还剩48页未读，
继续阅读
所属成套资源：北师大版九年级数学下册【精品专题分层次训练卷】（附答案）
成套系列资料，整套一键下载
北师大版九年级数学下册 专题2.32 二次函数知识点分类专题训练（巩固篇）（附答案）
展开
这是一份北师大版九年级数学下册 专题2.32 二次函数知识点分类专题训练（巩固篇）（附答案），共51页。试卷主要包含了二次函数性质综合，二次函数图像与各项系数符号，一次函数，根据二次函数图像判断代数式符号，二次函数图像的对称性，二次函数图像的最值，二次函数的解析式等内容，欢迎下载使用。
知识点一、二次函数性质综合
1．已知抛物线y=-x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．对于二次函数,下列说法正确的是（ ）
A．当x>0，y随x的增大而增大
B．当x=2时，y有最大值－3
C．图像的顶点坐标为（－2，－7）
D．图像与x轴有两个交点
3．二次函数的图像是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向下B．抛物线与轴有两个交点
C．抛物线的对称轴是直线=1D．抛物线经过点（2,3）
4．对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1：③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞-1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
知识点二、二次函数图像与各项系数符号
5．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．函数y=x2+bx+c与y=x的图像如图所示，有以下结论：
①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确的个数为
A．1B．2C．3D．4
7．二次函数的图像如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图像的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则
①二次函数的最大值为a+b+c；
②a﹣b+c＜0；
③b2﹣4ac＜0；
④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
知识点三、一次函数、二次函数图像综合判断
9．如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
10．在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是
A．B．C．D．
11．已知是非零实数，，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图像不可能是（ ）
A．B．C．D．
12．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（ ）．
A．B．C．D．
知识点四、根据二次函数图像判断代数式符号
如图，已知二次函数的图像如图所示，有下列5个结论 ；；；；的实数其中正确结论的
有
A．B．C．D．
14．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．B．4ac-b2＞0
C．3a+c=0D．ax2+bx+c=n+1无实数根
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
16．已知二次函数的图像如图所示，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
知识点五、二次函数图像的对称性
17．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图，下列结论正确的是( )
A．a<0B．b2－4ac<0C．当－10D．－=1
18．二次函数图像上部分点的坐标对应值列表如下：
则该函数图像的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣3B．直线x＝﹣2C．直线x＝﹣1D．直线x＝0
19．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（ ）
A．b2＞4ac
B．ax2+bx+c≥﹣6
C．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1
20．在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣x的图像上有三点（x1，m）、（x2，m）、（x3，m），则x1+x2+x3的结果是（ ）
A．B．0C．1D．2
知识点六、二次函数图像的最值
21．关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．若将图像向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点，则
B．当时，y有最小值
C．对应的函数值比最小值大7
D．当时，图像与x轴有两个不同的交点
22．已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若，则m的取值范围是（ ）
A．m≥B．≤m≤3C．m≥3D．1≤m≤3
23．已知抛物线y=ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴x=1上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①2a+b=0，②x=3是ax2+bx+3=0的一个根，③△PAB周长的最小值是+3．其中正确的是（ ）
A．①②③B．仅有①②C．仅有①③D．仅有②③
24．如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，P为此抛物线对称轴l上任意一点，则△APC的周长的最小值是（ ）
A．2B．3C．5D． +
知识点七、二次函数的解析式
25．抛物线y=ax2+bx+c经过点（3，0）和（2，﹣3），且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（ ）
A．y=﹣x2﹣2x﹣3B．y=x2﹣2x﹣3C．y=x2﹣2x+3D．y=﹣x2+2x﹣3
26．一个二次函数的图像的顶点坐标为，与轴的交点，这个二次函数的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
27．如图是某个二次函数的图像，根据图像可知，该二次函数的表达式是（ ）
A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2﹣x+2 C．y=﹣x2﹣x+1 D．y=﹣x2+x+2
28．如图，抛物线的表达式是（ ）
y＝x2－x＋2 B．y＝x2＋x＋2
C．y＝－x2－x＋2 D．y＝－x2＋x＋2
填空题
知识点一、二次函数性质综合
29．下列关于二次函数（为常数）的结论，①该函数的图像与函数的图像形状相同；②该函数的图像一定经过点；③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图像的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是__________．
30．二次函数y＝3x2+1和y＝3（x﹣1）2，以下说法：
①它们的图像开口方向、大小相同；
②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，1）；
③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；
④它们与坐标轴都有一个交点；
其中正确的说法有_____．
31．对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法：①最小值为2；②图像的顶点是(3，2)；③图像与x轴没有交点；④当x＜－1时，y随x的增大而增大．其中正确的是____．
32．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表
下列结论：
①ac＜0； ②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；
③当x=2时，y=5； ④3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根.
其中正确的结论是_________（填正确结论的序号）.
知识点二、二次函数图像与各项系数符号
33．已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的有_____．
①abc＞0
②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3
③2a+b=0
④当x＞0时，y随x的增大而减小
34．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论有_____．（填序号）
35．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图像如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论：
①abc＞0；
②方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3；
③2a+b＝0；
④4a2+2b+c＜0，
其中正确结论的序号为_____．
36．二次函数的图像如图所示，给出下列说法：
①；②方程的根为，；③；④当时，随值的增大而增大；⑤当时，．其中，正确的说法有________（请写出所有正确说法的序号）．
知识点三、一次函数、二次函数图像综合判断
37．二次函数y=﹣x2+bx+c的图像如图所示，则一次函数y=bx+c的图像不经过第___象限．
38．如图是二次函数和一次函数的图像，当，的取值范围是________．
39．平面直角坐标系中，点A（m，n）为抛物线y＝ax2﹣（a+1）x﹣2（a＞0）上一动点，当0＜m≤3时，点A关于x轴的对称点始终在直线y＝﹣x+2的上方，则a的取值范围是_____．
40．直线y=ax+m和直线y=bx+n在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为______．
知识点四、根据二次函数图像判断代数式符号
41．二次函数y＝ax2+bx+c的图像如图，对称轴是直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a﹣b＝0；④a﹣b+c＞0；⑤9a﹣3b+c＞0．其中正确的结论有_____．
42．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像如图，有下列6个结论：
①abc＜0；
②b＜a﹣c；
③4a+2b+c＞0；
④2c＜3b；
⑤a+b＜m（am+b），（m≠1的实数）
⑥2a+b+c＞0，其中正确的结论的有_____．
43．已知二次函数()的图像如上图所示，给出4个结论：①；②；③；④．其中正确的是__________ (把正确结论的序号都填上)．
44．如图，二次函数的图像经过点，对称轴为直线，下列5个结论：①； ②； ③；④； ⑤，其中正确的结论为________________．（注：只填写正确结论的序号）
知识点五、二次函数图像的对称性
45．如果点A（－1，4）、B（m，4）在抛物线y＝a（x－1）2+h上，那么m的值为_____．
46．已知抛物线的对称轴是直线，那么的值等于________．
47．如图，抛物线y＝﹣2x2+2与x轴交于点A、B，其顶点为E．把这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，C2的顶点为F，连结EF．则图中阴影部分图形的面积为______．
已知抛物线与 轴交于两点，若点 的坐标为，抛物线的对称轴为直线 ，则点的坐标为__________．
知识点六、二次函数图像的最值
49．当 __________时，二次函数 有最小值___________.
50．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____．
51．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为_____．
52．如图，已知抛物线与反比例函数的图像相交于B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0，6），A是抛物线的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为_____．
知识点七、二次函数的解析式
53．下表中与的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表达式为__________．
54．如图，平行四边形ABCD中，，点的坐标是，以点为顶点的抛物线经过轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为__________________．
55．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为（3，0），那么它对应的函数解析式是__．
56．如图，抛物线y＝ax2+bx+4 经过点A（﹣3，0），点 B 在抛物线上，CB∥x轴，且AB 平分∠CAO．则此抛物线的解析式是___________．
参考答案
1．B
【分析】
根据a确定抛物线的开口方向；令y=0解方程得到与x轴的交点坐标；根据抛物线的对称轴、顶点坐标以及平移的性质，对各小题分析判断后即可得解．
【详解】
①∵a=-1＜0，∴抛物线开口向下，故本小题错误；
②令y=0，则-x2+1=0，解得x1=1，x2=-1，所以，抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0），故本小题正确；
③抛物线的对称轴=0，是y轴，故本小题正确；
④抛物线的顶点坐标是（0，1），故本小题正确；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到，故本小题正确；
综上所述，正确的有②③④⑤共4个．
故选B．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数图像与系数关系是关键.
2．B
【详解】
二次函数,
所以二次函数的开口向下，当x＜2，y随x的增大而增大，选项A错误；
当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B正确；
顶点坐标为（2，-3），选项C错误；
顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，
故答案选B.
考点：二次函数的性质.
