北师大版数学九年级下册 期中测试卷1

这是一份北师大版数学九年级下册 期中测试卷1，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在△ABC中，∠C＝90°.若AB＝3，BC＝1，则cs A的值为( )
A.eq \f(1,3) B．2eq \r(2) C.eq \f(2\r(2),3) D．3
2．下列函数中，是二次函数的是( )
A．y＝eq \f(5,x) B．y＝x2
C．y＝2x＋1 D．y＝2x
3．函数y＝－x2＋1的图象大致为( )
4．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sin A＝eq \f(\r(3),2)，tan B＝eq \r(3)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．不能确定
5．如图是一条抛物线，则其表达式为( )
(第5题)
A．y＝x2－2x＋3
B．y＝x2－2x－3
C．y＝x2＋2x＋3
D．y＝x2＋2x－3
6．△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形的边长为1，AD⊥BC于点D，下列四个选项中，错误的是( )
A．sin α＝cs α B．tan C＝2
C．sin β＝cs β D．tan α＝1

(第6题) (第7题)
7．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x＝2，下列结论：①a＋c＝b；②4a＋b＝0；③4a＋c>2b；④当x>－1时，y随x的增大而增大，其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
8．图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为( )
(第8题)
A.eq \f(1,sin2α)＋1 B．sin2α＋1
C.eq \f(1,cs2α)＋1 D．cs2α＋1
二、填空题(每小题3分，共15分)
9．抛物线y＝3(x－1)2＋8的顶点坐标为________．
10．如图所示，平地上一棵树高为6 m，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成60°角时，第二次是当阳光与地面成30°角时，则第二次观察到的影子比第一次长________m.

(第10题) (第12题)
11．将二次函数y＝2(x－1)2＋3的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得图象的表达式为________．
12．如图，小明在距离地面30 m的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，若斜面AB的坡比为1∶eq \r(3)，则斜面AB的长是________m．(参考数据：eq \r(3)≈1.732，结果精确到0.1 m)
13．将一条长为20 cm的铁丝剪成两段并用每一段铁丝刚好围成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是________．
三、解答题(共13小题，共81分)
14．(5分)求下列各式的值：
(1)1－2sin 30°cs 30°；
(2)3tan 30°－tan 45°＋2sin 60°.
15．(5分)已知一个二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(4，1)和(－1，6)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
16．(5分)已知：如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AB＝6，求BC的长．(结果保留根号)
(第16题)
17．(5分)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点(3，0)、(1，0)，根据图象解答下列问题：
(1)写出关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)当x为何值时，y>0？当x为何值时，y<0?
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．
(第17题)
18．(5分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E，tan∠EBC＝eq \f(3,4)，求∠ABE的正切值.
(第18题)

19．(5分)小明同学在用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，由于粗心，他算错了一个y值，列出了下面表格：
(1)请指出这个错误的y值，并说明理由；
(2)若点M(m，y1)，N(m＋4，y2)在二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象上，且m＞1，试比较y1与y2的大小．
20．(5分)如图，在平面直角坐标系内，点O为原点，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限内，且AO＝BO＝10，tan∠BOA＝eq \f(3,4).
(1)求点B的坐标；
(2)求cs∠BAO的值．
(第20题)
21．(6分)如图，要用篱笆(虚线部分)围成一个矩形苗圃ABCD，其中两边靠的墙足够长，中间用平行AB的篱笆EF隔开，已知篱笆的总长度为18 m．设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x m，矩形苗圃ABCD的面积为y m2.
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求所围矩形苗圃ABCD的面积最大值；
(3)当所围矩形苗圃ABCD的面积为40 m2时，AB的长为多少米？
(第21题)
22．(7分)为测量某机场东西两栋建筑物A，B之间的距离．如图，勘测无人机在点C处，测得建筑物A的俯角为50°，C，A的距离为2 km，然后沿着平行于AB的方向飞行6.4 km到点D处，测得建筑物B的俯角为37°.(参考数据：sin 37°≈0.60，cs 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 50°≈0.77，cs 50°≈0.64，tan 50°≈1.20)
(1)无人机距离地面的飞行高度是多少千米？
(2)求该机场东西两栋建筑物A，B之间的距离．(结果保留一位小数)
(第22题)
23．(7分)如图所示，已知二次函数y1＝－x2＋2x＋m的图象与x轴的一个交点为A(3，0)，另一个交点为B，与y轴的交点为点C.
