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北师大版九年级数学下册 专题3.12 垂径定理专题训练（巩固篇）（专项练习）（附答案）
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这是一份北师大版九年级数学下册 专题3.12 垂径定理专题训练（巩固篇）（专项练习）（附答案），共46页。试卷主要包含了知识回顾，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.垂径定理 ：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2、垂径定理的推论：
平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
垂径定理的应用：构造由半径、半弦（弦的一半）、弦心距组成直角三角形，勾股定理解决问题
常见作辅助线方法有：
连接半径
过圆心作弦的垂线
常见的图形变形
H为半径中点
一、单选题
1．⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（ ）
A．4B．6C．6D．8
2．如图，为的直径，弦于点，若，则的长度为（ ）．
A．5B．4C．D．8
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，若AB＝10，CD＝8，则AD的长为（ ）
A．8B．2C．3D．4
4．如图，矩形ABCD中，AB＝60，AD＝45，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝52，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为（ ）
A．48B．45C．42D．40
5．如图，破残的轮子上，弓形的弦AB为4m，高CD为1m，则这个轮子的半径长为（ ）
A．mB．mC．5mD．m
6．如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与相交于点，则的长为（ ）
A．2B．C．3D．
7．如图，矩形中，，，，分别是，边上的动点，，以为直径的与交于点，．则的最大值为（ ）．
A．48B．45C．42D．40
8．如图，在⊙O中，∠AOB+∠COD=180°，弦CD=6，OE⊥AB于点E．则OE的长为（ ）
A．3B．2C．3D．6
9．如图，AB是⊙O的直径，点E是AB上一点，过点E作CD⊥AB，交⊙O于点C，D，以下结论正确的是（ ）
A．若⊙O的半径是2，点E是OB的中点，则CD＝
B．若CD＝，则⊙O的半径是1
C．若∠CAB＝30°，则四边形OCBD是菱形
D．若四边形OCBD是平行四边形，则∠CAB＝60°
10．如图，半径为6的分别与轴，轴交于，两点，上两个动点，，使恒成立，设的重心为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，AB是的直径，点B是弧CD的中点，AB交弦CD于E，且，，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
12．如图，在平面直角坐标系中，已知，点是以为直径的半圆上两点，且四边形是平行四边形，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
13．如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）
A．2B．4C．4D．2
14．如图，的直径交弦相于点，且若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
15．如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝8，则半径OB等于（ ）
A．B．C．4D．5
16．如图，⊙O的直径垂直于弦，垂足为．若，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
17．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（ ）
A．4B．C．D．
二、填空题
18．如图，的半径为6，弦垂直平分，则________，________．
19．如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______．
20．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，D是的中点，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，连接CD，则CD＝______________．
21．如图，是半圆的直径，C为半圆的中点，，，反比例函数的图象经过点C，则k的值为________．
22．如图，在半径为1的扇形中，，点是弧上任意一点（不与点，重合），，，垂足分别为，，则的长为______．
23．如图，是圆的弦，，垂足为点，将劣弧沿弦折叠交于的中点，若，则圆的半径为_____．
24．如图所示，AB是⊙O的直径，弦于H，，则⊙O的半径是_______．
25．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为______．
26．如图，⊙O中OA⊥BC，∠CDA=25°，则∠AOB的度数为________．
27．如图，、是半径为5的的两条弦，，，是直 径，于点，于点，为上的任意一点，则的最小值为____.
28．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为_______．
29．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为_______.
30．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为______．
31．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为_____．
32．如图，⊙的半径于点，连接并延长交⊙于点，连接.若,则的长为 ___ .
33．如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,∠BAC=∠BOD,则⊙O的半径为___.
34．如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦的长为_________．
35．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为_____．
36．如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，过点B的直线与抛物线交于点C（点C在x轴上方），过ABC三点的⊙M满足∠MBC=45°，则点C的坐标为_________．
三、解答题
37．如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上(C与A，B不重合)，连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E
(1)求线段DE的长；
(2)点O到AB的距离为3，求圆O的半径．
如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接.
（1）若，，求的直径；
（2）若，求的度数.
39．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上的一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于点A，B和点C，D，连结OA，此时有OA∥PE．
（1）求证:AP = AO；
（2）若弦AB = 24，求OP的长．
40．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足H在半径OB上，AH=5，CD=，点E在弧AD上，射线AE与CD的延长线交于点F．
（1）求圆O的半径；
（2）如果AE=6，求EF的长．
参考答案
1．D
【分析】过作于，连接，根据含角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，再根据垂径定理得出，最后求出答案即可．
解：过作于，连接，则，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
过，
，
即，
故选：D．
【点拨】本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，解题的关键是能熟记垂直于弦的直径平分弦．
2．C
【分析】连接CO，根据勾股定理求出CE的长，再根据勾股定理求出AC的长即可．
解：连接CO，
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∵AE＝8，BE＝2，
∴AB＝10，
∴CO＝AO＝5，OE＝AE−AO＝8−5＝3，
∴CE＝，
AC＝．
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是关键，属于基础题．
3．D
【分析】如图，连接OD，利用勾股定理求出OE，再利用勾股定理求出AD即可．
解：如图，连接OD．
∵AB⊥CD，
∴CE＝ED＝4，
∵∠OED＝90°，OD＝5，
∴OE＝＝＝3，
∴AE＝OA+OE＝8，
∴AD＝＝＝4，
故选：D．
【点拨】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．A
