宁夏回族自治区银川一中2023-2024学年高二上学期期中考试数学（Word版附解析）

这是一份宁夏回族自治区银川一中2023-2024学年高二上学期期中考试数学（Word版附解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 焦点在 y轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为椭圆方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. 在空间直角坐标系中，直线的方向量分别为，则（ ）
A. B. C. 与异面D. 与相交
4. 已知动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A. 射线B. 直线
C. 椭圆D. 双曲线一支
5. 圆：关于直线对称的圆的方程为（ ）
A B.
C. D.
6. 双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线倾斜角可以是（ ）
A. B. C. D.
7. 过点，且圆心在直线上的圆与轴相交于，两点，则（ ）
A. 3B. C. D. 4
8. 如图所示，用一束与平面成角的平行光线照射半径为的球O，在平面上形成的投影为椭圆及其内部，则椭圆的（ ）

A. 长轴长为3B. 离心率为
C. 焦距为2D. 面积为
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知双曲线的焦点分别为，则下列结论正确的是（ ）
A. 渐近线方程为
B. 双曲线与椭圆的离心率互为倒数
C. 若双曲线上一点满足，则的周长为28
D. 若从双曲线的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
10. 有关圆与圆的下列哪些结论是正确的（ ）
A. 圆 的圆心坐标为，半径为5
B. 若分别为两圆上两个点，则的最大距离为
C. 两圆外切
D. 若为圆 上的两个动点，且，则的中点的轨迹方程为
11. 如图，在平行六面体中，，且，则下列说法中正确的有（ ）

A. B.
C. D. 直线平面
12. 若实数x，y满足曲线C：，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的最小值为
C. 直线与曲线C恰有1个交点，则实数
D. 曲线C上有4个点到直线的距离为1.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知直线：，：，当时，的值为__________.
14. 若椭圆的对称中心在原点，焦点在坐标轴上，且直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为______.
15. 设，分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为_________.
16. 已知，是圆：上的两个不同的点，若，则的取值范围为___________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知离心率为双曲线C与椭圆的焦点相同.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）求双曲线C的焦点到渐近线的距离.
18. 已知圆，直线过点.
（1）当直线与圆相切时，求直线的斜率；
（2）线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
19. 如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点，
（1）求证：
（2）求点到平面距离；
20. 椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程：
（2）过点且倾斜角为的直线与椭圆交于A、两点，线段的中垂线与轴交于点，是椭圆上的一点，求的最小值.
21. 如图，在四棱柱中，，，平面平面，.
（1）求证：平面；
（2）若为线段的中点，直线与平面所成角为45°，求平面与平面的夹角的余弦值.
22. 已知圆：，点是圆上的动点，点，为的中点，过作交于，设点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点的动直线与曲线相交于，两点.在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
银川一中2023-2024学年第一学期高二年级期中考试
数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设直线的倾斜角为，然后利用斜率公式即可
【详解】设直线的倾斜角为，
由可得斜率，即
故选：A
2. 焦点在 y轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆的标准方程，结合题干列出方程，即可.
【详解】因为焦点在 y轴上，故设椭圆方程为，
则，且，
解得：，所以椭圆的标准方程为.
故选：D
3. 在空间直角坐标系中，直线的方向量分别为，则（ ）
A. B. C. 与异面D. 与相交
【答案】A
【解析】
【分析】应用空间向量数量积的坐标运算，结合向量垂直表示即可确定直线的位置关系.
【详解】由，故，
所以.
故选：A
4. 已知动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A. 射线B. 直线
C. 椭圆D. 双曲线的一支
【答案】A
【解析】
【分析】利用两点间的距离公式分析条件的几何意义可得.
【详解】设，由题意知动点M满足|，故动点M的轨迹是射线.
故选：A.
5. 圆：关于直线对称的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】圆关于直线对称的圆之间的关系为：圆心关于直线对称，半径相等.所以求出关于直线对称的对称点即可解题.
【详解】圆：的圆心为，半径为2，
设关于直线对称的对称点为，
则，解得.
关于直线对称的对称点为，
圆：关于直线对称的圆的方程为.
故选：D.
6. 双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线倾斜角可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由双曲线的渐近线的斜率与双曲线的离心率的关系，以及直线斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】由于双曲线的渐近线为，
且注意到双曲线的离心率为，
又在双曲线中有平方关系：，
所以离心率为，
又由题意，
所以有，解得，
即双曲线的渐近线的斜率为，
由直线斜率和倾斜角的关系可知此双曲线的渐近线的倾斜角可以是或.
故选：B.
7. 过点，且圆心在直线上的圆与轴相交于，两点，则（ ）
A. 3B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由题意设圆的圆心、半径分别为，则圆的方程为，结合已知条件即可求出圆的方程，在圆的方程中令，即可求出，两点的坐标，由此即可得解.
【详解】因为圆心在直线上，所以设圆的圆心、半径分别为，
则圆的方程为，
将，代入圆的方程有，解得，
所以圆的方程为，
在圆的方程中令得，解得，
所以
故选：C.
8. 如图所示，用一束与平面成角的平行光线照射半径为的球O，在平面上形成的投影为椭圆及其内部，则椭圆的（ ）