(1)求m的值；
(2)若经过点B的一次函数y2＝kx＋b的图象平分△ABC的面积，求k，b的值．
(第23题)
24．(8分)如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100(eq \r(3)＋1)n mile，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
(1)分别求出A与C，A与D间的距离(如果运算结果有根号，请保留根号)．
(2)已知距离观测点D处100 n mile范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？(参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73)
(第24题)
25．(8分)西安市某公司自主设计了一款可控温杯，每个生产成本为16元，投放市场进行了试销．经过调查得到每月销售量y(万个)与销售单价x(元/个)之间的关系是一次函数关系，部分数据如下：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定(一件产品的利润率不得高于50%)，请你帮助分析，销售单价定为多少时，每月可获利最大？并求出最大利润．
26．(10分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4经过点E(－2，4)，与x轴交于A，B(2，0)两点，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接AC，过点E作x轴的垂线交线段AC于点M，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，A，M为顶点且以AM为边的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
(第26题)
答案
一、1.C 2.B 3.B 4.C 5.B 6.C 7.B 8.A
二、9.(1，8) 10.4eq \r(3) 11.y＝2(x＋1)2＋2 12.34.6
13.eq \f(25,2) cm2
三、14.解：(1)1－2sin 30°cs 30°＝1－2×eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(2－\r(3),2).
(2)3tan 30°－tan 45°＋2sin 60°＝3×eq \f(\r(3),3)－1＋2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)－1＋eq \r(3)＝2eq \r(3)－1.
15．解：(1)将点(4，1)和(－1，6)的坐标分别代入y＝x2＋bx＋c可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(42＋b·4＋c＝1，,（－1）2＋b·（－1）＋c＝6，))解这个方程组得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－4，,c＝1，))所以所求二次函数的表达式是y＝x2－4x＋1.
(2)因为y＝x2－4x＋1＝(x－2)2－3，所以这个二次函数图象的顶点坐标是(2，－3)，对称轴是直线x＝2.
16．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.
(第16题)
在Rt△ABD中，∠B＝45°，∴AD＝BD，
设AD＝x，∵AB＝6，
∴在Rt△ABD中，x2＋x2＝62，解得x＝3eq \r(2)，
即AD＝BD＝3eq \r(2).在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，
∴∠CAD＝30°，tan 30°＝eq \f(CD,AD)，
即eq \f(\r(3),3)＝eq \f(CD,3\r(2))，∴CD＝eq \r(6)，
∴BC＝BD＋DC＝3eq \r(2)＋eq \r(6).
17．解：(1)因为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点(3，0)，(1，0)，
所以关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝3，x2＝1.
(2)观察图象可知：当1所以当10.
观察图象可知：当x>3或x<1时，图象总在x轴的下方，
所以当x>3或x<1时，y<0.
(3)因为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点(3，0)，(1，0)，
所以该图象的对称轴为直线x＝2，
因为图象开口向下，
所以当x>2时，y随x的增大而减小．
即y随x的增大而减少时，x>2.
18．解：在Rt△EBC中，∠ECB＝90°，tan∠EBC＝eq \f(CE,BC)＝eq \f(3,4).
设CE＝3k，BC＝4k，则BE＝5k.
∵D是AB的中点，ED⊥AB，
∴AE＝BE＝5k，∴∠ABE＝∠BAE，AC＝AE＋CE＝8k.
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴tan∠CAB＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(4k,8k)＝eq \f(1,2)，
∴∠ABE的正切值为eq \f(1,2).
19．解：(1)这个错误的y值为5.理由：
由函数图象关于对称轴对称，得(0，3)，(1，2)，(2，3)在函数图象上，
把(0，3)，(1，2)，(2，3)的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋c，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c＝3，,a＋b＋c＝2，,4a＋2b＋c＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2，,c＝3，))
所以函数的表达式为y＝x2－2x＋3.当x＝－1时，y＝6，
故这个错误的y值为5.
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象以直线x＝1为对称轴，抛物线开口向上．
因为1＜m＜m＋4，所以y1＜y2.
20．解：(1)作BC⊥OA于C.
在Rt△BOC中，tan∠BOC＝eq \f(BC,OC)＝eq \f(3,4)，
设BC＝3t，OC＝4t，
∴OB＝eq \r(BC2＋OC2)＝5t，∴5t＝10，解得t＝2，
∴BC＝6，OC＝8，∴点B的坐标为(8，6)．
(2)∵OA＝10，OC＝8，∴AC＝2，
在Rt△ACB中，∵BC＝6，AC＝2，
∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝2eq \r(10)，
∴cs∠BAC＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(2,2\r(10))＝eq \f(\r(10),10)，
即cs∠BAO＝eq \f(\r(10),10).
21．解：(1)由题知BC＝(18－2x)m，
所以y＝x(18－2x)＝－2x2＋18x.
(2)因为a＝－2<0，
所以当x＝－eq \f(b,2a)＝eq \f(9,2)时，y最大值＝eq \f(81,2).
即所围矩形苗圃ABCD的面积最大值为eq \f(81,2) m2.
(3)根据题意，得－2x2＋18x＝40，解得x＝4或x＝5.
故当所围矩形苗圃ABCD的面积为40 m2时，AB的长为4 m或5 m.
22．解：(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E.
(第22题)
在Rt△AEC中，∠C＝50°，sin∠ECA＝eq \f(AE,AC)≈0.77，
∴AE≈0.77×2＝1.54(km)．
答：无人机距离地面的飞行高度约是1.54 km.
(2)如图，过点B作BF⊥CD交CD的延长线于点F.在Rt△ACE中，CE＝AC·cs 50°≈2×0.64＝1.28(km)．
易知四边形AEFB是矩形．
∴AE＝BF≈1.54 km，EF＝AB.