【分析】过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，先利用勾股定理计算出BD=75，则利用面积法可计算出AH=36，再证明点O在AH上时，OH最短，此时HM有最大值，最大值为24，然后根据垂径定理可判断MN的最大值．
解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，
在Rt△ABD中，BD75，
∵AH×BDAD×AB，
∴AH36，
∵⊙O的半径为26，
∴点O在AH上时，OH最短，
∵HM，
∴此时HM有最大值，最大值为24，
∵OH⊥MN，
∴MN＝2MH，
∴MN的最大值为2×24＝48．
故选：A．
【点拨】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了矩形的性质和勾股定理．
5．D
【分析】连接OB，由垂径定理得出BD的长；连接OB，再在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：连接OB，如图所示：
由题意得：OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝2（m），
在Rt△OBD中，根据勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，
即（OB﹣1）2+22＝OB2，
解得：OB＝（m），
即这个轮子的半径长为m，
故选：D．
【点拨】本题主要考查垂径定理的应用以及勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
6．C
【分析】过C点作CH⊥AB于H点，在△ABC、△CBH中由分别求出BC和BH，再由垂径定理求出BD，进而AD=AB-BD即可求解．
解：过C点作CH⊥AB于H点，如下图所示：
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴△ABC、△CBH均为30°、60°、90°直角三角形，其三边之比为，
Rt△ABC中，，
Rt△BCH中，，
由垂径定理可知：，
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查了直角三角形30°角所对直角边等于斜边的一半，垂径定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解决本题的关键．
7．A
【分析】过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，先利用勾股定理计算出BD=75，则利用面积法可计算出AH=36，再证明点O在AH上时，OH最短，此时HM有最大值，最大值为24，然后根据垂径定理可判断MN的最大值．
解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，
在Rt△ABD中，BD=，
∵×AH×BD=×AD×AB，
∴AH==36，
∵⊙O的半径为26，
∴点O在AH上时，OH最短，
∵HM=，
∴此时HM有最大值，最大值为：
24，
∵OH⊥MN，
∴MN=2MH，
∴MN的最大值为2×24=48．
故选：A．
【点拨】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了矩形的性质和勾股定理．
8．A
【分析】过O作OF⊥CD于F，由OC=OD，由三线合一可得CF=DF=，∠COF=∠DOF=，由OE⊥AB，OA=OB，由三线合一AE=BE，∠AOE=∠BOE=，可得∠COF+∠AOE ，由∠AOE+∠EAO=90°，可得∠EAO=∠COF，可证△AOE≌△OCF（AAS）可得OE=CF=3即可．
解：过O作OF⊥CD于F，
∵OC=OD，
∴CF=DF=，∠COF=∠DOF=
∵OE⊥AB，OA=OB，
∴AE=BE，∠AOE=∠BOE=，
∴∠COF+∠AOE =+=，
又∵∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠EAO=∠COF，
在△AOE和△OCF中，
，
∴△AOE≌△OCF（AAS），
∴OE=CF=3．
故选择：A．
【点拨】本题考查等腰三角形性质，互余角性质，三角形全等判定与性质，圆的性质掌握等腰三角形性质，互余角性质，三角形全等判定与性质，圆的性质是解题关键．
9．C
【分析】根据垂径定理，解直角三角形知识，一一求解判断即可．
解：A、∵OC＝OB＝2，
∵点E是OB的中点，
∴OE＝1，
∵CD⊥AB，
∴∠CEO＝90°，CD＝2CE，
∴ ，
∴，本选项错误不符合题意；
B、根据，缺少条件，无法得出半径是1，本选项错误，不符合题意；
C、∵∠A＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB，
∴△COB是等边三角形，
∴BC＝OC，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∴BC＝BD，
∴OC＝OD＝BC＝BD，
∴四边形OCBD是菱形；故本选项正确本选项符合题意．
D、∵四边形OCBD是平行四边形，OC=OD，
所以四边形OCBD是菱形
∴OC＝BC，
∵OC＝OB，
∴OC＝OB＝BC，
∴∠BOC＝60°，
∴，故本选项错误不符合题意．．
故选：C．
【点拨】本题考查了圆周角定理，垂径定理，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
10．B
【分析】连接AG并延长，交BC于点F，由△ABC的重心为G，可知F为BC的中点，再由垂径定理可知OF⊥BC，从而可求得OF的长；在AO上取点E，使AE=AO，连接GE，可判定△AGE∽△AFO，由相似三角形的性质列出比例式，求得GE的长，进而可得点E的坐标，利用勾股定理求出DE的长，根据G在以E为圆心，为半径的圆上运动，可知DG的最小值为DE的长减去，计算即可．
解：连接并延长，交于点，
的重心为，
为的中点，
，
，
，
，
，
的重心为，
，
在上取点，使，连接，
，，
，
，
．
在以为圆心，2为半径的圆上运动，
，，
，
的最小值是，
故选B．
【点拨】本题考查了三角形的重心、30°角所对的直角边等于斜边的一边、相似三角形的判定与性质、勾股定理在计算中的应用及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
11．C
【分析】是的直径，点是弧的中点，从而可知，然后利用勾股定理即可求出的长度．
解：设半径为，连接，
是的直径，点是弧的中点，
由垂径定理可知：，且点是的中点，
，
，
由勾股定理可知：，
由勾股定理可知：，
解得：
，
故选：C．
【点拨】本题考查垂径定理，解题的关键是正确理解垂径定理以及勾股定理，本题属于中等题型
12．D
【分析】作MN⊥CD于点N，连接MC，作CE⊥OA于点E，则四边形MNCE是矩形．根据垂径定理即可求得CE的长，即C的横坐标，然后在直角△MNC中，利用勾股定理求得MN的长，则C的纵坐标即可求解．
解：作MN⊥CD于点N，连接MC，作CE⊥OA于点E．
则四边形MNCE是矩形．
∵点A的坐标是（10，0），点B的坐标是（8，0），
∴OA＝10，OB＝8，
∵四边形OCDB是平行四边形，
∴CD＝OB＝8．
∵MN⊥CD于点N，
∴CN＝DN＝CD＝OB＝4．
∵四边形MNCE是矩形，
∴EM＝CN＝4，
∴OE＝OM﹣EM＝5﹣4＝1．
在直角△CMN中，CM＝OM＝5，MN＝ ＝3．
∴CE＝MN＝3．
∴C的坐标是：（1，3）．
故选：D．
【点拨】本题考查了垂径定理以及平行四边形的性质，把求点的坐标的问题转化成求线段的长的问题是常用的解题方法．
13．C
【分析】作⊙O的半径OC⊥AB于D，连接OA、AC，如图，利用折叠的性质得AB垂直平分OC，则AC＝AO，于是可判断△AOC为等边三角形，所以∠AOC＝60°，利用含30度的直角三角形三边的关系求出AD，然后利用垂径定理得到AD＝BD，从而得到AB的长．
解：作⊙O的半径OC⊥AB于D，连接OA、AC，如图，
∵圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，
∴AB垂直平分OC，
∴AC＝AO，
而OA＝OC，
∴OA＝AC＝OC，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴OD＝OA＝2，
∴AD＝OD＝2，
∵OD⊥AB，
∴AD＝BD，
∴AB＝2AD＝4（cm）．
故选：C．
【点拨】本题考查了相交两圆的性质：相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．也考查了折叠的性质．
14．D
【分析】过点O作，连接OC，设，根据垂径定理计算即可；
解：过点O作，连接OC，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选：D．
【点拨】本题主要考查了垂径定理的应用，结合勾股定理计算是解题的关键．
15．B
【分析】根据垂径定理好圆周角定理计算即可；
解：∵半径OC⊥弦AB，
∴，
∴，
又∵∠E＝22.5°，
∴，
又∵半径OC⊥弦AB，AB＝8，
∴，△BOD是等腰直角三角形，
∴；
故答案选B．
【点拨】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理，结合勾股定理计算是解题的关键．
16．C
【分析】根据直角三角形的性质可求出CE=1，再根据垂径定理可求出CD．
解：∵⊙O的直径垂直于弦，
∴
∵，，
∴CE=1
∴CD=2．
故选：C．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质，垂径定理等知识点，能求出CE=DE是解此题的关键．
17．B
