人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数的概念与性质3.3 幂函数学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数的概念与性质3.3 幂函数学案，共6页。学案主要包含了学习目标，问题探究1，问题探究2等内容，欢迎下载使用。


题型 1与幂函数概念有关的问题
【问题探究1】 下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？
(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V＝b3，这里V是b的函数；
(4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c＝，这里c是S的函数；
(5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v＝ km/s，即v＝t－1，这里v是t的函数．
例1 已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)是幂函数．
学霸笔记：判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式．
跟踪训练1 若f(x)是幂函数，且f(2)＝，则f＝________．
题型 2幂函数的图象及应用
【问题探究2】 你能在同一平面直角坐标系内作出y＝x、y＝x2、y＝x3、y＝、y＝x－1的图象吗？
例2 图中C1、C2、C3为三个幂函数y＝xα在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是( )
A．、3、－1 B．－1、3、
C．、－1、3 D．－1、、3
题后师说
解决幂函数图象问题应把握的2个原则
跟踪训练2 如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )
A．－1B．n<－1，0C．－11
D．n<－1，m>1
题型 3幂函数的性质及应用
例3 若幂函数f(x)＝(2m2＋m－2)x2m＋1在其定义域上是增函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(2－a)学霸笔记：解决幂函数的综合问题，应注意以下两点：
(1)充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等；
(2)注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合思想．
跟踪训练3 已知幂函数f(x)＝(m∈R)为奇函数．
(1)求f()的值；
(2)若f(2a＋1)>f(a)，求实数a的取值范围．
随堂练习
1.若幂函数f(x)的图象过点(4，2)，则f(2)的值为( )
A． B．
C． D．2
2．如图，①②③④对应四个幂函数的图象，其中①对应的幂函数是( )
A．y＝x3 B．y＝x2
C．y＝x D．y＝
3．设a＝，b＝ ，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．c>a>b
C．ac>a
4．若幂函数f(x)＝(m2－m－5)xm在(0，＋∞)单调递减，则m＝________．
课堂小结
1.根据幂函数的概念求函数的解析式．
2．幂函数的图象的应用．
3．幂函数的性质及简单应用．
3．3 幂函数
问题探究1 提示：这些活动的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数．
例1 解析：因为函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3为幂函数，则m2－m－1＝1，
解得m＝－1或m＝2.
跟踪训练1 解析：因为f(x)是幂函数，记f(x)＝xα，因为f(2)＝，
所以2α＝，解得α＝－2，故f(x)＝x－2，
所以f()＝()－2＝9.
答案：9
问题探究2 提示：
例2 解析：由幂函数y＝xα在第一象限内的图象，结合幂函数的性质，
可得：图中C1对应的α<0，C2对应的0<α<1，C3对应的α>1，
结合选项知，指数α的值依次可以是－1，，3.故选D.
答案：D
跟踪训练2 解析：在(0，1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，如图所示．根据点低指数大，有0故选B.
答案：B
例3 解析：(1)因为f(x)＝(2m2＋m－2)x2m＋1是幂函数，所以2m2＋m－2＝1，解得m＝－或m＝1，
又f(x)是增函数，2m＋1>0即m>－，∴m＝1，则f(x)＝x3.
(2)因为f(x)为增函数，所以由f(2－a)2或a<－3，
∴a的取值范围是{a|a>2或a<－3}．
跟踪训练3 解析：(1)由m2－5m＋7＝1，得m＝2或m＝3，
当m＝2时，f(x)＝x－3是奇函数，满足题意，
当m＝3时，f(x)＝x－4是偶函数，不满足题意，
所以f(x)＝x－3，f()＝()－3＝8；
(2)因为f(x)＝x－3的定义域为(－∞，0)单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，
由f(2a＋1)>f(a)，可得2a＋10>a，
解得a<－1或－所以实数a的取值范围为a<－1或－[随堂练习]
1．解析：设f(x)＝xα，因为幂函数f(x)的图象过点(4，2)，所以4α＝2，解得α＝，所以f(x)＝，所以f(2)＝＝.故选C.
答案：C
2．解析：根据函数图象可得：①对应的幂函数y＝xα在[0，＋∞)上单调递增，且增长速度越来越慢，故α∈(0，1)，故D选项符合要求．故选D.
答案：D
3．解析：构造幂函数y＝，x>0，由该函数在定义域内单调递增，知1>a>b；又c＝>1，知aa>b.故选B.
答案：B
4．解析：根据幂函数的定义和性质，得
，解得m＝－2.
经检验m＝－2，符合题意．
所以m＝－2.
答案：－2