在Rt△DFB中，tan∠FDB＝eq \f(BF,DF)，即0.75≈eq \f(1.54,DF)，
解得DF≈2.05 km，
∴EF＝CD＋DF－CE≈6.4＋2.05－1.28≈7.2(km)，
∴AB＝EF≈7.2 km.
答：该机场东西两栋建筑物A，B之间的距离约为7.2 km.
23．解：(1)因为二次函数y1＝－x2＋2x＋m的图象与x轴的一个交点为A(3，0)，
所以0＝－9＋6＋m，所以m＝3.
(2)由题意知一次函数y2＝kx＋b的图象平分线段AC，
所以一次函数y2＝kx＋b的图象经过AC的中点．
由(1)知y1＝－x2＋2x＋3，
令y1＝0，即－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，
所以点B的坐标为(－1，0)．
当x＝0时，y1＝3，所以点C的坐标为(0，3)．
所以线段AC的中点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(3,2))).
因为一次函数y2＝kx＋b的图象经过点B(－1，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(3,2)))，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0＝－k＋b，,\f(3,2)＝\f(3,2)k＋b，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝\f(3,5)，,b＝\f(3,5).))
24．解：(1)如图，作CE⊥AB于点E，
(第24题)
由题意，得∠ABC＝45°，∠BAC＝60°.
设AE＝x n mile，
在Rt△AEC中，CE＝AE·tan 60°＝eq \r(3)x n mile；
在Rt△BCE中，BE＝CE＝eq \r(3)x n mile.
∴AB＝AE＋BE＝(x＋eq \r(3)x)n mile.
又∵AB＝100(eq \r(3)＋1)n mile，
∴x＋eq \r(3)x＝100(eq \r(3)＋1)，解得x＝100，
∴AC＝200 n mile.
在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°.
过点D作DF⊥AC于点F.
设AF＝y n mile，则DF＝CF＝eq \r(3)y n mile，
∴y＋eq \r(3)y＝200，解得y＝100(eq \r(3)－1)，
∴AD＝200(eq \r(3)－1)n mile.
答：A与C之间的距离为200 n mile，A与D之间的距离为200(eq \r(3)－1) n mile.
(2)在Rt△ADF中，∠DAF＝60°，
∴DF＝AD·sin 60°＝200(eq \r(3)－1)×eq \f(\r(3),2)≈127(n mile)．
∵127 n mile>100 n mile，
∴在去营救的途中无触礁的危险．
25．解：(1)设每月销售量y(万个)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式为y＝kx＋b.
把x＝20，y＝60和x＝30，y＝40分别代入，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(20k＋b＝60，,30k＋b＝40，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－2，,b＝100，))
所以y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋100.
(2)因为每个生产成本为16元，一件产品的利润率不得高于50%，
所以x≤(1＋50%)×16＝24.
设该公司每月获得的利润为w万元，
则w＝y(x－16)＝(－2x＋100)(x－16)＝－2x2＋132x－1 600＝－2(x－33)2＋578，
因为图象开口向下，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
所以当x＝24时，w最大，最大值为416.
答：销售单价定为24元/个时，每月可获利最大，最大利润为每月416万元．
26．解：(1)将点E(－2，4)，B(2，0)的坐标代入y＝ax2＋bx＋4中，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a－2b＋4＝4，,4a＋2b＋4＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,2)，,b＝－1.))
所以抛物线的表达式为y＝－eq \f(1,2)x2－x＋4.
(2)存在点P，使得以P，Q，A，M为顶点且以AM为边的四边形是平行四边形，
在y＝－eq \f(1,2)x2－x＋4中，令x＝0，则y＝4，
所以点C(0，4)．
令y＝0，则－eq \f(1,2)x2－x＋4＝0，解得x1＝－4，x2＝2，
所以点A(－4，0)．对称轴为直线x＝－eq \f(－1,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝－1，
所以点Q的横坐标为－1.
设直线AC的表达式为y＝kx＋t，
将点A(－4，0)，C(0，4)的坐标代入y＝kx＋t中，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－4k＋t＝0，,t＝4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝1，,t＝4.))
所以直线AC的表达式为y＝x＋4.
又由E(－2，4)，EM⊥x轴，易得M(－2，2)．
设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，－\f(1,2)m2－m＋4))，
①如图，当四边形AMQ1P1为平行四边形时，－2－(－4)＝－1－m，
所以m＝－3，所以P1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，\f(5,2))).
②如图，当四边形AMP2Q2为平行四边形时，－2－(－4)＝m－(－1)，
所以m＝1，所以P2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,2))).
综上，存在点P，使得以P，Q，A，M为顶点且以AM为边的四边形是平行四边形，点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，\f(5,2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,2))).
(第26题)x
…
－1
0
1
2
3
…
y＝ax2＋bx＋c
…
5
3
2
3
6
…
销售单价x/(元/个)
…
20
25
30
35
…
每月销售量y/万个
…
60
50
40
30
…