【分析】PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，由于OC=3，PC=a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE中，利用勾股定理求得PE的长，即可求解．
解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，
∵⊙P的圆心坐标是（3，a），
∴OC=3，PC=a，
把x=3代入y=x得y=3，
∴D点坐标为（3，3），
∴CD=3，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴△PED也为等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，
∴AE=BE=AB=2，
在Rt△PBE中，PB=3，
∴PE=，
∴PD=PE=，
∴，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了一次函数的综合应用，涉及圆的性质、垂径定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点．求出P到x轴的距离、求得D点的坐标是解题的关键．
18．
【分析】连接，设交于点，则垂直平分，证明四边形是菱形，进而证明是等边三角形，即可求得，，进而求得,．
解：连接，设交于点，则垂直平分，
弦垂直平分，
四边形是菱形，
,，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了垂径定理，菱形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，适当添加辅助线是解题的关键．
19．
【分析】设半径为r，则，得到，由垂径定理得到，再根据勾股定理，即可求出答案．
解：由题意，设半径为r，
则，
∵，
∴，
∵是的直径，弦于点E，
∴点E是CD的中点，
∵，
∴，
在直角△OCE中，由勾股定理得
，
即，
解得：．
故答案为：．
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理进行解题．
20．4
【分析】连接AC，AD，OD，设OD与AB交于点E，由BC⊥AB可得出线段AC为⊙O的直径，进而可得出∠ACD＝90°，由D是的中点，利用垂径定理可得出OD⊥AB及AE的长度，在Rt△AEO中，利用勾股定理可求出OE的长，结合DE＝OD﹣OE可得出DE的长，在Rt△AED中，利用勾股定理可求出AD的长，再在Rt△ADC中，利用勾股定理可求出CD的长．
解：连接AC，AD，OD，设OD与AB交于点E，如图所示，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴线段AC为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°．
∵D是的中点，
∴OD⊥AB，且AE＝BE＝AB＝4．
在Rt△AEO中，AO＝5，AE＝4，∠AEO＝90°，
∴OE＝＝3，
∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．
在Rt△AED中，AE＝4，DE＝2，∠AED＝90°，
∴AD＝＝2．
在Rt△ADC中，AD＝2，AC＝10，∠ADC＝90°，
∴CD＝＝4．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了勾股定理以及垂径定理，利用垂径定理及勾股定理，求出及的长是解题的关键．
21．
【分析】连接CD，并延长交x轴于点P，分别求出PD，PO，CD和PC的长，过点C作CF⊥x轴于点F，求出PF，CF的长，进一步得出点C的坐标，从而可得出结论．
解：连接CD，并延长交x轴于点P，如图，
∵C为半圆的中点，
∴CP⊥AB，即∠ADP=90°
又∠AOB=90°
∴∠APD=∠ABO
∵A（2，0），B（0，1）
∴AO=2，OB=1
∴
∴
又
∴
∴
∴
∴
过点C作CF⊥x轴于点F，
∴
∴
∴
∴
∴点C的坐标为（，）
∵点C在反比例函数的图象上
∴，
故答案为：
【点拨】本题考查反比例函数的解析式，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；求出点C坐标是关键．
22．
【分析】连接AB，利用勾股定理求出AB，再利用垂径定理以及三角形的中位线定理解决问题即可．
解：连接AB，如下图所示：
∵∠AOB=90°，OA=OB=1，
∴，
∵，，
∴，，
∴为的中位线，
∴,
故答案为：．
【点拨】本题考查垂径定理，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线即可解决问题．
23．．
【分析】连接OA，设半径为x，用x表示OC，根据勾股定理建立x的方程，便可求得结果．
解：连接OA，设半径为x，
将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，
，，
，
，
，
解得，．
故答案为．
【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程．
24．2
【分析】连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出，由直角三角形的性质得出，得出，求出即可．
解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦于H，
，
，
在中，，
，
即⊙O的半径是2；
故答案为2
【点拨】考查的是垂径定理、圆周角定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
25．4
【分析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．
解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD=BC=3，
∵OB=AB=5，
∴在Rt△OBD中，OD==4．
故答案为4．
【点拨】本题考查垂径定理及其勾股定理，熟记定理并灵活应用是本题的解题关键．
26．50°
解：试题解析：∵OA⊥BC，
∴；
由圆周角定理，得∠AOB=2∠CDA=50°．
27．.
【分析】A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值
解：连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
根据垂径定理，得到BE=
∴CH=OE+OF=3+4=7，
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，
在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7，
则PA+PC的最小值为7．
【点拨】正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键．
28．
【分析】如图，作OH⊥CD于H，连结OC，根据垂径定理得HC=HD，由题意得OA=4，即OP=2，在Rt△OPH中，根据含30°的直角三角形的性质计算出OH=OP=1，然后在在Rt△OHC中，利用勾股定理计算得到CH=，即CD=2CH=2．
解：解：如图，作OH⊥CD于H，连结OC，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，
∵∠OPH=30°，
∴∠POH=60°，
∴OH=OP=1，
在Rt△OHC中，
∵OC=4，OH=1，
∴CH=，
∴CD=2CH=2．
故答案为2.
【点拨】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理和含30°角的直角三角形的性质，解此题的关键在于作辅助线得到直角三角形，再合理利用各知识点进行计算即可
29．（3，2）．
【分析】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案．
解：过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，
∵A（6，0），PD⊥OA，
∴OD=OA=3，
在Rt△OPD中 ∵OP= OD=3，
∴PD=2
∴P(3，2) .
故答案为（3，2）．
【点拨】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
30．
解：试题分析：连接OC，则OC=r，OE=r－1，CE=CD=2，根据Rt△OCE的勾股定理可得：，解得：r=．
考点：垂径定理．
31．3+
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B、D的坐标，进而可得出OD、OA、OB，根据圆的性质可得出OM的长度，在Rt△COM中，利用勾股定理可求出CO的长度，再根据CD=CO+OD即可求出结论．
解：当x=0时，y=（x﹣1）2﹣4=﹣3，
∴点D的坐标为（0，﹣3），
∴OD=3；
当y=0时，有（x﹣1）2﹣4=0，
解得：x1=﹣1，x2=3，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，3），
∴AB=4，OA=1，OB=3．
连接CM，则CM=AB=2，OM=1，如图所示．
在Rt△COM中，CO==，
∴CD=CO+OD=3+．
故答案为3+．
【点拨】先根据二次函数与一元二次方程的关系，勾股定理，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解答本题的关键.
32．
解：连接BE
∵⊙的半径,AB=2
∴ 且 ,
若设⊙的半径为，则.
在△ACO中,根据勾股定理有,
即，
解得：.
∴.
∵是⊙的直径，
∴
.
