吉林省长春市东北师大附中2024届高三上学期二模试题数学（Word版附解析）

这是一份吉林省长春市东北师大附中2024届高三上学期二模试题数学（Word版附解析），共27页。试卷主要包含了 已知集合，，则， 已知函数为奇函数，则的值是， 函数在区间上的图象大致为， 在中，角所对边分别为， 若、、，则下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。

一.选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“，函数是偶函数”的否定是（ ）
A. ，函数不是偶函数B. ，函数不是偶函数
C. ，函数奇函数D. ，函数是奇函数
3. 已知函数为奇函数，则的值是（ ）
A. 0B. C. 12D. 10
4. “碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量（亿吨）与时间（年）满足函数关系式，若经过5年，二氧化碳的排放量为（亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自身产生的二氧化碳排放量为（亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年？（参考数据：）（ ）
A. 43B. 44C. 45D. 46
5. 函数在区间上的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，角所对边分别为.已知，：是等腰三角形.则是的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 已知为正实数，且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数的定义域为，且，，则的值是（ ）
A. 9B. 10C. 11D. 12
二.选择题：本小题4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若、、，则下列命题正确的是（ ）
A. 若且，则
B. 若，则
C. 若且，则
D
10. 已知函数，则满足的整数的取值可以是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
11. 已知函数任一对称轴与其相邻的零点之间的距离为，若将曲线的图象向左平移个单位得到的图象关于轴对称，则（ ）
A.
B. 直线为曲线的一条对称轴
C. 若在单调递增，则
D. 曲线与直线有5个交点
12. 已知函数，，则（ ）
A. 函数在上无极值点
B. 函数在上存在极值点
C. 若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值
D. 若，则的最大值为
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数的图像在处的切线方程是，则______．
14. 设定义在上且，则______．
15. 已知，，则______．
16. 修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道、以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为__________百米.
四.解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. 已知函数的最小正周期为是函数一个零点.
（1）求；
（2）在中，角的对边分别为，求面积的最大值.
18. 已知正项数列前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若数列满足，求证：．
19. 年月某学校举行了普通高中体育与健康学业水平合格性考试．考试分为体能测试和技能测试，其中技能测试要求每个学生在篮球运球上篮、羽毛球对拉高远球和游泳个项目中任意选择一个参加．某男生为了在此次体育学业考试中取得优秀成绩，决定每天训练一个技能项目．第一天在个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的个项目中任意选一项训练．
（1）若该男生进行了天的训练，求第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率；
（2）设该男生在考前最后天训练中选择“羽毛球对拉高远球”的天数为，求的分布列及数学期望．
20. 如图，在四棱锥中，，，，平面平面.
（1）求证：面；
（2）点在棱上，设，若二面角余弦值为，求.
21. 已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过，两点.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知点，设过点的直线交于，两点，直线，分别与轴交于点，，当时，求直线的斜率.
22. 已知函数.
（1）讨论函数的极值点个数；
（2）若，最小值是，求实数的取值范围.
数学试题
试题满分：150分 考试时间：120分钟
一.选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为或，
又因为，因此，.
故选：B.
2. 命题“，函数是偶函数”的否定是（ ）
A. ，函数不是偶函数B. ，函数不是偶函数
C. ，函数是奇函数D. ，函数是奇函数
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题易得.
【详解】因为命题“，函数是偶函数”是全称量词命题，
所以其否定是存在量词命题，即“，函数不是偶函数”.
故选：B.
3. 已知函数为奇函数，则的值是（ ）
A. 0B. C. 12D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】由奇函数的性质可知，由此可以求出的值，进而可以求出.
【详解】因为函数为奇函数，
所以，即，即或，
显然函数的定义域为关于原点对称，
且当时，有，从而有，
当时，有，但，
所以，即，
所以.
故选：D.
4. “碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量（亿吨）与时间（年）满足函数关系式，若经过5年，二氧化碳的排放量为（亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自身产生的二氧化碳排放量为（亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年？（参考数据：）（ ）
A. 43B. 44C. 45D. 46
【答案】C
【解析】
【分析】由条件列式确定参数，再结合对数运算解方程即可.
【详解】由题意可得，即，解得，
令，即，
两边取对数得，
所以，即，
解得，
故选：C
5. 函数在区间上的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇偶性排除D，再取特值排除AB.
【详解】因为，关于原点对称，
，
所以函数为奇函数，故D错误；
因为，所以，所以，故A错误；
因为，所以，所以，故B错误；
故选：C.
6. 在中，角所对的边分别为.已知，：是等腰三角形.则是的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理边角互化思想结合充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】在中，若，由正弦定理，
得，所以，所以，所以为等边三角形，
若命题成立，则是等腰三角形，即命题成立；
反之，为等腰三角形，不一定为等边三角形，
如在中，，，则不成立，
所以是：是等腰三角形的充分不必要条件.
故选：B.
7. 已知为正实数，且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用，结合可得，进而可得答案.
