北师大版九年级数学下册 【期中冲刺】常考高频考点突破卷（考试范围：第一章~第二章）（解析版）

这是一份北师大版九年级数学下册 【期中冲刺】常考高频考点突破卷（考试范围：第一章~第二章）（解析版），共42页。

【期中冲刺】常考高频考点突破卷
（考试范围：第一章~第二章 考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
本卷试题共三大题，共25小题，单选10题，填空8题，解答7题，限时90分钟，满分120分，本卷题型精选核心常考重难易错典题，具备举一反三之效，覆盖面积广，可充分考查学生双基综合能力！
一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2022·浙江西湖·九年级期末）已知点A是⊙O外一点，且⊙O的半径为3，则OA可能为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．
【详解】解：∵点A为⊙O外的一点，且⊙O的半径为3，
∴线段OA的长度＞3．
故选：D．
【点睛】此题考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．
2．（2022·浙江西湖·九年级期末）若一个扇形的圆心角是90°，面积为π，则这个扇形的半径是（ ）
A．2B．4C．2πD．4π
【答案】A
【分析】直接代入扇形的面积公式即可得出答案．
【详解】解：由题意可得：，
∴扇形的半径为2，
故选：A．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式．
3．（2020·上海普陀·期末）如果一弧长是其所在圆周长的，那么这条弧长所对的圆心角为（ ）
A．15度B．16度C．20度D．24度
【答案】C
【分析】根据弧长公式和圆的周长公式的关系即可得出答案
【详解】解：∵一弧长是其所在圆周长的，
∴
∴
∴这条弧长所对的圆心角为
故选：C
【点睛】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．
4．（2022·浙江西湖·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD垂直平分半径OC，若∠ABD＝45°，则∠ADC＝（ ）
A．100°B．105°C．110°D．115°
【答案】B
【分析】设BD交OC于E，连接OD，OA，求出OE=OD，求出∠ODE=30°，求出∠ODC=60°，根据圆周角定理求出∠AOD，求出∠ADO=∠OAD=45°，再求出答案即可．
【详解】解：设BD交OC于E，连接OD，OA，
∵BD垂直平分OC，
∴OE=OC=OD，∠OED=90°，
∴∠ODE=30°，
∴∠DOC=90°-30°=60°，
∵OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∵∠ABD=45°，
∴∠AOD=2∠ABD=90°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠OAD=（180°-∠AOD）=45°，
∴∠ADC=∠ADO+∠ODC=45°+60°=105°，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的定义，圆周角定理等知识点，能求出∠AOD和∠ODC的度数是解此题的关键．
5．（2021·山东日照·九年级期中）如图，AB是的直径，点C在上，连接AC、BC，过点O作交于点D，点C、D在AB的异侧．若，则的度数是（ ）
A．66°B．67°C．57°D．48°
【答案】C
【分析】先求出，得出，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再由圆周角定理求出的度数即可．
【详解】解：连接，如图所示：
，
，
是的直径，
，
．
，
，
，
；
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理的内容．
6．（2022·江苏无锡·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．则△ABC的外心坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由BC两点的坐标可以得到直线BC∥y轴，则直线BC的垂直平分线为直线y=1，再由外心的定义可知△ABC外心的纵坐标为1，则设△ABC的外心为P（a，-1），利用两点距离公式和外心的性质得到，由此求解即可．
【详解】解：∵B点坐标为（2，-1），C点坐标为（2， 3），
∴直线BC∥y轴，
∴直线BC的垂直平分线为直线y=1，
∵外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，
∴△ABC外心的纵坐标为1，
设△ABC的外心为P（a，1），
∴，
∴，
解得，
∴△ABC外心的坐标为（-2， 1），
故选D．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，外心的性质与定义，两点距离公式，解题的关键在于能够熟知外心是三角形三边垂直平分线的交点．
