值为，故B正确；
由于开口向上，对称轴为直线x=-1，
则点（1，0）关于直线x=-1对称的点为（-3，0），
即抛物线与x轴交于（1，0），（-3，0），
∴当时，，故C正确；
由图像可知：当x=-2时，y＞0，
即，故D错误；
故选D．
【点拨】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
7．B
解：试题分析：根据抛物线与x轴只有一个交点，对应的一元二次方程根的判别式△=0（或由抛物线顶点的纵坐标等于0），列式求出m的值，再根据对称轴在y轴的左边求出m的取值范围，从而得解：
∵由图可知，抛物线与x轴只有一个交点，
∴对应的一元二次方程的△=m2﹣4×2×8=0，解得m=±8，
∵对称轴为直线，∴m＞0．
∴m的值为8．故选B．
8．D
【分析】
根据抛物线的对称性得抛物线的对称轴为直线x＝1，根据抛物线对称轴方程得−＝1，则可对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由b＝−2a得b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则可对②进行判断；利用x＝1时，函数有最大值对③进行判断；根据二次函数图像的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）与（−1，0）之间，则x＝−1时，y＜0，于是可对④进行判断；由ax12＋bx1＝ax2²＋bx2得到对称轴为x==1，可对⑤进行判断．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为x＝−＝1，即b＝−2a，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，∴abc＜0，
所以①错误；
∵b＝−2a，∴2a＋b＝0，
所以②正确；
∵x＝1时，函数值最大，
∴a＋b＋c＞am²＋bm＋c，即a＋b＞a m2＋bm（m≠1），
所以③正确；
∵抛物线与x轴的交点到对称轴x＝1的距离大于1，
∴抛物线与x轴的一个交点在点（2，0）与（3，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）与（−1，0）之间，
∴x＝−1时，y＜0，∴a−b＋c＜0，
所以④错误；
当ax12＋bx1＝a x22＋bx2且x1≠x2，
∴对称轴为x==1，∴x1+x2=2，
所以⑤正确；
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b²−4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b²−4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b²−4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
9．C
【分析】
根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确．
解：二次函数，，
∴该函数的图像开口向上，对称轴为直线，顶点为，当时，有最小值1，当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小；
故选项A、B的说法正确，C的说法错误；
根据平移的规律，的图像向右平移2个单位长度得到，再向上平移1个单位长度得到；
故选项D的说法正确，
故选C．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图像与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．C
解：由图像可知，当x=1时，y有最大值2;当x=4时，y有最小值-2.5.
故选C.
11．D
【分析】
根据题目中的函数解析式和当-2≤x≤4时，y的最大值是15，利用分类讨论的方法可以求得m的值，本题得以解决．
解：二次函数y=-x2+mx+m= ，
当4＜时，即m＞8，
在-2≤x≤4时，x=4时取得最大值，则15=-42+4m+m，得m=6．2（舍去）；
当＜-2时，即m＜-4，
在-2≤x≤4时，x=-2时取得最大值，则15=-22-2m+m，得m=-19（舍去），
当-2≤≤4时，即-4≤m≤8，
在-2≤x≤4时，x=时取得最大值，则15=+m，得m1=6，m2=-10（舍去），
由上可得，m的值是-19或6，
故答案为：-19或6．
【点拨】本题考查考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．
12．B
解：∵一次函数y=（m+1）x+m的图像过第一、三、四象限，
∴m+1＞0，m＜0，即-1＜m＜0，
∴函数有最大值，
∴最大值为，
故选B．
13．B
【分析】
因为图像开口方向向上，所以a＞0，故A错误；因为图像对称轴为直线x=-2，且过B（-1，0），所以A点坐标为（-3，0），故B正确，D错误，当x＜0时，由图像可知y随x的增大先减小后增大，故C错误，即选B．
解：∵二次函数y=a（x+2）2+k的图像开口方向向上，
∴a＞0，故A错误，
∵图像对称轴为直线x=-2，且过B（-1，0），
∴B点的坐标为（-3，0），故B正确，D错误，
由图像知，当x＜0时，由图像可知y随x的增大先减小后增大，故C错误，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图形性质是解题的关键．
14．B
【分析】
假设两位同学的结论正确，用其去验证另外两个同学的结论，只要找出一个正确一个错误，即可得出结论（本题选择的甲和丙，利用顶点坐标求出b、c的值，然后利用二次函数图像上点的坐标特征验证乙和丁的结论）．
解：假设甲和丙的结论正确，则，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2−2x＋4．
当x＝−1时，y＝x2−2x＋4＝7，
∴乙的结论不正确；
当x＝2时，y＝x2−2x＋4＝4，
∴丁的结论正确．
∵四位同学中只有一位发现的结论是错误的，
∴假设成立．
