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北师大版九年级数学下册 专题2.20 二次函数的图像与性质知识点分类专项训练（巩固篇）（附答案）
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这是一份北师大版九年级数学下册 专题2.20 二次函数的图像与性质知识点分类专项训练（巩固篇）（附答案），共47页。试卷主要包含了函数与，如图，抛物线y1＝a，二次函数有等内容，欢迎下载使用。
单选题
1．二次函数的图像如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
2．函数与（a≠0）在同一直角坐标系中的图像可能是（ ）
A． B． C．D．
3．若二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一个坐标系内的大致图像为（ ）
A．B．
C．D．
4．二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）
B．C．D．
5．如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图像可能是( )
A．B．C．D．
7．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点为B，直线y2=mx+n（m≠0）经过A、B两点，下列结论： ①当x＜1时，有y1＜y2；②a+b+c=m+n；③b2﹣4ac=﹣12a；④若m﹣n=﹣5，则B点坐标为（4，0）
其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
8．如图，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2＝（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结沦：①无论x取何值，y2的值总是正数；②2a＝1；③当x＝0时，y2﹣y1＝4；④2AB＝3AC；其中正确结论是（ ）
①②B．②③C．③④D．①④
9．直角坐标系中，一次函数的图像过点，且，与轴，轴分别交于，两点．设的面积为，则的最小值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
10．二次函数有（ ）．
A．最小值，为6B．最大值，为6C．最小值，为5D．最大值，为5
11．已知二次函数为常数，当时，函数值y的最小值为，则m的值是（ ）
A．B．C．或D．或
12．关于的方程有两个不相等的实根、，若，则的最大值是（ ）
A．1B．C．D．2
13．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图像如图，图像过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④5a+c=0；⑤当x＞-1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
14．如图，二次函数（）的图像的对称轴是直线，则以下五个结论①，②，③，④，⑤中，正确的有（ ）
A．个B．个
C．个D．个
15．抛物线交x轴于A（，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①；②；③；④当△ABD是等腰直角三角形时，则；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（ ）个
A．5B．4C．3D．2
16．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图像，其顶点坐标为（1，n），与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b＋c＞0；②abc＞0；③3a＋b＝0；④b2＝4a（c﹣n）．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
17．已知二次函数y＝2x2和一次函数y＝3x﹣1两函数图像交于点A、B，则A、B与二次函数的顶点O组成的△OAB的面积为（ ）
A．B．C．D．1
18．已知二次函数的图像交轴于两点．若其图像上有且只有三点满足，则的值是（ ）
A．1B．C．2D．4
19．下表是二次函数（，均为整数）的自变量与因变量的部分对应值．
给出下列判断，其中错误的是（ ）
A．该抛物线的对称轴是直线B．该二次函数的最小值为
C．当、时，D．当时，
20．如图，已知抛物线与x轴分别交于A、B两点，顶点为M．将抛物线l1沿x轴翻折后再向左平移得到抛物线l2．若抛物线l2过点B，与x轴的另一个交点为C，顶点为N，则四边形AMCN的面积为（ ）
A．32B．16C．50D．40
填空题
21．在平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图像如图所示，若两个函数图像上有三个不同的点，，，其中为常数，令，则的值为_________．（用含的代数式表示）
22．若直线y=m（m为常数）与函数y=的图像有三个不同的交点，则常数m的取值范围________
23．如图，已知函数与的图像交于点，点的纵坐标为1，则关于的方程的解为_____________．
方程2x﹣x2=的正实数根有________ 个
25．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线（x≥0）与（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则=_．
26．若点（m，n）在函数y＝2x﹣4的图像上，则m2＋n2的最小值是__．
27．两个数的和为13，则这两个数的积的最大值为___________．
28．如图，矩形ABCD中，BC＝4，AB＝3，点E为CD边上一动点（不与C、D重合），以CE为边向外作矩形CEFG，且CG＝CE，连接BF，点O是线段BF的中点，连接OE，则OE的最小值为_____．
若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是_________________．
30．抛物线的对称轴为直线，部分图像如图所示，下列判断中：①；②；③；④；其中判断正确的选项是____________．
31．已知二次函数的图像与轴交于点，，且，与轴的正半轴的交点在的下方，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有_______．（填序号）
32．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分，对称轴为且经过点（2，0）．下列说法：①若（﹣3，y1），（π，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；②c＝2b；③关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）一定有两个不同的解；④（其中m为实数）．其中说法正确的是_______．
33．如图，二次函数（）的图像与轴交于，对称轴为直线，与轴的交点在2和3之间（不包括这两个点），下列结论：①当时，；②；③对于任意实数，始终成立；④，其中正确的结论的序号是________．
34．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，AE为∠BAD的角平分线，F为AE上一动点，M为DF的中点，连接BM，则BM的最小值是_____．
35．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣，2）、（，2），连结AB，若函数y＝与线段AB有交点，则h的取值范围是______．
36．如图，抛物线与y轴交于点A，点B是这条抛物线上的另一点，且轴，以为边向下作等边，则点C到抛物线顶点的距离是________．
37．对于每个非零自然数n，抛物线与x轴交于，两点，以表示这两点之间的距离，则的值是______
三、解答题
38．如图，抛物线F：的顶点为P，抛物线：与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．
（1）当a = 1，b=－2，c = 3时，求点C的坐标(直接写出答案)；
（2）若a、b、c满足了，
①求b：b′的值；
②探究四边形OABC的形状，并说明理由．
39．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
40．如图，二次函数的图像与轴分别交于点（点在点的左侧），与轴交于点，且经过点．
（1）求的值．
（2）将点向下平移个单位至点，过点作轴于点，交抛物线于点．若，求的值．
41．如图1，为坐标原点，点在轴的正半轴上，四边形是平行四边形，，反比例函数在第一象限内的图像经过点，与交于点.
（1）若点为的中点，且的面积.
①设的面积为，的面积为，则______（直接填“”、“”或“”），______；
②求的长和点的坐标.
在（1）的条件下，过点作，交于点（如图2），点为直线上的一个动点，连结、，当以、、为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出所有点的坐标，不必说明理由.
42．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，抛物线的顶点为，且与轴左交点为（其中）．
（1）当时，在抛物线的对称轴上求一点使得的周长最小；
（2）当点在直线上方时，求点到直线距离的最大值；
（3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当时，求出在抛物线和直线所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．
参考答案
1．A
【分析】根据二次函数的图像开口向上，得出，与轴交点在轴的负半轴，得出，利用对称轴，得出，进而对照四个选项中的图像即可得出结论．
解：因为二次函数的图像开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出，利用对称轴x，得出，
所以一次函数y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数y位于二、四象限，
故选：A．
【点拨】本题考查了反比例函数的图像、一次函数的图像以及二次函数的图像，根据二次函数图像，得出、、 是解题的关键．
2．C
【分析】分a>0与a<0两种情况分类讨论即可确定正确的选项．
解：当a>时，函数的图像位于一、三象限，的开口向上，交y轴的负半轴，没有符合的选项；
当a<时，函数的图像位于二、四象限，的开口向下，交y轴的正半轴，C选项符合．
故答案为：C．
【点拨】本题考查的知识点是反比例函数的图像与二次函数的图像，理解掌握函数图像的性质是解此题的关键.．
3．D
【分析】先根据抛物线的开口方向确定a＜0，对称轴可确定b的正负，与y轴的交点可知c＞0，然后逐项排查即可．
解：∵抛物线开口方向向下
∴a＜0，
∵抛物线对称轴
∴b＞0
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴
∴c＞0
∴的图像过二、一、四象限，的图像在二、四象限
∴D选项满足题意．
故选D．
【点拨】本题主要考查了二次函数的特征、一次函数、反比例函数的图像，牢记各种函数图像的特点成为解答本题的关键．
4．D
【分析】根据二次函数图像确定系数的符号，再根据一次函数、反比例函数的图像与性质解题．
解：二次函数的图像开口向下，
二次函数的图像与y轴交点在x轴上方，
二次函数的图像对称轴在轴的右侧，
异号，
一次函数图像经过第二、一、四象限，
反比例函数图像分布在第一、三象限，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数图像与性质、一次函数图像与性质、反比例函数的图像与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．C
【解析】
【分析】设A（m，m2），则B（m，m2），根据题意得出C（2m，m2），D（m，m2），即可求得BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，从而求得＝．
解：设A（m，m2），则B（m，m2），
∵AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，
∴C（2m，m2），D（m，m2），
∴BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，
.