3．B
【详解】
A、a=2，则抛物线y=2x2-3的开口向上，所以A选项错误；
B、当y=0时，2x2-3=0，此方程有两个不相等的实数解，即抛物线与x轴有两个交点，所以B选项正确；
C、抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；
D、当x=2时，y=2×4-3=5，则抛物线不经过点（2，3），所以D选项错误，
故选B．
4．C
【解析】
试题分析：①∵a=﹣＜0，
∴抛物线的开口向下，正确；
②对称轴为直线x=﹣1，故本小题错误；
③顶点坐标为（﹣1，3），正确；
④∵x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∴x＞1时，y随x的增大而减小一定正确；
综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．
故选C．
考点：二次函数的性质
5．D
【分析】
由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
①∵抛物线对称轴是y轴的右侧，
∴ab＜0，
∵与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵a＞0，x=﹣＜1，
∴﹣b＜2a，
∴2a+b＞0，
故②正确；
③∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
故③正确；
④当x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
故④正确．
故选D．
【点拨】本题主要考查了图像与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
6．B
【详解】
分析：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4c＜0；故①错误．
当x=1时，y=1+b+c=1，故②错误．
∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0．故③正确．
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．
综上所述，正确的结论有③④两个，故选B．
7．C
【分析】
①由抛物线开口方向得到，对称轴在轴右侧，得到与异号，又抛物线与轴正半轴相交，得到，可得出，选项①错误；
②把代入中得，所以②正确；
③由时对应的函数值，可得出，得到，由，，，得到，选项③正确；
④由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，即可得到④正确．
【详解】
解：①∵抛物线开口向上，∴，
∵抛物线的对称轴在轴右侧，∴，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，①错误；
②当时，，∴，
∵，∴，
把代入中得，所以②正确；
③当时，，∴，
∴，
∵，，，
∴，即，所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线，
∴时，函数的最小值为，
∴，
即，所以④正确．
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点．
8．B
【详解】
分析：直接利用二次函数图像的开口方向以及图像与x轴的交点，进而分别分析得出答案．
详解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图像的对称轴为x=1，且开口向下，
∴x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；
②当x=﹣1时，a﹣b+c=0，故②错误；
③图像与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；
④∵图像的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），
∴A（3，0），
故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确．
故选B．
点睛：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键．
9．B
【详解】
分析：可先根据一次函数的图像判断a的符号，再判断二次函数图像与实际是否相符，判断正误即可．
详解：A．由一次函数y=ax﹣a的图像可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图像应该开口向下．故选项错误；
B．由一次函数y=ax﹣a的图像可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图像应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确；
C．由一次函数y=ax﹣a的图像可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图像应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；
D．由一次函数y=ax﹣a的图像可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图像应该开口向上．故选项错误．
故选B．
点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图像，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
10．C
【分析】
x=0，求出两个函数图像在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图像经过第一三象限，从而得解．
【详解】
x=0时，两个函数的函数值y=b，
所以，两个函数图像与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；
由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，
所以，a＞0，
所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，
所以，A选项错误，C选项正确．
故选C．
11．D
【分析】
根据二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）可以求得它们的交点坐标为（﹣，0）或点（1，a+b），然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图像可以判断a、b的正负情况，进一步即可判断﹣与a+b的正负情况，进而可得答案．
【详解】
解：解方程组：，得：或，
故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（﹣，0）或点（1，a+b）．
在A选项中，由一次函数图像可知a＞0，b＞0，二次函数图像可知，a＞0，b＞0，∴﹣＜0，a+b＞0，故选项A有可能；
在B选项中，由一次函数图像可知a＞0，b＜0，二次函数图像可知，a＞0，b＜0，∴﹣＞0，由|a|＞|b|，则a+b＞0，故选项B有可能；
在C选项中，由一次函数图像可知a＜0，b＜0，二次函数图像可知，a＜0，b＜0，∴﹣＜0，a+b＜0，故选项C有可能；
在D选项中，由一次函数图像可知a＜0，b＞0，二次函数图像可知，a＜0，b＞0，∴﹣＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D不可能．
故选D．
【点拨】本题考查二次函数的图像、一次函数的图像，解题的关键是熟练掌握二次函数与一次函数图像的性质．
12．D
【详解】
试题分析：A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误；
B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；
C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；
D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，
故选D．
考点：1．二次函数的图像；2．一次函数的图像．
13．B
【分析】
由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断即可．
【详解】
对称轴在y轴的右侧，
，
由图像可知：，
，故不正确；
当时，，
，故正确；
由对称知，当时，函数值大于0，即，故正确；
，
，
，
，
，故不正确；
当时，y的值最大此时，，
而当时，，
所以，
故，即，故正确，
故正确，
故选B．
【点拨】本题考查了图像与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．
14．B
【分析】
根据函数图像确定a、b、c的符号判断A；根据抛物线与x轴的交点判断B；利用抛物线的对称轴得到b=2a，再根据抛物线的对称性求得c=-3a即可判断C；利用抛物线的顶点坐标判断抛物线与直线y=n+1即可判断D．
【详解】
由函数图像知a<0， c>0，由对称轴在y轴左侧，a与b同号，得b<0，故abc>0，选项A正确；
二次函数与x轴有两个交点，故∆=，则选项B错误，
由图可知二次函数对称轴为x=-1，得b=2a，
根据对称性可得函数与x轴的另一交点坐标为(1，0)，
代入解析式y=ax2+bx+c可得c=-3a，
∴3a+c=0，选项C正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（-1，n），
∴抛物线与直线y=n+1没有交点，故D正确；
故选：B．
【点拨】此题考查抛物线的性质，抛物线的图像与点坐标，抛物线的对称性，正确理解和掌握y=ax2+bx+c型抛物线的性质及特征是解题的关键．
15．B
【分析】
先由抛物线与x轴的交点个数判断出结论①，先由抛物线的开口方向判断出a＜0，进而判断出b＞0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c＞0，判断出结论②，利用抛物线的对称轴为x＝2，判断出结论③，最后用x＝﹣2时，抛物线在x轴下方，判断出结论④，即可得出结论．
【详解】
解：由图像知，抛物线与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确，
由图像知，抛物线的对称轴直线为x＝2，
∴﹣＝2，
∴4a+b＝0，故③正确，
由图像知，抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵4a+b＝0，
∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②正确，
由图像知，当x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，
即正确的结论有3个，
故选：B．
【点拨】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知各系数与图像的关系．
16．C
【分析】
根据图像可直接判断a、c的符号，再结合对称轴的位置可判断b的符号，进而可判断①；
抛物线的图像过点（3，0），代入抛物线的解析式可判断②；
根据抛物线顶点的位置可知：顶点的纵坐标小于－2，整理后可判断③；
根据图像可知顶点的横坐标大于1，整理后再结合③的结论即可判断④.
【详解】
解：①由图像可知：，，由于对称轴，∴，∴，故①正确；
②∵抛物线过，∴时，，故②正确；
③顶点坐标为：.由图像可知：，∵，∴，即，故③错误；
④由图像可知：，，∴，
∵，∴，
∴，故④正确；
故选：C．
【点拨】本题考查了抛物线的图像与性质和抛物线的图像与其系数的关系，熟练掌握抛物线的图像与性质、灵活运用数形结合的思想方法是解题的关键.
17．D
【详解】
试题分析：根据二次函数的图像和性质进行判断即可.
解：∵抛物线开口向上，
∴
∴A选项错误，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴
∴B选项错误，
由图像可知，当－1∴C选项错误，
由抛物线的轴对称性及与x轴的两个交点分别为（－1，0）和（3，0）可知对称轴为
即－＝1，
∴D选项正确，
故选D.
18．B
【分析】
根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．
【详解】
解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2．
故选B．
【点拨】本题考查二次函数的图像．
19．C
【分析】
根据二次函数图像与系数的关系，二次函数和一元二次方程的关系进行判断.
【详解】
A、图像与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，b2﹣4ac＞0所以b2＞4ac，故A选项正确；
B、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为﹣6，所以ax2+bx+c≥﹣6，故B选项正确；
C、抛物线的对称轴为直线x=﹣3，因为﹣5离对称轴的距离大于﹣2离对称轴的距离，所以m＜n，故C选项错误；
D、根据抛物线的对称性可知，（﹣1，﹣4）关于对称轴的对称点为（﹣5，﹣4），所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1，故D选项正确．
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合是解题的关键.
20．D
【分析】
根据二次函数的对称性和一次函数图像上点的坐标特征即可求得结果．
【详解】
解：如图，在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣x的图像上有三点A（x1，m）、B（x2，m）、C（x3，m），
∵y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）
∴抛物线的对称轴为直线x＝m+1，
∴＝m+1，
∴x2+x3＝2m+2，
∵A（x1，m）在直线y＝﹣x上，
∴m＝﹣x1，
∴x1＝﹣2m，
∴x1+x2+x3＝﹣2m+2m+2＝2，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的对称性和一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合思想画出函数图形．
21．C
【分析】
求出二次函数平移之后的表达式，将（4，5）代入，求出a即可判断A；将函数表达式化为顶点式，即可判断B；求出当x=2时的函数值，减去函数最小值即可判断C；写出函数对应方程的根的判别式，根据a值判断判别式的值，即可判断D.
【详解】
解：A、将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，
表达式为：=，
若过点（4，5），
则，解得：a=-5，故选项正确；
B、∵，开口向上，
∴当时，y有最小值，故选项正确；
C、当x=2时，y=a+16，最小值为a-9，a+16-（a-9）=25，即对应的函数值比最小值大25，故选项错误；
D、△==9-a，当a＜0时，9-a＞0，即方程有两个不同的实数根，即二次函数图像与x轴有两个不同的交点，故选项正确，
故选C.
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，涉及到二次函数的基本知识点，解题的关键是掌握二次函数的性质，以及与一元二次方程的关系.
22．A
【分析】
当x2时，y值随x值的增大而增大，得由抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，M的纵坐标为t，，得，分三种情况讨论，当对称轴在y轴的右侧时，有＞即＜ 当对称轴是y轴时，有 当对称轴在y轴的左侧时，有＞从而可得结论．
【详解】
解：当对称轴在y轴的右侧时，
，
由①得：＜
由②得：
由③得：
解得：＜3，
当对称轴是y轴时，
m＝3，符合题意，
当对称轴在y轴的左侧时，
解得m＞3，
综上所述，满足条件的m的值为．
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数图形与系数的关系，二次函数图像上的点的坐标特征，解不等式组，解题的关键是理解题意，学会利用对称轴的位置进行分类讨论思考问题．
23．A
【分析】
①根据对称轴方程求得a、b的数量关系；
②根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是3；
③利用两点间直线最短来求△PAB周长的最小值．
【详解】
①根据图像知，对称轴是直线x=-=1，则b=-2a，即2a+b=0，故①正确；
②根据图像知，点A的坐标是（-1，0），对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），所以x=3是ax2+bx+3=0的一个根，故②正确；
③如图所示，点A关于x=1对称的点是A′，即抛物线与x轴的另一个交点，
连接BA′与直线x=1的交点即为点P，则△PAB周长的最小值是（BA′+AB）的长度，
∵B（0，3），A′（3，0），
∴BA′=3．即△PAB周长的最小值是3+，
故③正确．
综上所述，正确的结论是：①②③．
故选A．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像的性质以及两点之间直线最短．解答该题时，充分利用了抛物线的对称性．
24．B
【分析】
作点C关于直线l的对称点C′，连接AC′交直线l于P，连接PC，则△APC的周长的最小，根据抛物线的对称性、二次函数与一元二次方程的关系计算即可．
【详解】
作点C关于直线l的对称点C′，连接AC′交直线l于P，连接PC，则△APC的周长的最小，
由抛物线的对称性可知，点C′在抛物线上，
当x=0时，y=2，
∴点C的坐标为（0，2），
∴点C′的纵坐标为2，
2=﹣x2+x+2，
解得，x1=0，x2=3，
则点C′的横坐标为3，
﹣x2+x+2=0，
x1=-1，x2=4，
则点A的坐标为（-1，0），
∴AC′==2，AC==，
∴△APC的周长的最小值是3，
故选B．
【点拨】本题考查的是抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系、正确利用轴对称作出点P是解题的关键．
25．B
【详解】
试题分析：把已知两点坐标代入抛物线解析式，再由对称轴公式列出关系式，联立求出a，b，c的值，即可确定出解析式．
解：把(3,0)与(2,−3)代入抛物线解析式得：
，
由直线x=1为对称轴,得到=1，即b=−2a，
代入方程组得：，
解得：a=1，b=−2，c=−3，
则抛物线解析式为y=x2−2x−3，
故选B.