故选：B．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标特征，利用二次函数的性质求出b、c值是解题的关键．
15．D
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
解：∵二次函数＝（x＋1）2−9＝（x＋4）（x−2），
∴该函数的对称轴是直线x＝−1，在y轴的左侧，故A选项错误；
当x＝0时，y＝−8，即该函数与y轴交于点（0，−8），故选项B错误；
当y＝0时，x＝2或x＝−4，即图像与x轴的交点坐标为（2，0）和（−4，0），故选项C错误；
当x＝−1时，该函数取得最小值y＝−9，故选项D正确；
故选：D．
【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16．C
【分析】
先确定一个函数，通过确定函数的未知数的正负判断其它函数．
解：A、一次函数过一、二，四象限，，，但与在一三象限不符，故答案错误；
B、一次函数过一、二、三象限，，，但与 在二四象限不符，故答案错误；
C、一次函数过一、二、四象限，，与在二四象限符合，二次函数也满足 故答案正确；
D、一次函数过一、二、三象限，，，但与 开口向下不符，故答案错误；
故选:C
【点拨】本题考查了反比例函数的图像、一次函数的图像以及二次函数的图像，根据二次函数图像，得出a、b、c的符号是解题的关键．
17．A
【分析】
首先将（2，kb）点代入一次函数解析式，求出k与b的关系式，再求出一次函数y=kx+b（kb≠0）的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点坐标，表示出△ABO的面积S，再根据b≥4，去掉绝对值，利用二次函数最值求法，可求出S的最小值．
解：一次函数的图像过点，代入一次函数解析式得：
，
，
，
，
一次函数的图像与轴、轴分别交于、两点，
点坐标为：，，点的坐标为：，
的面积为，
；
若，，
，
的最小值为：．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标求法，以及二次函数的最值问题等知识，表示图像与坐标轴围成的面积，注意应该加绝对值保证是正值，这是做题中经常犯错的地方．
18．A
【分析】
先将原二次函数整理得一般式，当时取最小值，根据函数过和两点，得时取最小值，根据，进而可得的取值范围．
解：∵，
∴，
∴当时，y取最小，
∵函数图像过和两点，
∴时，y取最小值，
∴，
∴，
∵，
∴，解得，
故选A．
【点拨】本题考查二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题．
19．D
【分析】
分别求出由抛物线与抛物线的对称轴，根据关于直线对称列出关于m的方程求出m，再找到抛物线与y轴的交点，由点关于直线对称的点，把代入抛物线，故可求出n的值．
解：由抛物线：可知抛物线的对称轴为直线，交轴于点，抛物线：的对称轴为直线，
∵抛物线：与抛物线：关于直线对称，
∴，解得.
∵点关于直线对称的点，在抛物线：上，
∴把点代入得，
解得，
故选D．
【点拨】此题主要考查二次函数的对称性，解题的关键是熟知二次函数对称轴的求解方法、函数对称性的应用．
20．D
【分析】
先确定抛物线线y＝+1的顶点坐标为（0，1），再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点（0，1）变换后所得对应点的坐标为（0，﹣1），然后利用顶点式写出旋转后抛物线．
解：抛物线y＝+1的顶点坐标为（0，1），
点关于原点O的对称点的坐标为（0，﹣1），
此时旋转后抛物线的开口方向相反，
所以旋转后的抛物线的解析式为y＝﹣﹣1．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图像与几何变换：抛物线绕某点旋转180°得到旋转后的抛物线开口相反，抛物线的开口大小不变．
21．(，0)
【分析】
根据题意作出合适的辅助线，然后求出点B的坐标，从而可以求得二次函数解析式，然后求出点A的坐标，进而求得A＇的坐标，从而可以求得直线A＇B的函数解析式，进而求得与x轴的交点，从而可以解答本题
解：作点A关于x轴的对称点A＇，连接A＇B，则A＇B与x轴的交点即为所求，
∵抛物线y=ax2-4x+c(a0)与反比例函数y= 的图像相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0,6），
∴点B（3,3），
∴
解得，
∴y=x2-4x+6=（x-2）2+2
∴点A的坐标为（2,2），
∴点A＇的坐标为（2，-2），
设过点A＇（2，-2）和点B（3,3）的直线解析式为y=mx+n
∴
∴直线A＇B的函数解析式为y=5x-12,
令y=0,则0=5x-12得x=,
故答案为（）
【点拨】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
22．A
【解析】
试题分析：按照a的符号分类讨论，逐一排除．
当a＞0时，函数y=ax2+c的图像开口向上，且经过点（0，c），函数y=ax的图像在一三象限，故可排除B、D；
当a＜0时，函数y=ax2+c的图像开口向下，函数y=ax的图像在二四象限，排除C，A正确．
考点：函数的图像与性质
点评：此题主要考察学生对二次函数和反比例函数的图像与性质，对a分开来讨论，逐一排除．
23．3个
【分析】
根据数形结合的思想进行判断即可；
解：，画出图像如图所示：
即可得到有三个交点．
故答案是3．
【点拨】本题主要考查了二次函数与反比例函数的图像问题，准确分析是解题的关键．
24．3
【解析】
【分析】
把抛物线解析式整理成关于t的形式，然后令t的系数为0求解即可．
解：∵y＝x2+（2﹣t）x+t＝x2+（1﹣x）t+2x，
∴当1﹣x＝0，即x＝1时，y的值与t无关，y＝1+2＝3，
所以，抛物线y＝x2+（2﹣t）x+t总经过一个固定的点P（1，3），
∵反比例函数经过点P，
∴k＝3，
故答案为3．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，此类题目，关键在于令t的系数为0，整理成关于t的形式是解题的关键．
25．②⑤
【分析】
根据二次函数图像和系数的关系即可求出答案.