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征.根据特征表示出A、B、C、D点的坐标是解题的关键．
6．D
【分析】根据两个函数的开口方向及第一个函数与y轴的交点，第二个函数的对称轴可得相关图像．
解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；
B、两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；
C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b异号，可得第二个函数的对称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确．
故选D．
【点拨】本题考查二次函数图像的性质，用到的知识点为：二次函数的二次项系数大于0，开口方向向上，小于0，开口方向向下；二次项系数和一次项系数同号，对称轴在y轴的左侧，异号在y轴的右侧；一次项系数为0，对称轴为y轴；常数项是二次函数与y轴交点的纵坐标．
7．D
【解析】试题解析：∵由图像可知，当x＜1时，有y1＜y2，故①正确；
∵抛物线的顶点坐标A（1，3），直线y2=mx+n（m≠0）经过A点，
∴当x=1时，y1=y2，
∴a+b+c=m+n，故②正确；
∵抛物线的最大值为 =3，
∴4ac-b2=12a，
∴b2-4ac=-12a，故③正确；
∵抛物线经过A（1，3），
∴代入y2=mx+n得，m+n=3，
解得，
∴y2=-x+4，
令y=0，则x=4，
∴B（4，0），故④正确；
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
8．D
【解析】
试题解析：：①∵抛物线y2=（x-3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，∴无论x取何值，y2的值总是正数，故本结论正确；
②把A（1，3）代入，抛物线y1=a（x+2）2-3得，3=a（1+2）2-3，解得a=，故本结论错误；
③由两函数图像可知，抛物线y1=a（x+2）2-3解析式为y1=（x+2）2-3，当x=0时，y1=（0+2）2-3=-，y2=（0-3）2+1=，故y2-y1=+=，故本结论错误；
④∵物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），
∴y1的对称轴为x=-2，y2的对称轴为x=3，
∴B（-5，3），C（5，3）
∴AB=6，AC=4，
∴2AB=3AC，故本结论正确．
故选D．
9．A
【分析】首先将（2，kb）点代入一次函数解析式，求出k与b的关系式，再求出一次函数y=kx+b（kb≠0）的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点坐标，表示出△ABO的面积S，再根据b≥4，去掉绝对值，利用二次函数最值求法，可求出S的最小值．
解：一次函数的图像过点，代入一次函数解析式得：
，
，
，
，
一次函数的图像与轴、轴分别交于、两点，
点坐标为：，，点的坐标为：，
的面积为，
；
若，，
，
的最小值为：．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标求法，以及二次函数的最值问题等知识，表示图像与坐标轴围成的面积，注意应该加绝对值保证是正值，这是做题中经常犯错的地方．
10．D
【分析】先根据二次函数二次项系数，确定有最大值，再把二次函数化为顶点式求解即可．
解：∵二次函数的解析式为，
∴，
∴二次函数有最大值，
∵，
∴当x=1时，二次函数有最大值5，
故选D．
【点拨】本题主要考查了二次函数的最值问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
11．D
【分析】先确定抛物线的对称轴为直线x=m，解答时，分m＜-1，-1＜m＜2，m＞2三种情形求解即可．
解：∵二次函数（为常数），
∴抛物线的对称轴为直线x==m，
当m＜-1时，-1＜x＜2表示的数在对称轴的右侧，
∵二次函数（为常数）中，a=1＞0,
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∴当x=-1时，函数y取得最小值，即1+2m=-2，解得m=；
当-1＜m＜2时，
∵二次函数（为常数）中，a=1＞0,函数有最小值，
∴当x=m时，y取得最小值，即=-2，
解得m= 或m=-（不在范围内，舍去）；
当m＞2时，
∵二次函数（为常数）中，a=1＞0,
∴在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∴当x=2时，函数y取得最小值，即4-4m=-2，解得m=，（不在范围内，舍去）
综上所述，m的值为或，
故选D．
【点拨】本题考查了二次函数的对称轴，最值，函数的增减性，利用分类思想，灵活运用二次函数的增减性确定最值是解题的关键．
12．D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根之和和两根之积，再根据两根关系，求得系数的关系，代入代数式，配方法化简求值即可．
解：由方程有两个不相等的实根、
可得，，，
∵，可得，，即
化简得
则
故最大值为
故选D
【点拨】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，涉及了配方法求解代数式的最大值，根据一元二次方程根与系数的关系得到系数的关系是解题的关键．
13．B
【分析】由抛物线的对称轴方程得到b=-4a，则可对①进行判断；由于x=-3时，y＜0，则可对②进行判断；利用抛物线与x轴的一个交点为（-1，0）得a-b+c=0，把b=-4a代入可得c=-5a，则8a+7b+2c=-30a，于是可对③④进行判断；根据而此函数的性质可对⑤进行判断．
解：∵抛物线的对称轴为直线x=-=2，
∴b=-4a，即4a+b=0，所以①正确；
∵x=-3时，y＜0，
∴9a-3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），
∴x=-1时，a-b+c=0，
∴a+4a+c=0，即5a+c=0，
∴c=-5a，
∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，
而a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，所以③④正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴当x＜2时，函数值随x增大而增大，所以⑤错误．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
14．D
【分析】由开口方向，对称轴方程，与轴的交点坐标判断a、b、c的符号，从而可判断①②，利用与轴的交点位置得到＞，结合＜可判断④，利用当， 结合图像与对称轴可判断③，根据， ，即可判定⑤．
解：由函数图像的开口向下得＜0
由对称轴为＞0所以＞0 ，，故②正确
由函数与轴交于正半轴，所以＞
＜0，故①正确；
由图像知：当时，
此时点在第三象限，
＜0，
∴，故③错误；
，
∴，即，故⑤正确；
由交点位置可得：＞，
＜0
＞，
∴＜
∴，
∴＜即故④正确；
故选D．
【点拨】本题考查的是二次函数的图像与系数的关系，同时考查利用二次函数的图像判断代数式的符号，掌握以上知识是解题的关键．
15．C
【分析】根据的交点是，，可知对称轴为x=1，从而可判断①；根据①的结论及a-b+c=0可得c与a的关系，从而判断②；根据二次函数在顶点处取得最小值可以判断③；当△ABD是等腰直角三角形时，可知D(1,-2)代入二次函数解析式，结合b=-2a，c=-3a判断④；根据等腰三角形的边的关系判断C点的个数，从而判断⑤．
解：∵的交点是，，
∴抛物线的对称轴为： ，
∴，
∴b=-2a，即，故①正确；
∵（-1，0）在二次函数的图像上，
∴a-b+c=0，
∴c=-3a，
∴2c=3b，故②正确；
∵抛物线的对称轴为： ，
∴此时，是二次函数的最小值
∴当时，即，故③正确；
当△ABD是等腰直角三角形时，
则D(1,-2)代入二次函数解析式，
又∵b=-2a，c=-3a，
即a-2a-3a=-2，
∴，故④错误；
当△ABC是等腰三角形时，当AB=AC或AB=BC，
则满足条件的C有两种可能，AC=BC不存在，故⑤错误，
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系、二次函数与不等式以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题关键，本题属于中档题，有些难度．
16．B
【分析】根据抛物线开口方向和对称以及与y轴的交点情况可以对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，则当x＝﹣1时，y＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，则可对③进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到＝n，则可对④进行判断．
解：①∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．
∴当x＝﹣1时，y＞0，
即a﹣b＋c＞0，所以①结论正确；
②∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线交y的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②结论错误；
③∵b＝﹣2a，
∴3a＋b＝3a﹣2a＝a＜0，所以③结论错误；
④∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴＝n，
∴b2＝4ac﹣4an＝4a（c﹣n），所以④结论正确；
故选：B．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图像与系数的关系：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）：抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2−4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2−4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2−4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
17．A
【分析】联立二次函数y＝2x2和一次函数y＝3x﹣1求出点A、B的坐标，再用补差法算面积即可．
解：联立，
解得x1＝1，x2＝，
∴A、B的坐标为（，），（1，2），
∴S△OAB＝S△OBC﹣S△ABD﹣S梯形OADC＝×1×2﹣××﹣×（+1）×＝．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，准确计算一元二次方程是解题的关键．
18．C
【分析】由题意易得点的纵坐标相等，进而可得其中有一个点是抛物线的顶点，然后问题可求解．
解：假设点A在点B的左侧，
∵二次函数的图像交轴于两点，
∴令时，则有，解得：，
∴，
∴，
∵图像上有且只有三点满足，
∴点的纵坐标的绝对值相等，如图所示：
∵，
∴点，
∴；
故选C．
【点拨】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
19．D
【分析】利用待定系数法求出该二次函数解析式，并改为顶点式，即可判断A和B选项．利用二次函数的对称性和增减性即可判断C和D选项．
解：根据表格将和代入二次函数解析式，得：
，
解得：．
故该二次函数解析式为，且改为顶点式为．
∴该抛物线的对称轴是直线，故A正确，不符合题意；
该二次函数的最小值为−1，故B正确，不符合题意；
∵关于对称轴对称为，
∴，
当时，y随x的增大而增大，
∴，即．故C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，，
∴，故D错误，符合题意．
故选D．
【点拨】本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数图像和性质．根据表格利用待定系数法求出该函数解析式是解答本题的关键．
20．A
【分析】由抛物线l1的解析式可求AB的长，根据对称性可知BC=AB，再求抛物线的顶点坐标，用计算三角形面积的方法求四边形AMCN的面积．
解：由y=x2﹣6x+5得y=（x﹣1）（x﹣5）或y=（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线l1与x轴两交点坐标为A（5，0），B（1，0），顶点坐标M（3，﹣4），
∴AB=5﹣1=4，
由翻折，平移的知识可知，BC=AB=4，N（﹣1，4），
∴AC=AB+BC=8，
S四边形AMCN=S△ACN+S△ACM=×8×4+×8×4=32．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了轴对称的性质、二次函数综合题，准确计算是解题的关键．
21．
【分析】根据题意由二次函数的性质、反比例函数的性质可以用含m的代数式表示出W的值，本题得以解决．
解：∵两个函数图像上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数，
∴其中有两个点一定在二次函数图像上，且这两个点的横坐标互为相反数，第三个点一定在反比例函数图像上，
假设点A和点B在二次函数图像上，则点C一定在反比例函数图像上，
∴m=，得x3=，
∴=x1+x2+x3=0+x3=；
故答案为：.