【详解】因为为正实数，则，
即，
所以或，
所以或.
的取值范围是，
故选：D.
8. 已知函数的定义域为，且，，则的值是（ ）
A. 9B. 10C. 11D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】由赋值法先得，再由与关系列式求解．
【详解】中令，则，
中令，，则，
又中令，则，所以，
中，令，则，
再令，，则．
故选：D
二.选择题：本小题4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若、、，则下列命题正确的是（ ）
A. 若且，则
B. 若，则
C. 若且，则
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用作差法可判断BCD选项.
【详解】对于A选项，若且，取，，则，A错；
对于B选项，若，则，B对；
对于C选项，若且，则，
则，故，C错；
对于D选项，，
当且仅当时，等号成立，故，D对.
故选：BD.
10. 已知函数，则满足的整数的取值可以是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】BCD
【解析】
【分析】由函数的单调性与奇偶性转化后求解．
【详解】由题意得，故为偶函数，
而，当时，，
故在单调递增，在单调递减，
若，则，得，
即，解得
故选：BCD
11. 已知函数任一对称轴与其相邻的零点之间的距离为，若将曲线的图象向左平移个单位得到的图象关于轴对称，则（ ）
A.
B. 直线为曲线的一条对称轴
C. 若在单调递增，则
D. 曲线与直线有5个交点
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据周期可得，进而根据对称可得，即可求解A，代入验证即可判断B，根据正弦函数的单调性，即可求解C，根据函数的对称性，结合函数图象即可判断D.
【详解】由题意，故，又的图象向左平移个单位得到，所以，且，故，A正确；
因为，且为最小值，所以直线为曲线的一条对称轴，B对；
令,故易知在单调递增，故，C错；
直线与曲线均过点，且该直线与曲线均关于该点中心对称，
当时，，当时，，由对称性可知曲线与直线有5个交点，故D对．
故选：ABD．

12. 已知函数，，则（ ）
A. 函数在上无极值点
B. 函数在上存在极值点
C. 若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值
D. 若，则的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对求导后，根据导函数正负可确定的单调性，由极值点定义可知AB正误；由单调性可得，分离变量后，可知，利用导数可求得，知C正确；采用同构法可确定，可将化为，令，，利用导数可求得最大值，知D正确.
【详解】对于A，定义域为，，
令，则，
当时，；当时，；
，即在上单调递减，在上单调递增，
，在上单调递增，无极值点，A正确；
对于B，定义域为，，
令，则，
当时，；当时，；
，即上单调递减，在上单调递增，
，上单调递增，无极值点，B错误；
对于C，由A知：在上单调递增，
由得：，
则当时，，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，，即的最小值为，C正确；
对于D，若，则，
，，，
由AB知：均为定义域上的增函数，，，
由得：，，
；
令，则，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，即的最大值为，D正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题，其中D选项中涉及到多变量问题的求解，求解此类问题的基本思路是根据已知中的等量关系，将多变量转化为单变量的问题，从而将其转化为函数最值问题的求解.
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数的图像在处的切线方程是，则______．
【答案】10
【解析】
【分析】通过切线可得斜率即可导数值，再求函数值即可.
【详解】由已知切点在切线上，所以，
切点处的导数为切线斜率，所以，所以.
【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，属于基础题.
14. 设定义在上且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数解析式一一计算可得.
【详解】因为，
所以，
，
同理可得.
故答案为：
15. 已知，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由二倍角正切公式可求得，由，利用两角和差正切公式可求得结果.
【详解】，，
.
故答案为：.
16. 修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道、以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为__________百米.
【答案】
【解析】
【分析】连接CD，CE，设，建立出需要修建的栈道的函数关系式，利用导数求出最小值.
【详解】连接CD，CE，由半圆半径为1得：.
由对称性，设，又，，
所以，，
易知，所以的长为.
又，故，故，
令且，则，，
所以
所以栈道总长度最小值.
故答案为：.
四.解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. 已知函数的最小正周期为是函数一个零点.
（1）求；
（2）在中，角的对边分别为，求面积的最大值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据周期求出，再根据零点和的范围即可；
（2）代入求出值，再利用余弦定理和基本不等式即可求出最值.
【小问1详解】
依题意，周期，所以，
由题意得，
解得，而，
所以取，.
【小问2详解】
因为，所以，
因为，所以，则，
由余弦定理得，
因为，
则，
所以（当且仅当时，有最大值4），
因为，
所以面积的最大值为.
18. 已知正项数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若数列满足，求证：．
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用和与项的关系可求得，从而利用等差数列的通项公式即可求解；
（2）由（1）知，从而利用裂项相消法求得，从而可证.