故答案为：
【点拨】在与圆的有关的线段的计算中，一定要注意各种情况下构成的直角三角形，有了直角三角形就有可能用勾股定理、三角函数等知识点进行相关计算.本题抓住由半径、弦心距、半弦构成的直角三角形和半圆上所含的直角三角形，三次利用勾股定理并借助方程思想解决问题.
33．5
【分析】先根据∠BAC=∠BOD可得出弧BC=弧BD，故可得出AB⊥CD，由垂径定理即可求出DE的长，再根据勾股定理即可得出结论．
解：∵∠BAC=∠BOD，
∴弧BC=弧BD，
∴AB⊥CD，
∵AE=CD=8，
∴DE=CD=4，
设OD=r，则OE=AE−r=8−r，
在Rt△ODE中，OD=r，DE=4，OE=8−r，
∵OD=DE+OE,即r=4+(8−r) ，解得r=5.
故答案为5.
【点拨】此题考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理，解题关键在于得出AB⊥CD.
34．2．
【分析】过O作OE⊥AB于C，根据垂径定理可得AC=BC=，可求OA=2，OD=，在Rt△AOD中，由勾股定理，可证△OAC∽△DAO，由相似三角形性质可求即可．
解：过O作OE⊥AB于C，
∵AB为弦，
∴AC=BC=，
∵直线与相交于A，B两点，
∴当y=0时，，解得x=-2，
∴OA=2，
∴当x=0时，，
∴OD=，
在Rt△AOD中，由勾股定理，
∵∠ACO=∠AOD=90°，∠CAO=∠OAD，
∴△OAC∽△DAO，
即，
∴AB=2AC=2，
故答案为2．
【点拨】本题考查直线与圆的位置关系，垂径定理，直线与两轴交点，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握以上知识、正确添加辅助线是解题关键．
35．5
【分析】连接OA,连接OB交PA于点D,可得∠BAP=∠BPA=∠ACB=,而∠AOB=2∠ACB=,所以∠OAP=，在RT△OAD中可求得AD的长，继而求出PA的长.
解：如图,
连接OA,连接OB交PA于点D, 因为PB=AB, 所以由垂径定理, OB⊥AP,∠BAP=∠BPA=∠ACB=,而∠AOB=2∠ACB=,所以∠OAP=，
OA为圆的半径,即OA=5,所以
AD = cs ∠OAP xOA =
以AP=2AD=.
故答案：.
【点拨】本题主要考查圆中的计算问题和三角函数.
36．（5，3）
【分析】作轴，轴，，垂足分别为D、E、F，连接DF，求出CF=BD=1，，求出CE=x-2，再由点C在抛物线上，设C，可得方程，求解方程即可．
解：作轴，轴，，垂足分别为D、E、F，连接DF，则
中，，，
设点C的坐标为
对于，令y=0，则，
解得，，
∵MD⊥AB,
∴BD=1
，
，
，
解得，（舍去），，
故答案为（5，3）．
【点拨】此题主要考查了圆的基本性质和抛物线上点的坐标特征，熟练掌握抛物线的图象与性质是解答本题的关键．
37．（1）DE＝4；（2）圆O的半径为5．
【分析】(1)根据垂径定理得出AD=DC，CE=EB，再根据三角形的中位线定理可得DE=AB，代入相应数值求出即可；
(2)过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则OH=3，连接OA，根据垂径定理可得AH=4，在Rt△AHO中，利用勾股定理求出AO的长即可得答案.
解：(1)∵OD经过圆心O，OD⊥AC，
∴AD=DC，
同理：CE=EB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AB，
∵AB=8，
∴DE=4；
(2)过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则OH=3，连接OA，
∵OH经过圆心O，
∴AH=BH=AB，
∵AB=8，
∴AH=4，
在Rt△AHO中，AH2+OH2=AO2，
∴AO=5，即圆O的半径为5．
【点拨】本题主要考查了垂径定理，涉及了三角形中位线定理、勾股定理等内容，熟练掌握垂径定理是解本题的关键.
38．（1）20；（2）
【分析】（1）由CD＝16，BE＝4，根据垂径定理得出CE＝DE＝8，设⊙O的半径为r，则，根据勾股定理即可求得结果；
（2）由∠M＝∠D，∠DOB＝2∠D，结合直角三角形可以求得结果；
（2）由OM＝OB得到∠B＝∠M，根据三角形外角性质得∠DOB＝∠B＋∠M＝2∠B，则2∠B＋∠D＝90°，加上∠B＝∠D，所以2∠D＋∠D＝90°，然后解方程即可得∠D的度数；
解：（1）∵AB⊥CD，CD＝16，
∴CE＝DE＝8，
设，
又∵BE＝4，
∴
∴，
解得：，
∴⊙O的直径是20．
（2）∵OM＝OB，
∴∠B＝∠M，
∴∠DOB＝∠B＋∠M＝2∠B，
∵∠DOB＋∠D＝90°，
∴2∠B＋∠D＝90°，
∵，
∴∠B＝∠D，
∴2∠D＋∠D＝90°，
∴∠D＝30°；
【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
39．（1）见解析（2）
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠EPO=∠AOP，由射线PG平分∠EPF，得到∠EPO=∠APO，根据等量代换即可证明；
（2）过点O作OH⊥AB于点H，如图，根据垂径定理得到AH=BH=12，从而求得PH，在中，应用勾股定理求得OH，进一步即可求得OP．
解：（1）证明：∵PG平分∠EPF
∴∠EPO=∠APO
∵OA∥PE
∴∠EPO=∠AOP
∴∠APO=∠AOP
∴AP=AO
（2）过点O作OH⊥AB于点H，如图，
根据垂径定理得到AH=BH==12
∴PH=PA+AH=AO+AH=13+12=25
在中，
由勾股定理得：
则OP的长为
故答案为：
【点拨】本题考查了平行线的性质，等角对等边，勾股定理，垂径定理，是圆部分的综合题，要熟记各知识点，熟练掌握垂径定理是本题的关键．
40．(1) 圆的半径为4.5；(2) EF=．
【分析】（1）连接OD，根据垂径定理得：DH=2，设圆O的半径为r，根据勾股定理列方程可得结论；
（2）过O作OG⊥AE于G，证明△AGO∽△AHF，列比例式可得AF的长，从而得EF的长．
解：（1）连接OD，
∵直径AB⊥弦CD，CD=4，
∴DH=CH=CD=2，
在Rt△ODH中，AH=5，
设圆O的半径为r，
根据勾股定理得：OD2=（AH﹣OA）2+DH2，即r2=（5﹣r）2+20，
解得：r=4.5，
则圆的半径为4.5；
（2）过O作OG⊥AE于G，
∴AG=AE=×6=3，
∵∠A=∠A，∠AGO=∠AHF，
∴△AGO∽△AHF，
∴，
∴，
∴AF=，
∴EF=AF﹣AE=﹣6=．
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是正确添加辅助线并熟练掌握垂径定理和相似三角形的判定与性质.