【点拨】本题考查反比例函数的图像和图像上点的坐标特征、二次函数的图像和图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数和二次函数的性质解答．
22．0＜m＜4
【解析】
【分析】首先作出分段函数y=的图像，根据函数的图像即可确定m的取值范围．
解：分段函数y=的图像如图：
故要使直线y=m（m为常数）与函数y=的图像恒有三个不同的交点，常数m的取值范围为0＜m＜4．
故答案为：0＜m＜4．
【点拨】本题考查了二次函数的图像及反比例函数的图像，首先作出分段函数的图像是解决本题的关键，采用数形结合的方法确定答案是数学上常用的方法之一．
23．
解：试题分析：当反比例函数和二次函数交于点p且点p的纵坐标是1，所以点p的横坐标是-3，通过两个图形的交叉分析可以得出，两个函数只有在第二象限时有交点，故此方程的解是x=-3
考点：数形结合
点评：本题主要考察考生对数形结合的基本知识的考查，需要考生把握好数形结合的基本规律
24．0
【解析】
解：在同一坐标系中，分别作出y1=2x-x2与y2=的图像如下：
由图像可以看出，正实数根有0个，
故答案为0.
【点拨】由图像看两函数的交点也是求实根个数时很常用的一种方法．
25．5-
【解析】
试题分析：本题我们可以假设一个点的坐标，然后进行求解．设点C的坐标为（1，），则点B的坐标为（，），点D的坐标为（1，1），点E的坐标为（，1），则AB=，DE=－1，则=5－．
考点：二次函数的性质
26．
解：思路引领：根据一次函数图像上点的坐标特征用m表示出n，然后整理成二次函数解析式的形式，再根据二次函数的最值问题解答．
答案详解：∵点（m，n）在函数y＝2x﹣4的图像上，
∴n＝2m﹣4，
∴m2+n2＝m2+（2m﹣4）2，
＝5m2﹣16m+16，
∵a＝5＞0，
∴m2+n2的最小值．
故答案为：．
27．
【分析】设其中的一个数为，则另一个数为，两个数的积为，根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质解答即可．
解：设其中的一个数为，则另一个数为，
两个数的积为，
则：，
当时，取得最大值，即，
故这两个数的积的最大值为：，
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次函数的最值问题，根据题意列出二次函数的解析式是解答此题的关键．
28．
【分析】根据矩形的性质证明，得出，，再根据已知设，则，再根据勾股定理求出，求出的最小值即可．
解：延长，与交于点，如图所示：
为中点，，
，，
在和中，
，
，，
设，
则，
，
，
当最小时，最小，此时，
即，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查矩形的性质以及三角形全等的判定，关键是对知识的掌握和综合运用．
29．﹣4或2
【分析】根据抛物线的对称轴公式，即可建立关于m的等式，解方程求出m的值即可．
解：∵y＝﹣x2+mx，
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x，
∵，
①当1，即m≤﹣2时，当x＝﹣1时，函数最大值为3，
∴﹣1﹣m＝3，
解得：m＝﹣4；
②当2，即m≥4时，当x＝2时，函数最大值为3，
∴﹣4+2m＝3，
解得：m（舍去）．
③当﹣12，即﹣2＜m＜4时，当x时，函数最大值为3，
∴3，
解得m＝2或m＝﹣2（舍去），
综上所述，m＝﹣4或m＝2，
故答案为：﹣4或2．
【点拨】本题考查了二次函数的最值，掌握抛物线的对称轴公式是解题的关键．
30．②③④
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用对称轴方程可对②判断；利用抛物线与x轴交点个数可对③进行判断； 利用当x=2时，y＞0，可对④判断．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝＝−1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵b＝2a，
∴，所以②正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝，所以③正确；
∵当x=2时，y＞0，
∴，所以④正确．
故答案是：②③④．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ＝b2−4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2−4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2−4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
31．①②④
【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴的位置可判断a、b、c的符号，然后再根据两根关系和抛物线与x的交点情况逐项判定即可．
解：解析：二次函数的图像与轴交于点，，
且，与轴交于点，
二次函数图像开口一定向下，，
，又二次函数的对称轴为直线
又，，，
故①正确；
当时，，
②正确；
当时，，
③错误；
当时，，
当时，，得，即，
将代入得
，故④正确；
综上，答案为①②④．
【点拨】本题主要考查了抛物线图像与系数的关系以及一元二次方程的根与系数的关系，掌握抛物线图像与系数的关系成为解答本题的关键．
32．①②③④
【分析】①根据点（﹣3，y1）离对称轴为要比点（π，y2）离对称轴要远且a＜0，即可判断；
②根据对称轴为x＝，且经过点（2，0），可得抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），可得＝﹣1×2＝﹣2，即c＝﹣2a，即可判断；
③根据Δ＝b2﹣4a且a＜0，即可判断；
④根据抛物线的对称轴x＝，可得当x＝时，y有最大值，即a+b+c＞am2+bm+c（其中m≠），根据a＝﹣b，即可进行判断．
解：∵点（﹣3，y1）离对称轴为要比点（π，y2）离对称轴要远且a＜0，
∴y1＜y2，所以①正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，
∴b＝﹣a，
∵抛物线经过点（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴＝﹣1×2＝﹣2，
∴c＝﹣2a＝2b，所以②正确；
∵Δ＝b2﹣4a且a＜0，
∴Δ＞0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）一定有两个不同的解，故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝，
∴当x＝时，y有最大值，
∴a+b+c＞am2+bm+c（其中m≠），
∴a+b＞m（am+b）（其中m≠），
∵a＝﹣b，
∴﹣b+b＞m（am+b），
∴b＞m（am+b），所以④正确．
故填：①②③④．
【点拨】本题主要考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数图像与解析式的系数的关系成为解答本题的关键．
33．①②③④
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，利用函数图像得到在轴上方所对应的自变量的范围，从而可对①进行判断；利用，，得到，，而，所以，则可利用不等式的性质可对②进行判断；根据二次函数的性质得到二次函数的最大值为，则，于是可对③进行判断；利用，可对④进行判断．
解：抛物线与轴交于，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
抛物线开口向下，
当，，所以①正确；
抛物线与轴交于，对称轴为直线，
，，
，，
抛物线与轴的交点坐标为，
而抛物线与轴的交点在和之间（不包括这两个点），
，
，
，所以②正确；
抛物线的对称轴为直线，
二次函数的最大值为，
，所以③正确；
，，
，所以④正确．
故答案为①②③④．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由△决定：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．
34．2
【分析】建立平面直角坐标系，求出AE的解析式，设点F（a，﹣a+2），可求点M坐标，由两点距离公式和二次函数性质可求BM的最小值．
解：以点B为原点，BC为x轴，AB为y轴，建立平面直角坐标系，
∵AB＝2，BC＝4，
∴点A（0，2），点C（4，0），点D（4，2），
∵AE为∠BAD的角平分线，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠BAE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝BE＝2，
∴点E（2，0），
∴直线AE解析式为y＝﹣x+2，
∴设点F（a，﹣a+2），
∵M为DF的中点，
∴点M（，），
∴BM2＝（）2+（）2＝+＝a2+8，
∵0≤a≤2，
∴当a＝0时，BM的最小值为2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查坐标与图形，熟悉运用二次函数的性质求解线段的最值问题是解题关键．
35．
【分析】由函数的解析式可知对称轴为x＝h，当h＜﹣时，点（﹣，2）在函数图像上，当h＞时，点（，2）在函数图像上，则可求h的范围．
解：∵函数y＝，
∴对称轴为x＝h，
当h＜﹣时，点（﹣，2）在函数图像上，
则有2＝，
解得h＝﹣或h＝（舍），
当h＞时，点（，2）在函数图像上，
则有2＝，
解得h＝（舍）或h＝，
∴﹣≤h≤时函数与线段AB有交点，
故答案为：﹣≤h≤．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征、二次函数图像与系数的关系，抓住对称轴的特点，学会分类求解，是解题的关键．
36．
【分析】首先求出抛物线的对称轴和顶点，求出点A和点B的坐标，根据等边三角形的性质得到点C的坐标，结合顶点坐标可得结果．
解：作CD⊥AB，垂足为D，
∵，
∴开口向上，对称轴为直线x=3，顶点为（3，k-9），
∵当x=0时，y=k，
∴A（0，k），
∵AB∥x轴，
∴A、B关于对称轴对称，
∴B（6，k），
∴AB=6，
∵△ABC为等边三角形，
∴AD=AB=3，CD=AD=，
∴C（3，），
∵顶点为（3，k-9），
∴点C到顶点的距离为：=，
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，等边三角形的性质，根据抛物线的解析式确定对称轴，从而求得AB的长是关键．
37．
【分析】先利用因式分解的方法得到交点式，从而得到抛物线与x轴的交点An、Bn坐标为（，0），（，0），所以AnBn=，所以A2B2+…+A2021B2021=，然后合并即可．
解：∵
∴抛物线与x轴的交点An、Bn坐标为（，0），（，0），
∴AnBn=，∴A2B2=，A3B3=，…A2021B2021=，
∴A2B2+…+A2021B2021====．
故答案为
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
38．（1）C（3，0）；（2）①2：3；②矩形，理由见解析
【分析】（1）由于抛物线F′由抛物线F平移所得，开口方向和开口大小都无变化，因此a＝a′＝1；由于两条抛物线都与y轴交于A点，那么c＝c′＝3．然后可根据抛物线F的坐标求出其顶点坐标，即可得出D点的坐标，然后将D的坐标代入抛物线F′中，即可求出抛物线F′的解析式，进而可求出C点的坐标．
（2）①与（1）的方法类似，在求出D的坐标后，将D的坐标代入抛物线F′中，即可得出关于b，b′的关系式即可得出b，b′的比例关系．
②探究四边形OABC的形状，无非是平行四边形，菱形，矩形这几种．那么首先要证的是四边形OABC是个平行四边形，已知了OABC，只需看A，B的纵坐标是否相等，即OA是否与BC的长相等．根据抛物线F的解析式可求出P点的坐标，然后用待定系数法可求出OP所在直线的解析式．进而可求出抛物线F与直线OP的交点B的坐标，然后判断B的纵坐标是否与A点相同，如果相同，则四边形OABC是矩形（∠AOC＝90°），如果B，A点的纵坐标不相等，那么四边形AOCB是个直角梯形．
解：（1） ∵a = 1，b=－2，c = 3
∴=
∴P（1，2）
∵过点P作PD⊥x轴于点D，
∴D（1，0）
由于抛物线F′由抛物线F平移所得，开口方向和开口大小都无变化，因此a＝a′＝1；由于两条抛物线都与y轴交于A点，那么c＝c′＝3．
∴抛物线F′：，
代入D（1，0）得0=1+b’+3
解得b’=-4
∴=
∴点C的坐标为（3，0）；
（2）①抛物线，令x=0，则y=c，
∴A点坐标（0，c）．
∵，
∴，
∴点P的坐标为（，）．
∵PD⊥x轴于D，∴点D的坐标为（，0）．
根据题意，得a=a′，c= c′，
∴抛物线F′的解析式为．
又∵抛物线F′经过点D（，0），
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴b:b′=．
②由①得，抛物线F′为．
令y=0，则．
∴．
∵点D的横坐标为
∴点C的坐标为（，0）．
设直线OP的解析式为．
∵点P的坐标为（），
∴，
∴，
∴．
∵点B是抛物线F与直线OP的交点，
∴．
∴．
∵点P的横坐标为，
∴点B的横坐标为．
把代入，得．
∴点B的坐标为．
∴BCOA，ABOC．（或BCOA，BC =OA），
∴四边形OABC是平行四边形．
又∵∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形．
【点拨】本题着重考查了待定系数法求二次函数的性质、函数的平移变换、探究矩形的构成情况等重要知识点．
39．（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）P点的坐标为（，﹣），四边形ABPC的面积最大
【分析】（1）把B、C两点的坐标代入二次函数y=x2+bx+c即可求出bc的值，故可得出二次函数的解析式；
（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点E，设P（x，x2-2x-3），易得，直线BC的解析式为y=x-3则Q点的坐标为（x，x-3），再根据S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ即可得出结论．
解：（1）∵点B（3，0），C（0，-3）在二次函数y=x2+bx+c的图像上，
∴将B、C两点的坐标代入得，
解得：，
∴二次函数的表达式为：y=x2-2x-3；
（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点E，
设P（x，x2-2x-3），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵B（3，0），C（0，-3），
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y=x-3．
∴Q点的坐标为（x，x-3），
∴S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
=AB•OC+QP•OE+QP•EB
=×4×3+（3x-x2）×3
=-（x-）2+，
∴当x=时，四边形ABPC的面积最大．此时P点的坐标为（，-），四边形ABPC的面积．
【点拨】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、三角形的面积公式等知识，难度适中．
40．（1）b=-2，c=-3；（2）
【分析】（1）把两已知点的坐标代入中，通过解方程组得到、的值；
（2）根据题意设，，，，利用得到，则、为方程的两根，利用根与系数的关系得到，，然后利用可求出的值．
解：（1）把，代入得，
解得；
（2）抛物线的解析式为，
点向下平移个单位至点，作轴于点，
点、的纵坐标都为，点的横坐标为3，
，
，即，
设，，，，
、为方程的两根，
，，
，
，，
，
．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了根与系数的关系．
41．（1）①，，②， ；（2），；；.
【分析】（1）先设OA=a（a>0），过点F作FM⊥x轴于M，根据sin∠AOB=得出AH=a，OH=a，求出S△AOH的值，根据S△AOF=12，求出平行四边形AOBC的面积，根据F为BC的中点，求出S△OBF=6，
根据BF=a，∠FBM=∠AOB，得出S△BMF=BM•FM，S△FOM=6+a2，再根据点A，F都在y=的图像上，S△AOH=k，求出a，最后根据S平行四边形AOBC=OB•AH，得出OB=AC=，即可求出点C的坐标；
（2）分别根据当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，得出P1，P2；当∠PAO=90°时，求出P3；当∠POA=90°时，求出P4即可．
解：（1）①，.
②设，如图3，过点作轴于，过点作轴于.
∵，∴，，∴.
∵，∴.
∵为的中点，∴.
∵，，
∴，.
∴.
∴.
∵点、都在的图像上，∴.
∴，∴，即.∴，.
∵，∴.
∴.
（2）存在三种情况：如图4.
当时，在的两侧各有一点，
分别为：，；
当时，；
当时，.
提示：当时，易证点为的中点，则，设交轴于点，由，得，；当时，设，由构造方程求；当时，同理由构造方程求.
【点拨】本题考查反比例函数，熟练掌握计算法则是解题关键.