7．（2021·山东临沭·九年级期中）如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，0）．
故选：B．
【点睛】本题考查垂径定理的应用，解题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．
8．（2022·浙江北仑·九年级期末）我国古代数学名著《九章算术》中有一个经典的“圆材埋壁”问题： “今有圆材埋壁中，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何? "意思是： 如图，CD是⊙O的直径， 弦 AB⊥CD于P，CP=1寸，AB=10寸，则直径CD的长是 （ ）寸
A．20B．23C．26D．30
【答案】C
【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DP垂直AB得到点P为AB的中点，由AB=6可求出AP的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OP，根据勾股定理建立关于x的方程，解方程直接可得2x的值，即为圆的直径．
【详解】解：连接OA，
∵AB⊥CD，且AB=10寸，
∴AP=BP=5寸，
设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x，
∵CP=1，
∴OP=x-1，
在直角三角形AOP中，根据勾股定理得：
x2-（x-1）2=52，化简得：x2-x2+2x-1=25，
即2x=26，
∴CD=26（寸）．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．
9．（2022·重庆·西南大学附中九年级期末）如图，在矩形ABCD中，，，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AD于点F，则图中阴影部分面积为（ ）．（结果保留）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】连接BE．则阴影部分的面积=S矩形ABCD-S△ABE-S扇形BCE，根据题意知BE=BC=4，则∠AEB=∠EBC=30°，AE=，进而求出即可．
【详解】解：如图，连接BE，
则BE=BC=4，
在Rt△ABE中，AB=2、BE=4，
∴∠AEB=∠EBC=30°，AE=，
则阴影部分的面积=S矩形ABCD-S△ABE-S扇形BCE
=2×4-×2×-
=8--，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了扇形面积求法，本题中能够将不规则图形的面积进行转换成规则图形的面积差是解题的关键．
10．（2022·山东安丘·九年级期末）某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO＝3m，若栏杆的旋转角∠AOA′＝40°，则AO部分扫过的图形面积为（ ）
A．m2B．m2C．2πm2D．πm2
【答案】D
【分析】根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：由题意得
AO部分扫过的图形面积=m2，
故选：D．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，那么扇形的面积为：．
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．（2022·江苏·南京市金陵汇文学校九年级期末）中，，，点I是的内心，点O是的外心，则______．
【答案】14.3
【分析】如图，过点A作交于点D，由等腰三角形得点I、点O都在直线AD上，连接OB、OC，过点I作交于点E，设，，根据勾股定理求出，则，，由勾股定理求出R的值，证明由相似三角形的性质得，求出r的值，即可计算．
【详解】解：
如图，过点A作交于点D，
∵，，
∴是等腰三角形，
∴，
∵点I是的内心，点O是的外心，
∴点I、点O都在直线AD上，
连接OB、OC，过点I作交于点E，
设，，
在中，，
∴，，
在中，，
解得：，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∴．
故答案为：14.3．
【点睛】本题考查内切圆与外接圆，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，掌握内切圆的圆心为三角形三条角平分线的交点，外接圆圆心为三角形三条垂直平分线的交点是解题的关键．
12．（2021·上海市彭浦初级中学期末）如图，一个边长是1的等边三角形ABC，将它沿直线l作顺时针方向滚动，求滚动100次，B点所经过的路程____________．（结果保留）
【答案】
【分析】如图找规律，路程为计算求解即可．
【详解】解：如图，
，，，
滚动100次，点经过的路程为
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长．解题的关键在于找出滚动过程中的规律．
