2022-2023学年重庆市第八中学校高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年重庆市第八中学校高一上学期期中数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．命题的否定是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据特称命题的否定变换形式即可得出选项.
【详解】命题的否定为：
.
故选：D
2．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用根式与分式有意义，结合交集的定义即可求解.
【详解】要使有意义，则，解得且.
所以函数的定义域为.
故选：B.
3．已知,则是的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先解不等式，再根据不等式的解集即可得到答案.
【详解】因为或.
所以是的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】本题主要考查充分不必要条件，同时考查了二次不等式，属于简单题.
4．函数满足，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】令，求出，再代入计算可得.
【详解】解：因为，令，解得，
所以.
故选：B
5．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的定义域可排除B，再利用特殊值的函数值的符号即可排除AC.
【详解】解：，则，
所以函数的定义域为，故排除B；
当时，，故排除A；
，故排除C.
故选：D.
6．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为10小时，第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时约为（ ）
A．9小时B．7小时C．6小时D．5小时
【答案】C
【分析】按照题目所给的条件，算出 和，再代入计算即可.
【详解】解：因为第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，所以，
所以，即，所以，解得，
所以，所以（小时）.
故选：C
7．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分段函数每段递增，以及左边一段的最高点不高于右边一段的最低点，列不等式组求解即可.
【详解】函数在上单调递增
，解得
故选：C.
8．若正实数满足，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据条件化简得到，计算得到A正确，根据函数的单调性得到B正确，取特殊值判断C错误，平方得到D正确，得到答案.
【详解】，即，，故.
要，即，即，A正确；
易知函数在上单调递增，故，，即，B正确；
取，代入计算得到，不成立，C错误；
，平方得到，即，成立，D正确.
故选：C.
二、多选题
9．图中矩形表示集合是的两个子集，则阴影部分可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据阴影部分不在集合A中，在集合B中可得答案,
【详解】根据图形可得阴影部分不在集合A中，在集合B中，
即阴影部分可以表示为
故选：BC
10．若，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】利用基本不等式即可判断ABC，根据结合基本不等式即可判断D.
【详解】解：因为，
当且仅当时，取等号，
所以，故A正确；
对于B，，当且仅当时，取等号，故B错误；
对于C，因为，
当且仅当时，取等号，
所以，故C正确；
对于D，，
当且仅当，即时取等号，故D错误.
故选：AC.
11．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则下列说法正确的是（ ）
A．，，使
B．若，则
C．若，则
D．的解析式可以为
【答案】ACD
【分析】取可判断A选项；利用函数的单调性与奇偶性解不等式，可判断B选项；分、解不等式，可判断C选项；验证满足题干中的条件，可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，
故函数在上单调递减，故，
故，，当时，恒成立，A对；
对于B选项，若，且函数在上单调递增，
所以，，可得，即，解得，B错；
对于C选项，由题意可知.
当时，由，可得，所以，；
当时，由，可得，所以，.
若，则，C对；
对于D选项，若，则该函数的定义域为，
，即函数为偶函数，
当时，，则函数在上单调递增，且，
故的解析式可以为，D对.
故选：ACD.
12．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.现已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数
B．当时，在上单调递增
C．若方程有实根，则
D．设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2022个交点，记为，则的值为4044
【答案】ACD
【分析】对于A.根据题意改写函数得到新解析式即可判断；对于B.可用特殊值法判断错误，也可根据增函数定义进行判断；对于C.令写出a的解析式即可判断a的取值范围；
对于D根据题意可知和关于中心对称，所以交点关于中心对称，即对称的横或纵坐标之和为2,由此得出答案.
【详解】对于A.
由解析式可知是奇函数，故A正确；
对于B.特殊值法
，
即，若，则在上不是单调递增，故B错误.
对于C.令，分离参数后，
故，C正确；
对于D.由A可知，当时，关于中心对称，且关于中心对称，所以这2022个交点关于对称，故，D正确.
故选：ACD
【点睛】思路点睛：
①奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数，奇函数奇函数=偶函数，
偶函数偶函数=偶函数，奇函数偶函数=奇函数；
②关于对称中心对称的两个点，两个点横坐标之和等于两倍对称中心的横坐标，两个点纵坐标之和等于两倍对称中心的纵坐标.
三、填空题
13．计算：__________.
【答案】##
【分析】根据指数幂的运算性质计算即可.
【详解】解：
.
故答案为：.
14．已知函数为奇函数，当时，，则__________.
【答案】
【分析】先利用求出，利用奇函数的定义，求出，再求.
【详解】函数为奇函数
，
当时，
，
故答案为：.
15．写出一个同时具有下列性质①②的函数：__________.
①函数对其定义域内的任意两个不等实数都满足不等式；
②函数为偶函数.
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题属于开放性问题，只需写出符合题意的函数解析式即可，不妨令，利用奇偶性的定义判断②，利用重要不等式判断①.