26．B
【分析】
由于已知顶点坐标，则可设顶点式y=a（x﹣3）2﹣1，然后把（0，﹣4）代入求出a的值即可得到抛物线解析式．
【详解】
解:设抛物线解析式为y=a（x﹣3）2﹣1，把（0，﹣4）代入得：a•（﹣3）2﹣1=﹣4，解得：a=﹣，所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣3）2﹣1=﹣x2+2x﹣4．
故选B．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
27．D
【分析】
根据开口方向、顶点坐标、对称轴逐项分析即可.
【详解】
A、由图像可知开口向下,故a＜0, 故A错误；
B、抛物线过点（﹣1,0）,（2,0）,根据抛物线的对称性,顶点的横坐标是,
而的顶点横坐标是﹣, 故B错误；
C、的顶点横坐标是﹣, 故C错误；
D、的顶点横坐标是,并且抛物线过点（﹣1,0）,（2,0），故D正确．
故选D.
【点拨】本题考察了二次函数的图像和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下；其对称轴是直线：；若抛物线与轴的两个交点是A(x1，0)，B(x2，0)，则抛物线的对称轴是：.
28．D
【分析】
根据题意，把抛物线经过的三点代入函数的表达式，列出方程组，解出各系数则可．
【详解】
解：根据题意，设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，
抛物线过（-1，0），（0，2），（2，0），
所以，
解得a=-1，b=1，c=2，
这个二次函数的表达式为y=-x2+x+2．
故选D
【点拨】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，是比较常见的题目．
29．①②④
【分析】
①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图像形状相同；②求出当时，y的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函数的顶点坐标，再代入函数进行验证即可得．
【详解】
当时，将二次函数的图像先向右平移m个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图像；当时，将二次函数的图像先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图像
该函数的图像与函数的图像形状相同，结论①正确
对于
当时，
即该函数的图像一定经过点，结论②正确
由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
则结论③错误
的顶点坐标为
对于二次函数
当时，
即该函数的图像的顶点在函数的图像上，结论④正确
综上，所有正确的结论序号是①②④
故答案为：①②④．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．
30．①
【分析】
根据二次函数图像的特点得出答案
【详解】
①因为y=3（x﹣1）2打开括号可知二次项系数为3与y=3x2+1的二次项系数相同，所以开口向上且大小相同①正确.②y=3（x﹣1）2的对称轴是x=1所以错误.③y=3（x﹣1）2的开口向上且对称轴是x=1，所以当0＜x＜1时函数值y随x的增大而减小，所以错误.④y=3（x﹣1）2与坐标轴有两个交点，所以错误.
【点拨】熟练掌握二次函数图像的特点是解该题的关键.
31．①③
【详解】
根据二次函数的性质，对于二次函数y=3x2+2,可得①最小值为2,正确;②图像的顶点是(0,2)，错误；③图像与x轴没有交点，正确；④当x<−1时，y随x的增大而减小，错误；
故答案为①③
32．①③④．
【解析】试题解析：∵x=-1时y=-1，x=0时，y=3，x=1时，y=5，
∴{a-b+c＝-1c＝3a+b+c＝5，
解得{a＝-1b＝3c＝3，
∴y=-x2+3x+3，
∴ac=-1×3=-3＜0，故①正确；
对称轴为直线x=-32×（-1）=32，
所以，当x＞32时，y的值随x值的增大而减小，故②错误；
当x=2时，y=-4+4+3=3；故③正确.
方程为-x2+2x+3=0，
整理得，x2-2x-3=0，
解得x1=-1，x2=3，
所以，3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一个根，正确，故④正确.
综上所述，结论正确的是①③④．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性，二次函数与不等式，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．
33．②③
【分析】
由函数图像可得抛物线开口向下，得到a＜0，又对称轴在y轴右侧，可得b＞0，根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，得到c＞0，进而得到abc＜0，结论①错误；由抛物线与x轴的交点为（3，0）及对称轴为x=1，利用对称性得到抛物线与x轴另一个交点为（﹣1，0），进而得到方程ax2+bx+c=0的两根分别为﹣1和3，结论②正确；由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到2a+b=0，结论③正确；由抛物线的对称轴为直线x=1，得到对称轴右边y随x的增大而减小，对称轴左边y随x的增大而增大，故x大于0小于1时，y随x的增大而增大，结论④错误．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，∴＞0，∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），又对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3，故②正确；
∵对称轴为直线x=1，∴=1，即2a+b=0，故③正确；
∵由函数图像可得：当0＜x＜1时，y随x的增大而增大；
当x＞1时，y随x的增大而减小，故④错误；
故答案为②③．
【点拨】此题考查了二次函数图像与系数的关系，以及抛物线与x轴的交点，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线的开口方向决定，c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定，b的符号由a及对称轴的位置决定，抛物线的增减性由对称轴与开口方向共同决定，当抛物线开口向上时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大；当抛物线开口向下时，对称轴左边y随x的增大而增大，对称轴右边y随x的增大而减小．此外抛物线解析式中y=0得到一元二次方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标．
34．③④
【详解】
由抛物线的开口向下，可得a＜0；由与y轴的交点为在y轴的正半轴上，可得c＞0；因对称轴为x==1，得2a=-b，可得a、b异号，即b＞0，即可得abc＜0，所以①错误；
观察图像，根据抛物线与x轴的交点可得，当x=-1时，y＜0，所以a-b+c＜0，即b＞a+c，所以②错误；
观察图像，抛物线与x轴的一个交点的横坐标在-1和0之间，根据对称轴为x==1可得抛物线与x轴的一个交点的横坐标在2和3之间，由此可得当x=2时，函数值是4a+2b+c＞0，所以③正确；
由抛物线与x轴有两个交点，可得b2-4ac＞0，所以④正确．综上，正确的结论有③④.
【点拨】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与系数的关系：
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；还可以决定开口大小，越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）
③常数项c决定抛物线与y轴交点， 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
35．②③．
【分析】
根据二次函数图像的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．
【详解】
由图像可知，抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴右侧，a、b异号，b＞0，与y轴交于正半轴，c＞0，所以abc＜0，因此①是错误的；
当y＝0时，抛物线与x轴交点的横坐标就是ax2+bx+c＝0的两根，由图像可得x1＝﹣1，x2＝3；因此②正确；
对称轴为x＝1，即﹣＝1，也就是2a+b＝0；因此③正确，
∵a＜0，a2＞0，b＞0，c＞0，
∴4a2+2b+c＞0，因此④是错误的，
故答案为：②③．
【点拨】此题考查二次函数的图像和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．
36．①②④
【分析】
根据抛物线的对称轴判断①，根据抛物线与x轴的交点坐标判断②，根据函数图像判断③④⑤．
【详解】
解：∵对称轴是x=-=1，
∴ab＜0，①正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），
∴方程x2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3，②正确；
∵当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，③错误；
由图像可知，当x＞1时，y随x值的增大而增大，④正确；
当y＞0时，x＜-1或x＞3，⑤错误，
故答案为①②④．
【点拨】本题考查的是二次函数图像与系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
37．四
【详解】
解：根据图像，由抛物线的对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，根据抛物线开口向下得到a小于0，故b大于0，再利用抛物线与y轴交点在y轴正半轴，得到c大于0，即a＜0，b＞0，c＞0．
因此，由于函数y=bx+c的，，故它的图像经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故答案为：四
【点拨】本题考查二次函数和一次函数的性质，一次函数图像与系数的关系：对于，函数，①当，时，函数的图像经过第一、二、三象限；②当，时，函数的图像经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图像经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图像经过第二、三、四象限．
38．
【分析】
关键是从图像上找出两函数图像交点坐标，再根据两函数图像的上下位置关系，判断y2＞y1时，x的取值范围．
【详解】
从图像上看出，两个交点坐标分别为
∴当有时，有-2＜x＜1，
故答案为-2＜x＜1．
【点拨】此题考查了学生从图像中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图像的变化趋势．
39．0＜a＜1．
【分析】
求得直线y＝﹣x+2，当x＝3时的函数值为﹣1，根据题意当x＝3时，抛物线的函数值小于1，得到关于a的不等式，解不等式即可求得a的取值范围．
【详解】
解：直线y＝﹣x+2中，当x＝3时，y＝﹣x+2＝﹣1，
∵A（m，n）关于x轴的对称点始终在直线y＝﹣x+2的上方，
∴当x＝3时，n＜1，
∴9a﹣3（a+1）﹣2＜1，
解得a＜1，
又∵a＞0，
∴a的取值范围是0＜a＜1，
故答案为：0＜a＜1．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，一次函数图像上点的坐标特征，根据题意得到关于a的不等式是解题的关键．
40．x=-
【分析】
根据一次函数的图像上点的坐标特征，把、、代入两个解析式，且利用和时，的值相等，从而建立方程组求出、的关系式，然后利用二次函数对称轴直线公式求解即可．
【详解】
如图可知，当时，，得
当时，
①当时，②当且
②-①得
∴
∴
由二次函数的性质可知，其对称轴为直线
故答案为：直线
【点拨】本题主要考查二次函数的性质、一次函数图像上点的坐标特征，解题关键是根据一次函数图像建立方程组，求出、的等量关系式．
41．①②③④
【分析】
根据抛物线的开口方向、与y轴的交点和对称轴即可求出a、b、c的符号，从而判断①；然后根据抛物线与x轴的交点个数即可判断②；根据抛物线对称轴公式即可判断③；根据当x=-1时，y＞0，代入即可判断④；利用抛物线的对称性可得当x＝﹣3时，y＜0，然后代入即可判断⑤．
【详解】
解：由图像可知：a＜0，c＞0，
又∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴根据对称轴在y轴左侧，a，b同号，可得b＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
∴4ac＜b2，
故②正确；
∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0，
故③正确；
∵当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
故④正确；
∵对称轴是直线x＝﹣1，且由图像可得：当x＝1时，y＜0，
∴当x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，
故⑤错误．
综上，正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
【点拨】此题考查的是二次函数的图像及性质，掌握二次函数的图像及性质与各项系数的关系是解决此题的关键．
42．①③④⑥
【分析】
①由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴位置确定b的符号，可对①作判断；
②根据a和c的符号可得：a-c<0，根据b的符号可作判断；
③根据对称性可得：当x=2时，y>0，可作判断；
④根据对称轴为：x=1可得：a=-b，结合x=-1时，y<0，可作判断；
⑤根据顶点坐标的纵坐标为最大值可作判断；
⑥根据2a+b=0和c>0可作判断．
【详解】
解：①∵该抛物线开口方向向下，∴a<0.
∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴b>0；
∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，
∴abc<0；
故①正确；
②∵a<0，c>0，∴a−c<0，
∵b>0，∴b>a−c，
故②错误；
③根据抛物线的对称性知，当x=2时，y>0，即4a+2b+c>0；故③正确；
④∵对称轴方程x=−=1，∴b=−2a，∴a=−b，
∵当x=−1时，y=a−b+c<0，∴−b+c<0，
∴2c<3b，
故④正确；
⑤∵x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，
x=1对应的函数值为y=a+b+c，
又x=1时函数取得最大值，
∴当m≠1时,a+b+c>am2+bm+c,即a+b>am2+bm=m(am+b)，
故⑤错误；
⑥∵b=−2a，∴2a+b=0，
∵c>0，
∴2a+b+c>0，
故⑥正确.
综上所述，其中正确的结论的有：①③④⑥.
故答案为①③④⑥.
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系.
43．①③④
【解析】
由图像可知：
抛物线与x轴有两个交点，则
∴①正确；
抛物线开口向上，
∴
抛物线与y轴交于y轴的负半轴，
∴
对称轴
∴
∴
∴②错误；
当时，由图像可知
即
∵
∴
即
∴③正确；
当时，由图像可知
∵对称轴为
∴与时的函数值相等
∴当时，
即
∴④正确.
故答案为①③④.
点晴：此类问题主要考查二次函数的相关知识，综合性强，难度较大．解决这类问题不但要熟练掌握二次函数的图像、性质、二次函数与一元二次方程等知识，还要善于挖掘和利用图形中隐藏的条件（如当时， ，当时， 等）来解决问题.
44．②④．
【分析】
根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线对称轴为直线x=-=-1得到b=2a，则b＞0，根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，所以abc＜0；由x=，y=0，得到a+b+c=0，即a+2b+4c=0；由a=b，a+b+c＞0，得到b+2b+c＞0，即3b+2c＞0；由x=-1时，函数最大小，则a-b+c＜m2a-mb+c（m≠1），即a-b≤m（am-b）．
【详解】
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x=-=-1，
∴b=2a，则2a-b=0，所以③错误；
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵x=时，y=0，
∴a+b+c=0，即a+2b+4c=0，所以②正确；
∵a=b，a+b+c＞0，
∴b+2b+c＞0，即3b+2c＞0，所以④正确；
∵x=-1时，函数最大小，
∴a-b+c＜m2a-mb+c（m≠1），
∴a-b≤m（am-b），所以⑤错误．
故答案为②④．
【点拨】本题考查二次函数图像与系数的关系．
45．3
【分析】
根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案．
【详解】
由点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y=a（x﹣1）2+h上，得：（﹣1，4）与（m，4）关于对称轴x=1对称，m﹣1=1﹣（﹣1），解得：m=3．
故答案为3．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，利用函数值相等两点关于对称轴对称得出m﹣1=1﹣（﹣1）是解题的关键．
46．-4
【解析】
【分析】
利用二次函数y＝ax 2 ＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线x＝－ ，即可解得．
【详解】
解：因为抛物线y＝ax 2 ＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线x＝－ ，
所以 ＝1,
b＝－4,
故答案为－4
【点拨】本题考查二次函数的对称轴，熟记公式是解题关键.
47．4
【分析】
由S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE，即可求解．
【详解】
令y＝0，则：x＝±1，令x＝0，则y＝2，
则：OB＝1，BD＝2，OB＝2，
S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE＝2×2＝4．
故：答案为4．
【点拨】本题考查的是抛物线性质的综合运用，确定S阴影部分图形＝S四边形BDFE是本题的关键．
48．
【分析】
根据抛物线对称轴是直线及两点关于对称轴直线对称求出点B的坐标即可.
【详解】
解：∵抛物线与 轴交于两点，且点 的坐标为，抛物线的对称轴为直线
∴点B的横坐标为
即点B的坐标为
【点拨】本题考查抛物线的对称性，利用数形结合思想确定关于直线对称的点的坐标是本题的解题关键.
49．1 5
【详解】
二次函数配方，得：，所以，当x＝1时，y有最小值5，
故答案为1，5.
50．10
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．
【详解】
∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴该函数开口向上，对称轴为x＝2，
∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，
∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10，
故答案为：10．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
51． +
【分析】
根据抛物线解析式求得点D（1，4）、点E（2，3），作点D关于y轴的对称点D′（-1，4）、作点E关于x轴的对称点E′（2，-3），从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案．
【详解】
解：如图，
在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，即点C（0，3），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为x＝1，顶点D（1，4），
则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，3），
作点D关于y轴的对称点D′（﹣1，4），作点E关于x轴的对称点E′（2，﹣3），
连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，
四边形EDFG的周长＝DE+DF+FG+GE
＝DE+D′F+FG+GE′
＝DE+D′E′
＝.
∴四边形EDFG的周长的最小值为： +．
故答案是： +．
【点拨】本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、G的位置是解题的关键．
52．
【解析】
【分析】
根据题意作出合适的辅助线，然后求出点B的坐标，从而可以求得二次函数解析式，然后求出点A的坐标，进而求得A′的坐标，从而可以求得直线A′B的函数解析式，进而求得与x轴的交点，从而可以解答本题．
【详解】
解：如图，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，则A′B与x轴的交点即为所求，
∵抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与反比例函数的图像相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0，6），
∴点B（3，3），
∴，
解得：
∴y＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，
∴点A的坐标为（2，2），
∴点A′的坐标为（2，﹣2），
设过点A′（2，﹣2）和点B（3，3）的直线解析式为y＝mx+n，
解得：，
∴直线A′B的函数解析式为y＝5x﹣12，
令y＝0，则0＝5x﹣12得x＝，
故答案为（，0）．
【点拨】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
53．
【分析】
根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为：，并将表中的点(-1，0)、(0，3)、(1，4)、(3，0)任取三个点带入函数关系式，求出二次项系数、一次项系数、常数项即可求得答案．
【详解】
解：根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为：，并将表中(-1，0)、(0，3)、(1，4)三个点带入函数关系式，得：
解得：，
∴函数的表达式为：．
故答案为：．
【点拨】本题考查了函数的表达式，解题的关键是掌握函数的三种表达方式：列表法、解析式法、图像法，本题就是将列表法转变为解析式法．
54．
【分析】
根据平行四边形的性质得到CD=AB=4，即C点坐标为，进而得到A点坐标为，B点坐标为，利用待定系数法即可求得函数解析式．
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形
∴CD=AB=4
∴C点坐标为
∴A点坐标为，B点坐标为
设函数解析式为，代入C点坐标有
解得
∴函数解析式为，即
故答案为．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，和待定系数法求二次函数解析式，问题的关键是求出A点或B点的坐标．
55．．
【分析】
由对称轴公式可求解参数b，再代入（3,0）即可求解参数c．
【详解】
解：由题意得：
=1，解得b=2；
代入点坐标（3,0），则0=-9+6+c，解得c=3；
故答案为：．
【点拨】本题考查了用待定系数法求解二次函数解析式．
56．y=-x2+x+4
【分析】
先计算出AC=5，再证明CB=CA=5，则B（5，4），然后利用待定系数法求抛物线解析式．
【详解】
解：∵抛物线y=ax2+bx+4与y轴交于点C，
∴C（0，4），
∴OC=4，
∵A（-3，0），
∴OA=3，
∴AC=5，
∵AB平分∠CAO，
∴∠BAC=∠BAO，
∵BC∥x轴，
∴∠CBA=∠BAO，
∴∠BAC=∠CBA，
∴CB=CA=5，
∴B（5，4）．
把A（-3，0）、B（5，4）代入y=ax2+bx+4，
得，解得，
∴抛物线解析式为y=-x2+x+4．
故答案为y=-x2+x+4．
【点拨】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特征，平行线的性质，等腰三角形的判定．求出B点坐标是解题的关键．x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
……
……
……
……
知识点一、二次函数性质综合
1．已知抛物线y=-x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．对于二次函数,下列说法正确的是（ ）
A．当x>0，y随x的增大而增大
B．当x=2时，y有最大值－3
C．图像的顶点坐标为（－2，－7）
D．图像与x轴有两个交点
3．二次函数的图像是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向下B．抛物线与轴有两个交点
C．抛物线的对称轴是直线=1D．抛物线经过点（2,3）
4．对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1：③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞-1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
知识点二、二次函数图像与各项系数符号
5．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．函数y=x2+bx+c与y=x的图像如图所示，有以下结论：
①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确的个数为
A．1B．2C．3D．4
7．二次函数的图像如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图像的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则
①二次函数的最大值为a+b+c；
②a﹣b+c＜0；
③b2﹣4ac＜0；