【小问1详解】
∵，当时，，
两式相减得：，整理得，
∵，∴，当时，，
∴（舍）或，
∴是以1为首项，1为公差的等差数列，则；
【小问2详解】
由（1）知，，
∴，
∵，∴，即．
19. 年月某学校举行了普通高中体育与健康学业水平合格性考试．考试分为体能测试和技能测试，其中技能测试要求每个学生在篮球运球上篮、羽毛球对拉高远球和游泳个项目中任意选择一个参加．某男生为了在此次体育学业考试中取得优秀成绩，决定每天训练一个技能项目．第一天在个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的个项目中任意选一项训练．
（1）若该男生进行了天的训练，求第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率；
（2）设该男生在考前最后天训练中选择“羽毛球对拉高远球”的天数为，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）分别考虑第一天训练的是和不是“篮球运球上篮”的情况，根据古典概型概率公式可分别求得对应的概率，加和即可求得结果；
（2）分别求得每个可能的取值对应的概率，进而确定分布列；根据数学期望公式可求得期望.
【小问1详解】
记第一天训练的是“篮球运球上篮”且第三天也是训练“篮球运球上篮”为事件；
第一天训练的不是“篮球运球上篮”且第三天是训练“篮球运球上篮”为事件；
由题意知：三天的训练过程中，所有可能的情况有：种，
，，
第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率.
【小问2详解】
由题意知：所有可能的取值为，
考前最后天训练中，所有可能的情况有：种；
当时，第一天有种选择，之后每天都有种选择，；
当时，若第一天选择“羽毛球对拉高远球”，则第二天有种选择，之后每天只有种选择，共种选择；
若第二天选择“羽毛球对拉高远球”，则第一天有种选择，第三天种，之后每天只有种选择，共种选择；
第三天选择“羽毛球对拉高远球”，则第一天有种选择，第二天有种选择，第三天种选择，第四天有种选择，第五天有种选择，共种选择；
第四天选择“羽毛球对拉高远球”， 则第一天有种选择，第二天，第三天，第四天均只有种选择，第五天有种选择，共种选择；
第五天选择“羽毛球对拉高远球”， 则第一天有种选择，第二天，第三天，第四天，第五天都只有种选择，共种选择；
；
当时，只有第一天，第三天，第五天，选择“羽毛球对拉高远球”，共有种选择，；
，
的分布列为：
.
20. 如图，在四棱锥中，，，，平面平面.
（1）求证：面；
（2）点在棱上，设，若二面角余弦值，求.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据四边形为平行四边形可得，知，由面面垂直和线面垂直性质可得，结合可证得结论；
（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可构造方程求得.
【小问1详解】
取中点，连接，，
，，四边形为平行四边形，，
又，，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，，
，即，又，平面，
平面.
【小问2详解】
取中点，连接，
，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
以为坐标原点，正方向为轴正方向，作轴平行于直线，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
平面轴，平面的一个法向量，
，解得：，满足，
.
21. 已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过，两点.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知点，设过点的直线交于，两点，直线，分别与轴交于点，，当时，求直线的斜率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求得双曲线方程.
（2）设出过点的直线方程，然后与双曲线方程联立，结合韦达定理即可解决直线与双曲线的相交问题.
【小问1详解】
设曲线的方程为，由曲线过，两点，得，
解得，所以曲线的方程为.
【小问2详解】
由题意可设过点的直线方程为，由消去，
得，
则且，
解得①
设，则有②
设直线的方程为，令 得，
所以直线与轴交点的坐标为 ，
同理可得直线的方程为，令 得，
所以直线与轴交点的坐标为.
由题意可知，
所以，，
整理得，所以，
即
所以③
将②代入③得
，
整理得，
解得满足①式，
综上，.
22. 已知函数.
（1）讨论函数的极值点个数；
（2）若，的最小值是，求实数的取值范围.
【答案】（1）当时，恰有个极值点；当时，恰有个极值点；
（2）
【解析】
【分析】（1）求出的导数，按和分类讨论，并借助零点存在性定理推理作答即可；
（2）利用（1）中信息，按和探讨，利用导数研究函数的最小值求解即可.
【小问1详解】
函数的定义域为，
所以，
令，则，
令，可得，令，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，
①时，，则，令，可得，
令，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以有个极小值点；
②时，，
因为令，则，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
故，所以，当时取等号.
当时，，
此时，使得，
令，有，令，
，在上单调递增，即，
即有，即在上单调递增，
即，所以，
当时，，此时，使得，
因此，，单调递减，
，，单调递增，
，，单调递减，
，，单调递增，
所以由个极值点；
所以当时，恰有个极值点；当时，恰有个极值点；
【小问2详解】
由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，令，则，
函数在上单调递增，，则，
当时，，使得，，使得，
所以上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
其中，即，所以，
而符合要求，所以，
综上可得，实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：在研究极值问题时，根据导函数的零点情况对分类讨论是关键，函数的导函数的零点无法直接求解时，利用零点存在定理确定零点的范围是关键一步，另一种解法中，遇到指数对数混合的不等式时，利用切线放缩是常常能够起到简化的作用的方法.-
0
+
单调递减
极小值
单调递增