1.垂径定理 ：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2、垂径定理的推论：
平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
垂径定理的应用：构造由半径、半弦（弦的一半）、弦心距组成直角三角形，勾股定理解决问题
常见作辅助线方法有：
连接半径
过圆心作弦的垂线
常见的图形变形
H为半径中点
一、单选题
1．⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（ ）
A．4B．6C．6D．8
2．如图，为的直径，弦于点，若，则的长度为（ ）．
A．5B．4C．D．8
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，若AB＝10，CD＝8，则AD的长为（ ）
A．8B．2C．3D．4
4．如图，矩形ABCD中，AB＝60，AD＝45，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝52，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为（ ）
A．48B．45C．42D．40
5．如图，破残的轮子上，弓形的弦AB为4m，高CD为1m，则这个轮子的半径长为（ ）
A．mB．mC．5mD．m
6．如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与相交于点，则的长为（ ）
A．2B．C．3D．
7．如图，矩形中，，，，分别是，边上的动点，，以为直径的与交于点，．则的最大值为（ ）．
A．48B．45C．42D．40
8．如图，在⊙O中，∠AOB+∠COD=180°，弦CD=6，OE⊥AB于点E．则OE的长为（ ）
A．3B．2C．3D．6
9．如图，AB是⊙O的直径，点E是AB上一点，过点E作CD⊥AB，交⊙O于点C，D，以下结论正确的是（ ）
A．若⊙O的半径是2，点E是OB的中点，则CD＝
B．若CD＝，则⊙O的半径是1
C．若∠CAB＝30°，则四边形OCBD是菱形
D．若四边形OCBD是平行四边形，则∠CAB＝60°
10．如图，半径为6的分别与轴，轴交于，两点，上两个动点，，使恒成立，设的重心为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，AB是的直径，点B是弧CD的中点，AB交弦CD于E，且，，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
12．如图，在平面直角坐标系中，已知，点是以为直径的半圆上两点，且四边形是平行四边形，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
13．如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）
A．2B．4C．4D．2
14．如图，的直径交弦相于点，且若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
15．如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝8，则半径OB等于（ ）
A．B．C．4D．5
16．如图，⊙O的直径垂直于弦，垂足为．若，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
17．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（ ）
A．4B．C．D．
二、填空题
18．如图，的半径为6，弦垂直平分，则________，________．
19．如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______．
20．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，D是的中点，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，连接CD，则CD＝______________．
21．如图，是半圆的直径，C为半圆的中点，，，反比例函数的图象经过点C，则k的值为________．
22．如图，在半径为1的扇形中，，点是弧上任意一点（不与点，重合），，，垂足分别为，，则的长为______．
23．如图，是圆的弦，，垂足为点，将劣弧沿弦折叠交于的中点，若，则圆的半径为_____．
24．如图所示，AB是⊙O的直径，弦于H，，则⊙O的半径是_______．
25．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为______．
26．如图，⊙O中OA⊥BC，∠CDA=25°，则∠AOB的度数为________．
27．如图，、是半径为5的的两条弦，，，是直 径，于点，于点，为上的任意一点，则的最小值为____.
28．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为_______．
29．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为_______.
30．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为______．
31．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为_____．
32．如图，⊙的半径于点，连接并延长交⊙于点，连接.若,则的长为 ___ .
33．如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,∠BAC=∠BOD,则⊙O的半径为___.
34．如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦的长为_________．
35．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为_____．
36．如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，过点B的直线与抛物线交于点C（点C在x轴上方），过ABC三点的⊙M满足∠MBC=45°，则点C的坐标为_________．
三、解答题
37．如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上(C与A，B不重合)，连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E
(1)求线段DE的长；
(2)点O到AB的距离为3，求圆O的半径．
如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接.
（1）若，，求的直径；
（2）若，求的度数.
39．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上的一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于点A，B和点C，D，连结OA，此时有OA∥PE．
（1）求证:AP = AO；
（2）若弦AB = 24，求OP的长．
40．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足H在半径OB上，AH=5，CD=，点E在弧AD上，射线AE与CD的延长线交于点F．
（1）求圆O的半径；
（2）如果AE=6，求EF的长．
参考答案
1．D
【分析】过作于，连接，根据含角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，再根据垂径定理得出，最后求出答案即可．
解：过作于，连接，则，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
过，
，
即，
故选：D．
【点拨】本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，解题的关键是能熟记垂直于弦的直径平分弦．
2．C
【分析】连接CO，根据勾股定理求出CE的长，再根据勾股定理求出AC的长即可．
解：连接CO，
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∵AE＝8，BE＝2，
∴AB＝10，
∴CO＝AO＝5，OE＝AE−AO＝8−5＝3，
∴CE＝，
AC＝．
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是关键，属于基础题．
3．D
【分析】如图，连接OD，利用勾股定理求出OE，再利用勾股定理求出AD即可．
解：如图，连接OD．
∵AB⊥CD，
∴CE＝ED＝4，
∵∠OED＝90°，OD＝5，
∴OE＝＝＝3，
∴AE＝OA+OE＝8，
∴AD＝＝＝4，
故选：D．
【点拨】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．A
【分析】过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，先利用勾股定理计算出BD=75，则利用面积法可计算出AH=36，再证明点O在AH上时，OH最短，此时HM有最大值，最大值为24，然后根据垂径定理可判断MN的最大值．
解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，
在Rt△ABD中，BD75，
∵AH×BDAD×AB，