13．（2020·浙江北仑·九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为 _____．
【答案】
【分析】连接OC，根据垂径定理求出CP，根据勾股定理得出关于R的方程，求出方程的解即可．
【详解】解：连接OC，
∵AB⊥CD，AB过圆心O，CD＝8，
∴CP＝DP＝4，
设⊙O的半径为R，
∵AP＝8，
∴OP＝8﹣R，
在Rt△COP中，由勾股定理得：CP2+OP2＝OC2，
即（8﹣R）2+42＝R2，
解得：R＝5，
∴⊙O的直径为2×5＝10，
故答案为：10．
【点睛】此题考查了垂径定理及勾股定理，熟记两个定理的计算及正确应用解决问题是解题的关键．
14．（2022·黑龙江省八五四农场学校九年级期末）如图，PB与⊙O相切于点B，OP与⊙O相交于点A，∠P＝30°，若⊙O的半径为2，则OP的长为 _____．
【答案】4
【分析】连接OB，利用切线性质，判定三角形POB是直角三角形，利用直角三角形的性质，确定PO的长度即可．
【详解】解：如图，连接OB，
∵PB与⊙O相切于点B，
∴∠PBO＝90°，
∵∠P＝30°，OB=2，
∴PO=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了切线性质，直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
15．（2022·江苏兴化·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点，且与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，点C在第四象限的⊙M上，且∠AOC=60°，OC=3，则点B的坐标是___________．
【答案】（，）##（，）
【分析】连接AC，AB，BC，过点C作CH⊥OA于H，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理在Rt△OCH中，先后求得OH，CH，AH，再在Rt△ACH中，求得AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理构建方程求得BC，AB，再在Rt△AOB中，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：连接AC，AB，BC，过点C作CH⊥OA于H，
∵∠AOC=60°，则∠OCH=30°，且OC=3，
∴OH=OC=，CH=，
∵点A(4，0)，
∴AO=4，
∴AH= AO- OH=，
在Rt△ACH中，
AC=，
∵∠BOA=90°，
∴AB为⊙M的直径，
∴∠BCA=90°，
∵∠AOC=60°，
∴∠ABC=60°，则∠BAC=30°，
在Rt△ABC中，BC=AB，
AB2=AC2+BC2，即AB2=()2+(AB)2，
∴AB2=，
在Rt△AOB中，OB2=AB2- AO2=，
∴OB=，
点B的坐标是：（，）．
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
16．（2020·浙江镇海·九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，且AB＝10，点C为⊙O上半圆的一点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于点D，弦AC＝6，那么△ACD的面积是_______．
【答案】21
【分析】连接OD，作AG⊥CD于G，利用角平分线定义、直径所对的圆周角为直角与余角的性质推得∠ACD为45°，然后由等腰直角三角形的性质求出AG和CG的长，再利用垂径定理得出∠AOD＝90°，于是由等腰直角三角形的性质求出AD的长度，则由勾股定理可求GD的长度，进而求出CD的长，现知△ACD的底和高，则其面积可求．
【详解】解：如图，连接OD，BD，过点A作AG⊥CD于G，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠CAB＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAB＝90°，
∴∠ACE＝∠ABC，
∵OC＝OB，
∵∠CBO＝∠BCO，
∴∠ACE＝∠BCO，
∵CD平分∠ECO，
∴∠ECD＝∠OCD，
∴∠ACE+∠ECD＝45°，
∵AC＝6，
∴AG＝CG＝3，
∵∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴AD＝BD，
∴OD⊥OA，
∴OA＝OD，
∵AB＝10，
∴AD＝OA＝5，
∴DG＝，
∴CD＝CG+GD＝3+4＝7，
∴△ACD的面积＝×CD×AG＝×7×3＝21．
故答案为：21．
【点睛】本题考查角平分线定义，直径所对圆周角性质，等腰直角三角形性质，垂径定理，勾股定理三角形面积，掌握角平分线定义，直径所对圆周角性质，等腰直角三角形性质，垂径定理，勾股定理三角形面积是解题关键．
17．（2022·福建省福州延安中学九年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，以点A为圆心作圆弧，与BC相切于点D，且分别交边AB，AC于点EF，则扇形AEF的面积为 _____．（结果保留π）