解：①函数的对称轴在y轴右侧，则,而c＞0，故abc＞0,故①错误，不符合题意;
②将点代入函数表达式得:,故②正确符合题意;
③函数的对称轴为直线,即b=-2a,故2a+b=0,故③错误，不符合题意;
④由②③得: ,b=-2a,则,故＞0,故④错误，不符合题意;
⑤当x=1时,函数值取最小值，即,故⑤正确,符合题意;
故答案为②⑤
【点拨】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，灵活的应用图像中给出的数据，把握住特殊点的作用是这类题的解题关键点.
26．D
【分析】
根据函数的基本性质：开口方向、与轴的交点坐标、对称轴等来对①②③④进行判断，从而求解.
解：①由题意函数的图像开口向下，与轴的交点大于，
，，
函数的对称轴为，
，
，
，正确；
②由函数图像知函数与轴交于点为、，正确；
③由函数图像知，当，随的增大而减小，正确；
④由函数图像知，当时，，正确；
综上①②③④正确.
故选：.
【点拨】此题主要考查函数的性质，函数的对称轴，函数的增减性及其图像，还考查了一元二次方程与函数的关系，函数与轴的交点的横坐标就是方程的根，要充分运用这一点来解题.
27．③④
【分析】
根据二次函数图像的性质解题．
解：由图像知，二次函数的图像开口向下，，故①错误；
由图像知，二次函数的图像与轴交于正半轴，，故②错误；
当时，由图可知，，，故③正确；
由图可知，二次函数图像与轴有两个不同的交点，，故④正确，
故其中正确的有③④，
故答案为：③④．
【点拨】本题考查二次函数的图像与性质，在重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
28．①③
【分析】
①由抛物线开口向下a＜0，抛物线和y轴的正半轴相交，c＞0， ＝1＞0，b＞0，②令x＝﹣1，时y＜0，即a﹣b+c＜0，③＝1，即2a+b＝0，④把x＝m代入函数解析式中表示出对应的函数值，把x＝1代入解析式得到对应的解析式，根据图形可知x＝1时函数值最大，所以x＝1对应的函数值大于x＝m对应的函数值，化简得到不等式．
解：①∵抛物线开口向下，抛物线和y轴的正半轴相交，
∴a＜0，c＞0，
∵＝1＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②令x＝﹣1，时y＜0，即a﹣b+c＜0，故②错误；
③∵＝1，
∴2a+b＝0，
故③正确；
④x＝m对应的函数值为y＝am2+bm+c，
x＝1对应的函数值为y＝a+b+c，又x＝1时函数取得最大值，
∴a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm＝m（am+b），
故④错误；
故答案为①③．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像与系数、性质，熟练掌握二次函数的图像与系数、性质的关系是解题的关键．
29．-6
解：∵原式可化为y=x2﹣2x+1﹣6=（x﹣1）2﹣6，
∴最小值为﹣6．
故答案为﹣6
点睛：本题考查了配方法求二次函数的最值，对于，当a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，函数有最大值.
30．10
【分析】
由x2﹣3x+2y=6，可得2y=6-x2+3x，代入x+2y，利用二次函数的性质求解.