④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
知识点三、一次函数、二次函数图像综合判断
9．如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
10．在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是
A．B．C．D．
11．已知是非零实数，，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图像不可能是（ ）
A．B．C．D．
12．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（ ）．
A．B．C．D．
知识点四、根据二次函数图像判断代数式符号
如图，已知二次函数的图像如图所示，有下列5个结论 ；；；；的实数其中正确结论的
有
A．B．C．D．
14．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．B．4ac-b2＞0
C．3a+c=0D．ax2+bx+c=n+1无实数根
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
16．已知二次函数的图像如图所示，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
知识点五、二次函数图像的对称性
17．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图，下列结论正确的是( )
A．a<0B．b2－4ac<0C．当－1
18．二次函数图像上部分点的坐标对应值列表如下：
则该函数图像的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣3B．直线x＝﹣2C．直线x＝﹣1D．直线x＝0
19．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（ ）
A．b2＞4ac
B．ax2+bx+c≥﹣6
C．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1
20．在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣x的图像上有三点（x1，m）、（x2，m）、（x3，m），则x1+x2+x3的结果是（ ）
A．B．0C．1D．2
知识点六、二次函数图像的最值
21．关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．若将图像向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点，则
B．当时，y有最小值
C．对应的函数值比最小值大7
D．当时，图像与x轴有两个不同的交点
22．已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若，则m的取值范围是（ ）
A．m≥B．≤m≤3C．m≥3D．1≤m≤3
23．已知抛物线y=ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴x=1上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①2a+b=0，②x=3是ax2+bx+3=0的一个根，③△PAB周长的最小值是+3．其中正确的是（ ）
A．①②③B．仅有①②C．仅有①③D．仅有②③
24．如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，P为此抛物线对称轴l上任意一点，则△APC的周长的最小值是（ ）
A．2B．3C．5D． +
知识点七、二次函数的解析式
25．抛物线y=ax2+bx+c经过点（3，0）和（2，﹣3），且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（ ）
A．y=﹣x2﹣2x﹣3B．y=x2﹣2x﹣3C．y=x2﹣2x+3D．y=﹣x2+2x﹣3
26．一个二次函数的图像的顶点坐标为，与轴的交点，这个二次函数的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
27．如图是某个二次函数的图像，根据图像可知，该二次函数的表达式是（ ）
A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2﹣x+2 C．y=﹣x2﹣x+1 D．y=﹣x2+x+2
28．如图，抛物线的表达式是（ ）
y＝x2－x＋2 B．y＝x2＋x＋2
C．y＝－x2－x＋2 D．y＝－x2＋x＋2
填空题
知识点一、二次函数性质综合
29．下列关于二次函数（为常数）的结论，①该函数的图像与函数的图像形状相同；②该函数的图像一定经过点；③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图像的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是__________．
30．二次函数y＝3x2+1和y＝3（x﹣1）2，以下说法：
①它们的图像开口方向、大小相同；
②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，1）；
③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；
④它们与坐标轴都有一个交点；
其中正确的说法有_____．
31．对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法：①最小值为2；②图像的顶点是(3，2)；③图像与x轴没有交点；④当x＜－1时，y随x的增大而增大．其中正确的是____．
32．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表
下列结论：
①ac＜0； ②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；
③当x=2时，y=5； ④3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根.
其中正确的结论是_________（填正确结论的序号）.
知识点二、二次函数图像与各项系数符号
33．已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的有_____．
①abc＞0
②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3
③2a+b=0
④当x＞0时，y随x的增大而减小
34．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论有_____．（填序号）
35．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图像如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论：
①abc＞0；
②方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3；
③2a+b＝0；
④4a2+2b+c＜0，
其中正确结论的序号为_____．
36．二次函数的图像如图所示，给出下列说法：
①；②方程的根为，；③；④当时，随值的增大而增大；⑤当时，．其中，正确的说法有________（请写出所有正确说法的序号）．
知识点三、一次函数、二次函数图像综合判断
37．二次函数y=﹣x2+bx+c的图像如图所示，则一次函数y=bx+c的图像不经过第___象限．
38．如图是二次函数和一次函数的图像，当，的取值范围是________．
39．平面直角坐标系中，点A（m，n）为抛物线y＝ax2﹣（a+1）x﹣2（a＞0）上一动点，当0＜m≤3时，点A关于x轴的对称点始终在直线y＝﹣x+2的上方，则a的取值范围是_____．
40．直线y=ax+m和直线y=bx+n在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为______．
知识点四、根据二次函数图像判断代数式符号
41．二次函数y＝ax2+bx+c的图像如图，对称轴是直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a﹣b＝0；④a﹣b+c＞0；⑤9a﹣3b+c＞0．其中正确的结论有_____．
42．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像如图，有下列6个结论：
①abc＜0；
②b＜a﹣c；
③4a+2b+c＞0；
④2c＜3b；
⑤a+b＜m（am+b），（m≠1的实数）
⑥2a+b+c＞0，其中正确的结论的有_____．
43．已知二次函数()的图像如上图所示，给出4个结论：①；②；③；④．其中正确的是__________ (把正确结论的序号都填上)．
44．如图，二次函数的图像经过点，对称轴为直线，下列5个结论：①； ②； ③；④； ⑤，其中正确的结论为________________．（注：只填写正确结论的序号）
知识点五、二次函数图像的对称性
45．如果点A（－1，4）、B（m，4）在抛物线y＝a（x－1）2+h上，那么m的值为_____．
46．已知抛物线的对称轴是直线，那么的值等于________．
47．如图，抛物线y＝﹣2x2+2与x轴交于点A、B，其顶点为E．把这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，C2的顶点为F，连结EF．则图中阴影部分图形的面积为______．
已知抛物线与 轴交于两点，若点 的坐标为，抛物线的对称轴为直线 ，则点的坐标为__________．
知识点六、二次函数图像的最值
49．当 __________时，二次函数 有最小值___________.
50．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____．
51．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为_____．
52．如图，已知抛物线与反比例函数的图像相交于B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0，6），A是抛物线的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为_____．
知识点七、二次函数的解析式
53．下表中与的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表达式为__________．
54．如图，平行四边形ABCD中，，点的坐标是，以点为顶点的抛物线经过轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为__________________．
55．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为（3，0），那么它对应的函数解析式是__．
56．如图，抛物线y＝ax2+bx+4 经过点A（﹣3，0），点 B 在抛物线上，CB∥x轴，且AB 平分∠CAO．则此抛物线的解析式是___________．
参考答案
1．B
【分析】
根据a确定抛物线的开口方向；令y=0解方程得到与x轴的交点坐标；根据抛物线的对称轴、顶点坐标以及平移的性质，对各小题分析判断后即可得解．
【详解】
①∵a=-1＜0，∴抛物线开口向下，故本小题错误；
②令y=0，则-x2+1=0，解得x1=1，x2=-1，所以，抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0），故本小题正确；
③抛物线的对称轴=0，是y轴，故本小题正确；
④抛物线的顶点坐标是（0，1），故本小题正确；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到，故本小题正确；
综上所述，正确的有②③④⑤共4个．
故选B．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数图像与系数关系是关键.
2．B
【详解】
二次函数,
所以二次函数的开口向下，当x＜2，y随x的增大而增大，选项A错误；
当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B正确；
顶点坐标为（2，-3），选项C错误；
顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，
故答案选B.
考点：二次函数的性质.