【答案】##
【分析】先判断出△ABC是等腰直角三角形，从而连接AD，可得出AD=1，直接代入扇形的面积公式进行运算即可．
【详解】解：∵AB=AC=，BC=2，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，
连接AD，则AD=BC=1，
则S扇形AEF=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形的面积计算、勾股定理的逆定理及等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，难度一般，解答本题的关键是得出AD的长度及∠BAC的度数．
18．（2022·北京丰台·九年级期末）数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径．如图所示，小东首先在内圈圆上取点A，B，再作弦AB的垂直平分线，垂足为C，交于点D，连接CD，经测量cm，cm，那么这个齿轮内圈圆的半径为______cm．
【答案】5
【分析】由垂径定理，可得出BC的长；连接OB，在Rt△OBC中，可用半径OB表示出OC的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．
【详解】解：设圆心为O，连接OB．
Rt△OBC中，BC＝AB＝4cm，
根据勾股定理得：OC2＋BC2＝OB2，即：（OB−2）2＋42＝OB2，
解得：OB＝5；
故轮子的半径为5cm．
故答案为：5．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题8分，24-25每题13分，共66分。
19．（2022·江苏无锡·九年级期末）如图，AB是的直径，AN、AC是的弦，P为AB延长线上一点，AN、PC的延长线相交于点M，且，．
(1)试判断直线PC与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求MN的长．
【答案】(1)直线PC与⊙O相切，证明见解析
(2)
【分析】
（1）如图，连接OC，，，， ，是半径，进而可说明直线PC与⊙O相切．
（2）如图，连接ON，，，为等边三角形；可知的值，，求得的值，求解即可．
【详解】(1)解：直线PC与⊙O相切．
如图，连接OC，则
∴
∵
∴
∴
∵AB为⊙O的直径
∴
∴
即
∴直线PC与⊙O相切．
(2)
解：如图，连接ON
∵，，，
∴，，
∵，
∴
∴
∴
∵，
∴为等边三角形
∴
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定与性质，的直角三角形，三角形相似等知识点．解题的关键在于灵活综合运用知识．
20．（2020·浙江北仑·九年级期中）如图，在7×7的正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，一条圆弧经过A，B，C三点．
(1)在正方形网格中直接标出这条圆弧所在圆的圆心O；
(2)求弧AC的长．
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】
（1）线段AB、线段BC的垂直平分线的交点即为圆心O；
（2）根据勾股定理的逆定理得到∠AOC＝90°，然后根据弧长公式即可得到结论．
【详解】解：(1)如图，连接AB，BC 作线段AB、线段BC的垂直平分线，两线的交于点O，
则点O即为所示；
(2)
连接AC，AO，OC，
∵AC2＝62+22＝40，OA2=22+42=4+16=20，OC2=42+22=16+4=20，
∴OA2+OC2＝42+22+42+22＝40，
∴AC2＝OA2+OC2，
∴∠AOC＝90°，
在Rt△AOC中，∵OA＝OC＝2，
∴的长＝，
【点睛】本题考查尺规作图作圆弧的圆心，线段的垂直平分线，勾股定理与勾股定理逆定理，扇形弧长，掌握尺规作图作圆弧的圆心，线段的垂直平分线，勾股定理与勾股定理逆定理，扇形弧长是解题关键．
21．（2021·江苏宝应·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，点P为AB的中点，E为BC上一动点，过P点作FP⊥PE交AC于F点，经过P、E、F三点确定⊙O．
(1)试说明：点C也一定在⊙O上．
(2)点E在运动过程中，∠PFE的度数是否变化？若不变，求出∠PFE的度数；若变化，说明理由．
(3)求线段EF的取值范围，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)∠PFE的度数不变，是45°
(3)≤EF≤8．
【分析】
（1）先根据直径所对的圆周角是直角，先证得EF是直径，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得点C在圆上即可；
（2）根据线段的垂直平分线的判定，可证得PE=PF，得到∠PCB=45°，进而根据∠PCB=45°以及等弧所对的圆周角相等即可解决问题；
（3）根据E点的移动，可知当E与C重合时，EF最长，而当EF为△ABC的中位线时，EF最短，即可求出线段EF的取值范围.