解：由实数x、y满足x2﹣3x+2y=6,，可得2y=6-x2+3x，
x+2y=x+6-x2+3x=-x2+4x+6；
令Z= x+2y=-x2+4x+6，
可得当x=2时，Z有最大值为10，
故答案为:10
【点拨】x的最高次幂是2, x+2y的最高次幂是1, 应用x表示出2y, 进而表示出x+2y, 得到关于x的二次函数, 利求二次函数性质求出最大值.
31．36
【分析】
把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
离对称轴越远函数值越大，
∵离对称轴的距离远，
当时，有最大值为：，
故答案为：36．
【点拨】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．
32．4
【分析】
通过A、B两点得出对称轴,再根据对称轴公式算出b,由此可得出二次函数表达式,从而算出最小值即可推出n的最小值．
解：∵A、B的纵坐标一样,
∴A、B是对称的两点,
∴对称轴,即,
∴b=﹣4．
．
∴抛物线顶点(2,﹣3)．
满足题意n得最小值为4,
故答案为4．
【点拨】本题考查二次函数对称轴的性质及顶点式的变形,关键在于根据对称轴的性质从题意中判断出对称轴．
33．向上 x＝h （h，0） 小 减小 增大 向下 x＝h （h，0） 大 增大 减小
解：略
34．③
【分析】
根据反比例函数的性质、相似三角形的判定方法、垂径定理、圆周角定理、以及二次函数的性质分析即可．
解：①函数中，在每个象限内，函数随的增大而减小，故原说法错误；
②当一个等腰三角形的顶角与另一个三角形的底角相等时，两个三角形不相似，故原说法错误；
③因等边三角形的三个角都等于60°，所以两个等边三角形相似，故原说法正确；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误；
⑤同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故原说法错误；
⑥关于的函数（x≠0）的图像是抛物线故原说法错误．
故答案为：③．
【点拨】本题考查了反比例函数的性质、相似三角形的判定方法、垂径定理、圆周角定理、以及二次函数的性质，熟练掌握定理和性质是解答本题的关键．
35．(
【分析】
设顶点是抛物线的顶点，根据抛物线与抛物线交于点求解即可．
解：设顶点是抛物线的顶点，
由题意可知
∵抛物线与抛物线交于点，
∴
解得或（舍去），
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了二次函数图像的平移问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
36．（2，1）或（﹣2，1）或（0，﹣1）
解：当⊙P与x轴相切时可求得P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标．
【解答】
解：∵⊙P与x轴相切，
∴P到x轴的距离等于半径1，
∴点P的纵坐标为1或﹣1，
当y＝1时，代入可得1＝x2﹣1，解得x＝2或x＝﹣2，此时P点坐标为（2，1）或（﹣2，1）；
当y＝﹣1时，代入可得﹣1＝x2﹣1，解得x＝0，此时P点坐标为（0，﹣1）；
综上可知P点坐标为（2，1）或（﹣2，1）或（0，﹣1），
故答案为：（2，1）或（﹣2，1）或（0，﹣1）．
【点拨】此题注意应考虑两种情况．熟悉直线和圆的位置关系应满足的数量关系是解题的关键．
37．5
【分析】
观察表格可知：二次函数的对称轴为x=1，故得到当x=-1时，y的值与x=3时相等，则x＝−1时，y＝-5，x＝1时，y＝−1，可得a−b＋c＝-5，a＋b＋c＝−1，代入故可求解．
解：观察表格可知：x=0与x=2时函数值相等，
∴二次函数的对称轴为x=1，
∴当x=-1时，y的值与x=3时相等
∴x＝−1时，y＝-5，x＝1时，y＝−1，
∴a−b＋c＝-5，a＋b＋c＝−1，
∴（a＋b＋c）（a−b＋c）的值为5，
故答案为5．
【点拨】本题考查二次函数图像上的点的特征、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
38．0＜m≤5
【分析】
根据对称轴的左侧的增减性，可得m＞0，根据增减性，可得对称轴大于或等于，可得答案．
解：由当x＜时，y的值随x的增大而减小可知，抛物线开口向上，m＞0，
且对称轴，
解得m≤5，
故答案为：0＜m≤5．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的增减性得出抛物线的开口方向且是解题的关键．
39．②③⑤ ① ①④
解：略
40．（，0），（，0） （ ，0） 没有 没有
解：略
41．（1）；（2）；（3）或．
【分析】
（1）先将函数化为顶点式，根据图像有最低点，且最低点到轴距离为3，可得，即可求解；