∴AH36，
∵⊙O的半径为26，
∴点O在AH上时，OH最短，
∵HM，
∴此时HM有最大值，最大值为24，
∵OH⊥MN，
∴MN＝2MH，
∴MN的最大值为2×24＝48．
故选：A．
【点拨】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了矩形的性质和勾股定理．
5．D
【分析】连接OB，由垂径定理得出BD的长；连接OB，再在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：连接OB，如图所示：
由题意得：OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝2（m），
在Rt△OBD中，根据勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，
即（OB﹣1）2+22＝OB2，
解得：OB＝（m），
即这个轮子的半径长为m，
故选：D．
【点拨】本题主要考查垂径定理的应用以及勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
6．C
【分析】过C点作CH⊥AB于H点，在△ABC、△CBH中由分别求出BC和BH，再由垂径定理求出BD，进而AD=AB-BD即可求解．
解：过C点作CH⊥AB于H点，如下图所示：
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴△ABC、△CBH均为30°、60°、90°直角三角形，其三边之比为，
Rt△ABC中，，
Rt△BCH中，，
由垂径定理可知：，
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查了直角三角形30°角所对直角边等于斜边的一半，垂径定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解决本题的关键．
7．A
【分析】过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，先利用勾股定理计算出BD=75，则利用面积法可计算出AH=36，再证明点O在AH上时，OH最短，此时HM有最大值，最大值为24，然后根据垂径定理可判断MN的最大值．
解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，
在Rt△ABD中，BD=，
∵×AH×BD=×AD×AB，
∴AH==36，
∵⊙O的半径为26，
∴点O在AH上时，OH最短，
∵HM=，
∴此时HM有最大值，最大值为：
24，
∵OH⊥MN，
∴MN=2MH，
∴MN的最大值为2×24=48．
故选：A．
【点拨】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了矩形的性质和勾股定理．
8．A
【分析】过O作OF⊥CD于F，由OC=OD，由三线合一可得CF=DF=，∠COF=∠DOF=，由OE⊥AB，OA=OB，由三线合一AE=BE，∠AOE=∠BOE=，可得∠COF+∠AOE ，由∠AOE+∠EAO=90°，可得∠EAO=∠COF，可证△AOE≌△OCF（AAS）可得OE=CF=3即可．
解：过O作OF⊥CD于F，
∵OC=OD，
∴CF=DF=，∠COF=∠DOF=
∵OE⊥AB，OA=OB，
∴AE=BE，∠AOE=∠BOE=，
∴∠COF+∠AOE =+=，
又∵∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠EAO=∠COF，
在△AOE和△OCF中，
，
∴△AOE≌△OCF（AAS），
∴OE=CF=3．
故选择：A．
【点拨】本题考查等腰三角形性质，互余角性质，三角形全等判定与性质，圆的性质掌握等腰三角形性质，互余角性质，三角形全等判定与性质，圆的性质是解题关键．
9．C
【分析】根据垂径定理，解直角三角形知识，一一求解判断即可．
解：A、∵OC＝OB＝2，
∵点E是OB的中点，
∴OE＝1，
∵CD⊥AB，
∴∠CEO＝90°，CD＝2CE，
∴ ，
∴，本选项错误不符合题意；
B、根据，缺少条件，无法得出半径是1，本选项错误，不符合题意；
C、∵∠A＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB，
∴△COB是等边三角形，
∴BC＝OC，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∴BC＝BD，
∴OC＝OD＝BC＝BD，
∴四边形OCBD是菱形；故本选项正确本选项符合题意．
D、∵四边形OCBD是平行四边形，OC=OD，
所以四边形OCBD是菱形
∴OC＝BC，
∵OC＝OB，
∴OC＝OB＝BC，
∴∠BOC＝60°，
∴，故本选项错误不符合题意．．
故选：C．
【点拨】本题考查了圆周角定理，垂径定理，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
10．B
【分析】连接AG并延长，交BC于点F，由△ABC的重心为G，可知F为BC的中点，再由垂径定理可知OF⊥BC，从而可求得OF的长；在AO上取点E，使AE=AO，连接GE，可判定△AGE∽△AFO，由相似三角形的性质列出比例式，求得GE的长，进而可得点E的坐标，利用勾股定理求出DE的长，根据G在以E为圆心，为半径的圆上运动，可知DG的最小值为DE的长减去，计算即可．
解：连接并延长，交于点，
的重心为，
为的中点，
，
，
，
，
，
的重心为，
，
在上取点，使，连接，
，，
，
，
．
在以为圆心，2为半径的圆上运动，
，，
，
的最小值是，
故选B．
【点拨】本题考查了三角形的重心、30°角所对的直角边等于斜边的一边、相似三角形的判定与性质、勾股定理在计算中的应用及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
11．C
【分析】是的直径，点是弧的中点，从而可知，然后利用勾股定理即可求出的长度．
解：设半径为，连接，
是的直径，点是弧的中点，
由垂径定理可知：，且点是的中点，
，
，
由勾股定理可知：，
由勾股定理可知：，
解得：
，
故选：C．
【点拨】本题考查垂径定理，解题的关键是正确理解垂径定理以及勾股定理，本题属于中等题型
12．D
【分析】作MN⊥CD于点N，连接MC，作CE⊥OA于点E，则四边形MNCE是矩形．根据垂径定理即可求得CE的长，即C的横坐标，然后在直角△MNC中，利用勾股定理求得MN的长，则C的纵坐标即可求解．
解：作MN⊥CD于点N，连接MC，作CE⊥OA于点E．
则四边形MNCE是矩形．
∵点A的坐标是（10，0），点B的坐标是（8，0），
∴OA＝10，OB＝8，
∵四边形OCDB是平行四边形，
∴CD＝OB＝8．
∵MN⊥CD于点N，
∴CN＝DN＝CD＝OB＝4．
∵四边形MNCE是矩形，
∴EM＝CN＝4，
∴OE＝OM﹣EM＝5﹣4＝1．
在直角△CMN中，CM＝OM＝5，MN＝ ＝3．
∴CE＝MN＝3．
∴C的坐标是：（1，3）．
故选：D．
【点拨】本题考查了垂径定理以及平行四边形的性质，把求点的坐标的问题转化成求线段的长的问题是常用的解题方法．
13．C
【分析】作⊙O的半径OC⊥AB于D，连接OA、AC，如图，利用折叠的性质得AB垂直平分OC，则AC＝AO，于是可判断△AOC为等边三角形，所以∠AOC＝60°，利用含30度的直角三角形三边的关系求出AD，然后利用垂径定理得到AD＝BD，从而得到AB的长．
解：作⊙O的半径OC⊥AB于D，连接OA、AC，如图，
∵圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，
∴AB垂直平分OC，
∴AC＝AO，
而OA＝OC，
∴OA＝AC＝OC，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴OD＝OA＝2，
∴AD＝OD＝2，
∵OD⊥AB，
∴AD＝BD，
∴AB＝2AD＝4（cm）．
故选：C．
【点拨】本题考查了相交两圆的性质：相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．也考查了折叠的性质．
14．D
【分析】过点O作，连接OC，设，根据垂径定理计算即可；
解：过点O作，连接OC，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选：D．
【点拨】本题主要考查了垂径定理的应用，结合勾股定理计算是解题的关键．
15．B
【分析】根据垂径定理好圆周角定理计算即可；
解：∵半径OC⊥弦AB，
∴，
∴，
又∵∠E＝22.5°，
∴，
又∵半径OC⊥弦AB，AB＝8，
∴，△BOD是等腰直角三角形，
∴；
故答案选B．
【点拨】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理，结合勾股定理计算是解题的关键．
16．C
【分析】根据直角三角形的性质可求出CE=1，再根据垂径定理可求出CD．
解：∵⊙O的直径垂直于弦，
∴
∵，，
∴CE=1
∴CD=2．
故选：C．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质，垂径定理等知识点，能求出CE=DE是解此题的关键．
17．B
【分析】PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，由于OC=3，PC=a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE中，利用勾股定理求得PE的长，即可求解．
解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，
∵⊙P的圆心坐标是（3，a），