A. 长轴长为3B. 离心率为
C. 焦距为2D. 面积为
【答案】C
【解析】
【分析】先根据投影的特点确定椭圆C的a，b的取值与球O半径长之间的关系，再结合椭圆的性质计算离心率分别判断各个选项即可．
【详解】
由题意知：，
椭圆的长轴长，A错误；
椭圆短轴长为球的直径，即,
椭圆的焦距为，C正确；
椭圆的离心率，B错误；
由图可知：椭圆的面积大于球大圆的面积，又球大圆的面积，
椭圆的面积大于，D错误．
故选：C．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知双曲线的焦点分别为，则下列结论正确的是（ ）
A. 渐近线方程为
B. 双曲线与椭圆的离心率互为倒数
C. 若双曲线上一点满足，则的周长为28
D. 若从双曲线的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
【答案】CD
【解析】
【分析】根据椭圆和双曲线的定义及性质一一判定即可.
【详解】由题意可得，令，故A错误；
易知双曲线和椭圆的离心率分别为，
显然它们不互为倒数，故B错误；
由双曲线的定义可知，
若，则，
又，故的周长为，故C正确；
由双曲线的图象可知左右两支上距离最近的两点为左右顶点，故D正确.
故选：CD
10. 有关圆与圆下列哪些结论是正确的（ ）
A. 圆 的圆心坐标为，半径为5
B. 若分别为两圆上两个点，则的最大距离为
C. 两圆外切
D. 若为圆 上的两个动点，且，则的中点的轨迹方程为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，将圆的方程化为标准方程即可判断；对于B，画出图形结合三角不等式即可求解；对于C，由的关系即可判断；对于D，画出图形，结合垂径分线定理分析即可.
【详解】对于A，将圆的方程化为标准方程得，
由此可知圆 的圆心坐标为，半径为5，故A选项正确；
对于B，将圆的方程化为，如图所示：

不妨设分别为两圆上两个点，四个点共线，
则由三角不等式可知，
而分别为两圆的半径，即，
是指两圆圆心之间的距离，即，
所以，
由等号成立的条件可知，当且仅当点与点重合，点与点重合时，，故B选项正确；
对于C，由B选项分析可知，
故两圆相交，而不是外切，故C选项错误；
对于D，如图所示：

由题意不妨设，中点为，则，
又由于的半径为，
所以由垂径分线定理可知，即，
所以点的坐标为，又点的坐标为，
所以，故D选项正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于B、D两选项的判断，因而是否能够准确作出图形、利用数学结合的思想来判断B、D两选项是解题的关键.
11. 如图，在平行六面体中，，且，则下列说法中正确的有（ ）