42．（1）；（2）1；（3）4044个
【分析】（1）先求出点B坐标，B的纵坐标减去A的纵坐标等于12求出m值，再求出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性和两点之间线段最短知，当、、三点共线时周长最短，此时点为直线与对称轴的交点，进而求解即可；
（2）先求出抛物线的顶点C坐标，由C与的距离即可求出最大值；
（3）先求出抛物线与直线a的交点的横坐标，根据每一个整数的值都对应的一个整数值，结合边界由线段和抛物线组成求解即可．
解：（1）当吋，，
，
，而，
，
，
∴抛物线的解析式为：，
的对称轴，
又知、两点关于对称轴对称，则
当、、三点共线时周长最短，此时点为直线与对称轴的交点，
当吋，，
；
（2），
的顶点，
点在上方，
与的距离，
点与距离的最大值为1；
（3）当时，抛物线解析式
直线解析式
联立上述两个解析式可得：，
∴可知每一个整数的值都对应的一个整数值，
且-2021和1之间包括-2021和共有2023个整数；
∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，
∴线段和抛物线上各有2023个整数点，
∴总计4046个点
∵这两段图像交点有2个点重复，
∴“整点”的个数：（个）；
故时“整点”的个数为4044个．
【点拨】本题考查二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质、图形与坐标、最短路径问题、二次函数的最值、两函数图像的交点问题、解二元一次方程组等问题，综合性强，难度适中，解答的关键是读懂题意，找寻相关知识的关联点，利用数形结合思想解决问题． 自变量
0.07
1.33
因变量
7.0089
0.1664
1.4025
3.2849
10.0889
单选题
1．二次函数的图像如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
2．函数与（a≠0）在同一直角坐标系中的图像可能是（ ）
A． B． C．D．
3．若二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一个坐标系内的大致图像为（ ）
A．B．
C．D．
4．二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）
B．C．D．
5．如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图像可能是( )
A．B．C．D．
7．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点为B，直线y2=mx+n（m≠0）经过A、B两点，下列结论： ①当x＜1时，有y1＜y2；②a+b+c=m+n；③b2﹣4ac=﹣12a；④若m﹣n=﹣5，则B点坐标为（4，0）
其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
8．如图，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2＝（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结沦：①无论x取何值，y2的值总是正数；②2a＝1；③当x＝0时，y2﹣y1＝4；④2AB＝3AC；其中正确结论是（ ）
①②B．②③C．③④D．①④
9．直角坐标系中，一次函数的图像过点，且，与轴，轴分别交于，两点．设的面积为，则的最小值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
10．二次函数有（ ）．
A．最小值，为6B．最大值，为6C．最小值，为5D．最大值，为5
11．已知二次函数为常数，当时，函数值y的最小值为，则m的值是（ ）
A．B．C．或D．或
12．关于的方程有两个不相等的实根、，若，则的最大值是（ ）
A．1B．C．D．2
13．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图像如图，图像过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④5a+c=0；⑤当x＞-1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
14．如图，二次函数（）的图像的对称轴是直线，则以下五个结论①，②，③，④，⑤中，正确的有（ ）
A．个B．个
C．个D．个
15．抛物线交x轴于A（，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①；②；③；④当△ABD是等腰直角三角形时，则；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（ ）个
A．5B．4C．3D．2
16．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图像，其顶点坐标为（1，n），与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b＋c＞0；②abc＞0；③3a＋b＝0；④b2＝4a（c﹣n）．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
17．已知二次函数y＝2x2和一次函数y＝3x﹣1两函数图像交于点A、B，则A、B与二次函数的顶点O组成的△OAB的面积为（ ）
A．B．C．D．1
18．已知二次函数的图像交轴于两点．若其图像上有且只有三点满足，则的值是（ ）
A．1B．C．2D．4
19．下表是二次函数（，均为整数）的自变量与因变量的部分对应值．
给出下列判断，其中错误的是（ ）
A．该抛物线的对称轴是直线B．该二次函数的最小值为
C．当、时，D．当时，
20．如图，已知抛物线与x轴分别交于A、B两点，顶点为M．将抛物线l1沿x轴翻折后再向左平移得到抛物线l2．若抛物线l2过点B，与x轴的另一个交点为C，顶点为N，则四边形AMCN的面积为（ ）
A．32B．16C．50D．40
填空题
21．在平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图像如图所示，若两个函数图像上有三个不同的点，，，其中为常数，令，则的值为_________．（用含的代数式表示）
22．若直线y=m（m为常数）与函数y=的图像有三个不同的交点，则常数m的取值范围________
23．如图，已知函数与的图像交于点，点的纵坐标为1，则关于的方程的解为_____________．
方程2x﹣x2=的正实数根有________ 个
25．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线（x≥0）与（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则=_．
26．若点（m，n）在函数y＝2x﹣4的图像上，则m2＋n2的最小值是__．
27．两个数的和为13，则这两个数的积的最大值为___________．
28．如图，矩形ABCD中，BC＝4，AB＝3，点E为CD边上一动点（不与C、D重合），以CE为边向外作矩形CEFG，且CG＝CE，连接BF，点O是线段BF的中点，连接OE，则OE的最小值为_____．
若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是_________________．
30．抛物线的对称轴为直线，部分图像如图所示，下列判断中：①；②；③；④；其中判断正确的选项是____________．
31．已知二次函数的图像与轴交于点，，且，与轴的正半轴的交点在的下方，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有_______．（填序号）
32．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分，对称轴为且经过点（2，0）．下列说法：①若（﹣3，y1），（π，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；②c＝2b；③关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）一定有两个不同的解；④（其中m为实数）．其中说法正确的是_______．
33．如图，二次函数（）的图像与轴交于，对称轴为直线，与轴的交点在2和3之间（不包括这两个点），下列结论：①当时，；②；③对于任意实数，始终成立；④，其中正确的结论的序号是________．
34．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，AE为∠BAD的角平分线，F为AE上一动点，M为DF的中点，连接BM，则BM的最小值是_____．
35．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣，2）、（，2），连结AB，若函数y＝与线段AB有交点，则h的取值范围是______．
36．如图，抛物线与y轴交于点A，点B是这条抛物线上的另一点，且轴，以为边向下作等边，则点C到抛物线顶点的距离是________．
37．对于每个非零自然数n，抛物线与x轴交于，两点，以表示这两点之间的距离，则的值是______
三、解答题
38．如图，抛物线F：的顶点为P，抛物线：与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．
（1）当a = 1，b=－2，c = 3时，求点C的坐标(直接写出答案)；
（2）若a、b、c满足了，
①求b：b′的值；
②探究四边形OABC的形状，并说明理由．
39．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
40．如图，二次函数的图像与轴分别交于点（点在点的左侧），与轴交于点，且经过点．
（1）求的值．
（2）将点向下平移个单位至点，过点作轴于点，交抛物线于点．若，求的值．
41．如图1，为坐标原点，点在轴的正半轴上，四边形是平行四边形，，反比例函数在第一象限内的图像经过点，与交于点.
（1）若点为的中点，且的面积.
①设的面积为，的面积为，则______（直接填“”、“”或“”），______；
②求的长和点的坐标.
在（1）的条件下，过点作，交于点（如图2），点为直线上的一个动点，连结、，当以、、为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出所有点的坐标，不必说明理由.
42．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，抛物线的顶点为，且与轴左交点为（其中）．
（1）当时，在抛物线的对称轴上求一点使得的周长最小；
（2）当点在直线上方时，求点到直线距离的最大值；
（3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当时，求出在抛物线和直线所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．
参考答案
1．A
【分析】根据二次函数的图像开口向上，得出，与轴交点在轴的负半轴，得出，利用对称轴，得出，进而对照四个选项中的图像即可得出结论．
解：因为二次函数的图像开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出，利用对称轴x，得出，
所以一次函数y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数y位于二、四象限，
故选：A．
【点拨】本题考查了反比例函数的图像、一次函数的图像以及二次函数的图像，根据二次函数图像，得出、、 是解题的关键．
2．C
【分析】分a>0与a<0两种情况分类讨论即可确定正确的选项．
解：当a>时，函数的图像位于一、三象限，的开口向上，交y轴的负半轴，没有符合的选项；
当a<时，函数的图像位于二、四象限，的开口向下，交y轴的正半轴，C选项符合．
故答案为：C．
【点拨】本题考查的知识点是反比例函数的图像与二次函数的图像，理解掌握函数图像的性质是解此题的关键.．
3．D
【分析】先根据抛物线的开口方向确定a＜0，对称轴可确定b的正负，与y轴的交点可知c＞0，然后逐项排查即可．
解：∵抛物线开口方向向下
∴a＜0，
∵抛物线对称轴
∴b＞0
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴
∴c＞0
∴的图像过二、一、四象限，的图像在二、四象限
∴D选项满足题意．
故选D．
【点拨】本题主要考查了二次函数的特征、一次函数、反比例函数的图像，牢记各种函数图像的特点成为解答本题的关键．
4．D
【分析】根据二次函数图像确定系数的符号，再根据一次函数、反比例函数的图像与性质解题．
解：二次函数的图像开口向下，
二次函数的图像与y轴交点在x轴上方，
二次函数的图像对称轴在轴的右侧，
异号，
一次函数图像经过第二、一、四象限，
反比例函数图像分布在第一、三象限，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数图像与性质、一次函数图像与性质、反比例函数的图像与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．C
【解析】
【分析】设A（m，m2），则B（m，m2），根据题意得出C（2m，m2），D（m，m2），即可求得BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，从而求得＝．
解：设A（m，m2），则B（m，m2），
∵AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，
∴C（2m，m2），D（m，m2），
∴BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，
.