3．B
【详解】
A、a=2，则抛物线y=2x2-3的开口向上，所以A选项错误；
B、当y=0时，2x2-3=0，此方程有两个不相等的实数解，即抛物线与x轴有两个交点，所以B选项正确；
C、抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；
D、当x=2时，y=2×4-3=5，则抛物线不经过点（2，3），所以D选项错误，
故选B．
4．C
【解析】
试题分析：①∵a=﹣＜0，
∴抛物线的开口向下，正确；
②对称轴为直线x=﹣1，故本小题错误；
③顶点坐标为（﹣1，3），正确；
④∵x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∴x＞1时，y随x的增大而减小一定正确；
综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．
故选C．
考点：二次函数的性质
5．D
【分析】
由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
①∵抛物线对称轴是y轴的右侧，
∴ab＜0，
∵与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵a＞0，x=﹣＜1，
∴﹣b＜2a，
∴2a+b＞0，
故②正确；
③∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
故③正确；
④当x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
故④正确．
故选D．
【点拨】本题主要考查了图像与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
6．B
【详解】
分析：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4c＜0；故①错误．
当x=1时，y=1+b+c=1，故②错误．
∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0．故③正确．
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．
综上所述，正确的结论有③④两个，故选B．
7．C
【分析】
①由抛物线开口方向得到，对称轴在轴右侧，得到与异号，又抛物线与轴正半轴相交，得到，可得出，选项①错误；
②把代入中得，所以②正确；
③由时对应的函数值，可得出，得到，由，，，得到，选项③正确；
④由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，即可得到④正确．
【详解】
解：①∵抛物线开口向上，∴，
∵抛物线的对称轴在轴右侧，∴，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，①错误；
②当时，，∴，
∵，∴，
把代入中得，所以②正确；
③当时，，∴，
∴，
∵，，，
∴，即，所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线，
∴时，函数的最小值为，
∴，
即，所以④正确．
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点．
8．B
【详解】
分析：直接利用二次函数图像的开口方向以及图像与x轴的交点，进而分别分析得出答案．
详解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图像的对称轴为x=1，且开口向下，
∴x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；
②当x=﹣1时，a﹣b+c=0，故②错误；
③图像与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；
④∵图像的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），
∴A（3，0），
故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确．
故选B．
点睛：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键．
9．B
【详解】
分析：可先根据一次函数的图像判断a的符号，再判断二次函数图像与实际是否相符，判断正误即可．
详解：A．由一次函数y=ax﹣a的图像可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图像应该开口向下．故选项错误；
B．由一次函数y=ax﹣a的图像可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图像应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确；
C．由一次函数y=ax﹣a的图像可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图像应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；
D．由一次函数y=ax﹣a的图像可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图像应该开口向上．故选项错误．
故选B．
点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图像，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
10．C
【分析】
x=0，求出两个函数图像在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图像经过第一三象限，从而得解．
【详解】
x=0时，两个函数的函数值y=b，
所以，两个函数图像与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；
由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，
所以，a＞0，
所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，
所以，A选项错误，C选项正确．
故选C．
11．D
【分析】
根据二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）可以求得它们的交点坐标为（﹣，0）或点（1，a+b），然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图像可以判断a、b的正负情况，进一步即可判断﹣与a+b的正负情况，进而可得答案．
【详解】
解：解方程组：，得：或，
故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（﹣，0）或点（1，a+b）．
在A选项中，由一次函数图像可知a＞0，b＞0，二次函数图像可知，a＞0，b＞0，∴﹣＜0，a+b＞0，故选项A有可能；
在B选项中，由一次函数图像可知a＞0，b＜0，二次函数图像可知，a＞0，b＜0，∴﹣＞0，由|a|＞|b|，则a+b＞0，故选项B有可能；
在C选项中，由一次函数图像可知a＜0，b＜0，二次函数图像可知，a＜0，b＜0，∴﹣＜0，a+b＜0，故选项C有可能；
在D选项中，由一次函数图像可知a＜0，b＞0，二次函数图像可知，a＜0，b＞0，∴﹣＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D不可能．
故选D．
【点拨】本题考查二次函数的图像、一次函数的图像，解题的关键是熟练掌握二次函数与一次函数图像的性质．
12．D
【详解】
试题分析：A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误；
B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；
C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；
D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，
故选D．
考点：1．二次函数的图像；2．一次函数的图像．
13．B
【分析】
由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断即可．
【详解】
对称轴在y轴的右侧，
，
由图像可知：，
，故不正确；
当时，，
，故正确；
由对称知，当时，函数值大于0，即，故正确；
，
，
，
，
，故不正确；
当时，y的值最大此时，，
而当时，，
所以，
故，即，故正确，
故正确，
故选B．
【点拨】本题考查了图像与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．
14．B
【分析】
根据函数图像确定a、b、c的符号判断A；根据抛物线与x轴的交点判断B；利用抛物线的对称轴得到b=2a，再根据抛物线的对称性求得c=-3a即可判断C；利用抛物线的顶点坐标判断抛物线与直线y=n+1即可判断D．
【详解】
由函数图像知a<0， c>0，由对称轴在y轴左侧，a与b同号，得b<0，故abc>0，选项A正确；
二次函数与x轴有两个交点，故∆=，则选项B错误，
由图可知二次函数对称轴为x=-1，得b=2a，
根据对称性可得函数与x轴的另一交点坐标为(1，0)，
代入解析式y=ax2+bx+c可得c=-3a，
∴3a+c=0，选项C正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（-1，n），
∴抛物线与直线y=n+1没有交点，故D正确；
故选：B．
【点拨】此题考查抛物线的性质，抛物线的图像与点坐标，抛物线的对称性，正确理解和掌握y=ax2+bx+c型抛物线的性质及特征是解题的关键．
15．B
【分析】
先由抛物线与x轴的交点个数判断出结论①，先由抛物线的开口方向判断出a＜0，进而判断出b＞0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c＞0，判断出结论②，利用抛物线的对称轴为x＝2，判断出结论③，最后用x＝﹣2时，抛物线在x轴下方，判断出结论④，即可得出结论．
【详解】
解：由图像知，抛物线与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确，
由图像知，抛物线的对称轴直线为x＝2，
∴﹣＝2，
∴4a+b＝0，故③正确，
由图像知，抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵4a+b＝0，
∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②正确，
由图像知，当x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，
即正确的结论有3个，
故选：B．
【点拨】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知各系数与图像的关系．
16．C
【分析】
根据图像可直接判断a、c的符号，再结合对称轴的位置可判断b的符号，进而可判断①；
抛物线的图像过点（3，0），代入抛物线的解析式可判断②；
根据抛物线顶点的位置可知：顶点的纵坐标小于－2，整理后可判断③；
根据图像可知顶点的横坐标大于1，整理后再结合③的结论即可判断④.
【详解】
解：①由图像可知：，，由于对称轴，∴，∴，故①正确；
②∵抛物线过，∴时，，故②正确；
③顶点坐标为：.由图像可知：，∵，∴，即，故③错误；
④由图像可知：，，∴，
∵，∴，
∴，故④正确；
故选：C．
【点拨】本题考查了抛物线的图像与性质和抛物线的图像与其系数的关系，熟练掌握抛物线的图像与性质、灵活运用数形结合的思想方法是解题的关键.
17．D
【详解】
试题分析：根据二次函数的图像和性质进行判断即可.
解：∵抛物线开口向上，
∴
∴A选项错误，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴
∴B选项错误，
由图像可知，当－1
由抛物线的轴对称性及与x轴的两个交点分别为（－1，0）和（3，0）可知对称轴为
即－＝1，
∴D选项正确，
故选D.
18．B
【分析】
根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．
【详解】
解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2．
故选B．
【点拨】本题考查二次函数的图像．
19．C
【分析】
根据二次函数图像与系数的关系，二次函数和一元二次方程的关系进行判断.
【详解】
A、图像与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，b2﹣4ac＞0所以b2＞4ac，故A选项正确；
B、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为﹣6，所以ax2+bx+c≥﹣6，故B选项正确；
C、抛物线的对称轴为直线x=﹣3，因为﹣5离对称轴的距离大于﹣2离对称轴的距离，所以m＜n，故C选项错误；
D、根据抛物线的对称性可知，（﹣1，﹣4）关于对称轴的对称点为（﹣5，﹣4），所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1，故D选项正确．
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合是解题的关键.
20．D
【分析】
根据二次函数的对称性和一次函数图像上点的坐标特征即可求得结果．
【详解】
解：如图，在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣x的图像上有三点A（x1，m）、B（x2，m）、C（x3，m），
∵y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）
∴抛物线的对称轴为直线x＝m+1，
∴＝m+1，
∴x2+x3＝2m+2，
∵A（x1，m）在直线y＝﹣x上，
∴m＝﹣x1，
∴x1＝﹣2m，
∴x1+x2+x3＝﹣2m+2m+2＝2，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的对称性和一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合思想画出函数图形．
21．C
【分析】
求出二次函数平移之后的表达式，将（4，5）代入，求出a即可判断A；将函数表达式化为顶点式，即可判断B；求出当x=2时的函数值，减去函数最小值即可判断C；写出函数对应方程的根的判别式，根据a值判断判别式的值，即可判断D.
【详解】
解：A、将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，
表达式为：=，
若过点（4，5），
则，解得：a=-5，故选项正确；
B、∵，开口向上，
∴当时，y有最小值，故选项正确；
C、当x=2时，y=a+16，最小值为a-9，a+16-（a-9）=25，即对应的函数值比最小值大25，故选项错误；
D、△==9-a，当a＜0时，9-a＞0，即方程有两个不同的实数根，即二次函数图像与x轴有两个不同的交点，故选项正确，
故选C.
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，涉及到二次函数的基本知识点，解题的关键是掌握二次函数的性质，以及与一元二次方程的关系.
22．A
【分析】
当x2时，y值随x值的增大而增大，得由抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，M的纵坐标为t，，得，分三种情况讨论，当对称轴在y轴的右侧时，有＞即＜ 当对称轴是y轴时，有 当对称轴在y轴的左侧时，有＞从而可得结论．
【详解】
解：当对称轴在y轴的右侧时，
，
由①得：＜
由②得：
由③得：
解得：＜3，
当对称轴是y轴时，
m＝3，符合题意，
当对称轴在y轴的左侧时，
解得m＞3，
综上所述，满足条件的m的值为．
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数图形与系数的关系，二次函数图像上的点的坐标特征，解不等式组，解题的关键是理解题意，学会利用对称轴的位置进行分类讨论思考问题．
23．A
【分析】
①根据对称轴方程求得a、b的数量关系；
②根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是3；
③利用两点间直线最短来求△PAB周长的最小值．
【详解】
①根据图像知，对称轴是直线x=-=1，则b=-2a，即2a+b=0，故①正确；
②根据图像知，点A的坐标是（-1，0），对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），所以x=3是ax2+bx+3=0的一个根，故②正确；
③如图所示，点A关于x=1对称的点是A′，即抛物线与x轴的另一个交点，
连接BA′与直线x=1的交点即为点P，则△PAB周长的最小值是（BA′+AB）的长度，
∵B（0，3），A′（3，0），
∴BA′=3．即△PAB周长的最小值是3+，
故③正确．
综上所述，正确的结论是：①②③．
故选A．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像的性质以及两点之间直线最短．解答该题时，充分利用了抛物线的对称性．
24．B
【分析】
作点C关于直线l的对称点C′，连接AC′交直线l于P，连接PC，则△APC的周长的最小，根据抛物线的对称性、二次函数与一元二次方程的关系计算即可．
【详解】
作点C关于直线l的对称点C′，连接AC′交直线l于P，连接PC，则△APC的周长的最小，
由抛物线的对称性可知，点C′在抛物线上，
当x=0时，y=2，
∴点C的坐标为（0，2），
∴点C′的纵坐标为2，
2=﹣x2+x+2，
解得，x1=0，x2=3，
则点C′的横坐标为3，
﹣x2+x+2=0，
x1=-1，x2=4，
则点A的坐标为（-1，0），
∴AC′==2，AC==，
∴△APC的周长的最小值是3，
故选B．
【点拨】本题考查的是抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系、正确利用轴对称作出点P是解题的关键．
25．B
【详解】
试题分析：把已知两点坐标代入抛物线解析式，再由对称轴公式列出关系式，联立求出a，b，c的值，即可确定出解析式．
解：把(3,0)与(2,−3)代入抛物线解析式得：
，
由直线x=1为对称轴,得到=1，即b=−2a，
代入方程组得：，
解得：a=1，b=−2，c=−3，
则抛物线解析式为y=x2−2x−3，
故选B.