【详解】解：(1)如图，连接，
∵FP⊥PE，
∴∠FPE=90°，
∴EF为直径，
∴OP=OE=OF，
∵∠C=90°，
∴OC=OE=OF，
∴点C在⊙O上，
(2)
连接PC
∵AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点P是AB的中点，
∴CP平分∠ACB，
∴∠ACP=45°，
∵，
∴∠BCP=∠PFE=45°，
由于∠BCP的度数不变，
∴∠PFE的度数不会发生变化,为45°．
(3)
当E与C重合时，EF最长，此时EF=AC=8；
当EF为△ABC的中位线时，EF最短，根据勾股定理可得AB=8，
根据三角形的中位线可得EF=4，
所以≤EF≤8．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是90度，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，同弧所对的圆心角相等，三角形中位线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握以上定理是解题的关键．
22．（2022·广东汕尾·九年级期末）如图，在边长为 1 的正方形组成的网格中，△AOB 的顶点均在格点上，点 A，B 的坐标分别是（3，2）， （1， 3）)．将△AOB 绕点 O 逆时针旋转90 后得到A1OB1．
(1)画出A1OB1，并直接写出点A1的坐标；
(2)求旋转过程中点 B 经过的路径长．
【答案】(1)作图见解析，A1（-2，3）
(2)旋转过程中点 B 经过的路径长为
【分析】
（1）如图：根据旋转角度将图形旋转，画出图像，根据图像找出的坐标即可；
（2）旋转过程中点 B 经过的路径长为，，其中，，计算求解即可．
【详解】(1)解：如图
由图可知的坐标为；
(2)
解：由题意知：
∵
∴
∴旋转过程中点 B 经过的路径长为．
【点睛】本题考查了旋转，弧长等知识．解题的关键在于根据旋转角度化旋转后的图形以及弧长计算公式．
23．（2022·黑龙江道里·九年级期末）四边形ABCD为矩形，点A，B在⊙O上，连接OC、OD．
(1)如图1，求证：OC＝OD；
(2)如图2，点E在⊙O上，DE∥OC，求证：DA平分∠EDO；
(3)如图3，在（2）的条件下，DE与⊙O相切，点G在弧BF上，弧FG＝弧AE，若BG＝3，DF＝2，求AB的长．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)
【分析】
（1）连接OA、OB，则OA=OB，根据矩形的性质和等腰三角形的性质证得∠DAO=∠CBO，AD=BC，进而利用SAS证明△AOD≌△BOC即可证得结论；
（2）过O作OM⊥CD于M，则OM∥AD，根据等腰三角形的三线合一性质证得∠DOM=∠COM=∠COD，根据平行线的性质证得∠ODA=∠DOM=∠COD=∠EDO，进而证得结论；
（3）连接OB、OG、AG、OE、EF，设EF与AD相交于H，利用切线性质可得OE⊥DE，进而得到OC⊥OE，利用弦切角定理和角平分线定义得到∠AHE=45°，根据平行线的性质证得∠DAG=∠AHE=45°，再利用圆周角定理和勾股定理求得圆的半径和DE长，过D作DN⊥OC于N，利用矩形的判定与性质可得DN=OE=3，ON=DE=4，再利用勾股定理求得CD即可求得AB长．
【详解】解：(1)证明：如图1，连接OA、OB，则OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，AD=BC，AB=CD，
∴∠DAO=∠CBO，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴OC=OD；
(2)
证明：过O作OM⊥CD于M，则∠OMD=90°，
∴∠ADC=∠OMC=90°，
∴OM∥AD，
∵OM⊥CD，OC=OD，
∴∠DOM=∠COM=∠COD，
∵OM∥AD，DE∥OC，
∴∠COD=∠EDO，∠DOM=∠ODA，
∴∠ODA=∠EDO，
∴DA平分∠EDO；
(3)
解：连接OB、OG、AG、OE、EF，设EF与AD相交于H，