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征.根据特征表示出A、B、C、D点的坐标是解题的关键．
6．D
【分析】根据两个函数的开口方向及第一个函数与y轴的交点，第二个函数的对称轴可得相关图像．
解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；
B、两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；
C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b异号，可得第二个函数的对称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确．
故选D．
【点拨】本题考查二次函数图像的性质，用到的知识点为：二次函数的二次项系数大于0，开口方向向上，小于0，开口方向向下；二次项系数和一次项系数同号，对称轴在y轴的左侧，异号在y轴的右侧；一次项系数为0，对称轴为y轴；常数项是二次函数与y轴交点的纵坐标．
7．D
【解析】试题解析：∵由图像可知，当x＜1时，有y1＜y2，故①正确；
∵抛物线的顶点坐标A（1，3），直线y2=mx+n（m≠0）经过A点，
∴当x=1时，y1=y2，
∴a+b+c=m+n，故②正确；
∵抛物线的最大值为 =3，
∴4ac-b2=12a，
∴b2-4ac=-12a，故③正确；
∵抛物线经过A（1，3），
∴代入y2=mx+n得，m+n=3，
解得，
∴y2=-x+4，
令y=0，则x=4，
∴B（4，0），故④正确；
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
8．D
【解析】
试题解析：：①∵抛物线y2=（x-3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，∴无论x取何值，y2的值总是正数，故本结论正确；
②把A（1，3）代入，抛物线y1=a（x+2）2-3得，3=a（1+2）2-3，解得a=，故本结论错误；
③由两函数图像可知，抛物线y1=a（x+2）2-3解析式为y1=（x+2）2-3，当x=0时，y1=（0+2）2-3=-，y2=（0-3）2+1=，故y2-y1=+=，故本结论错误；
④∵物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），
∴y1的对称轴为x=-2，y2的对称轴为x=3，
∴B（-5，3），C（5，3）
∴AB=6，AC=4，
∴2AB=3AC，故本结论正确．
故选D．
9．A
【分析】首先将（2，kb）点代入一次函数解析式，求出k与b的关系式，再求出一次函数y=kx+b（kb≠0）的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点坐标，表示出△ABO的面积S，再根据b≥4，去掉绝对值，利用二次函数最值求法，可求出S的最小值．
解：一次函数的图像过点，代入一次函数解析式得：
，
，
，
，
一次函数的图像与轴、轴分别交于、两点，
点坐标为：，，点的坐标为：，
的面积为，
；
若，，
，
的最小值为：．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标求法，以及二次函数的最值问题等知识，表示图像与坐标轴围成的面积，注意应该加绝对值保证是正值，这是做题中经常犯错的地方．
10．D
【分析】先根据二次函数二次项系数，确定有最大值，再把二次函数化为顶点式求解即可．
解：∵二次函数的解析式为，
∴，
∴二次函数有最大值，
∵，
∴当x=1时，二次函数有最大值5，
故选D．
【点拨】本题主要考查了二次函数的最值问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
11．D
【分析】先确定抛物线的对称轴为直线x=m，解答时，分m＜-1，-1＜m＜2，m＞2三种情形求解即可．
解：∵二次函数（为常数），
∴抛物线的对称轴为直线x==m，
当m＜-1时，-1＜x＜2表示的数在对称轴的右侧，
∵二次函数（为常数）中，a=1＞0,
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∴当x=-1时，函数y取得最小值，即1+2m=-2，解得m=；
当-1＜m＜2时，
∵二次函数（为常数）中，a=1＞0,函数有最小值，
∴当x=m时，y取得最小值，即=-2，
解得m= 或m=-（不在范围内，舍去）；
当m＞2时，
∵二次函数（为常数）中，a=1＞0,
∴在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∴当x=2时，函数y取得最小值，即4-4m=-2，解得m=，（不在范围内，舍去）
综上所述，m的值为或，
故选D．
【点拨】本题考查了二次函数的对称轴，最值，函数的增减性，利用分类思想，灵活运用二次函数的增减性确定最值是解题的关键．
12．D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根之和和两根之积，再根据两根关系，求得系数的关系，代入代数式，配方法化简求值即可．
解：由方程有两个不相等的实根、
可得，，，
∵，可得，，即
化简得
则
故最大值为
故选D
【点拨】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，涉及了配方法求解代数式的最大值，根据一元二次方程根与系数的关系得到系数的关系是解题的关键．
13．B
【分析】由抛物线的对称轴方程得到b=-4a，则可对①进行判断；由于x=-3时，y＜0，则可对②进行判断；利用抛物线与x轴的一个交点为（-1，0）得a-b+c=0，把b=-4a代入可得c=-5a，则8a+7b+2c=-30a，于是可对③④进行判断；根据而此函数的性质可对⑤进行判断．
解：∵抛物线的对称轴为直线x=-=2，
∴b=-4a，即4a+b=0，所以①正确；
∵x=-3时，y＜0，
∴9a-3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），
∴x=-1时，a-b+c=0，
∴a+4a+c=0，即5a+c=0，
∴c=-5a，
∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，
而a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，所以③④正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴当x＜2时，函数值随x增大而增大，所以⑤错误．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
14．D
【分析】由开口方向，对称轴方程，与轴的交点坐标判断a、b、c的符号，从而可判断①②，利用与轴的交点位置得到＞，结合＜可判断④，利用当， 结合图像与对称轴可判断③，根据， ，即可判定⑤．
解：由函数图像的开口向下得＜0
由对称轴为＞0所以＞0 ，，故②正确
由函数与轴交于正半轴，所以＞
＜0，故①正确；
由图像知：当时，
此时点在第三象限，
＜0，
∴，故③错误；
，
∴，即，故⑤正确；
由交点位置可得：＞，
＜0
＞，
∴＜
∴，
∴＜即故④正确；
故选D．
【点拨】本题考查的是二次函数的图像与系数的关系，同时考查利用二次函数的图像判断代数式的符号，掌握以上知识是解题的关键．
15．C
【分析】根据的交点是，，可知对称轴为x=1，从而可判断①；根据①的结论及a-b+c=0可得c与a的关系，从而判断②；根据二次函数在顶点处取得最小值可以判断③；当△ABD是等腰直角三角形时，可知D(1,-2)代入二次函数解析式，结合b=-2a，c=-3a判断④；根据等腰三角形的边的关系判断C点的个数，从而判断⑤．
解：∵的交点是，，
∴抛物线的对称轴为： ，
∴，
∴b=-2a，即，故①正确；
∵（-1，0）在二次函数的图像上，
∴a-b+c=0，
∴c=-3a，
∴2c=3b，故②正确；
∵抛物线的对称轴为： ，
∴此时，是二次函数的最小值
∴当时，即，故③正确；
当△ABD是等腰直角三角形时，
则D(1,-2)代入二次函数解析式，
又∵b=-2a，c=-3a，
即a-2a-3a=-2，
∴，故④错误；
当△ABC是等腰三角形时，当AB=AC或AB=BC，
则满足条件的C有两种可能，AC=BC不存在，故⑤错误，
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系、二次函数与不等式以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题关键，本题属于中档题，有些难度．
16．B
【分析】根据抛物线开口方向和对称以及与y轴的交点情况可以对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，则当x＝﹣1时，y＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，则可对③进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到＝n，则可对④进行判断．
解：①∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．
∴当x＝﹣1时，y＞0，
即a﹣b＋c＞0，所以①结论正确；
②∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线交y的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②结论错误；
③∵b＝﹣2a，
∴3a＋b＝3a﹣2a＝a＜0，所以③结论错误；
④∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴＝n，
∴b2＝4ac﹣4an＝4a（c﹣n），所以④结论正确；
故选：B．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图像与系数的关系：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）：抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2−4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2−4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2−4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
17．A
【分析】联立二次函数y＝2x2和一次函数y＝3x﹣1求出点A、B的坐标，再用补差法算面积即可．
解：联立，
解得x1＝1，x2＝，
∴A、B的坐标为（，），（1，2），
∴S△OAB＝S△OBC﹣S△ABD﹣S梯形OADC＝×1×2﹣××﹣×（+1）×＝．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，准确计算一元二次方程是解题的关键．
18．C
【分析】由题意易得点的纵坐标相等，进而可得其中有一个点是抛物线的顶点，然后问题可求解．
解：假设点A在点B的左侧，
∵二次函数的图像交轴于两点，
∴令时，则有，解得：，
∴，
∴，
∵图像上有且只有三点满足，
∴点的纵坐标的绝对值相等，如图所示：
∵，
∴点，
∴；
故选C．
【点拨】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
19．D
【分析】利用待定系数法求出该二次函数解析式，并改为顶点式，即可判断A和B选项．利用二次函数的对称性和增减性即可判断C和D选项．
解：根据表格将和代入二次函数解析式，得：
，
解得：．
故该二次函数解析式为，且改为顶点式为．
∴该抛物线的对称轴是直线，故A正确，不符合题意；
该二次函数的最小值为−1，故B正确，不符合题意；
∵关于对称轴对称为，
∴，
当时，y随x的增大而增大，
∴，即．故C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，，
∴，故D错误，符合题意．
故选D．
【点拨】本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数图像和性质．根据表格利用待定系数法求出该函数解析式是解答本题的关键．
20．A
【分析】由抛物线l1的解析式可求AB的长，根据对称性可知BC=AB，再求抛物线的顶点坐标，用计算三角形面积的方法求四边形AMCN的面积．
解：由y=x2﹣6x+5得y=（x﹣1）（x﹣5）或y=（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线l1与x轴两交点坐标为A（5，0），B（1，0），顶点坐标M（3，﹣4），
∴AB=5﹣1=4，
由翻折，平移的知识可知，BC=AB=4，N（﹣1，4），
∴AC=AB+BC=8，
S四边形AMCN=S△ACN+S△ACM=×8×4+×8×4=32．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了轴对称的性质、二次函数综合题，准确计算是解题的关键．
21．
【分析】根据题意由二次函数的性质、反比例函数的性质可以用含m的代数式表示出W的值，本题得以解决．
解：∵两个函数图像上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数，
∴其中有两个点一定在二次函数图像上，且这两个点的横坐标互为相反数，第三个点一定在反比例函数图像上，
假设点A和点B在二次函数图像上，则点C一定在反比例函数图像上，
∴m=，得x3=，
∴=x1+x2+x3=0+x3=；
故答案为：.