（2）根据题意可得 ， ，然后分两种情况：当时和当时，进行讨论，即可求解；
（3）根据题意可得直线PQ为 ，然后分两种情况：当 时和当 时，并结合图像，进行分类讨论，即可求解．
解：∵，
∴，
∵图像有最低点，最低点到轴距离为3，
∴ ，
∵最低点到轴距离为3，
∴，
∴ ，解得：；
（2））当时， ， ，
当时，点A在函数图像 上，且当 时，函数随着x的增大而减小，
当 时，，
当 时，，
此时 ；
当时，点A在图像 上，
∵函数，的对称轴为 ，
∴当时， 最小为-5，
当 时，，
当 时，，
∴此时 ，
综上所述，的取值范围为；
（3）∵点、的坐标分别为，，
∴直线PQ为 ，
当 时，如图：
函数的顶点为 ，
若PQ经过图像M1的顶点 ，
则 ，即 ，
对于图像M2，有，解得： ， （舍去），
∵ ，
∴直线PQ与图像M2的交点在点P的右侧，
∴线段与图像恰有三个公共点，
由题意得：M1与y轴交于
∴ ，解得： ；
当 时，如图：
函数的顶点为 ，
若PQ经过图像M2的顶点 ，
则 ，即 ，
对于图像M1，时，解得： ， （舍去），
∵ ，
∴直线PQ与图像M1的交点在点Q的左侧，
∴此时线段与图像只有一个公共点，不符合题意；
若线段PQ过M2与y轴的交点时，有 ，解得： ，
对于图像M1，，解得： ，（舍去） ，
∵，
∴此时线段PQ与图像M有三个交点，符合题意，
综上所述，当线段与图像恰有三个公共点时， 的取值范围为或．
【点拨】本题主要考查了二次函数与性质，一元一次不等式组，一元二次方程的解法，利用数形结合思想和分类讨论的思想是解题的关键．
42．（1）y=﹣x2+x；（2）当x=20时，y有最大值，最大值是m2
【分析】
（1）由BC的长度为xm，可表示出AB的长，再由矩形的面积公式即可表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可；
（2）利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．
解：（1）设BC的长度为xm，则AB=（40﹣x）m，
则矩形区域ABCD的面积y=x（40﹣x）=﹣x2+x；
（2）∵y=﹣x2+x=（x﹣20）2+ ，
∴当x=20时，y有最大值，最大值是m2．
【点拨】本题主要考查了二次函数的几何应用，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识.
43．（1）；（2）当为10米时，活动区的面积最大，最大面积是200平方米
【分析】
(1)由总长度-垂直于墙的两边的长度=平行于墙的这边的长度，根据墙的长度就可以求出x的取值范围；
(2)由长方形的面积公式建立二次函数，利用二次函数性质求出其解即可.
解：（1）四边形是矩形，米，
米，
墙长为22米，
，
，
，
即；
（2）设矩形的面积为
，
由（1）知，，
当时，有最大值200，
即当为10米时，活动区的面积最大，最大面积是200平方米．
【点拨】此题考查了二次函数的实际应用问题，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解.
44．P(1，－2)．
【分析】
根据“将军饮马”问题，将A点沿对称轴对称至B点，连接BC，与对称轴交点即为所求P点，从而结合图形性质求解即可．
解：如下左图，点A与点B对称，连结BC，那么在△PBC中，PB＋PC总是大于BC的．
如下右图，当点P落在BC上时，PB＋PC最小，因此PA＋PC最小，△PAC的周长也最小．
由y＝x2－2x－3，令y=0，解得：x=-1或3，
∴A（-1,0），B（3,0），对称轴为直线x=1，
∴可知OB＝OC＝3，OD＝1，∠OBC=45°，
∴DB＝DP＝2，
∴P(1，－2)．
【点拨】本题考查二次函数的对称性以及最短路径问题，理解常见的求最短路径的模型是解题关键．
45．（1）存在，；（2）
【分析】
本题第（1）问利用题目所给的对于“等差”函数的定义，求解出b的值即可，第（2）问根据题目所给“等差”函数的定义将c用含有b的式子表示，并根据函数图像的交点坐标列出方程组节课求解出反比例函数的表达式.
解：（1）存在，
假设一次函数与反比例函数存在“等差”函数，
则，解得，
∴存在“等差”函数，其表达式为．
（2）根据题意知，
∴，
则“等差”函数的表达式为，
反比例函数的表达式为，
根据题意，将代入
得，解得，
故反比例函数的表达式为．
【点拨】本题主要考察对于新定义的理解，以及函数之间的关系，根据题目所给定义以及函数图像与解析式的关系列出方程组求解即可. …
…
…
…
抛物线（a≠0）
与x轴的公共点的个数
一元二次方程
（a≠0）的根的情况
＞0
有 个
有两个不相等的实数根
＝0
有 个
有两个相等的实数根
＜0
没有公共点
没有实数根
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