A. B.
C. D. 直线平面
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意由空间向量的加减运算即可得A正确；将两边平方利用向量数量积即可求得，可得B正确；由向量数量积计算可得，即C正确；易知是平面的一个法向量，可得D正确.
【详解】由平行六面体可知，所以，即A正确；
设，，，则为空间的一个基底，
因为，，
所以，，
，
可得，故B错误；
即，所以，故C正确；
在平面上，取，为基向量，则对于平面上任意一点，
存在唯一的有序实数对，使得．
又，，，
所以．
所以是平面的法向量．故D正确．
故选：ACD．
12. 若实数x，y满足曲线C：，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的最小值为
C. 直线与曲线C恰有1个交点，则实数
D. 曲线C上有4个点到直线的距离为1.
【答案】AB
【解析】
【分析】首先画出曲线表示的半圆，再根据点与直线，直线与圆的位置关系逐项判断；
【详解】
对于A:曲线即图象是以为圆心，2为半径的半圆，如图，，选项A正确；
对于B:代表曲线半圆上的点与的斜率，由图可知，曲线取点时，斜率最小，，选项B正确；
对于C：直线过定点，由图可知，当直线位于之间，或者直线与曲线C相切时恰有1个交点，
相切时，解得：或，故实数，选项C错误；
对于D：如图，曲线上最多有2个点到直线的距离为1，D错误；
故选：AB.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知直线：，：，当时，的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据两条直线的平行关系求a的值，再把a的值代入直线方程验证平行关系，进而得出a.
【详解】因为，所以，解得或.
当时，：，：，此时与重合，不符合题意；
当时，：，：，此时，符合题意.
综上，的值为.
故答案为：.
14. 若椭圆的对称中心在原点，焦点在坐标轴上，且直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为______.
【答案】或
【解析】
【分析】对椭圆的焦点进行分类讨论，求出的值即可.
【详解】由于直线与坐标轴的交点为与．
①当焦点为，顶点为时，
此时椭圆焦点在x轴上，且，，
所以
所以椭圆的标准方程为．
②当焦点为，顶点为时，
此时椭圆焦点在y轴上，且，，
所以
所以椭圆的标准方程为．
综上所述，椭圆的标准方程为或．
故答案为：或．
15. 设，分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为_________.
【答案】##
【解析】
【分析】如图，设，由题意，椭圆定义结合余弦定理可得，后在由余弦定理可得，即可得答案.
【详解】如图，设，则，.
又由椭圆定义可得.
则在中，由余弦定理可得:
.
则，
则在由余弦定理可得：
.
又.
故答案为：