【点拨】本题考查反比例函数的图像和图像上点的坐标特征、二次函数的图像和图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数和二次函数的性质解答．
22．0＜m＜4
【解析】
【分析】首先作出分段函数y=的图像，根据函数的图像即可确定m的取值范围．
解：分段函数y=的图像如图：
故要使直线y=m（m为常数）与函数y=的图像恒有三个不同的交点，常数m的取值范围为0＜m＜4．
故答案为：0＜m＜4．
【点拨】本题考查了二次函数的图像及反比例函数的图像，首先作出分段函数的图像是解决本题的关键，采用数形结合的方法确定答案是数学上常用的方法之一．
23．
解：试题分析：当反比例函数和二次函数交于点p且点p的纵坐标是1，所以点p的横坐标是-3，通过两个图形的交叉分析可以得出，两个函数只有在第二象限时有交点，故此方程的解是x=-3
考点：数形结合
点评：本题主要考察考生对数形结合的基本知识的考查，需要考生把握好数形结合的基本规律
24．0
【解析】
解：在同一坐标系中，分别作出y1=2x-x2与y2=的图像如下：
由图像可以看出，正实数根有0个，
故答案为0.
【点拨】由图像看两函数的交点也是求实根个数时很常用的一种方法．
25．5-
【解析】
试题分析：本题我们可以假设一个点的坐标，然后进行求解．设点C的坐标为（1，），则点B的坐标为（，），点D的坐标为（1，1），点E的坐标为（，1），则AB=，DE=－1，则=5－．
考点：二次函数的性质
26．
解：思路引领：根据一次函数图像上点的坐标特征用m表示出n，然后整理成二次函数解析式的形式，再根据二次函数的最值问题解答．
答案详解：∵点（m，n）在函数y＝2x﹣4的图像上，
∴n＝2m﹣4，
∴m2+n2＝m2+（2m﹣4）2，
＝5m2﹣16m+16，
∵a＝5＞0，
∴m2+n2的最小值．
故答案为：．
27．
【分析】设其中的一个数为，则另一个数为，两个数的积为，根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质解答即可．
解：设其中的一个数为，则另一个数为，
两个数的积为，
则：，
当时，取得最大值，即，
故这两个数的积的最大值为：，
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次函数的最值问题，根据题意列出二次函数的解析式是解答此题的关键．
28．
【分析】根据矩形的性质证明，得出，，再根据已知设，则，再根据勾股定理求出，求出的最小值即可．
解：延长，与交于点，如图所示：
为中点，，
，，
在和中，
，
，，
设，
则，
，
，
当最小时，最小，此时，
即，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查矩形的性质以及三角形全等的判定，关键是对知识的掌握和综合运用．
29．﹣4或2
【分析】根据抛物线的对称轴公式，即可建立关于m的等式，解方程求出m的值即可．
解：∵y＝﹣x2+mx，
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x，
∵，
①当1，即m≤﹣2时，当x＝﹣1时，函数最大值为3，
∴﹣1﹣m＝3，
解得：m＝﹣4；
②当2，即m≥4时，当x＝2时，函数最大值为3，
∴﹣4+2m＝3，
解得：m（舍去）．
③当﹣12，即﹣2＜m＜4时，当x时，函数最大值为3，
∴3，
解得m＝2或m＝﹣2（舍去），
综上所述，m＝﹣4或m＝2，
故答案为：﹣4或2．
【点拨】本题考查了二次函数的最值，掌握抛物线的对称轴公式是解题的关键．
30．②③④
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用对称轴方程可对②判断；利用抛物线与x轴交点个数可对③进行判断； 利用当x=2时，y＞0，可对④判断．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝＝−1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵b＝2a，
∴，所以②正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝，所以③正确；
∵当x=2时，y＞0，
∴，所以④正确．
故答案是：②③④．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ＝b2−4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2−4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2−4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
31．①②④
【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴的位置可判断a、b、c的符号，然后再根据两根关系和抛物线与x的交点情况逐项判定即可．
解：解析：二次函数的图像与轴交于点，，
且，与轴交于点，
二次函数图像开口一定向下，，
，又二次函数的对称轴为直线
又，，，
故①正确；
当时，，
②正确；
当时，，
③错误；
当时，，
当时，，得，即，
将代入得
，故④正确；
综上，答案为①②④．
【点拨】本题主要考查了抛物线图像与系数的关系以及一元二次方程的根与系数的关系，掌握抛物线图像与系数的关系成为解答本题的关键．
32．①②③④
【分析】①根据点（﹣3，y1）离对称轴为要比点（π，y2）离对称轴要远且a＜0，即可判断；
②根据对称轴为x＝，且经过点（2，0），可得抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），可得＝﹣1×2＝﹣2，即c＝﹣2a，即可判断；
③根据Δ＝b2﹣4a且a＜0，即可判断；
④根据抛物线的对称轴x＝，可得当x＝时，y有最大值，即a+b+c＞am2+bm+c（其中m≠），根据a＝﹣b，即可进行判断．
解：∵点（﹣3，y1）离对称轴为要比点（π，y2）离对称轴要远且a＜0，
∴y1＜y2，所以①正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，
∴b＝﹣a，
∵抛物线经过点（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴＝﹣1×2＝﹣2，
∴c＝﹣2a＝2b，所以②正确；
∵Δ＝b2﹣4a且a＜0，
∴Δ＞0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）一定有两个不同的解，故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝，
∴当x＝时，y有最大值，
∴a+b+c＞am2+bm+c（其中m≠），
∴a+b＞m（am+b）（其中m≠），
∵a＝﹣b，
∴﹣b+b＞m（am+b），
∴b＞m（am+b），所以④正确．
故填：①②③④．
【点拨】本题主要考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数图像与解析式的系数的关系成为解答本题的关键．
33．①②③④
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，利用函数图像得到在轴上方所对应的自变量的范围，从而可对①进行判断；利用，，得到，，而，所以，则可利用不等式的性质可对②进行判断；根据二次函数的性质得到二次函数的最大值为，则，于是可对③进行判断；利用，可对④进行判断．
解：抛物线与轴交于，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
抛物线开口向下，
当，，所以①正确；
抛物线与轴交于，对称轴为直线，
，，
，，
抛物线与轴的交点坐标为，
而抛物线与轴的交点在和之间（不包括这两个点），
，
，
，所以②正确；
抛物线的对称轴为直线，
二次函数的最大值为，
，所以③正确；
，，
，所以④正确．
故答案为①②③④．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由△决定：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．
34．2
【分析】建立平面直角坐标系，求出AE的解析式，设点F（a，﹣a+2），可求点M坐标，由两点距离公式和二次函数性质可求BM的最小值．
解：以点B为原点，BC为x轴，AB为y轴，建立平面直角坐标系，
∵AB＝2，BC＝4，
∴点A（0，2），点C（4，0），点D（4，2），
∵AE为∠BAD的角平分线，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠BAE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝BE＝2，
∴点E（2，0），
∴直线AE解析式为y＝﹣x+2，
∴设点F（a，﹣a+2），
∵M为DF的中点，
∴点M（，），
∴BM2＝（）2+（）2＝+＝a2+8，
∵0≤a≤2，
∴当a＝0时，BM的最小值为2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查坐标与图形，熟悉运用二次函数的性质求解线段的最值问题是解题关键．
35．
【分析】由函数的解析式可知对称轴为x＝h，当h＜﹣时，点（﹣，2）在函数图像上，当h＞时，点（，2）在函数图像上，则可求h的范围．
解：∵函数y＝，
∴对称轴为x＝h，
当h＜﹣时，点（﹣，2）在函数图像上，
则有2＝，
解得h＝﹣或h＝（舍），
当h＞时，点（，2）在函数图像上，
则有2＝，
解得h＝（舍）或h＝，