【详解】解：令，则，即为偶函数，满足条件②，
设且，则，，，
所以，
因为，所以，
即，故满足①；
故答案为：（答案不唯一）
16．若存在常数和，使得函数和分别对其定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，若函数和之间存在隔离直线，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据题意得到，计算得到一个范围，再根据双勾函数的单调性得到函数的最大值，综合得到答案.
【详解】，即恒成立，故，解得；
，即，函数在上单调递增，在上单调递减，故，故.
综上所述：.
故答案为：
四、解答题
17．已知，.
(1)若，求；
(2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答.
问题：若__________，求实数的所有取值构成的集合.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)条件选择见解析，
【分析】（1）当时，求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合；
（2）选①，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合；
选②，分析可知，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合；
选③，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据，可得出关于的等式，综合可得出集合.
【详解】（1）解：当时，，
又因为，故.
（2）解：若选①，当时，，则，满足，
当时，，若，则或，解得或.
综上所述，；
若选②，，则.
当时，，满足；
当时，，因为，则或，解得或.
综上所述，；
若选③，当时，，满足；
当时，则，因为，则或，解得或.
综上所述，.
18．已知幂函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)若均为正数且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据幂函数得到，解方程再验证函数的奇偶性得到答案.
（2）代入数据计算得到，再利用均值不等式计算得到答案.
【详解】（1）幂函数，则，解得或，
当时，是奇函数，舍去；当时，是偶函数，满足.
故.
（2），，
即，
，
当，即时等号成立，故的最小值为.
19．已知函数，用表示中的较大者，记为.
(1)写出函数的解析式，并画出它的图象；
(2)当时，若函数的最小值为，求实数的取值集合.
【答案】(1)，图象见解析
(2)
【分析】（1）分别求出，的解集，即可得出函数的解析式，再根据一次函数和二次函数的图象作图即可；
（2）分和两种情况讨论，求出函数的最小值，从而可得出答案.
【详解】（1）解：当，即时，，
当当，即或时，，
所以，
函数图象如图所示：
（2）解：由（1）可得，函数在上递减，在上递增，
当时，函数在上递减，
所以，解得或（舍去），
当时，函数在上的最小值为，解得，
综上实数的取值集合为.
20．北京2022年冬奥会和冬残奥会，向世界传递了挑战自我､积极向上的体育精神，引导了健康､文明､快乐的生活方式.冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了进一步宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某赞助商开发了一款纪念产品，通过对这款产品的销售情况调查发现：该产品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，该商品的日销售量（单位：个）与时间部分数据如下表所示：
(1)给出以下三种函数模型：①，②，③，
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式；
(2)求该商品的日销售总收入）（单位：元）的最小值.
（注：日销售总收入=日销售价格日销售量）
【答案】(1)模型②，
(2)
【分析】（1）根据数据的对称性选择模型②，再代入数据计算参数得到答案.
（2）计算的解析式，根据函数的单调性和均值不等式，分段计算函数的最小值，再比较得到答案.
【详解】（1）根据表格数据，的函数值关于对称，故选择合适.
，，
解得，故，验证均满足.
故
（2）
当时，，当，
即时等号成立；
当时，在上单调递减，故最小值为.
综上所述：当时，有最小值为元.
21．设函数的定义域为，且满足：，且当时，.
(1)根据函数奇偶性和单调性的定义证明函数在定义域上的奇偶性和单调性；
(2)求关于不等式的解集.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）令，即可求出，从而得到，再令，即可说明函数的奇偶性，再利用定义法证明函数的单调性；
（2）根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可，需注意函数的定义域.
【详解】（1）解：因为，
令，可得，解得，
所以，
令，则，即，所以为奇函数，
设且，
则，
因为，所以，故，
所以在上单调递增；
（2）解：因为为上单调递增的奇函数，
所以不等式等价于，
等价于，解得或，
即不等式的解集为.
22．已知函数.
(1)证明：，并求函数的值域；
(2)已知为非零实数，记函数的最大值为.
①求；②求满足的所有实数.
【答案】(1)证明见解析，函数的值域为
(2)①；②或
【分析】（1）分别求出两函数的定义域，计算即可得证，求出函数的值域，从而可得出答案；
（2）①由（1）得，令，分，，和四种情况讨论，结合二次函数的最值即可得出答案；
（2）求出，再分，，，，和六种情况讨论，从而可得出答案.
【详解】（1）解：由函数，
得，解得，所以函数的定义域为，
由函数，
得，解得，所以函数的定义域为，
所以，
，
因为，所以，所以，
所以，
又，所以函数的值域为；
（2）解：①由（1）得，
则，
令，
则，
对称轴为，
当时，则，
所以，
当，即时，，
当，即时，，
当，即时，，
综上所述；
②因为，
所以，
当时，，解得（舍去），
当时，，解得（舍去），
当时，，解得（舍去），
当时，，
当时，，解得（舍去），
当时，，解得（舍去），
综上或.
【点睛】本题考查了求含根号函数的值域问题及二次函数的最值问题，考查了分类讨论思想及数据分析能力，解决第二问的关键在于找到讨论的临界点，可以借助数轴的手段来进行讨论.
（天）
5
10
15
20
25
30
（个）
105
110
115
120
115
110