16. 已知，是圆：上的两个不同的点，若，则的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】为和到直线距离之和的倍，是的中点到直线距离的倍，利用点轨迹，求取值范围.
【详解】由题知，圆的圆心坐标，半径为2，因为，所以．
设为的中点，所以，所以点的轨迹方程为．
点的轨迹是以为圆心半径为的圆.
设点，，到直线的距离分别为，，，
所以，，，
所以．
因为点到直线的距离为，所以，
即，所以．
所以的取值范围为．
故答案为：
【点睛】思路点睛：
利用的几何意义，问题转化为为和到直线距离之和，再转化为的中点到直线距离，由点轨迹是圆，可求取值范围.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知离心率为的双曲线C与椭圆的焦点相同.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）求双曲线C的焦点到渐近线的距离.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件取得双曲线的，从而求得双曲线的标准方程.
（2）利用点到直线的距离公式求得正确答案.
【小问1详解】
椭圆的焦点坐标为，
设双曲线的方程为，，
所以双曲线的半焦距.
又由，得，
所以，
所以双曲线C的标准方程为.
【小问2详解】
由（1）知，双曲线C的焦点坐标为，渐近线方程为，
所以双曲线C的焦点到渐近线的距离为.
18. 已知圆，直线过点.
（1）当直线与圆相切时，求直线的斜率；
（2）线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解出即可；（2）建立点和点之间的关系式，再利用点的坐标满足的关系式得到点的坐标满足的条件，即可求出.
【小问1详解】
已知的圆心是，半径是，
设直线斜率为
则直线方程是，即，
则圆心到直线距离为，
解得直线的斜率.
【小问2详解】
设点则，
由点是的中点得，
所以①
因在圆上运动，所以②
①代入②得，
化简得点的轨迹方程是.
19. 如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点，
（1）求证：
（2）求点到平面的距离；
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理证得，再由线面垂直得线线垂直，进而线面垂直得线线垂直；
（2）建立空间直角坐标系，利用点面距离的向量公式求解即可.
【小问1详解】
中，，所以，
在直三棱柱中，平面，平面，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面，平面，所以.
【小问2详解】
由（1）知，平面，平面，平面，
所以，又，如图建立空间直角坐标系，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，解得，令，则，
设到平面的距离为，由得.
20. 椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且短轴长为2.
（1）求椭圆标准方程：
（2）过点且倾斜角为的直线与椭圆交于A、两点，线段的中垂线与轴交于点，是椭圆上的一点，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的几何性质即可求解.
（2）由直线和椭圆方程式联立得线段的中点坐标，得到线段的中垂线方程，由此求得的坐标，再由椭圆的参数方程得的坐标，再由两点间的距离公式和复合函数求最值即得.
【小问1详解】
由题意设椭圆的方䄇为，
因为椭圆经过点且短轴长为2，所以，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
由已知得直线的方程为，
设，将直线代入，
得，解得，不妨设则；同理得，
即，所以线段的中点坐标，
所以线段的中垂线的方程为，
因为线段的中垂线与轴交于点，所以令得，得，
因为椭圆的标准方程为.
所以设椭圆的参数方程为，，因为是椭圆上的一点，
所以,
所以，
因为，所以，
当时，取得最小值为.
21. 如图，在四棱柱中，，，平面平面，.
（1）求证：平面；
（2）若为线段的中点，直线与平面所成角为45°，求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由平面平面，证明平面，得，又，可证明平面.
（2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解面面夹角的余弦值.
【小问1详解】
连接，设，
由，，得是线段的垂直平分线，即有，
平面平面，平面平面，平面，于是平面，
而平面，则，又，平面，，
所以平面.
【小问2详解】
由，得，又，，，则，
于是，又，，则以为正交基底，建立空间直角坐标系，
在中，为中点，即有，
由平面，得为与平面所成角，即，有，
则，，，，，
由平面，平面，得，
又，平面，，则平面，
于是平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，得，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面的夹角余弦值为.
22. 已知圆：，点是圆上的动点，点，为的中点，过作交于，设点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点的动直线与曲线相交于，两点.在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在点满足题意．
【解析】
【分析】（1）由动点的位置特征，判断出轨迹为椭圆，待定系数法求方程；
（2）当直线l与y轴垂直时，得点Q必在y轴上；当直线l与x轴垂直时，得点Q的坐标只可能是；再证明直线l斜率存在且均满足条件即可．
【小问1详解】
依题意可知圆E的标准方程为，圆心，
因为线段的垂直平分线交于点，所以，
动点始终满足，故动点S满足椭圆的定义，
曲线是以为焦点的椭圆，设椭圆方程为，
因此，解得，
椭圆C的方程为.
【小问2详解】
存在与点不同的定点，使得恒成立．理由如下：
当直线与轴平行时，由椭圆的对称性可知，
又因为得，则，从而点Q必在y轴上，可设，
当直线与轴垂直时，则，如果存在定点满足条件，
由，即，解得或，
若存在不同于点的定点满足条件，则点坐标只能是；
当直线不平行于轴且不垂直与轴时，可设直线的方程为，
联立，消去并整理得：，
，设A、B的坐标分别为、，
，，
又点关于轴对称的点的坐标为，，
又，，
，则、、三点共线，；
故存在与点不同的定点，使得恒成立．
【点睛】方法点睛：
解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．