∴﹣≤h≤时函数与线段AB有交点，
故答案为：﹣≤h≤．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征、二次函数图像与系数的关系，抓住对称轴的特点，学会分类求解，是解题的关键．
36．
【分析】首先求出抛物线的对称轴和顶点，求出点A和点B的坐标，根据等边三角形的性质得到点C的坐标，结合顶点坐标可得结果．
解：作CD⊥AB，垂足为D，
∵，
∴开口向上，对称轴为直线x=3，顶点为（3，k-9），
∵当x=0时，y=k，
∴A（0，k），
∵AB∥x轴，
∴A、B关于对称轴对称，
∴B（6，k），
∴AB=6，
∵△ABC为等边三角形，
∴AD=AB=3，CD=AD=，
∴C（3，），
∵顶点为（3，k-9），
∴点C到顶点的距离为：=，
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，等边三角形的性质，根据抛物线的解析式确定对称轴，从而求得AB的长是关键．
37．
【分析】先利用因式分解的方法得到交点式，从而得到抛物线与x轴的交点An、Bn坐标为（，0），（，0），所以AnBn=，所以A2B2+…+A2021B2021=，然后合并即可．
解：∵
∴抛物线与x轴的交点An、Bn坐标为（，0），（，0），
∴AnBn=，∴A2B2=，A3B3=，…A2021B2021=，
∴A2B2+…+A2021B2021====．
故答案为
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
38．（1）C（3，0）；（2）①2：3；②矩形，理由见解析
【分析】（1）由于抛物线F′由抛物线F平移所得，开口方向和开口大小都无变化，因此a＝a′＝1；由于两条抛物线都与y轴交于A点，那么c＝c′＝3．然后可根据抛物线F的坐标求出其顶点坐标，即可得出D点的坐标，然后将D的坐标代入抛物线F′中，即可求出抛物线F′的解析式，进而可求出C点的坐标．
（2）①与（1）的方法类似，在求出D的坐标后，将D的坐标代入抛物线F′中，即可得出关于b，b′的关系式即可得出b，b′的比例关系．
②探究四边形OABC的形状，无非是平行四边形，菱形，矩形这几种．那么首先要证的是四边形OABC是个平行四边形，已知了OABC，只需看A，B的纵坐标是否相等，即OA是否与BC的长相等．根据抛物线F的解析式可求出P点的坐标，然后用待定系数法可求出OP所在直线的解析式．进而可求出抛物线F与直线OP的交点B的坐标，然后判断B的纵坐标是否与A点相同，如果相同，则四边形OABC是矩形（∠AOC＝90°），如果B，A点的纵坐标不相等，那么四边形AOCB是个直角梯形．
解：（1） ∵a = 1，b=－2，c = 3
∴=
∴P（1，2）
∵过点P作PD⊥x轴于点D，
∴D（1，0）
由于抛物线F′由抛物线F平移所得，开口方向和开口大小都无变化，因此a＝a′＝1；由于两条抛物线都与y轴交于A点，那么c＝c′＝3．
∴抛物线F′：，
代入D（1，0）得0=1+b’+3
解得b’=-4
∴=
∴点C的坐标为（3，0）；
（2）①抛物线，令x=0，则y=c，
∴A点坐标（0，c）．
∵，
∴，
∴点P的坐标为（，）．
∵PD⊥x轴于D，∴点D的坐标为（，0）．
根据题意，得a=a′，c= c′，
∴抛物线F′的解析式为．
又∵抛物线F′经过点D（，0），
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴b:b′=．
②由①得，抛物线F′为．
令y=0，则．
∴．
∵点D的横坐标为
∴点C的坐标为（，0）．
设直线OP的解析式为．
∵点P的坐标为（），
∴，
∴，
∴．
∵点B是抛物线F与直线OP的交点，
∴．
∴．
∵点P的横坐标为，
∴点B的横坐标为．
把代入，得．
∴点B的坐标为．
∴BCOA，ABOC．（或BCOA，BC =OA），
∴四边形OABC是平行四边形．
又∵∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形．
【点拨】本题着重考查了待定系数法求二次函数的性质、函数的平移变换、探究矩形的构成情况等重要知识点．
39．（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）P点的坐标为（，﹣），四边形ABPC的面积最大
【分析】（1）把B、C两点的坐标代入二次函数y=x2+bx+c即可求出bc的值，故可得出二次函数的解析式；
（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点E，设P（x，x2-2x-3），易得，直线BC的解析式为y=x-3则Q点的坐标为（x，x-3），再根据S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ即可得出结论．
解：（1）∵点B（3，0），C（0，-3）在二次函数y=x2+bx+c的图像上，
∴将B、C两点的坐标代入得，
解得：，
∴二次函数的表达式为：y=x2-2x-3；
（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点E，
设P（x，x2-2x-3），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵B（3，0），C（0，-3），
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y=x-3．
∴Q点的坐标为（x，x-3），
∴S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
=AB•OC+QP•OE+QP•EB
=×4×3+（3x-x2）×3
=-（x-）2+，
∴当x=时，四边形ABPC的面积最大．此时P点的坐标为（，-），四边形ABPC的面积．
【点拨】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、三角形的面积公式等知识，难度适中．
40．（1）b=-2，c=-3；（2）
【分析】（1）把两已知点的坐标代入中，通过解方程组得到、的值；
（2）根据题意设，，，，利用得到，则、为方程的两根，利用根与系数的关系得到，，然后利用可求出的值．
解：（1）把，代入得，
解得；
（2）抛物线的解析式为，
点向下平移个单位至点，作轴于点，
点、的纵坐标都为，点的横坐标为3，
，
，即，
设，，，，
、为方程的两根，
，，
，
，，
，
．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了根与系数的关系．
41．（1）①，，②， ；（2），；；.
【分析】（1）先设OA=a（a>0），过点F作FM⊥x轴于M，根据sin∠AOB=得出AH=a，OH=a，求出S△AOH的值，根据S△AOF=12，求出平行四边形AOBC的面积，根据F为BC的中点，求出S△OBF=6，
根据BF=a，∠FBM=∠AOB，得出S△BMF=BM•FM，S△FOM=6+a2，再根据点A，F都在y=的图像上，S△AOH=k，求出a，最后根据S平行四边形AOBC=OB•AH，得出OB=AC=，即可求出点C的坐标；
（2）分别根据当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，得出P1，P2；当∠PAO=90°时，求出P3；当∠POA=90°时，求出P4即可．
解：（1）①，.
②设，如图3，过点作轴于，过点作轴于.
∵，∴，，∴.
∵，∴.
∵为的中点，∴.
∵，，
∴，.
∴.
∴.
∵点、都在的图像上，∴.
∴，∴，即.∴，.
∵，∴.
∴.
（2）存在三种情况：如图4.
当时，在的两侧各有一点，
分别为：，；
当时，；
当时，.
提示：当时，易证点为的中点，则，设交轴于点，由，得，；当时，设，由构造方程求；当时，同理由构造方程求.
【点拨】本题考查反比例函数，熟练掌握计算法则是解题关键.
42．（1）；（2）1；（3）4044个
【分析】（1）先求出点B坐标，B的纵坐标减去A的纵坐标等于12求出m值，再求出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性和两点之间线段最短知，当、、三点共线时周长最短，此时点为直线与对称轴的交点，进而求解即可；
（2）先求出抛物线的顶点C坐标，由C与的距离即可求出最大值；
（3）先求出抛物线与直线a的交点的横坐标，根据每一个整数的值都对应的一个整数值，结合边界由线段和抛物线组成求解即可．
解：（1）当吋，，
，
，而，
，
，
∴抛物线的解析式为：，
的对称轴，
又知、两点关于对称轴对称，则
当、、三点共线时周长最短，此时点为直线与对称轴的交点，
当吋，，
；
（2），
的顶点，
点在上方，
与的距离，
点与距离的最大值为1；
（3）当时，抛物线解析式
直线解析式
联立上述两个解析式可得：，
∴可知每一个整数的值都对应的一个整数值，
且-2021和1之间包括-2021和共有2023个整数；
∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，
∴线段和抛物线上各有2023个整数点，
∴总计4046个点
∵这两段图像交点有2个点重复，
∴“整点”的个数：（个）；
故时“整点”的个数为4044个．
【点拨】本题考查二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质、图形与坐标、最短路径问题、二次函数的最值、两函数图像的交点问题、解二元一次方程组等问题，综合性强，难度适中，解答的关键是读懂题意，找寻相关知识的关联点，利用数形结合思想解决问题． 自变量
0.07
1.33
因变量
7.0089
0.1664
1.4025
3.2849
10.0889
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