26．B
【分析】
由于已知顶点坐标，则可设顶点式y=a（x﹣3）2﹣1，然后把（0，﹣4）代入求出a的值即可得到抛物线解析式．
【详解】
解:设抛物线解析式为y=a（x﹣3）2﹣1，把（0，﹣4）代入得：a•（﹣3）2﹣1=﹣4，解得：a=﹣，所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣3）2﹣1=﹣x2+2x﹣4．
故选B．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
27．D
【分析】
根据开口方向、顶点坐标、对称轴逐项分析即可.
【详解】
A、由图像可知开口向下,故a＜0, 故A错误；
B、抛物线过点（﹣1,0）,（2,0）,根据抛物线的对称性,顶点的横坐标是,
而的顶点横坐标是﹣, 故B错误；
C、的顶点横坐标是﹣, 故C错误；
D、的顶点横坐标是,并且抛物线过点（﹣1,0）,（2,0），故D正确．
故选D.
【点拨】本题考察了二次函数的图像和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下；其对称轴是直线：；若抛物线与轴的两个交点是A(x1，0)，B(x2，0)，则抛物线的对称轴是：.
28．D
【分析】
根据题意，把抛物线经过的三点代入函数的表达式，列出方程组，解出各系数则可．
【详解】
解：根据题意，设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，
抛物线过（-1，0），（0，2），（2，0），
所以，
解得a=-1，b=1，c=2，
这个二次函数的表达式为y=-x2+x+2．
故选D
【点拨】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，是比较常见的题目．
29．①②④
【分析】
①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图像形状相同；②求出当时，y的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函数的顶点坐标，再代入函数进行验证即可得．
【详解】
当时，将二次函数的图像先向右平移m个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图像；当时，将二次函数的图像先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图像
该函数的图像与函数的图像形状相同，结论①正确
对于
当时，
即该函数的图像一定经过点，结论②正确
由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
则结论③错误
的顶点坐标为
对于二次函数
当时，
即该函数的图像的顶点在函数的图像上，结论④正确
综上，所有正确的结论序号是①②④
故答案为：①②④．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．
30．①
【分析】
根据二次函数图像的特点得出答案
【详解】
①因为y=3（x﹣1）2打开括号可知二次项系数为3与y=3x2+1的二次项系数相同，所以开口向上且大小相同①正确.②y=3（x﹣1）2的对称轴是x=1所以错误.③y=3（x﹣1）2的开口向上且对称轴是x=1，所以当0＜x＜1时函数值y随x的增大而减小，所以错误.④y=3（x﹣1）2与坐标轴有两个交点，所以错误.
【点拨】熟练掌握二次函数图像的特点是解该题的关键.
31．①③
【详解】
根据二次函数的性质，对于二次函数y=3x2+2,可得①最小值为2,正确;②图像的顶点是(0,2)，错误；③图像与x轴没有交点，正确；④当x<−1时，y随x的增大而减小，错误；
故答案为①③
32．①③④．
【解析】试题解析：∵x=-1时y=-1，x=0时，y=3，x=1时，y=5，
∴{a-b+c＝-1c＝3a+b+c＝5，
解得{a＝-1b＝3c＝3，
∴y=-x2+3x+3，
∴ac=-1×3=-3＜0，故①正确；
对称轴为直线x=-32×（-1）=32，
所以，当x＞32时，y的值随x值的增大而减小，故②错误；
当x=2时，y=-4+4+3=3；故③正确.
方程为-x2+2x+3=0，
整理得，x2-2x-3=0，
解得x1=-1，x2=3，
所以，3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一个根，正确，故④正确.
综上所述，结论正确的是①③④．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性，二次函数与不等式，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．
33．②③
【分析】
由函数图像可得抛物线开口向下，得到a＜0，又对称轴在y轴右侧，可得b＞0，根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，得到c＞0，进而得到abc＜0，结论①错误；由抛物线与x轴的交点为（3，0）及对称轴为x=1，利用对称性得到抛物线与x轴另一个交点为（﹣1，0），进而得到方程ax2+bx+c=0的两根分别为﹣1和3，结论②正确；由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到2a+b=0，结论③正确；由抛物线的对称轴为直线x=1，得到对称轴右边y随x的增大而减小，对称轴左边y随x的增大而增大，故x大于0小于1时，y随x的增大而增大，结论④错误．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，∴＞0，∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），又对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3，故②正确；
∵对称轴为直线x=1，∴=1，即2a+b=0，故③正确；
∵由函数图像可得：当0＜x＜1时，y随x的增大而增大；
当x＞1时，y随x的增大而减小，故④错误；
故答案为②③．
【点拨】此题考查了二次函数图像与系数的关系，以及抛物线与x轴的交点，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线的开口方向决定，c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定，b的符号由a及对称轴的位置决定，抛物线的增减性由对称轴与开口方向共同决定，当抛物线开口向上时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大；当抛物线开口向下时，对称轴左边y随x的增大而增大，对称轴右边y随x的增大而减小．此外抛物线解析式中y=0得到一元二次方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标．
34．③④
【详解】
由抛物线的开口向下，可得a＜0；由与y轴的交点为在y轴的正半轴上，可得c＞0；因对称轴为x==1，得2a=-b，可得a、b异号，即b＞0，即可得abc＜0，所以①错误；
观察图像，根据抛物线与x轴的交点可得，当x=-1时，y＜0，所以a-b+c＜0，即b＞a+c，所以②错误；
观察图像，抛物线与x轴的一个交点的横坐标在-1和0之间，根据对称轴为x==1可得抛物线与x轴的一个交点的横坐标在2和3之间，由此可得当x=2时，函数值是4a+2b+c＞0，所以③正确；
由抛物线与x轴有两个交点，可得b2-4ac＞0，所以④正确．综上，正确的结论有③④.
【点拨】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与系数的关系：
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；还可以决定开口大小，越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）
③常数项c决定抛物线与y轴交点， 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
35．②③．
【分析】
根据二次函数图像的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．
【详解】
由图像可知，抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴右侧，a、b异号，b＞0，与y轴交于正半轴，c＞0，所以abc＜0，因此①是错误的；
当y＝0时，抛物线与x轴交点的横坐标就是ax2+bx+c＝0的两根，由图像可得x1＝﹣1，x2＝3；因此②正确；
对称轴为x＝1，即﹣＝1，也就是2a+b＝0；因此③正确，
∵a＜0，a2＞0，b＞0，c＞0，
∴4a2+2b+c＞0，因此④是错误的，
故答案为：②③．
【点拨】此题考查二次函数的图像和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．
36．①②④
【分析】
根据抛物线的对称轴判断①，根据抛物线与x轴的交点坐标判断②，根据函数图像判断③④⑤．
【详解】
解：∵对称轴是x=-=1，
∴ab＜0，①正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），
∴方程x2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3，②正确；
∵当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，③错误；
由图像可知，当x＞1时，y随x值的增大而增大，④正确；
当y＞0时，x＜-1或x＞3，⑤错误，
故答案为①②④．
【点拨】本题考查的是二次函数图像与系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
37．四
【详解】
解：根据图像，由抛物线的对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，根据抛物线开口向下得到a小于0，故b大于0，再利用抛物线与y轴交点在y轴正半轴，得到c大于0，即a＜0，b＞0，c＞0．
因此，由于函数y=bx+c的，，故它的图像经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故答案为：四
【点拨】本题考查二次函数和一次函数的性质，一次函数图像与系数的关系：对于，函数，①当，时，函数的图像经过第一、二、三象限；②当，时，函数的图像经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图像经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图像经过第二、三、四象限．
38．
【分析】
关键是从图像上找出两函数图像交点坐标，再根据两函数图像的上下位置关系，判断y2＞y1时，x的取值范围．
【详解】
从图像上看出，两个交点坐标分别为
∴当有时，有-2＜x＜1，
故答案为-2＜x＜1．
【点拨】此题考查了学生从图像中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图像的变化趋势．
39．0＜a＜1．
【分析】
求得直线y＝﹣x+2，当x＝3时的函数值为﹣1，根据题意当x＝3时，抛物线的函数值小于1，得到关于a的不等式，解不等式即可求得a的取值范围．
【详解】
解：直线y＝﹣x+2中，当x＝3时，y＝﹣x+2＝﹣1，
∵A（m，n）关于x轴的对称点始终在直线y＝﹣x+2的上方，
∴当x＝3时，n＜1，
∴9a﹣3（a+1）﹣2＜1，
解得a＜1，
又∵a＞0，
∴a的取值范围是0＜a＜1，
故答案为：0＜a＜1．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，一次函数图像上点的坐标特征，根据题意得到关于a的不等式是解题的关键．
40．x=-
【分析】
根据一次函数的图像上点的坐标特征，把、、代入两个解析式，且利用和时，的值相等，从而建立方程组求出、的关系式，然后利用二次函数对称轴直线公式求解即可．
【详解】
如图可知，当时，，得
当时，
①当时，②当且
②-①得
∴
∴
由二次函数的性质可知，其对称轴为直线
故答案为：直线
【点拨】本题主要考查二次函数的性质、一次函数图像上点的坐标特征，解题关键是根据一次函数图像建立方程组，求出、的等量关系式．
41．①②③④
【分析】
根据抛物线的开口方向、与y轴的交点和对称轴即可求出a、b、c的符号，从而判断①；然后根据抛物线与x轴的交点个数即可判断②；根据抛物线对称轴公式即可判断③；根据当x=-1时，y＞0，代入即可判断④；利用抛物线的对称性可得当x＝﹣3时，y＜0，然后代入即可判断⑤．
【详解】
解：由图像可知：a＜0，c＞0，
又∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴根据对称轴在y轴左侧，a，b同号，可得b＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
∴4ac＜b2，
故②正确；
∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0，
故③正确；
∵当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
故④正确；
∵对称轴是直线x＝﹣1，且由图像可得：当x＝1时，y＜0，
∴当x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，
故⑤错误．
综上，正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
【点拨】此题考查的是二次函数的图像及性质，掌握二次函数的图像及性质与各项系数的关系是解决此题的关键．
42．①③④⑥
【分析】
①由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴位置确定b的符号，可对①作判断；
②根据a和c的符号可得：a-c<0，根据b的符号可作判断；
③根据对称性可得：当x=2时，y>0，可作判断；
④根据对称轴为：x=1可得：a=-b，结合x=-1时，y<0，可作判断；
⑤根据顶点坐标的纵坐标为最大值可作判断；
⑥根据2a+b=0和c>0可作判断．
【详解】
解：①∵该抛物线开口方向向下，∴a<0.
∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴b>0；
∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，
∴abc<0；
故①正确；
②∵a<0，c>0，∴a−c<0，
∵b>0，∴b>a−c，
故②错误；
③根据抛物线的对称性知，当x=2时，y>0，即4a+2b+c>0；故③正确；
④∵对称轴方程x=−=1，∴b=−2a，∴a=−b，
∵当x=−1时，y=a−b+c<0，∴−b+c<0，
∴2c<3b，
故④正确；
⑤∵x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，
x=1对应的函数值为y=a+b+c，
又x=1时函数取得最大值，
∴当m≠1时,a+b+c>am2+bm+c,即a+b>am2+bm=m(am+b)，
故⑤错误；
⑥∵b=−2a，∴2a+b=0，
∵c>0，
∴2a+b+c>0，
故⑥正确.
综上所述，其中正确的结论的有：①③④⑥.
故答案为①③④⑥.
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系.
43．①③④
【解析】
由图像可知：
抛物线与x轴有两个交点，则
∴①正确；
抛物线开口向上，
∴
抛物线与y轴交于y轴的负半轴，
∴
对称轴
∴
∴
∴②错误；
当时，由图像可知
即
∵
∴
即
∴③正确；
当时，由图像可知
∵对称轴为
∴与时的函数值相等
∴当时，
即
∴④正确.
故答案为①③④.
点晴：此类问题主要考查二次函数的相关知识，综合性强，难度较大．解决这类问题不但要熟练掌握二次函数的图像、性质、二次函数与一元二次方程等知识，还要善于挖掘和利用图形中隐藏的条件（如当时， ，当时， 等）来解决问题.
44．②④．
【分析】
根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线对称轴为直线x=-=-1得到b=2a，则b＞0，根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，所以abc＜0；由x=，y=0，得到a+b+c=0，即a+2b+4c=0；由a=b，a+b+c＞0，得到b+2b+c＞0，即3b+2c＞0；由x=-1时，函数最大小，则a-b+c＜m2a-mb+c（m≠1），即a-b≤m（am-b）．
【详解】
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x=-=-1，
∴b=2a，则2a-b=0，所以③错误；
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵x=时，y=0，
∴a+b+c=0，即a+2b+4c=0，所以②正确；
∵a=b，a+b+c＞0，
∴b+2b+c＞0，即3b+2c＞0，所以④正确；
∵x=-1时，函数最大小，
∴a-b+c＜m2a-mb+c（m≠1），
∴a-b≤m（am-b），所以⑤错误．
故答案为②④．
【点拨】本题考查二次函数图像与系数的关系．
45．3
【分析】
根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案．
【详解】
由点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y=a（x﹣1）2+h上，得：（﹣1，4）与（m，4）关于对称轴x=1对称，m﹣1=1﹣（﹣1），解得：m=3．
故答案为3．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，利用函数值相等两点关于对称轴对称得出m﹣1=1﹣（﹣1）是解题的关键．
46．-4
【解析】
【分析】
利用二次函数y＝ax 2 ＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线x＝－ ，即可解得．
【详解】
解：因为抛物线y＝ax 2 ＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线x＝－ ，
所以 ＝1,
b＝－4,
故答案为－4
【点拨】本题考查二次函数的对称轴，熟记公式是解题关键.
47．4
【分析】
由S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE，即可求解．
【详解】
令y＝0，则：x＝±1，令x＝0，则y＝2，
则：OB＝1，BD＝2，OB＝2，
S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE＝2×2＝4．
故：答案为4．
【点拨】本题考查的是抛物线性质的综合运用，确定S阴影部分图形＝S四边形BDFE是本题的关键．
48．
【分析】
根据抛物线对称轴是直线及两点关于对称轴直线对称求出点B的坐标即可.
【详解】
解：∵抛物线与 轴交于两点，且点 的坐标为，抛物线的对称轴为直线
∴点B的横坐标为
即点B的坐标为
【点拨】本题考查抛物线的对称性，利用数形结合思想确定关于直线对称的点的坐标是本题的解题关键.
49．1 5
【详解】
二次函数配方，得：，所以，当x＝1时，y有最小值5，
故答案为1，5.
50．10
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．
【详解】
∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴该函数开口向上，对称轴为x＝2，
∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，
∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10，
故答案为：10．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
51． +
【分析】
根据抛物线解析式求得点D（1，4）、点E（2，3），作点D关于y轴的对称点D′（-1，4）、作点E关于x轴的对称点E′（2，-3），从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案．
【详解】
解：如图，
在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，即点C（0，3），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为x＝1，顶点D（1，4），
则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，3），
作点D关于y轴的对称点D′（﹣1，4），作点E关于x轴的对称点E′（2，﹣3），
连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，
四边形EDFG的周长＝DE+DF+FG+GE
＝DE+D′F+FG+GE′
＝DE+D′E′
＝.
∴四边形EDFG的周长的最小值为： +．
故答案是： +．
【点拨】本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、G的位置是解题的关键．
52．
【解析】
【分析】
根据题意作出合适的辅助线，然后求出点B的坐标，从而可以求得二次函数解析式，然后求出点A的坐标，进而求得A′的坐标，从而可以求得直线A′B的函数解析式，进而求得与x轴的交点，从而可以解答本题．
【详解】
解：如图，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，则A′B与x轴的交点即为所求，
∵抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与反比例函数的图像相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0，6），
∴点B（3，3），
∴，
解得：
∴y＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，
∴点A的坐标为（2，2），
∴点A′的坐标为（2，﹣2），
设过点A′（2，﹣2）和点B（3，3）的直线解析式为y＝mx+n，
解得：，
∴直线A′B的函数解析式为y＝5x﹣12，
令y＝0，则0＝5x﹣12得x＝，
故答案为（，0）．
【点拨】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
53．
【分析】
根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为：，并将表中的点(-1，0)、(0，3)、(1，4)、(3，0)任取三个点带入函数关系式，求出二次项系数、一次项系数、常数项即可求得答案．
【详解】
解：根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为：，并将表中(-1，0)、(0，3)、(1，4)三个点带入函数关系式，得：
解得：，
∴函数的表达式为：．
故答案为：．
【点拨】本题考查了函数的表达式，解题的关键是掌握函数的三种表达方式：列表法、解析式法、图像法，本题就是将列表法转变为解析式法．
54．
【分析】
根据平行四边形的性质得到CD=AB=4，即C点坐标为，进而得到A点坐标为，B点坐标为，利用待定系数法即可求得函数解析式．
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形
∴CD=AB=4
∴C点坐标为
∴A点坐标为，B点坐标为
设函数解析式为，代入C点坐标有
解得
∴函数解析式为，即
故答案为．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，和待定系数法求二次函数解析式，问题的关键是求出A点或B点的坐标．
55．．
【分析】
由对称轴公式可求解参数b，再代入（3,0）即可求解参数c．
【详解】
解：由题意得：
=1，解得b=2；
代入点坐标（3,0），则0=-9+6+c，解得c=3；
故答案为：．
【点拨】本题考查了用待定系数法求解二次函数解析式．
56．y=-x2+x+4
【分析】
先计算出AC=5，再证明CB=CA=5，则B（5，4），然后利用待定系数法求抛物线解析式．
【详解】
解：∵抛物线y=ax2+bx+4与y轴交于点C，
∴C（0，4），
∴OC=4，
∵A（-3，0），
∴OA=3，
∴AC=5，
∵AB平分∠CAO，
∴∠BAC=∠BAO，
∵BC∥x轴，
∴∠CBA=∠BAO，
∴∠BAC=∠CBA，
∴CB=CA=5，
∴B（5，4）．
把A（-3，0）、B（5，4）代入y=ax2+bx+4，
得，解得，
∴抛物线解析式为y=-x2+x+4．
故答案为y=-x2+x+4．
【点拨】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特征，平行线的性质，等腰三角形的判定．求出B点坐标是解题的关键．x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
……
……
……
……
相关试卷
北师大版九年级数学下册 专题2.34 二次函数知识点分类专题训练（巩固篇）（附答案）： 这是一份北师大版九年级数学下册 专题2.34 二次函数知识点分类专题训练（巩固篇）（附答案），共36页。试卷主要包含了抛物线与坐标轴交点坐标，由函数值求自变量的值，抛物线与一元二次方程，抛物线与一元二次不等式，抛物线与x轴的截距等内容，欢迎下载使用。
北师大版九年级数学下册 专题2.33 二次函数知识点分类专题训练（基础篇）（附答案）： 这是一份北师大版九年级数学下册 专题2.33 二次函数知识点分类专题训练（基础篇）（附答案），共39页。试卷主要包含了抛物线与坐标轴交点坐标，由函数值求自变量的值，抛物线与一元二次方程关系，抛物线与一元二次不等式关系，抛物线与x轴的截距，实际问题与二次函数，二次函数几何问题等内容，欢迎下载使用。
北师大版九年级数学下册 专题2.31 二次函数知识点分类专题训练（基础篇）（附答案）： 这是一份北师大版九年级数学下册 专题2.31 二次函数知识点分类专题训练（基础篇）（附答案），共54页。试卷主要包含了二次函数性质综合，二次函数图像与各项系数符号，一次函数，两个二次函数图像综合判断，根据二次函数图像判断代数式符号，二次函数图像的对称性，二次函数图像的最值，二次函数的解析式等内容，欢迎下载使用。