∴OC=3，PC=a，
把x=3代入y=x得y=3，
∴D点坐标为（3，3），
∴CD=3，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴△PED也为等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，
∴AE=BE=AB=2，
在Rt△PBE中，PB=3，
∴PE=，
∴PD=PE=，
∴，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了一次函数的综合应用，涉及圆的性质、垂径定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点．求出P到x轴的距离、求得D点的坐标是解题的关键．
18．
【分析】连接，设交于点，则垂直平分，证明四边形是菱形，进而证明是等边三角形，即可求得，，进而求得,．
解：连接，设交于点，则垂直平分，
弦垂直平分，
四边形是菱形，
,，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了垂径定理，菱形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，适当添加辅助线是解题的关键．
19．
【分析】设半径为r，则，得到，由垂径定理得到，再根据勾股定理，即可求出答案．
解：由题意，设半径为r，
则，
∵，
∴，
∵是的直径，弦于点E，
∴点E是CD的中点，
∵，
∴，
在直角△OCE中，由勾股定理得
，
即，
解得：．
故答案为：．
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理进行解题．
20．4
【分析】连接AC，AD，OD，设OD与AB交于点E，由BC⊥AB可得出线段AC为⊙O的直径，进而可得出∠ACD＝90°，由D是的中点，利用垂径定理可得出OD⊥AB及AE的长度，在Rt△AEO中，利用勾股定理可求出OE的长，结合DE＝OD﹣OE可得出DE的长，在Rt△AED中，利用勾股定理可求出AD的长，再在Rt△ADC中，利用勾股定理可求出CD的长．
解：连接AC，AD，OD，设OD与AB交于点E，如图所示，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴线段AC为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°．
∵D是的中点，
∴OD⊥AB，且AE＝BE＝AB＝4．
在Rt△AEO中，AO＝5，AE＝4，∠AEO＝90°，
∴OE＝＝3，
∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．
在Rt△AED中，AE＝4，DE＝2，∠AED＝90°，
∴AD＝＝2．
在Rt△ADC中，AD＝2，AC＝10，∠ADC＝90°，
∴CD＝＝4．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了勾股定理以及垂径定理，利用垂径定理及勾股定理，求出及的长是解题的关键．
21．
【分析】连接CD，并延长交x轴于点P，分别求出PD，PO，CD和PC的长，过点C作CF⊥x轴于点F，求出PF，CF的长，进一步得出点C的坐标，从而可得出结论．
解：连接CD，并延长交x轴于点P，如图，
∵C为半圆的中点，
∴CP⊥AB，即∠ADP=90°
又∠AOB=90°
∴∠APD=∠ABO
∵A（2，0），B（0，1）
∴AO=2，OB=1
∴
∴
又
∴
∴
∴
∴
过点C作CF⊥x轴于点F，
∴
∴
∴
∴
∴点C的坐标为（，）
∵点C在反比例函数的图象上
∴，
故答案为：
【点拨】本题考查反比例函数的解析式，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；求出点C坐标是关键．
22．
【分析】连接AB，利用勾股定理求出AB，再利用垂径定理以及三角形的中位线定理解决问题即可．
解：连接AB，如下图所示：
∵∠AOB=90°，OA=OB=1，
∴，
∵，，
∴，，
∴为的中位线，
∴,
故答案为：．
【点拨】本题考查垂径定理，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线即可解决问题．
23．．
【分析】连接OA，设半径为x，用x表示OC，根据勾股定理建立x的方程，便可求得结果．
解：连接OA，设半径为x，
将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，
，，
，
，
，
解得，．
故答案为．
【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程．
24．2
【分析】连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出，由直角三角形的性质得出，得出，求出即可．
解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦于H，
，
，
在中，，
，
即⊙O的半径是2；
故答案为2
【点拨】考查的是垂径定理、圆周角定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
25．4
【分析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．
解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD=BC=3，
∵OB=AB=5，
∴在Rt△OBD中，OD==4．
故答案为4．
【点拨】本题考查垂径定理及其勾股定理，熟记定理并灵活应用是本题的解题关键．
26．50°
解：试题解析：∵OA⊥BC，
∴；
由圆周角定理，得∠AOB=2∠CDA=50°．
27．.
【分析】A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值
解：连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
根据垂径定理，得到BE=
∴CH=OE+OF=3+4=7，
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，
在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7，
则PA+PC的最小值为7．
【点拨】正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键．
28．
【分析】如图，作OH⊥CD于H，连结OC，根据垂径定理得HC=HD，由题意得OA=4，即OP=2，在Rt△OPH中，根据含30°的直角三角形的性质计算出OH=OP=1，然后在在Rt△OHC中，利用勾股定理计算得到CH=，即CD=2CH=2．
解：解：如图，作OH⊥CD于H，连结OC，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，
∵∠OPH=30°，
∴∠POH=60°，
∴OH=OP=1，
在Rt△OHC中，
∵OC=4，OH=1，
∴CH=，
∴CD=2CH=2．
故答案为2.
【点拨】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理和含30°角的直角三角形的性质，解此题的关键在于作辅助线得到直角三角形，再合理利用各知识点进行计算即可
29．（3，2）．
【分析】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案．
解：过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，
∵A（6，0），PD⊥OA，
∴OD=OA=3，
在Rt△OPD中 ∵OP= OD=3，
∴PD=2
∴P(3，2) .
故答案为（3，2）．
【点拨】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
30．
解：试题分析：连接OC，则OC=r，OE=r－1，CE=CD=2，根据Rt△OCE的勾股定理可得：，解得：r=．
考点：垂径定理．
31．3+
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B、D的坐标，进而可得出OD、OA、OB，根据圆的性质可得出OM的长度，在Rt△COM中，利用勾股定理可求出CO的长度，再根据CD=CO+OD即可求出结论．
解：当x=0时，y=（x﹣1）2﹣4=﹣3，
∴点D的坐标为（0，﹣3），
∴OD=3；
当y=0时，有（x﹣1）2﹣4=0，
解得：x1=﹣1，x2=3，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，3），
∴AB=4，OA=1，OB=3．
连接CM，则CM=AB=2，OM=1，如图所示．
在Rt△COM中，CO==，
∴CD=CO+OD=3+．
故答案为3+．
【点拨】先根据二次函数与一元二次方程的关系，勾股定理，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解答本题的关键.
32．
解：连接BE
∵⊙的半径,AB=2
∴ 且 ,
若设⊙的半径为，则.
在△ACO中,根据勾股定理有,
即，
解得：.
∴.
∵是⊙的直径，
∴
.
故答案为：
【点拨】在与圆的有关的线段的计算中，一定要注意各种情况下构成的直角三角形，有了直角三角形就有可能用勾股定理、三角函数等知识点进行相关计算.本题抓住由半径、弦心距、半弦构成的直角三角形和半圆上所含的直角三角形，三次利用勾股定理并借助方程思想解决问题.