∵DE与⊙O相切，
∴OE⊥DE，又OC∥DE，
∴OC⊥OE，
∴∠EOD+∠ODE=90°，即∠EOD+∠EDO=45°，
由（2）结论知，∠EDA=∠EDO，
∵∠DEF为弦切角，
∴∠DEF= ∠EOD，
∴∠AHE=∠DEF+∠EDA=45°，
∵弧FG＝弧AE，
∴EF∥AG，
∴∠DAG=∠AHE=45°，又∠BAD=90°，
∴∠BAG=90°－∠DAG=45°，
∴∠BOG=2∠BAG=90°，
在Rt△BOG中，OB=OG，BG＝3，
由勾股定理得：，即，
∴OB=3，
∴OE=OF=3，又DF＝2，
∴OD=OF+DF=3+2=5，
∴DE= = =4，
过D作DN⊥OC于N，则四边形EOND为矩形，
∴DN=OE=3，ON=DE=4，
∵OC=OD=5，
∴CN=OC－ON=5－4=1，
在Rt△CDN中，CD= = ，
∴AB=CD= ．
【点睛】本题考查圆的综合知识，涉及矩形的判定与性质、角平分线的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、切线性质、弦切角定理、三角形外角性质、圆周角定理、勾股定理等知识，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，通过添加辅助线联系相关知识求解是解答的关键．
24．（2021·江苏·苏州市第十六中学九年级期中）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC＝4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF＝，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ＝3x．
(1)用关于x的代数式表示BQ＝ ，DF＝ ．
(2)当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．
(3)当点P在点A右侧时，作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为2，求AP的长．
【答案】(1)5x，3x
(2)9
(3)
【分析】
（1）设AB交OD于点H，根据AQ：AB＝3：4，AQ＝3x．可得AB=4x，再由勾股定理可得 ，再由∠BAQ＝90°，可得BQ为直径，从而得到 ，进而得到CD=2x，再由DF＝，可得DF=3x，即可求解；
（2）过点O作OM⊥AQ于点M，根据题意可得CQ=6x+4，再证得OD=MC，根据BQ为直径，可得，从而得到DE=2x+4，然后根据矩形的面积，即可求解；
（3）过点B作BJ⊥EG于点J，过点O作OK⊥BN于点K，连接NQ，设直线BG交直线l于点I，则OK=2，∠NQB=90°，点K为BN的中点，可先证明∠JBG=45°，从而得到∠NIQ=45°，进而得到IN=NQ=4，AI=AB=4x，即可求解．
【详解】(1)解：如图，设AB交OD于点H，
在Rt△ABQ中，
∵AQ：AB＝3：4，AQ＝3x．
∴AB=4x，
∴ ，
∵m⊥l，OD⊥m，
∴OD∥l，CD=AH，
∵∠BAQ＝90°，
∴BQ为直径，
∴OB=OQ，
∴ ，即 ，
∴CD=2x，
∵DF＝，
∴DF=3x；
(2)
解：如图，过点O作OM⊥AQ于点M，
∵AP=AQ=3x，PC=4，
∴CQ=6x+4，
∵AB⊥AQ，
∴OM∥AB，
∵DE⊥DF，
∴OD=MC，
∵∠BAQ＝90°，
∴BQ为直径，
∴OB=OQ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴DE=2x+4，
∵矩形DEGF的面积等于90，
∴ ，
解得： （舍去），
∴AP=3x=9；
(3)
解：过点B作BJ⊥EG于点J，过点O作OK⊥BN于点K，连接NQ，设直线BG交直线l于点I，则OK=2，∠NQB=90°，点K为BN的中点，
∵点O为BQ的中点，
∴NQ=2OK=4，
∵EG⊥DE，AB⊥OD，
∴BJ=HE，JE=BH=2x，
∵GE=DF=3x，
∴GJ=x，
由（1）知H为AB的中点，
∴ ，
∴ ，
∴BJ=GJ，
∴∠GBJ=45°，