33．5
【分析】先根据∠BAC=∠BOD可得出弧BC=弧BD，故可得出AB⊥CD，由垂径定理即可求出DE的长，再根据勾股定理即可得出结论．
解：∵∠BAC=∠BOD，
∴弧BC=弧BD，
∴AB⊥CD，
∵AE=CD=8，
∴DE=CD=4，
设OD=r，则OE=AE−r=8−r，
在Rt△ODE中，OD=r，DE=4，OE=8−r，
∵OD=DE+OE,即r=4+(8−r) ，解得r=5.
故答案为5.
【点拨】此题考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理，解题关键在于得出AB⊥CD.
34．2．
【分析】过O作OE⊥AB于C，根据垂径定理可得AC=BC=，可求OA=2，OD=，在Rt△AOD中，由勾股定理，可证△OAC∽△DAO，由相似三角形性质可求即可．
解：过O作OE⊥AB于C，
∵AB为弦，
∴AC=BC=，
∵直线与相交于A，B两点，
∴当y=0时，，解得x=-2，
∴OA=2，
∴当x=0时，，
∴OD=，
在Rt△AOD中，由勾股定理，
∵∠ACO=∠AOD=90°，∠CAO=∠OAD，
∴△OAC∽△DAO，
即，
∴AB=2AC=2，
故答案为2．
【点拨】本题考查直线与圆的位置关系，垂径定理，直线与两轴交点，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握以上知识、正确添加辅助线是解题关键．
35．5
【分析】连接OA,连接OB交PA于点D,可得∠BAP=∠BPA=∠ACB=,而∠AOB=2∠ACB=,所以∠OAP=，在RT△OAD中可求得AD的长，继而求出PA的长.
解：如图,
连接OA,连接OB交PA于点D, 因为PB=AB, 所以由垂径定理, OB⊥AP,∠BAP=∠BPA=∠ACB=,而∠AOB=2∠ACB=,所以∠OAP=，
OA为圆的半径,即OA=5,所以
AD = cs ∠OAP xOA =
以AP=2AD=.
故答案：.
【点拨】本题主要考查圆中的计算问题和三角函数.
36．（5，3）
【分析】作轴，轴，，垂足分别为D、E、F，连接DF，求出CF=BD=1，，求出CE=x-2，再由点C在抛物线上，设C，可得方程，求解方程即可．
解：作轴，轴，，垂足分别为D、E、F，连接DF，则
中，，，
设点C的坐标为
对于，令y=0，则，
解得，，
∵MD⊥AB,
∴BD=1
，
，
，
解得，（舍去），，
故答案为（5，3）．
【点拨】此题主要考查了圆的基本性质和抛物线上点的坐标特征，熟练掌握抛物线的图象与性质是解答本题的关键．
37．（1）DE＝4；（2）圆O的半径为5．
【分析】(1)根据垂径定理得出AD=DC，CE=EB，再根据三角形的中位线定理可得DE=AB，代入相应数值求出即可；
(2)过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则OH=3，连接OA，根据垂径定理可得AH=4，在Rt△AHO中，利用勾股定理求出AO的长即可得答案.
解：(1)∵OD经过圆心O，OD⊥AC，
∴AD=DC，
同理：CE=EB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AB，
∵AB=8，
∴DE=4；
(2)过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则OH=3，连接OA，
∵OH经过圆心O，
∴AH=BH=AB，
∵AB=8，
∴AH=4，
在Rt△AHO中，AH2+OH2=AO2，
∴AO=5，即圆O的半径为5．
【点拨】本题主要考查了垂径定理，涉及了三角形中位线定理、勾股定理等内容，熟练掌握垂径定理是解本题的关键.
38．（1）20；（2）
【分析】（1）由CD＝16，BE＝4，根据垂径定理得出CE＝DE＝8，设⊙O的半径为r，则，根据勾股定理即可求得结果；
（2）由∠M＝∠D，∠DOB＝2∠D，结合直角三角形可以求得结果；
（2）由OM＝OB得到∠B＝∠M，根据三角形外角性质得∠DOB＝∠B＋∠M＝2∠B，则2∠B＋∠D＝90°，加上∠B＝∠D，所以2∠D＋∠D＝90°，然后解方程即可得∠D的度数；
解：（1）∵AB⊥CD，CD＝16，
∴CE＝DE＝8，
设，
又∵BE＝4，
∴
∴，
解得：，
∴⊙O的直径是20．
（2）∵OM＝OB，
∴∠B＝∠M，
∴∠DOB＝∠B＋∠M＝2∠B，
∵∠DOB＋∠D＝90°，
∴2∠B＋∠D＝90°，
∵，
∴∠B＝∠D，
∴2∠D＋∠D＝90°，
∴∠D＝30°；
【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
39．（1）见解析（2）
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠EPO=∠AOP，由射线PG平分∠EPF，得到∠EPO=∠APO，根据等量代换即可证明；
（2）过点O作OH⊥AB于点H，如图，根据垂径定理得到AH=BH=12，从而求得PH，在中，应用勾股定理求得OH，进一步即可求得OP．
解：（1）证明：∵PG平分∠EPF
∴∠EPO=∠APO
∵OA∥PE
∴∠EPO=∠AOP
∴∠APO=∠AOP
∴AP=AO
（2）过点O作OH⊥AB于点H，如图，
根据垂径定理得到AH=BH==12
∴PH=PA+AH=AO+AH=13+12=25
在中，
由勾股定理得：
则OP的长为
故答案为：
【点拨】本题考查了平行线的性质，等角对等边，勾股定理，垂径定理，是圆部分的综合题，要熟记各知识点，熟练掌握垂径定理是本题的关键．
40．(1) 圆的半径为4.5；(2) EF=．
【分析】（1）连接OD，根据垂径定理得：DH=2，设圆O的半径为r，根据勾股定理列方程可得结论；
（2）过O作OG⊥AE于G，证明△AGO∽△AHF，列比例式可得AF的长，从而得EF的长．
解：（1）连接OD，
∵直径AB⊥弦CD，CD=4，
∴DH=CH=CD=2，
在Rt△ODH中，AH=5，
设圆O的半径为r，
根据勾股定理得：OD2=（AH﹣OA）2+DH2，即r2=（5﹣r）2+20，
解得：r=4.5，
则圆的半径为4.5；
（2）过O作OG⊥AE于G，
∴AG=AE=×6=3，
∵∠A=∠A，∠AGO=∠AHF，
∴△AGO∽△AHF，
∴，
∴，
∴AF=，
∴EF=AF﹣AE=﹣6=．
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是正确添加辅助线并熟练掌握垂径定理和相似三角形的判定与性质.
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