根据题意得：BJ∥IQ，
∴∠NIQ=45°，
∴∠IQN=45°，∠ABN =45°，
∴∠NIQ=∠IQN，∠NIQ=∠ABN，
∴IN=NQ=4，AI=AB=4x，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，圆中圆周角是直角所对的弦为直径，勾股定理，垂径定理，矩形的性质等知识，熟练掌握圆的基本性质，圆中直角所对的弦为直径，勾股定理，垂径定理，矩形的性质等知识是解题的关键．
25．（2022·北京西城·九年级期末）在平面直角坐标系中，的半径为1，点在上，点在内，给出如下定义：连接并延长交于点，若，则称点是点关于的倍特征点．
（1）如图，点的坐标为．
①若点的坐标为，则点是点关于的_______倍特征点；
②在，，这三个点中，点_________是点关于的倍特征点；
③直线经过点，与轴交于点，.点在直线上，且点是点关于的倍特征点，求点的坐标；
（2）若当取某个值时，对于函数的图象上任意一点，在上都存在点，使得点是点关于的倍特征点，直接写出的最大值和最小值．
【答案】（1）①；②；③（，）；（2）k的最小值为，k有最大值为．
【分析】
（1）①先求出AP，AB的长，然后根据题目的定义求解即可；
②先求出，，即可得到，假设点是点A关于⊙O的倍特征点，得到，则不符合题意，同理可以求出，假设点是点A关于⊙O的倍特征点，得到，可求出点F的坐标为（0，-1），由点的坐标为（，0），得到，则，则点不是点A关于⊙O的倍特征点；
③设直线AD交圆O于B，连接OE，过点E作EF⊥x轴于F，先求出E是AB的中点，从而推出∠EOA=30°，再求出，，即可得到点E的坐标为（，）；
（2）如图所示，设直线与x轴，y轴的交点分别为C、D过点N作NP⊥CD交CD于P，交圆O于B，过点O作直线EF⊥CD交圆O于E，F即可得到，，由，可得，可以推出当的值越大，k的值越大，则当AM=BP，MN=NP时，k的值最小，即当A与E重合，N于F重合时，k的值最小，由此求出最小值即可求出最大值．
【详解】解：（1）①∵A点坐标为（1，0），P点坐标为（，0），
∴，B点坐标为（-1，0），
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
②∵的坐标为（0，），A点坐标为（1，0），
∴，，
∴
假设点是点A关于⊙O的倍特征点，
∴，
∴不符合题意，
∴点不是点A关于⊙O的倍特征点，
同理可以求出，
假设点是点A关于⊙O的倍特征点，
∴，
∴即为AF的中点，
∴点F的坐标为（0，-1），
∵点F（0，-1）在圆上，
∴点是点A关于⊙O的倍特征点，
∵点的坐标为（，0），
∴，
∴，
∴点不是点A关于⊙O的倍特征点，
故答案为：；
③如图所示，设直线AD交圆O于B，连接OE，过点E作EF⊥x轴于F，
∵点E是点A关于⊙O的倍的特征点，
∴，
∴E是AB的中点，
∴OE⊥AB，
∵∠EAO=60°，
∴∠EOA=30°，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点E的坐标为（，）；
（2）如图所示，设直线与x轴，y轴的交点分别为C、D过点N作NP⊥CD交CD于P，交圆O于B，过点O作直线EF⊥CD交圆O于E，F
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵当k越大时，的值越小，
∴的值越大，
∴当的值越大，k的值越大，
∴当AM=BP，MN=NP时，k的值最小，
∴当A与E重合，N于F重合时，k的值最小，
∵C、D是直线与x轴，y轴的交点，
∴C（1，0），D点坐标为（0，1），
∴OC=OD=1，
∴，
∵OG⊥CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴k的最小值为，
∴当N在E点，A在F点时，k有最大值为．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数与坐标轴的交点问题，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理等等，解题的关键在于能够正确理解题意进行求解．